２００２年度前期課程（２次募集）入学試験問題

(1)

名古屋大学大学院多元数理科学研究科

２００２年度前期課程（２次募集）入学試験問題

数学専門

問題は全部で１１問である

.

このうちから４問を選んで解答せよ選択した問題の番号を答案用紙の所定の欄に記入せよ

. .

複素数を成分とする

1 3

次正方行列全体のなす線型空間を

M

3

(C )

^とし

,

^行列

A ∈ M

3

(C

は

) A

²

= A, rankA = 2

^{をみたすとする}

.

^この行列

A

^に対して

,

^線型変換

F : M

3

( C ) −→

M

3

(C )

^を

F (X) = AXA, X ∈ M

3

( C

によって定義する

) .

このとき

,

^{以下の問に答えよ}

.

(1) A

のジョルダン標準形を求めよ

.

(2) F

^の像

I mF

^の次元

dim(ImF )

^を求めよ

.

(3) F ◦ F = F

^{となることに注意して}

, F

のジョルダン標準形を求めよ

（２００２年１月１２日）（次ページあり）

.

(2)

2

^C

^{を複素数体}

^, ^C

^×^を

0

でない複素数全体のなす乗法群とする

. a ∈ C

^×

, b ∈

^に対して

C ,

写像

f

a,b

: C −→ C

^を

f

_a,b

(x) = ax + b, x ∈

によって定義し

C ,

G = {f

a,b

: a ∈ C

^×

, b ∈ C}, H = { f

_1,b

∈ G : b ∈ C

とおく

} .

このとき

,

.

(1) G

は写像の合成に関して群をなすことを示せ

. (2) H

^は

G

の正規部分群であることを示せ

. (3 )

^剰余群

G /H

^は

C

^×と同型であることを示せ

.

(3)

3

有理数体

^Q

^上

^√ ^2, ^√ ^3, ^√ ⁵

^{で生成される複素数体}

^C

^{の部分体を}

^K ⁼ ^Q( ^√ ^2, ^√ ^3, ^√ ⁵

とする

) .

このとき

,

.

(1) K

^を

Q

上の線型空間と見たときの基底を

1

^組求めよ

. (2) K

^の

Q

^{上のガロア群}

Gal(K/Q )

^{を決定せよ}

.

(3) K

^{に含まれる}

Q

の２次拡大体を全て求めよ

.

(4)

4

以下の問に答えよ

^.

(1) X, Y

^{を位相空間とする}

.

^写像

f : X −→ Y

が連続であることの定義を述べよ

. (2 )

^位相空間

X

が連結であることの定義を述べよ

.

(3) X, Y

^{を位相空間}

, f : X −→ Y

を上への連続写像とする

.

^もし ^{が連結なら} ば

X , Y

も連結であることを示せ

.

(4) R

^{内の閉区間}

[0, 1 ]

^と円周

S

¹ とは同相でないことを示せ

.

(5)

5

^f ^: ^R

²

^−→ ^R

^を

^C

^∞ ^{級関数とし}

^, ^M ^⊂ ^R

³ ^{をそのグラフとする：}

M = { (x, y, f(x, y)) : (x, y) ∈ R

² このとき

}.

, .

(1) M

^の点

p = (x, y, f(x, y) )

^における

M

^{の単位法ベクトル}

ν(p )

^で

,

^第 ^成分が正であるものを求めよ

3

各

.

p ∈ M

^に

ν(p )

を対応させることにより

, ν

^を

M

^{から単位球面}

S

²

= { (x, y, z) ∈ R

³

: x

²

+ y

²

+ z

²

= 1

への写像とみる

}

. q ∈ M

^を

ν(q) = (0, 0, 1 )

^となる

M

^の点とし

, dν

q

: T

q

M −→ T

ν(q)

S

を

2

ν

の

q

における微分写像とする

.

