非線形弾性平面骨組のコンプライアンス制約条件下の最小コスト設計と最大ひずみ制御法

【論　

．

文】 UDC ：624

．

02 ；624

．

04 日本建築学会構造系論文報告簗 第 362 号

・

昭和 61 年 4 月

非

線 形弾性平

面 骨 組

の

コ

ン

プ

ラ

イ

ア

ン ス

制 約 条 件 下

の

　　　　　　　

最小

コ

ス

ト

設

計

と

_最

大

ひ

ず

み

制 御 法

正 会 員 正 会 員

中

竹

村 　 　恒

脇

善

＊

出

＊ ＊ 　§

1

序

　

建 築 骨組の力 学 的 性 能に は

，

骨組全体の塑 性 崩 壊 や 座 屈に対す る荷重 係 数， あるい は

1

次 固有周期， コ ンプラ イアンス とい っ た システム全 体と し ての性能， 部 分 的な 塑性 崩 壊や座屈に対す る荷重係数の _タう なサ ブアセ ン プ レ

ー

ジ性能， あるいは部 材の 全 塑性モ

ー

メ ン ト， 座 屈 荷 重の よう な部 材 性 能が あ る。 通常の設 計では， 初 期の段 階で初 期 設 計の概 算値を得る た めに システム全 体と して の_性能の検 討が行わ れ

，

最終 的に_層間相 対 変 位

，

部 材 塑 性率

，

材 端 縁 応 力の よ うな局所応答量に関 する検 討が行 わ れる場 合が多い。

　

最 適 設 計 問 題に おいて も， シ ス テ ム性 能を制 約 条件と して扱う場合と， 局所 応 答 量 を制 約 条 件と して扱 う場合 が あ る。 ま た

，

その両 者 を同 時に制 約 条件と して扱う場 合 もあ る。 シス テム性能 を制約 条 件とした問題につ い て は

，

そ の シス テム性 能に関 する最 小 原 理が存在す れば，

　　　　　　　　　し

最適性 条件が 導か れ るこ とがW

．Prager

　et　al

．

に よっ て示さ れ たILI） 。 その最適 性 条 件を用い た解 析的 な アプ ロ

ー

チの 主要な成 果は_， Pragerの 著 書s）_{に示さ れて い} る

。一

方， 局 所 応 答 量に関 する制約条件下の最適 設 計 問 題は

，一

般に数理計 画 法 を用い て数 値 的に解か れ て き て いる4） 。 解析的な アプロ

ー

_{チと数 値 的な アブロ}

ー

_チ には_， そ れ ぞ れ長 所 短 所が存 在す る が

，

その_要点は中 村の著 書5｝_{に ま と め られ て い る} 。

　

中村ら は， ある最 適 設 計 問 題に対す る最適性条件が導 か れ ると， そ れ ら は幾 何 学的な規則性をもつ 建 築ラ

ー

_メ ンに_対する最 適 設 計 解の正解の閉 形表現 を導く の に有 用 である ことを示し た。 実 際に

．

多層多スパ ンラ

ー

_{メ ン の} 塑 性 崩 壊 荷重係 数制 約条件下7LS）

，

お よ びコ ンプラ イア ンス_{制 約}条 件 下の最小 重 量 設 計 問題につ い ては

，

閉形 解 が導かれ て い る

。

こ の誘 導 過 程は

，

中村の著 書G♪_に 詳 述 さ れ てい る。

　

静 的荷 重 下にお け る線形弾性 構 造 物の コ ンプライア ン ス は

，

構造 物 が変形 す る際に荷 重が なす仮 想 仕事と して 本 研 究の梗 概は文 献14）で発 表し た

。

串 _{京 都 大 学　教 授}

・

Ph

．

　D

．

，

工博 i

＊

京 都大 学 　 助 手

・

工修 　 （昭和 60 年 6 月 28 日原稿 受理） 定 義さ れ て きて い るZ）

・

3）

_。

線形 弾 性 構 造 物の コ ンプライ アン スは

，

構造物内 部に貯え られ る ひずみエ _ネルギ

ー

と 関係づ け ら れる だけで な く， 構 造 物 全 体の柔性あるいは 剛性の

一

つ の_指標と も解釈さ れ る

。

非線形弾性構造物の コンプライアン ス も同 様に仮 想 仕事 とし て定義され， 構 造 物 全 体の ひずみエ _ネルギ

ー

と直 接関係づ け られ る が

，

その非 線 形 性に起 因し て_， 構 造 物 全 体の い か な る接 線 剛 性 を も表して いない。 し か しなが ら

，

非 線 形 変形の過 程 に お ける全ひずみエ _ネルギ

ー

は

，

平 均 剛 性の

一

つ の指 標 とし て の み な らず， 平 均ひずみ レベル の指 標とし て も重 要な量である。 　線 形 弾 性ば りお よ び骨 組の コ ンプライア ン ス_{制約 条件} 下の_最小 重 量 設 計 問題 は

，

こ れ まで にW

．

Prager

，

　

J

．

E ．Taylor1

）

_，

_W

_．

_Prager

_，



C ．

_Y

_．



Sheugl

，　

N ．

　

C ．

　

Huangio

〕 ，

EJ ，

　

Haugli

）に よっ て扱わ れて きて いる

。

ま た最近

，

線 形 弾 性 建 築ラ

ー

メ ン のコ ンプライアンス_{制 約 条件下}の最 小コ ス ト設 計 問 題に対 する 正解の閉 形表現が， 中村， 竹 中12｝_によ っ て導か れ た。 し か しな が ら

，

非線 形弾性構 造 物の コ ンプライア ン ス制 約 条件下の_最適設 計 問題 は ま だ 定 式 化 されてお らず

，

数 値的に も解析的にもそ の解は得 ら れ て いない。 その理由の

一

つ は

，

解 析 的な アプロ

ー

_チ におい て は

，

前 述の Prage【_らの

一

般 的な手 法を 現実 的 な応 カ

ー

ひずみ関係式に従う材料で構 成さ れ る非 線 形 弾 性 構 造 物に直 接拡張す るこ と が 困難で あるとい うことで あ る

。

ま た

，

数 値的アプロ

ー

チに お い て は

，

材 料 非 線 形 性に起 因し て数値 計算量が増 大す る た め， あ まり関 心が 示さ れ な かっ た もの と思わ れ る

。

　

非線形弾 性骨組の コ ン プライア ン ス制 約 条 件 下の最小 コ ス ト設計 解は， 理 論 的な意義の みな らず 次の よ うな実 用 上の意 義 ももっ て いる

。

す な わ ち， 載 荷 経 路に おい て 除 荷が 生 じな け れば

，

その理 論は同じ処 女 応 カ

ー

ひずみ 関 係 式に_従う材料で構 成さ れ る非 弾 性 骨 組に対す る理論 と も み な せ るの である

。

また

，

閉形 表 現で解が得ら れ る と， そ れ ら は骨 組の設 計 荷 重 下に お け る 塑性ひずみ 分布 およ びエ _ネル ギ

ー

吸 収量 を制 御す る際に_， 有 用 な手 段 を 提 供する

。

　建築 基 準 法の

2

_次設計では， 必要 保 有 水 平 耐 力 を評 価 す る際に_， 構 造 物の変 形 能 力を考 慮し た構 造 特 性 係数 と

一

₂₆

一

い う概 念が導入 さ れ

，

設 計 荷 重を低 減さ せ て い る

。

し か し な が ら

，

実 際に設 計 され た構 造 物 が， その設計荷重の 下で構 造 特 性 係 数 を求め る際に指 定し た塑性率と 同 じ 塑 性 率の応 答 を 呈するとは_限ら ない_。 よ り合理的かつ _経済 的な設 計 を行うに は， 設 計 者が指 定し た 塑性 率に対して 設 計 荷 重が求ま り

