ラザフォード散乱
ラザフォード散乱を見ていきます。これは、電荷を持った重い原子核が固定されていて、そのクーロンポテンシャ ルに電子が突っ込んだ時の散乱です。
ここでは摂動展開の最低次の計算を行います。
散乱の様子を図にすれば
p
i
p
f
A
このように散乱の過程を書いた図をファインマン図
(Feynman diagram)
と呼びます。ここではファインマン図を 利用せずに求めていくので、ファインマン図の説明は「ファインマン図」を見てください。ファインマン図のことは忘れて、S行列を直接扱います。電子が電磁場によって散乱されるときの
S
行列はS = δ
f i− ie
∫
d
4xϕ
f(x)A /(x)ψ
i(x) (1)
ψ
iは散乱の寄与を受けた波動関数です。電子なのでe < 0
としますが、特に気にする必要はないです(符号をはっ
きりさせるなら−| e | )。ここでは摂動展開の最低次からの寄与を見ることにして、ψ
i(x)
を自由粒子とします。自 由粒子の波動関数を体積V
で規格化してϕ
i(x) =
√ m
E
iV u(p
i, s
i)e
−ipix(2)
とします。sはスピンです。uは平面波での正エネルギーのスピノール部分で、スピンs
によって2
つに区別します
(相対論的量子力学の「射影演算子」参照)。紛らわしいですが、p
µi のi
は始状態のことで3
次元成分のことではないです。終状態も始状態と同じように
ϕ
f(x) =
√ m
E
fV u(p
f, s
f)e
ipfx(3)
とします
(ψ = ψ
†γ
0)。
ラザフォード散乱では静的な電場のみを考えればいいので、クーロンポテンシャル
A
0と、ベクトルポテンシャ ルA
は(cgs-ガウス単位系)
A
0(x) = − Ze
| x | , A(x) = 0 (4)
− Ze (e < 0)
の電荷をもつ原子核による電場としています(Z
は原子番号)。
(2)
から(4)
を(1)
に入れて√ ∫
散乱した場合が知りたいので、散乱しないときの
δ
f iは省いています。uγ0u
はディラック方程式のカレントeuγ
µu
の0
成分です。このことから、始状態から終状態へと偏移するカレントとしてeu(p
f, s
f)γ
0u(p
i, s
i)
を含んでいる と言えます(A ̸ = 0
ならγ
µになる)。これは粒子の散乱は始状態から終状態への確率の流れに対応することからす れば、予想通りの構造です。
S
行列を作れたので、後は積分を実行すればいいです。まず、exp内をエネルギーと運動量にわけて∫
∞−∞
dx
0exp[i(E
f− E
i)x
0]
∫
d
3x exp[ − i(p
f− p
i) · x] 1
| x |
エネルギー部分の積分はデルタ関数になるだけです。残りの積分には問題があり、
| x | = 0
で発散しています。し かし、この形は電磁気なんかで出てくるように∇
21
| x | = − 4πδ
3(x) (5)
という関係を使えばいいだけです
(下の補足 1
参照)。積分を変形していき、これを使えば∫
d
3x exp[ − i(p
f− p
i) · x] 1
| x |
= −
∫ d
3x 1
| x | 1
q
2∇
2exp[ − iq · x] (q = p
f− p
i)
= − 1 q
2([ 1
| x | ∇ exp[ − iq · x] ]
∞−∞
−
∫
d
3x( ∇ 1
| x | ) · ∇ exp[ − iq · x]
)
= − 1 q
2([ 1
| x | ∇ exp[ − iq · x] ]
∞−∞
− [ ( ∇ 1
| x | ) exp[ − iq · x] ]
∞−∞
+
∫
d
3x( ∇
21
| x | ) exp[ − iq · x]
)
= − 1 q
2∫
d
3x( ∇
21
| x | ) exp[ − iq · x]
= 4π q
2部分積分で出てくる
[ ]
∞−∞は、形式的に
3
次元全空間の範囲をこのように書いています。もっと正確に行うなら、ガウスの定理から面積分にして無限遠の面では
0
になることを見ればいいです。というわけで
S = iZe
21 V
√ m
2E
iE
fu(p
f, s
f)γ
0u(p
i, s
i) 4π
q
2δ(E
f− E
i)
後は断面積が分かればいいです。断面積
dσ
はT
を時間、Jinを入射粒子のフラックスとしてdσ = 1
J
inT S
2N
f(N
f= V (2π)
3d
3p)
体積
V
で規格化しているので、周期的境界条件での運動量での状態数の数N
fを使っています。W= S
2N
f はW = V d
3p (2π)
3(iZe
21
V
√ m
2E
iE
fxu(p
f, s
f)γ
0u(p
i, s