(2) dν

_q^を

T

_q

M , T

_ν(q)

S

² ^{の共通の正規直交基底}

{ e

₁

, e

₂

} (e

₁

= (1, 0, 0), e

₂

= (0, 1, 0)

に関して行列表示し

)

その行列式

, det(dν

q

)

を求めよ

.

(3) f(x, y) = x

²

+ ay

²

( a

^は定数

)

^の場合に

, det(dν

q

)

を計算せよ

.

(4) f

^{が一般の場合に}

, det(dν

q

) = 0

^なる点

q ∈ M

^{の近傍における}

M

^の形状と

det(dν

_q

)

の符号の関係を説明せよ

.

(6)

6

^x ^y

^平面

^R

² ^上の

²

^{次微分形式}

^ω ⁼ ^dx ^∧ ^dy

^を考える

^.

^また

^, ^R

² ^上の

^C

^∞ ^級関数 ^に対し

H , R

² ^{上のベクトル場}

X

H ^を

R

² 上のすべてのベクトル場

Y

に対して

ω(X

H

, Y ) = (dH)(Y

^が成り立つ

という条件により定める

) .

このとき

,

.

(1 )

^関数

H

^の

X

_H ^{による微分を計算せよ} 以下

. , H(x, y) = 1

2 (x

²

− y

²

)

^とする

.

(2 )

^{ベクトル場}

X

_H ^の

p = (a, b) ∈ R

² ^{を始点とする積分曲線}

c

_p

: R −→ R

^を求めよ

2

.

(3) c

p ^を

(2 )

で定まった積分曲線とし

, t ∈ R

^{を固定する}

. ϕ : R

²

−→ R

² ^を

ϕ(p) = c

p

(t), p ∈ R

によって定義される微分同相写像とする

2

.

このとき

, ϕ

^∗

ω = ω

^を示せ

.

(7)

7

^.

^ただし

,

積分路は反時計回りに向きづけられているものとする

. (1 )

^複素関数

f(z) = (z − 1)

³

(z + 3 )

^に対して

(i) 1 2πi

|z|=2

f

(z)

f (z) dz, (ii) 1 2πi

|z|=4

f

(z) f (z)

をそれぞれ計算せよ

dz .

(2 )

^一般に

f (z )

^を円周

{z : |z| = r} (r > 0 )

上に零点を持たない多項式とする ^このとき

. 1

2πi

|z|=r

f

(z) f (z)

の値は何を意味しているか

dz ,

述べよ

.

(3 )

^再び

f (z) = (z − 1)

³

(z + 3 )

^とおく

.

^円周

{z : |z| = 1 }

^から弧

{z = e

^iθ

: |θ| < ε

を除いた曲線を

} C

_ε

(0 < ε < π)

^{とするとき}

,

lim

ε→0

1 2πi

Cε

f

(z) f(z)

を計算せよ

dz

.

(8)

8

^H

^を内積

^· ^, ^·

を備えた実ヒルベルト空間とし

, x =

x, x (x ∈ H )

^とおく ^ヒルベルト空間

. H

の元の列

{x

n

}

^∞_n₌₁ ^が

x ∈ H

^{に弱収束するとは}

,

n→∞

lim x

_n

− x , y =

が任意の

0 H

の元

y

に対して成り立つことである

.

^このとき

,

. (1) { x

n

}

が

x

^{に弱収束するとき}

,

n→∞

lim (x

n

²

− x

n

− x

²

− x

²

) =

を示せ

0 .

(2) {x

n

}

が

x

^{に弱収束し}

,

^さらに _n→∞

lim x

n

= x

^{が成り立っているとき}

,

n→∞

lim x

n

− x =

を示せ

0 .

(3) l

² ^を ^∞

j=1

| a

_j

|

²

< ∞

^{を満足する実数列}

(a

_j

)

^{の全体とする}

. l

² ^は

x, y =

∞

j=1

a

j

b

j

, x = (a

j

), y = (b

j

) ∈ l

を内積として実ヒルベルト空間となることが知られている

2

. l

² ^の元の列

{x

n

で

} 0 (

^ゼロ数列

)

^{に弱収束するが}

, x

n

が

n → ∞

^のとき ^{に収束しないよう} な例を挙げよ

0 .