，

同時にその設計荷重の下で最初に指 定し た塑 性 率 応 答を示す設 計が設 計 公 式によっ て直接導 か れ ること が望 ま しい。 　 本 論におい て は

，

部 材ご とに

一

様なサン ドウィッチ断 面を もつ _{非 線 形 弾 性 骨 組}の最 小コ ス ト設 計 理 論 を提 示す る。 そ し て

，1

項べ き関 数 型の非 線 形 弾 性 応 カ

ー

ひずみ 関係 式に従う材料で構 成さ れ る骨 組に対 し て は

，

大 域 最 適 性の必 要 十 分 条件が導か れ ること を示す。 また， 無 限 均等ラ

ー

メン中の部 分 骨 組につ い て

，

柱 軸 方 向力の効 果 も考慮して_{最 小}コ ス ト設計解の閉 形表現 を導く

。

1項べ き関数 型の_構成 法則は

，

後で述べ る意 味の近 似 構 成 式で は あ る が， 全域に わ たり

一

つ の型で表 現で きる応 カ

ー

ひ ずみ関 係 式 を採用 す る と

，

弾塑性 境 界の よ う な量を扱わ な く て す む とい う利点も あ る

。

　

本 論で は論理展 開の簡 潔な表 現の ために

，

サン _ド ウィ ッチ断 面 部 材につ い ての _{定式 化}を示し た

。

中 実 断 面 部 材で構 成さ れ る 骨 組 につ い て は

，

縁ひずみ分 布を主 要 なパ _ラメタ

ー

と し て扱い_{， 材軸}に直交す る方 向の積 分 も 同 時に考 慮する ことによ り

，

サン ドウィッ チ断 面 部 材を 用い た本理論を中 実 断面 部材で構 成 さ れ る骨組の理論へ と 直 接 拡 張す ること も可 能で あ る

。

そ の

拡

張につ い ては 別 途 発 表 を予 定し ている

。

　§

2

　最小コ ス ト設 計 問 題 　図

一1

に示す ような無 限 均 等ラ

ー

メ ン中の_部分骨組を 対 象 とす る。 そ の部分 骨 組の部 材 中 心 線 寸 法

，

お よびは りと柱の接 合 部に作用す る_{設 計 用 水 平 荷 重 劫}

，

鉛 直 荷 重

V

，は前もっ て指定さ れて い るもの と する

。

部分 骨組 を構 成す る各 部 材は， 垂直応 力のみ を支 持 する 2枚の薄 い フ ラ ン ジと， 垂 直応 力 を支持し ない せん断 抵 抗コ ア か ら な る図

一

2の よ うな

一

_様な 理想 化 サン _ドウィッチ断 面 をもつ _もの とする。 第

j

層 柱の 2枚の フ ランジ 間 距 離 は2d ω で前 もっ て指 定 されて い る

。

また， は りの フ ラ ン ジ間 距 離は_， 上 層ば り _（第

h

_層上ば り_以上）につ い て は

2

　

dBU

， 下 層 ばり （第

k

層 下 ばり以 下）につ い ては 2d 肌 で表 示され， 前 もっ て指定さ れてい る。 な おこ こ で は_， は り の フ ランジ間距 離と して_{上 層， 下 層}で各々

一

定の場 合 を扱 うが

，

第

k

層に お いて提 示す る手法 をほ かの層におい て適 用 することにより

，

は りの フ ラン ジ間 距 離が特 定 層ご とに変 化する場 合 も 同様に_扱うこと がで き る。 　 各部材のフランジ は

，

次の よ う な1項べ _{き関 数 型}の構 成 法則に従う非 線 形 弾 性 体で構 成さ れ て い るもの と す る （図

一3

）Q

謡

1

畜

1

冗

一

1 　　 　　（n＞1 ＞

………

（1） n は_{， 鋼材}の_{応 カ}

ー

ひずみ関 係における降 伏 棚お よびひ ずみ硬 化 域の形状を考慮し て決 定さ れ る

。

（1 ＞式で定 義さ れ る非 線形弾性 体 は

，

文献13）に お け る_最小ポテ ン シ ャ ルエ _ネル ギ

ー

の_原理 が成立す る安 定な材 料の

一

つで ある。 現 実の 材料の多く は

，Ramberg −

Osgood

式の 第 1項や図

一

3の破 線で 示 さ れ る よ う な初 期 線 形 弾 性 域を もつ が ， 最 適 設 計さ れ た骨組の材 端 近 傍の フランジひず み が

，

設 計 荷 重の作 用 下で

5

εrあ るいは そ れ以上のオ

ー

ダ

ー

値を呈する よ う な問 題におい て は

，

（1） 式はよい 近似を与える

。

すな わち， その よ う な場 合に は， 変 形が 材 端 近 傍に集 中し，その部分の応 力

，

ひずみ状 態が

，

（1） 式の構 成 法 則と現 実の_{構 成 法 則}の _{形 状}が類似 し て い る部 分 （図

一

3参 照 ）に_{存 在}すること を考慮 すれ ば

，

材 端 カ

ー

_{材 端 変 位の レ}ベ ル で は_{， （1 ）}式の_{構成 法 則}に従 う骨 組は

，

現 実の骨 組の か なり よい近 似 を 与 える とい え る。 変形 後の無 限 均 等ラ

ー

メ ン中の_部分骨組は

，

その構 造の 左 右 対 称 性と水 平 荷 重の逆 対 称 性よ り

，

鉛 直荷重によ る 柱の_{軸 方 向縮}みが生じ た後に は りの両 端 をロ

ー

ラ

ー

支 持 し た ものと もみなせ る

。

通 常の骨組で は， 鉛 直 荷 重が先 に載荷さ れ

，

そ れによっ て生じ る柱の垂直応力が

0．1一

　 f 「 h △ 耳 h 幽 　 1 冨

・

h ム HflVr

一

一

一

Hj

ぬ

一

一

一

一

H1v1

一

冖

一

一・

一

一

一一

R

＿＿ ，

．1 図

一

1　設 計用 荷重

A7

Ai

互

図

一

2

CORE

TII

銅

l

ー

ユ 理想化サン ド ウィッチ断面 σ σ

_〉

．

’₁ ’1

一

_ε

_…

　

　

’ 0

　

　

，

　

卩

　

　

「

　

「

鞠

c 1’

一

_σ

Y

図

一

31 項べ _{き関 数 型 応 カ}

ー

_{ひずみ関 係} 　 　 　曲線 （実 線）と線 形弾性 域をもつ 　 　 　 材 料の応 カ

ー

ひずみ関 係 曲 線 （破 線 ｝

一

₂₇

一

x8f FLANGE

　

2

蓐

1 図

一

4 座標系とフ ラ ンジ番 号

0．

3σ．のオ

ー

ダ

ー

に収ま り， その後に水平荷 重が載 荷さ れ ること を考慮す れば

，

（

1

）式の非 線 形 弾 性 体で構 成 さ れ る骨 組の呈 す る両設計 荷 重 載 荷 後の変 形 状 態は

，

現 実の_{非 線 形弾}塑性体で_構成され る骨 組の呈する変 形状態 のか な り よい近 似 を 与えるものと 考え ら れる

。

　砺

，AC

」 は各々第 ゴ層の は り と柱の断 面 積 を表 す

。

ま た

，

‘，

h

，は スパ ン長と第 ノ層 階 高を表し， β， ， βc は は り と柱に各々共 通の コス ト係 数 を表 す。 こ こ で は設 計 変数は断 面 積 集 合A7