i) 4π
q
2δ(E
f− E
i))
2= Z
2e
4(4π)
2m
2E
iV
| u(p
f, s
f)γ
0u(p
i, s
i) |
2| q |
4d
3p
f(2π)
3E
f(2πδ(E
f− E
i))
2ここでデルタ関数の
2
乗というわけのわからないものが出てきます。そのために、かなりひねったことをします。まず、デルタ関数の積分形は積分範囲を無限大にしますが、時間
T
による有限の範囲とします。デルタ関数を 有限範囲のexp
の積分形にして、積分を実行すると2πδ(E
f− E
i) ⇒
∫
T /2−T /2
dt exp[i(E
f− E
i)t]
= [ exp[i(E
f− E
i)t]
i(E
f− E
i) ]
T /2−T /2
= cos((E
f− E
i)
T2) + i sin((E
f− E
i)
T2) − cos( − (E
f− E
i)
T2) − i sin( − (E
f− E
i)
T2) i(E
f− E
i)
= 2 sin((E
f− E
i)
T2) E
f− E
iこれなら
2
乗を取れるので(2πδ(E
f− E
i))
2⇒ 4 sin
2(
(E
f− E
i)
T2) (E
f− E
i)
2となりますが、これをさらに
E
fで積分すると、∫
∞−∞
dE
f(2πδ(E
f− E
i))
2⇒
∫
∞−∞
dE
f4 sin
2((E
f− E
i)
T2) (E
f− E
i)
2= 4
∫
∞−∞
dx sin
2(
T2x)
x
2= 2πT (6)
積分の簡易的な導出は下の補足
2
で示しています。これとは別に、(2πδ(Ef
− E
i))
2は∫
∞−∞
dE
f(2πδ(E
f− E
i))
2=
∫
∞−∞
dE
f2πδ(0)2πδ(E
f− E
i)
と書き換えられるとします。そして、2πδ(0)は今見たのと同じように有限の範囲で表してやれば
2πδ(0) ⇒
∫
T /2−T /2
dt = T
なので
∫
∞−∞
dE
f(2πδ(E
f− E
i))
2= 2πT
∫
∞−∞
dE
fδ(E
f− E
i)
(2πδ(E
f− E
i))
2= 2πT δ(E
f− E
i)
となることがわかります。これによって
W
はW = Z
2e
4(4π)
2m
2E
iV
| u(p
f, s
f)γ
0u(p
i, s
i) |
2| q |
4d
3p
f(2π)
3E
f2πT δ (E
f− E
i)
となります。
残っている入射フラックス
J
inは「S行列」での話から、入射粒子の標的に対する入射粒子の相対速度を| v |、
密度を
ρ
とすればJ
iu= ρ | v |
です。今は体積V
に1
つの入射粒子として規格化しているので、Jiu= | v | /V
です。同様のことが、量子力学では確率のカレントがフラックスに対応することからも出てきます。ディラック方程式 のカレントは
j
a= ϕ(x)γ
aϕ(x) (a = 1, 2, 3)
3
次元速度が必要なので3
次元部分を使います。ベクトルの向きがz
方向(a = 3)
として、平面波を入れて、相対 論的量子力学での「ディラック方程式」や「ディラック方程式の解〜別解〜」での結果を使って(σ
aはパウリ行列)j
3= m
EV u(p, s)γ
3u(p, s)
= m
EV E + m
2m (1 0 p
3E + m 0)
( 0 σ
3σ
30 )
1 0
p3 E+m
0
= m
EV E + m
2m (1 0 p
3E + m 0)
p3 E+m
0 1 0
= m
EV E + m
2m 2p
3E
i+ m
= p
3EV
= v
3V
最後に特殊相対論での関係
v = p/E
を使ってます。これは他の方向でも同様なので、jaをフラックスJ
in= | j |
としてJ
in= | v | V
となります。これで断面積を求めるのに必要なものはそろったので、まとめると
dσ = W T J
in= Z
2e
4(4π)
2m
2T V E
i| u(p
f, s
f)γ
0u(p
i, s
i) |
2| q |
4d
3p
f(2π)
3E
f2πT δ(E
f− E
i) V
| v |
= 4Z
2e
4m
2| v | E
i| u(p
f, s
f)γ
0u(p
i, s
i) |
2| q |
4d
3p
fE
fδ(E
f− E
i)
これを見ると、エネルギー
E
i, E
fによるデルタ関数しか出てきていないです。このデルタ関数はE
i= E
fとして エネルギー保存を表すので、この式には運動量保存がいません。運動量が保存されていない理由は単純で、入射し てきた電子は標的の電荷によって反跳するのに対して、標的にされた電荷は固定して反跳させていないからです。微分断面積を、ある微小領域に粒子が来る数として定義します。微小領域を立体角
