１
[2004 大阪大] 確率
を自然数とする．プレイヤー ， がサイコロを交互に投げるゲームをする．最初は が投げ，先に の目を出した方を勝ちとして終わる．ただし， が 回投げても勝負 がつかない場合は の勝ちとする．
の 投目 で が勝つ確率を求めよ．
このゲームにおいて が勝つ確率 を求めよ．
となるような最小の の値を求めよ．ただし， ， として計算してよい．
解説
， がそれぞれ 投目まで 以外の目を出した後， が の目を出せ ばよいから，求める確率は
･ ･ のときも成り立つ
は，各 投目で が勝つ確率の和である．よって， から
･
から すなわち
よって ゆえに ここで，両辺の常用対数をとると すなわち
よって
ゆえに …
よって，求める最小の の値は である．
２
[2019 鹿児島大]
実数 ， に対して，整式 を考える。
とおく。このとき， を の整式で表せ。
， ， のとき，方程式 の解をすべて求めよ。
方程式 がちょうど つの解をもつような ， をすべて求めよ。
解説
･
よって
は方程式 の実数解でないから，方程式 の解は，方程式 の解と一致する。
， ， のとき
とすると
よって ， のとき
すなわち ゆえに のとき
すなわち ゆえに
以上から ，
は方程式 の解でないから，方程式 の解は，方程式 の解と一致する。
したがって， …… ① によって得られた解 に対して，方程式 がちょうど つの解をもてばよい。
方程式 を変形すると …… ② ② の判別式を とすると
方程式 がちょうど つの解をもつのは，② が重解をもつときである。
② が重解をもつための条件は， であるから，② が重解をもつとき
よって，① が を重解としてもてばよい。
のとき
① が すなわち となればよい。
① と係数を比較して これを解いて ， ， のとき
① が すなわち となればよい。
① と係数を比較して これを解いて ， ， 以上から ， ，
-1-
３
[2011 大阪市立大] 図形と式
座標平面において，原点 を中心とする半径 の円を とし，点 ， は
を満たすものとする。 から へ接線を引き，その接点を ， とする。
を中心とし を通る円を として， は点 ， を通るものとする。
であることを示せ。
のとき であることを示し， を を用いて表せ。
解説
であるから よって
したがって
…… ①
， は円 ： 上にあるから …… ②
， は における円 の接線 上にあるから …… ③
②，③ を ① に代入して
…… ④ ④ から
よって …… ⑤ のとき， ， であるから
･ ･
等号成立の条件は すなわち であるから，この不等式の等号は成り立た ない。したがって
⑤ を の 次方程式とみて解くと より
また， であるから
よって， を満たすのは
４
[2019 京都大]
の整数部分は何桁か。また最高位からの 桁の数字を求めよ。例えば，
の最高位からの 桁は を指す。
注 必要があれば，常用対数表を用いてもよい。
解説