＝

lIABj

｝’ ；レAcjM である

。

（　 〉τは転 置を表す

。

層 数 を

f

と すれ ば評 価 関 数は次の よ うに_定 義さ れ る

。

　 　 　 ノ　 　 　 ノ

　　　

w＝ _βaΣ

Ae

’

1

＋βcΣ

Ac

’ん∫

…・

…・

・

…・

…

：

…

（2） 　 　 　 　J

＝

o 　 　　 　 　　 　 　丿

＝

1 　骨組に_作用する設 計 用 荷 重H，， 竹 の作 用 点の作 用方 向 変 位は設 計

A

に依 存 する の で

，

u，（A）

，

　 v，｛A＞と表 示 す る

。

こ の時， コ ン ブライア ン ス は次の ように定義さ れ る

。

　 　 　 ノ 　　　

C ＝

Σ］

IH

，u丿（

A

）

一

←

V

」　VJ（

A

）

1

＝

PTU

（

A

）

・

・

・

・

・

・

…

　（3） 　 　 　 ’

＝

1 こ こ で

PT ＝

_｛塒

17

；

IV

，円，　

U

（A） 「

＝

llu

丿〔A ）

1

’ ；

1V

」（A）

IT

｝で あ る。 ま た

，

ほ かの設 計 条 件によ り部 材の断 面 積 をあ る 値 以 下に し た く ない とい う 要求も生じる ため

，

こ こ で は 最 小 断 面 積 制 限を設け

，

第

j

層の は り と柱の最 小 断 面 積 制限値を

A

．

，AC

」で表す

。

さ らに， コ ンプライア ン ス の _{制 限}値 を

C

で表す

。

　最 小コ ス ト設計問題は次の よ うに述べ ら れ る

。

　 ［問 題

P

］ 　 コ ンプライアンス制 約 条 件 　　　 P 「 こ厂

G4

）≦C

・

・

・

…

　

r・

・

・

・

…

　

一・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一・

・

・

・

・

・

・

…

　（4） 　お よび最 小 断 面積制約条件

　　　 ABJ

≧

ls

」

　

U

＝

O，1

，

…

　，

∫）

・

・

…



一・

・

・

…



t・

・

・

・

・

…



_{（5a ）}

　　　

Ac

丿≧：ξcJ

　

（

j

＝

1

，

2

，

…

　

，

f

）

・

…

　

tt・

t…

　

tt・

tttt

・

…

　

（5b） 　を満た し

，

（2）式で定 義 さ れる評 価 関 数 w を最 小 化 　する断 面 積 集 合

A

’

＝

IIAs

丿｝ 

Mc

，ド｝を求めよ

。

こ こ で

U

（

A

）は

，

（1）の構 成法則に従 う 設計

A

の骨組 が荷 重 P の作 用を受け る時の解析問題の解の

一

部であ る

。

こ こ で の解 析 は

，

線 形 曲率

一

変 位 関 係 式と

，

変 形の 効果を考 慮に入 れ ないつ り_合い 式に基づ い て行う もの と

一 28 一

す る

。

また

，

部 材 座 標系の設定と は り お よび柱の フ ラン ジの番 号づ け を図

一

4の よ うに行うD1 　§3　最適性 条 件

　

大 域 最適性の 必要十 分条件を 導く

Prager

の手 法3＞_を

_，

Ramberg−Osgood

式の よ う な現 実 的な非 線 形 弾 性 構 成 法 則に従う 骨 組の最適設計問題に拡 張する ことは で き な い。 こ こで は， 構成 法 則と して （1）の 1項べ き関 数 型 表現を採 用し た時に

_，

その特 性 を利 用して _［問 題

P

］ に対す る大 域 最 適 性の必 要 十 分 条 件が導か れ得ること を 示す。

　

すべ て の制約条 件 （4）

，

（5a

，

b

）を満 足す る任意の 設 計を

A

「 ＝

1

｝

A

_． ，

ITIIA

。∫円 で表 し

，

［問 題

P

］に対す る 最 適 解を

AT →

RA

，，

IT

；

IA

，／ rl で表 す

。

こ の節で は は り と 柱を統

一

的に扱い ， は りと 柱 を表 す 下 添 字

B ，C

を取 り去 り， 部 材 番 号を表す文 字と し て ゴ（

i

＝ 1

，

2

，

…，

Zf ＋

1

）を 用いる

。

コス ト係 数につ い ても β，とする。 設計 荷重

P

に よっ て生じる第

i

部 材の両フ ランジの ひずみ 分布と応 力分布は設 計に依 存するた め

，

そ れ ぞ れ ε駅銑 ；

A

）， σ

y

〕 （x，；

A

）（ノ

；

1

，

2）と表 示す る。 ノはフランジ番 号 を表す

。

また第

i

部 材の部材長を

1

‘で表示す る

。

（4 ＞ 式の左辺の コ ンプライア ン スは

，

仮想仕事の原 理 を適 用 す ることに よ り， フランジひずみ分布を用い て次の よ う に表 現で きる。 　 　

PTU

（

A

）

　

　　

一

_冨齢

_A

_∬

・

v

）（x・・

A

）・

v

）（x：・A ）dxt

　

　

　

一

_{舗 弖}

_・、

_∬

砺 ・

4

ε望（

ぎ

1

；A》

1

附 恥 伽 　 　 　 　

・

・

………一 ・

…・

・

……・

・

……・

（6） 　最適設計

A

の骨組の_変位成 分ベ _クトル

U ＝V

（

A

）とひ ずみ分布

1

評】 （Xt）｝＝

1

ε

V

〕（Xt ；

A

）

1

レま

，

設 計 A の骨 組に対す る

一

つ の運 動 学的に_{許 容}な組である か ら

，

設 計A の骨 組に対す る最小ポテン シャルエ _ネルギ

ー

の原 理3）_{に おい} て次の よ うに用いるこ と がで きる

。

　 　 2ftl 　　　 　　　 　　　 　　　 　　　　 　　　 　

−．

　 　：rt

］

　　

Σ ん

1

，

D

‘［

lv

？ 〕 （x‘）｝］

−

PTU ≧ Σ ん‘lD ‘［

1

ε

v

〕 （x‘；A ）日 　 　 t

＝

l　 　　　 　　　　 　　　 　　　 　　　 　　　 　　　 　 t

＝

1 　　 　　　 　　　 　　 　　　 　

− P

「 こ1（ノ邑）

・

・

・

・

…

　〈 7） こ こ で D‘［

1

ε

1

’ ！（Xt _；A）

1

］は第

i

部材の部材あ た りの平 均ひ ずみエ ネルギ

ー

密 度を表し

，

次 式で_与え ら れ る

。

　 　D‘［

1

ε

1

’） （Xt；A）日

　

　

　

一

舷

∬

。

罕

1

岫

1

三屮（

詈

；A）

1

僭 恥

d

銑 　　 　　　 　　　 　　

・

…・

・

…・

…・

……・

…・

…一…・

（

8

） （

6

）式を （7）式の右 辺に代入 し

，

さ らに _{（7 ）}式の 右辺に制 約 条 件 （4）式を適 用す れ ば次 式が導か れ る

。

　

　　

署

細 ・［置 嫻

一

P ’

i7

≧

一

。

｝

1P 佃 ω

　　　　　　