Ω
として微分断面積をdσ/dΩ
とします。極座標として立体角を使いd
3p
f= p
2fd | p
f| dΩ
f(7)
このように置き換えてやります
(3
次元積分を動径方向と角度部分に分離しただけ)。これは簡単に言えば、d| p
f|
を高さだと思い、立体角はdA
を面積としてdΩ
f= dA p
2fとしたもので、(7)に入れれば体積
d
3p
fになります。
d
3p
fを立体角に置き換えればdσ
dΩ
f= 4Z
2e
4m
2| v
i| E
i| u(p
f, s
f)γ
0u(p
i, s
i) |
2| q |
4p
2fd | p
f|
E
fδ(E
f− E
i)
として、微分断面積になります。ただし、実験はある運動量領域の範囲で行われるので、これを適当な範囲で積分 した
dσ dΩ
f=
∫
d | p
f| p
2fE
iE
f4Z
2e
4m
2| v
i|
| u(p
f, s
f)γ
0u(p
i, s
i) |
2| q |
4δ(E
f− E
i)
= 4Z
2e
4m
2| u(p
f, s
f)γ
0u(p
i, s
i) |
2| q |
4| p
f|
| p
i|
∫
dE
fδ(E
f− E
i)
= 4Z
2e
4m
2| u(p
f, s
f)γ
0u(p
i, s
i) |
2| q |
4∫
dE
fδ(E
f− E
i)
= 4Z
2e
4m
2| u(p
f, s
f)γ
0u(p
i, s
i) |
2| q |
4 というものが使われます。途中で、Ef2= p
2f+ m
2から2E
f= dp
2fdE
f= dp
2fd | p
f|
d | p
f| dE
f= 2 | p
f| d | p
f|
dE
fとなることと、エネルギー保存
(E
i= E
f)
が満たされているので| p
f| = | p
i|
として| p
f|
E
i| v
i| = | p
f|
| p
i| = 1
を使っています。というわけで、電子がクーロンポテンシャルによって散乱する場合での微分断面積は
dσ dΩ
f= 4Z
2e
4m
2| u(p
f, s
f)γ
0u(p
i, s
i) |
2| q |
4となります。これではまだ不完全で、スピンの和をとる必要があります。これは「ラザフォード散乱〜スピン偏極
〜」で行います。
スピンが無関係となる非相対論的な極限にしてみます。非相対論的極限では、ディラック・パウル表現ではスピ ノールの
4
成分のうち上の2
成分のみが生き残るのでγ
0は2 × 2
成分だけ取り出してγ
0= ( 1 0
0 1 )
そして、2成分にした
u
はスピン上向きの状態としてu = ( 1
0 )
と選びます。そうすれば
(1 0) ( 1 0
0 1 ) ( 1
0 )
= 1
となるので
dσ dΩ
f= 4Z
2e
4m
2| q |
4これはラザフォードの散乱公式です
(大まかには言えば e
4/ | q |
4に比例する)。・補足
1
(5)
を大雑把に示します。(5)は∇
21
| x | = − 4πδ
3(x)
このような不思議な関係になるのは、簡単にいえば
0
付近で発散しているからです。この式は素直に計算すれば∇
21
| x | = ∇
2(x
2+ y
2+ z
2)
−1/2( | x | = (x
2+ y
2+ z
2)
1/2)
= − 1 2 ∇ · (
2x(x
2+ y
2+ z
2)
−3/2, 2y(x
2+ y
2+ z
2)
−3/2, 2z(x
2+ y
2+ z
2)
−3/2)
= − ∇ · (
x(x
2+ y
2+ z
2)
−3/2, y(x
2+ y
2+ z
2)
−3/2, z(x
2+ y
2+ z
2)
−3/2)
= − ((x
2+ y
2+ z
2)
−3/2− 3x
2(x
2+ y
2+ z
2)
−5/2− · · · )
= − (3(x
2+ y
2+ z
2)
−3/2− 3(x
2+ y
2+ z
2)(x
2+ y
2+ z
2)
−5/2)
= − (3(x
2+ y
2+ z
2)
−3/2− 3(x
2+ y
2+ z
2)
−3/2)
= 0
もしくは極座標にして
∇
2= 1 r
2∂
∂r (r
2∂
∂r ) + 1 r
2sin θ
∂
∂θ (sin θ ∂
∂θ ) + 1 r
2sin
2θ
∂
2∂
2ϕ
とすれば(r = | x | )、角度の微分は引っかからないので
∇
21 r = 1
r
2∂
∂r (r
2∂
∂r 1 r ) = 0
というわけで、∇
21
| x | = 0
となっていますが、これでは不完全です。不完全と分かる簡単な方法は、電磁場でのポアソン方程式
