2.1 恒等式と方程式 担当：市原

基礎数学 No.7 2006. 5.29

2.1 恒等式と方程式

! 恒等式 "

 文字を含んだ２つの式P,Qについて,着目している文字にどのような値を代入しても P=Qが成り立つとき,この等式を恒等式という.

# $

問題30 次のなかで,恒等式をすべてあげなさい.

(1) 3(x−2) + 5 = 3x−2

(2) (x−2)²+ 4 = 2x+ 1

(3) (x+ 2)²−(x+ 1)²= 2x+ 3

(4)5 +x 5x =1 +x

x

(5)1 x− 1

x+ 1+1 4= 0

! 方程式 "

 ある文字が未知数であり,特定の値を代入したときだけ等式P=Qが成り立つとき,これ を方程式という.その特定の値を解といい,解を求めることを方程式を解くという.

特に,方程式の両辺が未知数のn次多項式のとき,その方程式をn次方程式という.

# $

問題31 次の一次方程式を解きなさい.

(1)−3(−x−4) =−7(3−x)

(2)x 3−x−2

4 =5 6

(3) 0.2x+ 3.6−1 3

! x− 7

12

"

= 0

定理9 (二次方程式の解法)二次方程式ax²+bx+c= 0 (ただしa!= 0)について, (1) (因数分解による)

(Ax+B)(Cx+D) = 0と因数分解できたとき,解はx=−B A ，−D

C (3) (解の公式による) 一般解の公式は,x=−b±√

b²−4ac 2a

問題32 次の二次方程式を解きなさい.

(1)−12x²+ 5 = 0 (2)x²−12x+ 6 = 0 (3)x²−10x+ 9 = 0 (4)x²−2√3x+ 3 = 0 (5) 3x²= 5x−5

定理10 (二次方程式の判別式・判別式による解の判定)

二次方程式ax²+bx+c= 0に対し,b²−4acを判別式と呼び,Dで表す．

ax²+bx+c= 0は

D >0のとき， 異なる2個の実数解を持つ D= 0のとき， 重解を持つ

D <0のとき， 実数解を持たない(虚数解)

問題33 次の二次方程式の判別式を計算し,異なる２実数解を持つ， 重解を持つ， 虚数解を 持つ，のいずれであるか判定しなさい． またその解を求めなさい.

(1) (1−x)²= 16 (2) 6 +x²−7x= 0 (3)x²+ 10x+ 14 =x−1 (4) 2x²+ 12x+ 18 = 0 (5) 3x²+x−14 = 0

定理11 (解と係数の関係)

2次方程式ax²+bx+c= 0の2つの解をα,βとすると α+β=−b

a, αβ=c a

問題34 二次方程式2x²−3x+ 4 = 0の2解をα,βとするとき，次の値を求めなさい.

(1) 5α−2αβ+ 5β

(2) (β−α)²

(3)α²+β²

(4)α β+β

α

定理12 (因数定理) 整式f(x)が(x−a)で割り切れるならf(a) = 0.

問題35 次の方程式を,因数定理を利用して,因数分解することにより解きなさい.

(1)x³+ 7x−8 = 0

(2)t³−t²+t−1 = 0

(3)x³−3x+ 2 = 0

(4)x³+x²−10x+ 8 = 0

学籍番号 氏名