≧

一

。

韋

1

万

一

_（・〉

最適設 計

A

の _骨組に仮想仕 事の原理 を適用す れば次式 が導か れ る

。

　　　

冨

如

・［

1

靴 ・）｝］

− P

・

ti

…

一

。

韋

1P 嗜 　 　 　

・

…・

……一 一 ・

・

……

（10） （9）式から （10）式 を辺々引 くと 次 式 が得ら れ る

。

　　　

客

（ん

一A

‘）

1

‘

D

‘［

iH

，， ” （Xl_）｝］・ 。

韋

1 （

b

−

_P・

O

）・ ・ 　 　 　　 　 　　 　 　 　　 　

………・

・

………・

（

11

） 　最 小 断 面 積 制約条件 （

5a ，b

）式は次の よ うに_表現で き る

。

　 　 　

1

（

A

‘

− A

，）十（

A

‘

− A

‘）｝

1

二≧

0

　　　（

i＝1

，

2

，

・

・

 

2f

十

1

） 　 　 　

…………一 一 ・

……

（

12

） また_， 制 約 条 件 （4 ）， （5a，

b

）式 を満足 す る すべ て の 設 計 A の中でA が最 小コス ト設 計である とい う条件は 次の よ うに表現でき る

。

　 　 　 tノ ＋1　 　 　 　

＿

　 　 　 Σβ‘（ん

一

ん ）

1

‘≧0

・

…・

・

…

　

…………・

・

…・

…・

（13） 　 　 　 tzl 　不 等 式 （11）

，

（12）

，

（13）は次の よ うに ベ ク トルの_内 積 を用い て表 現できる

。

　 　 　rTD ≧0

マ

r・

・

マ

P…

　

P・

・

・

・

…

　

r・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　P

呷

・

・

・

・

・

・

・

…

　_（14 ） 　 　 　r「 9t≧0　　　（

i＝

1

，

2

，

…

　

，

2ノ十1）

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（15＞ 　 　 　r「_{ゐ ≧0}

・

・

・

…

　

777

・

7『

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（

16

） こ こで

，

r

，

　

D ，

　g 、

，

　

b

は次の （4f ＋3）個の成 分か ら なる ベ _{ク トル であ る}

。

　　　

rT

＝

KA

、

− A

、）

1

，

，

…，

（A‘

−

A‘）

t

‘

，

…、

（

Av ．

i 　 　 　　 　

−

A2r． ］｝

12r

＋1

，

1

，

…

　，

1

，

…

　，

1

，　

1

ト

・

・

・

・

・

…

　（

17a

） 　 　 　 − 　 　 　 z∫＋1 　 　 　

DT ＝

ID

、［智 1_（Xl）

₀

，

…

，　

D

‘［匿

11

（x、）｝］，

…，

　 　 　　 　D2ノ ＋1［陽

．

、（x2ノ

．

Jl

］

，

O，…，

O，…，

O，

　 　 　 − 　 　 　 2 ∫＋1 　 　 　　 　（

C − P

「

u

）／（n十

1

）｝

・

…・

…………・

…・

・

（

17b

） 　 　 　g『

＝

io

，

…，

0

，

1

，

0

，

…，0，0，…，0，

（

A

，

− A

‘）

1

‘

，

　 　 　 一 一 　 　 　 2∫十1　 　 　 　　 　 　 　　 　 　 2f 十1

　　　　

0

，

…，

0

，

0｝

………・

…・

…

（17c ） 　 　 　 　 　 　 　

bT＝

協、9

…，

β己，

…

，β，！＋bO ，

…

，

0

，

…

，

0，0

｝

・

・

（

17d

） 　 　 　 − 　 　 　 2f＋1 Farkas の定 理 （線 形 計 画 法にお け る二者 択

一

の_定理） に よ れ ば

，

もし

b

がD

，

9i

，

…，

9t！

．

］の非 負 線 形 結 合に よっ て与えられるベ ク トル なら ば

，

ま た その時に限 り_不 等 式 （16）は不 等 式 （14 ＞， （15）か ら導か れ る。 も し非 負係数 が

1

／μ

，

va

，

…，

　ht．1で表さ れ る な ら ば

，

［問 題

P

］ に対す る大域最適性の必要十 分 条件は

，

最 適 設 計 A の 骨 組に お い て_{， 荷}重

P

の_下で生じ るひずみ分 布 謝 （婦 および変 位U が次 式 を満 足す ることであ る

。

　 　 　Cv

＝

b

…・

………・

…………・

…・

…・

……

（18） 　 　 　 レ≧0

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

曾

・

・

・

…

　

t−・

・

・

・

…

　

一

・

・

（19） こ こで，

G

，　 v，

0

は次の行 列お よびベ ク トルを表す

。

　 　 　

G ＝

［D

，

　9、

，…，

9、

，…，

9、t．1］

・

・

……・

…・

…・

・

（20a ） 　 　 　ジ

＝

11

／μ

，

va

，

…，

Vs

，

…，

　hr＋1｝

…・

……・

・

……

　（

20

　

b

） 　 　 　0』

10

_，

₀

_，

…，

_O

_，

…，O

_］

……・

・

・

・

・

・

…一 …・

・

…

_（20c） 　最適性 条件 （

18

）

，

（19 ）は次の よ うな内容 を 意 味 して い る

。

　 （

1

）制約条件 （4）式 が等 号で満た さ れる時

。

すな 　 　 　わ ち

PTU ＝C

の_時。

1

_{＞ 。}→

A

・〉 晒 ＝ °→

D

・［

1

詐 ， 　（Xi｝｝］ニ _β ・St

…

（21a＞ 　 μ 　 　 　

＿

　

＿

　 　 　　 　

At＝As

→ Vl≧

0

→

D

［

1

“

X

，（Xs｝｝］_≦βtSt

・

・

・

…

　 （

21

　

b

_）

　

⊥

＝

₀→ Vt

＝

_β‘→ λ‘； 万‘（i； 1

，

2

，

…，

2∫＋1）

…

（21　c） 　 μ 　（2 ）制 約 条件 （4 ）式が不等 号で_満た さ れ る時。 す 　 　 　な わち

，P

「

u

〈

C

の時

。

⊥

−

₀→ 、_{尸 β}、→

A

，

・

・

Z

，（i

−

・，2，

…

，2f ＋

1

）

…

（

21d

） 　 μ （Zl　a_）の最 適 性 条 件は

，

最 小 断 面 積 制 約 条 件が すべ て 不 等 号で満た され る場 合は_{， 「}部材あ た りの_平均ひずみ エ _ネルギ

ー

密 度 が， その部材の コス ト係数に比例し て分 配 される」こと を示して いる

。

　§4　最 小コ ス ト設 計 解の誘導 　前 節で導いた最 適 性 条 件 を 用い_{， ［}問 題

P

］に対す る 最 小コ ス ト設 計 解の閉 形 表 現 を導出す る

。

ただし

，

本論 文で は基 本 的な解を導くという目 的で_， コ _{ン プライ}ア ン ス_{制 約 条 件 （}4_）式が等 号で満 足 され_， 最 小 断 面 積 制約 条件 （

5a ，

b

）式のすべて が不 等 号で満 足 さ れる場 合 を 扱 う

。

特 定 部 材が最 小 断 面 積 制 約 条 件 を等号で満 足する 時の_解は

，

文 献12）で中村

，

竹 中が提 示し た設 計 領 域 法 の考え方を適 用して誘 導で き る が

，

そ れにつ い ては別 途 発表す る。 前 節ではコス ト係 数をβ‘と表 示し たが， 本 節では第 2節に_従い

，

_再び はりにつ い て は _β‘

＝

β8， 柱に つ い て はβ‘＝ βc と表 示す る。 な お以 下では最 小コ ス ト 設 計 解の み扱うの で_{， （ ）記号}は省略す る。 ま た