∇
2A
0= − 4πρ
を見ることです
(ρ
は電荷密度、ρ >0)。原点に点電荷 q
がいるとすればスカラーポテンシャルはA
0(x) = q
| x |
これをポアソン方程式の左辺にいれると∇
2A
0= q ∇
21
| x | = 0
となり、電荷がいるのにポアソン方程式でなく、ρ
= 0
でのラプラス方程式になってしまいます。というわけで、成立しないのが分かります。しかし、|
x | ̸ = 0
では∇
2(1/ | x | ) = 0
は成立しているはずなので、|x | = 0
の場合でお かしなことになっているはずです。ポアソン方程式になるように手を加えます。まず、点電荷での密度は
として与えます
(x
′が点電荷の位置)。これは空間の1
点に電荷が置かれるために、通常の密度の定義では電荷密 度が発散してしまうからです(両辺を x − x
′= 0
を含む範囲で積分すれば一致する)。これをポアソン方程式にい れると(点電荷の位置を原点 x
′= 0
にします)q ∇
21
| x | = − 4πqδ
3(x)
∇
21
| x | = − 4πδ
3(x)
実際に、x
= 0
の地点を含む無限大の領域V
で積分すればq
∫
V
d
3x ∇
21
| x | = − 4πq
∫
V
d
3xδ
3(x)
なので
∫
V
d
3x ∇
21
| x | = − 4π
これから、左辺が原点を含むように積分したら
− 4π
になるようにすればいいので、∫
V
d
3x ∇
21
| x | = − 4π
∫
V
d
3xδ
3(x) = − 4π
よって、結局
∇
21
| x | = − 4πδ
3(x)
でいいことになります。デルタ関数は
x = 0
以外では0
なので、|x | ̸ = 0
の場合も含んでいます。電磁気の法則から求めましたが、電磁気の法則とは無関係に求めることもできます。やることは同じで
∫
V
d
3x ∇
21
| x |
がどうなっているのかを見ます。V が原点を含んでいなければ、
| x | = 0
を考えなくていいので、| x | ̸ = 0
での∇
2 から0
です。なので、V の範囲を一般的に考えたとしても、結局はV
が原点を含んでいる場合だけを考えればい いです。というわけで、V を原点を含む半径R
の球としても一般性はなくなりません。そうすると、ガウスの定 理から∫
V
d
3x ∇
21
| x | =
∫
V
d
3x ∇ · ( ∇ 1
| x | ) = I
S
dS n · ( ∇ 1
| x | )
S
は半径R
の球による面で、n= x/ | x |
は動径方向の単位ベクトルです。半径一定の球面なので、dSはdS = R
2sin θdθdϕ
これから積分は
I
S
dS n · ( ∇ 1
| x | ) = I
S
dS x
| x | · ( − x
| x |
3) = − I
S
dS 1
| x |
2= − R
2∫
π 0sin θdθ
∫
2π 0dϕ 1
| x |
2= − 4π R
2| x |
2球面上での面積分なので、|
x |
2= R
2より∫
V
d
3x ∇
21
| x | = − 4π
よって、V は原点を含んでさえいればいいことから、デルタ関数を使うことで
∇
21
| x | = − 4πδ
3(x)
となります。原点からずらしても
∇
21
| x − x
′| = − 4πδ
3(x − x
′)
となるだけです。
・補足
2
(6)
の積分4
∫
∞−∞
dx sin
2(
T2x) x
2= 2πT
を求めます。複素積分から求められますが、ここでは簡易的な方法を使います。
デルタ関数は
0
で値を持ちますが、今は有限の範囲にしているために、x= 0
で鋭いピークを持つガウス分布の ような形になっています。言い換えれば、x= 0
で頂点を持つ三角形がx = 0
付近にあり、そこ以外は0
と見なせ ます。このことから、この三角形の面積が積分結果になると考えます。
sin
を展開すれば4 sin
2(
T2x) x
2= 4
x
2T
24 (x − 1
6 x
3+ · · · )
2= T
2x
2(x
2− 1
6 x
4+ · · · ) (sin(x) = x − 1
6 x
3+ · · · )
= T
2(1 − 1
6 x
2+ · · · )
これは
x = 0
でlim
x→0
4 sin
2(
T2x) x
2= T
2なので、T2が三角形の高さです。底辺は、x
= 0
に一番近いsin
部分が0
になる地点間の差なのでx = ± 2π
T
から、4π/T です。よって、積分は三角形の面積から4
∫
∞−∞
dx sin
2(
T2x) x
2= 1
2 4π
T T
2= 2πT
となります。