(9)

9

^f ^: ^R ^−→ ^R

^を

^R

^{上有界な連続関数とし}

^,

^関数列

^{u

n

}

^∞_n=₁ ^{を次で定義する：}

u

n

(x) = n 2

_∞

−∞

e

^−n|x−t|

f(t) dt, x ∈ R

このとき

.

, .

(1) u

n ^{は次の微分方程式の}

R

上有界な解であることを証明せよ

.

(∗) 1

n

²

d

²

u

dx

²

− u + f = 0.

(2 )

^{微分方程式}

( ∗)

^{の一般解を求めよ}

.

^また

, ( ∗)

^の

R

^{上有界な解は}

u

^{に限ること} を証明せよ

n

.

(3 )

^関数列

{ u

_n

}

^∞n=₁ は

n → ∞

^のとき

, R

^上でに広義一様収束することを証明せよ

f

.

(10)

10 ^P ^{(x) = (x} ⁻ ^α

1

)(x − α

₂

)(x − α

₃

) (α

₁

< α

₂

< α

₃

)

^に対し

,

^{微分方程式}

d

dt x(t) = P (x(t)

の解

)

x(t )

^で

, x(0) = x

0 ^{なるものを考える}

.

ただし

, α

1

< x

0

< α

2

,

または

α

2

< x

0

< α

であるとする

3

.

このとき

,

. (1 )

^{ある有限な時刻}

t

0 ^において

, lim

t→t0

x(t )

^は

α

1

, α

2

, α

のいずれにもならないことを示せ

3

.

(2 )

^解

x(t )

^は

R

上全体で定義されることを示せ

. (3 )

^極限値

lim

t→−∞

x(t )

^と

lim

t→∞

x(t )

^を求めよ

.

(11)

11

平面

^R

² ^{を部分集合}

^I

n

= R × [n, n + 1) (n ∈ Z )

^によって

R

²

=

n∈Z

I

n

(

ただし

I

m

∩ I

n

= ∅ (m = n)

と分割する

)

.

ここで

Z

は整数全体の集合である

. {I

n

}

n_∈Z を含む最小の

σ-

加法族を

F

とする

1

.

ここで

,

^集合

X

^{の部分集合族}

F

^が

σ -

^{加法族であるとは}

,

^次の ^{条件を満足} することである：

3 (i) ∅ ∈ F ,

(ii) A ∈ F

^ならば

A

^c

∈ F (

^ただし

, A

^c ^は

A

^の

X

^{における補集合を表す}

), (iii) { A

j

}

^∞j=1

⊂ F

^ならば ^∞

j=1

A

j

∈ F

このとき

.

, .

(1) R

² ^{の部分集合}

B

^に対し

,

次が同値であることを示せ

. (a) B ∈ F

1

.

(b) Z

^{のある部分集合}

S

^があって

, B =

n∈S

I

n ^{と表される}

.

(2) (R

²

, F

1

)

を一つの可測空間とみたとき

, R

上の可測関数はどのような関数であ

るか

2

なるべく具体的に述べよ

, .

(3) I

k

= [k, k + 1) × R (k ∈ Z )

^とおき

,

I

k

k∈ を含む最小の

Z

σ-

加法族を

F

^とす

る

2

.

また

, J

_ik

= [i, i + 1) × [k, k + 1) (i, k ∈ Z )

^とおき

, { J

_ik

}

i,k∈_Z を含む最小の

σ-

加法族を

G

^とする

.

^このとき

, G

^は

F

1

∪ F

2 ^{を含む最小の}

σ

^{加法族であるこ} とを示せ

-

（２００２年１月１２日）（以上）

.

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