，

ひ ずみ

，

応 力の正 規 化 量 とし て次の諸 量 を定義す る

。

　 　 　e讐

1

（x。J）

＝

ε鴇（Xe、｝／ε，

，

θぎ

1

（コじ，、）＝ ε讐｝（x、，）／ε ，

，

　 　 　錫 （XBj）

＝

σ髫｝（XE_，〉／σ_，， ε唇｝（x，丿）需 σ唇｝（Xc、）／σ ，， 　 　 　　 　 　　 　 　

’

’

’

’

’

’

’

’

’

’

’

’

’

’

’

’

’

’

’

”層

”・

…

　

阜

（22a

− d

） 　最適性条 件 （

21a

）を は り に対 して書 けば次式 を得る

。

　　　

毒ズ

。

罕

1砺・ ・

ll

・ ・

i

’ （x・ 、）

ll

・_・…n

　　　　

＋

1

θ皆｝（XB丿）

1Pt

＋i［〆昂 ｝

dx

．J

；

βaSt

………・

……

（23 ＞ 第ノ層 ばり の 正規 化フ ランジひずみ分 布 をは りの正 規 化 材 端ひずみ eeJで表 現す れば次式と なる （図

一

5）

。

・騒｝（x・J）

一一

e・J

（

2XBJ

　　

l

）

n

（

・≦Xev≦

者

）

・

・

（24・_〉 ・詈｝（x・J）

一

・

fiJ

（

孥

γ （

・≦・・≦

者

）

・

・

（

24　

b

）

一 29 一

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

T

　　　　　　

　

gBiey

　　　　　

− − XBi

　　 　 　　 　

− XBi

　

　

　

・。

1

・STRESS ・D・STRIBUTI・ ・

　 　 　 　

1

　 　 　 　（b》STRAIN　D■S

「

rR■Bじ了■ON 　 　 　 　図

一

5　はり の応力分布と ひずみ分布 〔図中の破 線は

，

図

一

3の破 線で示さ れ る初期線形弾性域を もつ応 カ

ー

ひずみ関 係を採用 し た 時の

，

（a ＞と同

一

の応力分布に対 応 するフ _ランジひずみ分布 を表 す

。

）

」

i

レ

i

叫

　 　 　 　 　

一

（a）STRESS 　 DISTRIBUTION

「

’ CX61 ⊥ （

b

）

STRA

　 DISTR

一

_σ Y 　 　 T

 

西’

XC

_’α ’h’

1

⊥

　

宰

’

　

f

’

　

−

OY

　　　　　　

−

CY FしANGE 　2　　　　　　　Fl

＿

ANGE 　1 　 図丁 6　柱の応 力分布 とひずみ分 布

　　　

（

Rj− ej

）

hj

図

一7

第 ノ層 変 形 図 対 称な構造 物に逆 対称 荷 重が 作 用 してい ること よ り

，

は りの応 力 分 布は は りと柱の接 合 部に関し て点 対 称 と な る。 こ の性 質を用い て （24a

，

b

）式を （23 ）式に代入 す れば次式が得ら れ る

。

　

　

　

・。

一

｛

（n＋

_！

iliillE

（

_：

rl，

？

2）角μ

｝

鵬 ” 　　　　 ＝ ＝efi（＝ const

．

）　　　（

j

＝＝0

，

1

，

…

　

，

f

）

’

・

・

…・

・

（25） ま た

，

は り

．

のた わみ曲 線の微分方 程 式 を2回積 分する こ とに よ り

，

第

j

層 節 点の節 点 回転 角は 次の よ う に表 現で き る （図

一

7）

。

．

　

　

　

喟 ∫

去

∬毒

・・

（

_百

1

一

ξ

）

・鋤 　　　　　　

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（26 ） た だ し

， dB

∫＝

deL

（ノ＝

0，

1，… ，k −

1｝

，

d

θ，

＝d

册 σ

＝k，…、

f

）で ある

。

（26 ）式 に （

24b

）式を代入 し

，

（

25

）式 を 用い て整 理 す れば次 式を得る

。

　 　 　 　tε_reeJ 　 　 　 Iε_reB

　　　

e・

＝

2d

、、（n＋

2

） ；

2d

。，（。＋

2

｝ 　　　　　　

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（

27

） た だ し

，

dB

」＝

d

．，（

j

＝ 0

，

1

，… ，

k −

1）

，

dB

」

：

：

：

d

。u（

j

＝k，…，

f

）で あ る

。

（

27

）式よ り第

h

層 以 下 の節 点回転 角お よび第（

k

＋

1

）層 以 上の節 点 回 転 角は 各々

一

定で な け ればな ら ない

。

　 　 　

e

∫

＝e

，　　　（ノ

＝0，1，…

　

，

k−

1）

・

・

tt・

・

・

・

・

・

…

　

t・

・

（28a ） 　　　 e」＝ 6 　

．

　（ゴ

＝h’

　

’・

’

f

）

’

’

”t’

t’

”t”tt

’

t’

’

’

’

”

（28b ） 　

一

方

，

柱の正規 化フランジ応 力分 布は

，

無 次 元 化 反 曲 点 高さα 丿を用いて次の よ う に表現でき る （図

一

6）。

　

　

　

・込｝（x・・）

一

・m ’

（

XCJ ん、

一

_α 厂 P・

）

・

…一 ……

（・

9

・〉

　

　

　

・馨｝（x・・）一

一

・m ・

（

XCj

万

一

配’＋P・

）

…………

（2gb ＞

螽

鰯

鷙

皺

翻

ナ

竺

_認

1

_業

_騁

る

。

ま た

_，P

」　＝lv，

d

，，／

Q

，

h

， （勗 は第

j

層 柱 軸 方 向 力で

，

Q

，は第

j

層 層せ ん断 力）で

，

PJ は柱フ ラ ンジ応 力が 0 と な る点の_柱反曲 点位置か らの無 次元化 距 離 を表す

。

こ

鵬

覊

鷹

鸚

を

驚 揚

轍

外の_層お よ び第 h 層の柱の フ ラ ン ジ応 力が 0とな る点 が， その当 該の層の柱 内 部に存 在 する こと を意 味して い る

。

また

，

MJ は第

j

層 層モ

ー

メ ン トを降 伏 層モ

ー

メン トで無 次 元 化し た もの で

，

mj

＝

Q

，

h

」／（2Ac丿aγ

dc

∫）を 表 す。 以下で は式 表 現の簡 略 化の た め次の記 号を用いる。

　

　

　

F，（・’

，

P・）

−

SKi

−

a’＋

P

・） n・2 ＋（1

−

・’

一

ρ・） ・ ・2

．

　　　　　　　　＋（α 、＋P，

P

＋2_＋ （α厂 P，鬥

　　　

F

・（・_’，ρ淵

1−

・_・＋P ｛

r

＋1_＋

q

−

・_厂 P_・

r

＋1 　　　

F

，（aj

，

　P」）＝ （a」

−

P丿） ntl _十 （aJ十_P」） ntl

　　　

F・（a’

，

P’）

−

ai

（1

−

・・＋P） n

・

1

−

（1

−

a’

−

P・｝

・

・

1 　　　　　　　　＋（α，＋P，尸 ＋L _価

一

_P 、門

　

　

　

臨 P

州

瓦（崛 ・

參

｝

−

nf’n

＋

” 　

（

者

　

F

・（… P’）

　　　　　　　　

一

。

輩

2凡 （・・

，

P・）

｝

．

．

・

．

₃₀

− ．

1 τ くQlhl＋Ql

者

Qjhl _i

醫

_th　story

1

_÷

（Qj

．

1・ 卜1jl …

去

“

一

α、）・、・、 ＋

｝

・ 、刊・、＋1

『

α_k⊃Qkhk k

−

th　s量ory α_kQkhk

　

i

’

矛

Qk

−

1hk

．

1 ＋

妾

・ 、Q、・、 図

一8

曲 げモ

ー

メン ト分 布 （_」キh

−

1

，

h

，

　h＋1） Hl（t。・f）

、

_、

　、

　 x

」

や

」

_・

〜 ト ー

」

、 匸

』

−

　

　

　

Fe（aJ_・PJ）一

｛

F

，（αj

．

　

PJ）

爰

_｝

｝

−

nfin＋ 「）

｛

弖

「

Fs

（aJt ρ」）

　　　

　　　　

　

一

。

睾

、

FI

（・ J

！

・，）

｝

　 　 　　 　 　 　　 　 　　 　

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（30a

〜f

）

　

最 適 性 条 件 （

Z1

　a）式 を_{柱に対し て書けば次 式を得る} 。

　　　

歯

∫

 

隼

1・副

1

・

eg

（x・、）

1

・ ・i

　　　　

＋

18

易（Xc丿〕

1n

刊 ｝

dXc

’

冨

βcμ

・

・

…・

………・

・

…

（31） （29a

，

b

）式を （31）式に代入 す れば 次式 を得る

。

　　　

（。

鑑

≒

、〕鰄

・

・ Fl （・_{、，・，）}−

fi

，St

−……

《・2） ・だ・，　・ ・

−

S

〔

j

・・）で ある

．

・ た

，

（25） 式 と （・2） 式か らμ を消 去す れ ば

，

m 、が は りの共 通の正規 化 材端 ひずみ eB で次の よ うに表 現で きる

。

　

　

　

卿 一 _・ ・

【

・・・…

P

’）

農

｝

−

nfCn＋1）

・

一 …一

_（

₃₃

_）

　

柱の た わみ曲 線の微分方 程 式より次 式 を得る（図

一

7）。

　　　

・厂

e

・

一一

篇

如

∬

義

蹴

一

ξ）

　　　　　　

−

e匪｝（ん丿

一

ξ＞

ldCd

η

・

・

・

・

・

・

…

　

一・

・

・

・

・

・

・

…

　

（34 ） （1 ）式を用い て （29　a_，　

b

_{）式 を （}

34

_{）式に代入 し}

_，

_さ らに _（27 ）

_，

_（

33

_）式を用いれ ば， 層間変形角は は りの共 通の正 規化材端 ひず み eE を用い て_次の ように表 現で き る

。

R・・＝e・e・

｛

、

d

．（

島

． 、） ・

_al

」

i

／

1

n

￥

（

＋1＞

F

・

1

・，

，

・，）

1

　 　 　

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　J

…

_〔35_＞ た だし， （

le

∫＝

d

肌 （ノ

＝

1，2，

…，

　

h

−

1

）

，

　

d8

尸

dEU

（」

＝h，…

・

f

）・　・・−

S

（ノ禰 ・ あ・

．

（

35

）式よ ・

，

雕 魏 角

R

，は は りの共 通の 正規 化 材 端ひずみ es に比 例する こと が わ かる

。

　ま た柱の縮み量は_次のように表 現で き る

。

　　　

・ 广

∫ 

鹸 ，）＋・e ・

i

）　（xc，）

ldxc

，

・

・

一

岡 （1）式 を 用い て （

36

）式に （29a

，

b

）式を代入すれ ば 次 式を得る。 10 」 凵 〉 凵 」 ¢ OO 」 」 5 　 　 5040 　3020 　10　0

HORiZONTAL 　DESIGN 　FORCE

　 図

一

9 設 計 用 水 平 荷 重

　

　

　

4

・一

讐

午

IR

（・J

・

・P・）

翕

｝

−

nxcn

＋

1’ 　_F4（a_、，・

P

_、） 　　 　 　　 　 　 　　 　 　　

・

…

　

9・

・

・

・

・

・

…

　

−r9−・

・

・

・

…

　（

37

）

　

第 左層 柱の た わ み _{曲 線}の_{微 分 方 程 式 を}2_{回 積 分 し た} 式は

，

境 界 条 件の与え方に よ り （34）式 とは異な る次式 と して も表 現できる

。

　　　

・ド

巉

∫

厭

∬纛

ll

・砦

L

（ξ）

一

・騾ξ働 　 　 　 　　 　 　　 　 　 　　

・

・

………・

・

…・

…・

・

…・

（

38

） （1）式 を 用いて （

38

）式に （29a、

b

） 式 を 代入 す れば 次式とな る

。

　

　

　

・n

−

・eL

一

譱

1）（・

州 弖

瓦（・ k，Pin｝

　　　　

　　

−

t

， 、

F

・（… 、）

1

…………・

……・

（

39

＞ （27＞， （33 ＞式を （

39

）式に代 入す れば， 第

h

層の層 間 変 形 角

R

，の別表現 が次のように得ら れ る

。

・・

一

・・ε・

｛

、、

孟

． 、、・ 、

論

． 、、凡 （

副

　 　 　

…………・

……・

・

……

（40） （35）式 （

j

＝h

）と （40 ）式よ り

，

aitを決 定す る次式を得る

。

　

　

　

。

辛

，

（

1　 　 1dBU 　

d

肌

）

「

譜

嵐

凪 （ ・ 。P、・ 　 　　 　 　　 　 　 　　 　

− F5

（are

，

ρκ〉｝

・

・

…

　

一・

・

一・

・

（41） 　は りの共通の正規 化 材 端ひずみ es は

，

次の コ ン プラ イア ンス_{制約 条 件 よ り求 めら れ る}

_。

　 　

　

　 　 　ノ　 　 　 ノ

　　 C

＝ Σ

H

，u，＋Σ V｝　V」 　 　 　 　 1

＝

1　 　　 　 　　 ∫

i

聖 　 　 　 　 ノ　　　　J　　　　　　　ノ　　　　ノ 　 　　

＝

Σ H，£ R，

h

‘＋Σ 防 Σ△‘ 　 　 　 　 j

＝

L　　　 c

＝

1　　　　　　　」

；

L　　　 t

＝

1 　 　 　 　 ノ 　 　 　 ノ 　 　　

亟

Σ

Q

丿

R

」ゐ，＋Σ ハ1，△∫ 　 　 　 　 Jil 　　 　 　　 　 　　 J

”

1 　 　 　 ！

一

・・ε・

剖

Q

’

｛

、、，

孟

．、〕 ＋ dc、（

舞

＋

1

） F・（a、

，

・pD

｝

　

　

　

　

＋ 。

望

1

｛

ム

（ a_・，・

PJ

）

豊

ド

／cn

＋

t ］

Fi

（a …P・）

］

　 　　 　 　 　　 　 　　 　 　

・

・

・

・

・

…

　

一・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（42 ） た だ し

，

（42）式におい て

dei＝

d肌 （ノ

己

0

，

1

，

…，h −

1）

，

d

。、

・d

，。（

j

− h，’”，

f

）

，

　a」

一

毒

（

j

・

h

｝… ある・ ま た ・ ・は （41 ）式 よ り定ま る値 を用い る

。

　図

一8

の _曲げモ

ー

メン ト図を用い て

，

第

j

層 節点 ま わ り の節点 方 程 式 を書けば

，

は りの最 適 断 面積が次の よ う に求ま る

。

　　

　

A

・・

一

，。

毒

、，

1

（1

−

・・）

Q

… ＋・ …

QJ

・ih・・“eB

−

i ／n 　 　　 　 　 　　 　 　　 　 　

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

t−一・

・

（43 ） た だ し

，daJ

；

d

_肌 （

j

＝1，

2

、

…，

ん

一

1｝

，

　

dBi＝dBU

（丿

＝h，

…，

f

）

，

　 a」−

S

（ノ楓 餉

一

Q

・ ・

h

・・ ，

一

・ であ ・

・

　

一

方

，

柱の_{最適断面積}は（33）式よ り次の よ うに求ま る

。

　

　

　

・・一

黜

副

・・崛 ・

爰

｝

1_／cn

’

u

．

……

_（44_＞ ・

Pt

，

　a・

＝

S

（

j

・

h

）

・

ま た

，

（43）

，

（・・）式の ・… に は

，

（41 ），（42）式か ら求まる値を代入 す る もの と す る

。

　

柱の正規化材 端ひずみ eCJ は

，

（

29

　a_{）式 （}た だ しXCJ

＝0

）を （1＞式に代 入し

，

さ らに

_（

33

_）式を 用い るこ とに よ り

，

は り の正規 化材端ひずみ eB を用い て次の よ う に表 現で き る

。

　

　

　

・CJ

−

・・

IFi

（a・，・P」・

舞

｝

−

n”n’u （a・・…

……

（・・） ・ だ ・

，

・’一

ム

（掃 』

』

（・・_拭 よ り・ 柱の 正規 化 材 端 ひ_ずみ は は り の正規化材端ひずみ に比 例 すること が わ か る。

　

h な おこ こ では，一 ・・≦

弖

σ楓 ・・＋

Ph

≦・を瀧 ・ ・ 場 合を扱っ た が， 実 際の 計 算 上その 条 件が どの よ うに … ク さ れ ・ かに … 述べ・

。

場

（  ・・渦 ＝

N

∫

d

，

YQ

，

h

，を計算する こ とに よりチェ ッ クで きる

。

一

_方 ， ak ＋Pk≦1につ い て は

，

（41 ）式を満た す aiC が存 在す る か否かに よっ てチェ ッ クで き る

。

も し （41 ）式 を 満た す ah が_存在し なけ れ ば

，

（

31

｝式 か ら （32）式を導 く際に定 義さ れる Fi　_（ab

，

　pD _{等 め}表_現を変更_しな けれ ば な ら ない

。

その後の計算は

，

本論文で示し た手 順 と同 様 に して行え る

。

し か しな が ら

，

上下層の は りの フランジ 間 距

me

　

dBU，

　

d

肌 の 差や， 柱フ ラ ンジ間距

es

　d。k の は り フ ラン ジ間距離に対す る比

，

スパン長

一

階 高 比

l

／

h

，に 非 現 実 的な値を採用 しな い限り

，

ak ＋_Pit≦1を満足 す る aiC が _存在す る ・ と が確認 で き る

。

す なわち

，

・

場

（ノキ

h

）

，

ak ＋_PiC≦1を満足 す る設 計 解 領 域 と

，

そ の条 件 を満 足しない設 計 解 領 域が存

_在

する が

，

ここ では現実的 な幾 何 学 的パ ラ メ タ

ー

を採 用し た 時に対 象と な る

，

基 本 的な設 計 解 領 域の_解表現を導い た ともいえる

。

　

§

5

最 大ひずみ制 御

_法

　前 節で提 示し た設計公式はコ ン プライア ン ス制 約 条 件

一 32 −一

下の_設計 公 式であり

，

設 計公 式中の は りの正 規 化 材 端ひ ずみ eB はコ ン プライアンス制約条 件 （42 ）式か ら決 定 さ れ た。 しか し ながら， 実際の設 計においてはコ ンブラ イアンス値を指 定す る よ りも， 骨 組および 部 材の変 形 能 力を考慮して は りの正 規 化 材端ひずみ e。を指 定する方

　　　　　　　 ド

が有用 である

。

ま た， （45）式 を用い て柱の正 規 化 材 端 ひずみ eC」を 指 定 値 以 下にするよ うな eB を求め ること も可能である

。

そ の時， 指 定し た efiに対す る コンプラ イアンス値は （42）式か ら算 出でき る。 こ の意 味で

，

前 節の設 計 公 式は最 大ひ_ずみ制 御 公 式と み な すこと も で き る

。

　 §

6

設 計 例

　

4節で導い た設 計 公 式を

用

い て設計し た

10

層の骨 組 例 を示す

。

こ こ で は

，

前 節に従い eE を指 定し た時の_例 題 を示 す

。

非 制 御パラメ タ

ー

の

_．

一

_部を表

一1

に示す。 そ の他の非 制 御パ ラ メ タ

ー

は

，1＝

700 （cm _）

_，

冗

＝5．0，

σv

＝

₃

_，

_{0 （tonf／}cm2 ），　 ar／εr

＝

2100

．

　o （tonf／cmz ）

，

βs／βc ＝ 1

．

8

である

。

　設 計 用 水 平 荷 重 島 は

，

建 築基準 法の

2

_{次 設計}で定め ら れ て い る分布 形を採 用し た （図

一

9 ）

。

その_際に塑性 率 は

，

eH

＝

5

．

　Oを_{考 慮}して

5．

0

と し た

。

た だ し， こ こ で は 構 造特性係数に着目し てい る た め

，

地 域 係 数

Z

　

＝

1

．

0

，

振 動 特 性 係 数

R

，；

LO ，

形 状 係 数　

F 。

。

＝ 1

．

0と した

。

　

（43）

，

（44） 式を用い て設訃し た 骨

組

の は り と柱の断 面 積 分布を図

一10

に示す

。

図よ り

，

柱の断 面 積 分 布は 上層に向か うに従い_徐々 に減少す る滑らか な分 布とな っ て い ること が わ か る。

一・

方， は りの 断面積分布は 1

−

9 層にお

’

い ては滑ら か な 分布と なっ て いるが， 最 上 層はり ・最 下 層は り

_．

・隣 接・ ・ は り・断 面 積・

髭

とな・ て い る。

　

図

一11，

図

一12

は そ れ ぞれ

，

（35）

，

（40）

「

層

式を用い て 描い た 層 間変形角分布と水 平 変 位 分 布を表す

。

図より

，

層間変 形 角 分 布は ほ ぽ

一

様と なっ て いるこ と がわか る

。

　

図

一

13は_， （4う）

・

式を用い て描いた は り と柱の正 規 化 材 端ひずみ （た だし柱の正規 化材端ひずみ は左右フ ラン 表

一

1 非制御パラ メ タ

ー

jhj

（cm _{） dCj}（

_『

m）

qBj

（cm _）V 」（t・nf ） 10350

，

021

．

033

．

033

．

0 9350

．

021

．

033

，

030

．

0

　卩

8350

．

022

．

033

．

₀₃₀

．

0 7350

．

022

．

033

．

030

．

0 6350

．

023

．

033

．

030

．

σ

．

535D

．

023

，

D35

．

030

．

0 4350

．

0

．

24

．

035

．

030

．

0 3350

．

024

．

035

．

O30

．

0 2350

．

0

』

25

，

035

．

O30

．

0 1350

．

O25

．

O35

．

Q30

．

「

0 0 35

．

0

」 田 〉 凵 」 匡 OO 」 」

　

　

ACi

OPTIMUM 　CROSS

−

SECTIONAL　AREA （Cm2 ） 　 　 　 　図

一

10　最 適 断面 積分布 10 」 山 〉 凵 」 5 匡 OO 」 」 　O　　　　O

．

01　　 0

．

02　　　　　R

．

　 　 　 J 　　 　　ANGLE　OF 　　　　（rad）

MEMBER 　ROTATION 　OF　COLUMN

　 図

一

11　層 間変形 角 分布 ヴ の上 下 端4点の正 規 化材端ひずみ の中で最 大の もの _〉 分 布 を示す。 図より， 柱の正規 化 材 端ひずみ分布も第

6

層 （

2〜

4節に お け る第

k

層）を除い て ほぼ

一

様と なっ ていること が わ かる

。

　な お

，

es

＝

5

．

0と指 定し た時の コンプライア ンス値は （42 ）式よ り

C ＝

5034

．

5 （tonf

・

cm _）と な る。 また （41） 式か ら求め ら れ るα 6 の値は α6＝ 0

，

505742 _{で ある}

。

　 §

7

結　論

　

本 論 文に おい て次の よう な 新しい理論お よ び設 計 公 式 を提 示し た

。

　

（1） 安 定な材料法則をもつ部 材か ら構成さ れ る非 線

　　　

形弾性平面骨組に対 して

，

骨 組 全体と して の ひず

　　　

みエ _ネル ギ

ー

の

一

つ の指 標で あるコ ンプライア ン

　　　

ス を定 義し， そ れ を制 約し た最小コ ス ト設 計 問 題 　 　 　を定式 化 し た

。

　

（2＞ 最 小コ ス ト設 計 問 題に対 する_{大 域 最 適 性}の 必要 　　 　十分 条 件を最 小 ポテンシャルエ _ネル ギ

ー

の原 理 を

　　　

用いて導い た

。

_{最 小 断 面 積 制 約 条 件}が すべ て不等

　　　

号で満た さ れ る時の最 適 性 条件は， 「最 適 設 計 さ 　　 　れた骨 組に おいては

，

部 材あた り の平 均ひずみエ 一 山 〉 四 」 匡 6X ） 」 」 10 」 四 〉 凵 」 5 に OO 一 」 10 0 204060 _{（cm ）} HORIZONTAL 　DISPLACEMENT 　 図

一

12 水平 変 位 分 布 0



1



2



3



4



5



6



eBj　eCj 　 MEMBER

−

END　STRAIN

図

一

13　正 規 化材 端ひずみ分 布

　　　

ネルギ

ー

密 度が， その部 材の コ ス ト係数に比 例し 　　　て分 配 され る」こと を示してい る

，

　

（

3

） 無 限 均 等ラ

ー

メン_中の部 分 骨 組を

一

例と して取

　　　

り上 げ

，

最 適 性条件を用いて部 材の_最適断面 積の

唱

　　

閉形表現 を導 出す る 過程を示した

。

　

（4） 変形モ

ー

_{ドも 閉形 表 現}で得ら れ るた め， 指定コ

　　　

ン プラ イア ン ス値とは りの_{材 端}ひずみ が

一

対

一

で

　　　

関 係づ け ら れる こと を示し た。 その結 果

，

最大ひ

　　　

ずみを 直接 制 御す るこ と が可 能とな り_{， 本最 小}コ

　　　

ス ト設 計理論は最 大ひずみ_制御の_{理 論 と もみ な せ} 　 　 　 る。 例題で示し た よ うに_本設 計 公 式によ る と

，

最上_層と最下 層の は り の断醺 が臟 す・ は りの_{断 面 積}の

掃

と な り

，

実 務において要求さ れ る条件 を満た して いるとはい えない

。

その改 修 方 法と して

，

中村

，

竹 中の設計 領 域 法121 の考え方 を拡張する こと も 可 能であ「_る 。 　 謝 　辞

　

本 論 文の作 成に際し， 有益な指 摘 を頂い た 上谷 宏二助 教 授お よ び大 崎純 助 手 （京 都 大 学工学 部 ）に謝 意 を表す る

。

一

一

参 考 文 献

1｝W

．

Prager　and 　

J．

E

．

　 Taylor：Problems 　of　Optimal

　　Structural　Design

．

　

J．

　Appl

．

　Mech

．

35

，

102

−

106_（1968_）

．

2_｝W

．

Prager：Conditions　for　Structural　Optimality

．

　Com

−

　　puters　and 　Structures　2

，

833

−

840_（1972_＞

．

3）W

．

Prager：Introdttction　to　

Structllral

』

Optimization

．

　　Sp【i皿ger

−

Ver！ag （1974）

．

4）　0

．

E

，

　Lev ：Structural　Optirnization；Recgnt　Develop

．

　　ments 　and 　Applicatlons

．

　ASCE 〔1981）

．

） 〉

　

）

【

D

ハ

D7 ｝ 8 中 村 恒 善1建 築 骨 組の最 適 設 計

，

p

．

21

_，

22

_，

丸 善 （1980）

．

同上

，

3章お よび4章

．

R

_．

Tanabashi　and　Tsuneyoshi　Nakamura：The　Mini

・

mum 　Weight　Design　of　a　Class　of　Tall　Mttlti

−

Story

Frames 　Subjectedto　Large　Lateral　Forces

．

　 Trans

．

ArchitectUral　Ins_ヒitute　of 　Japan

，

118：10

−

18（1965｝；119 ：37

−

44（1966）

．

Tsuneyoshi　Nakamura 　and　T

，

　Nagase：

The

　Minimum

Weight　Design　of　Multi

−

Story　

Multi

−

Span　Plane　Frames

Subject　to　Reaction　Constraints　

，

J．

　Struct

．

　Mech

．

4

（3）

，

　257

−

287 _（1976_）

，

） 9 10） 11｝ 12） 13） 14｝

W

．

Prage【and 　C

．

Y

．

　Sheu ：Minimum

−

Weight　Design

with 　Piecewise

．

C6nstant

　Specific　Stiffness

．

　

J．

　Optim

．

Theory　Appl

．

2

，

179

−

186（1968）

．

N

．

C

．

　Huang ：Opti皿al　Design　of　

Elastic

　Structures　for

Maximum　Stiffness

．

　Int

．

　

J

．

　Solids　Structures　4

，689

−

700

〔1968）

．

E

．

J．

　Haug ：AUnified 　Theory　of 　Optimization

・

of　Struc

−

tures　with 　Displacement 　and　Compliance　Constraints

．

　

J．

Struct

．

　Mech

．

9_（4_）

，

415

−

437_（］981_）

．

Tsuneyoshi　

Nakamura

　and 　Y

．

　Takenaka：Optimum　De

・

sign 　 of 　Multistory　Multispan　Frames 　for　Prescribed

Elastic　Compliance

．

　J

．

　Struct

、

　Mech

．

11_（3_）

，

271

−

295 〔1983）

．

D

．

C

．

　Drucker；Variational　Principles

．

in　the　Mathema

・

tical　The6ry　of　

Plasticity

．

　Proceedings　_gf　Sympesia　in

Applied　

MathematicS

　8

，

7

−

22

，

　McGraw

−

HiU（1958）

．

中村恒善

，

竹 脇　出：非 線形 弾 性 平 面ラ

ー

メ ン の静的コ

ンプライア ン ス制 約 条 件卞の最適 設計

，

日 本 建 築 学会 大 会学 術 講 演梗 概 集 （東北）

，

1051

−

1052

，

（1982）

．

L