学業成績の評価法 利用統計を見る

学業成績の評価法

蓼沼良一

（昭和53年8月31日受理）

Estimation of School Records

RyoitiTADENUMA

      Abstract  Generally， grading of pupil’s school records was made by the simple sum of examination results for each subjects． This simple summation method is easy to calculate， but has dis− advantages that the same results in differrent subjects have same effect regardless of diMculity or importance of each subjects．  In order to remove this disadvantage it is important to adjust the original results． The purposes of this paper are following：（1）define the weighted vectors for each subjects，（2） drive simultaneous quadraic equations which require that each weighted vectors have same or specified effect on the grading of pupil’s，（3）solve the simultaneous quadraic equations by sequential iteration method． 1． まえがき 表一1成 績 表  学業成績を評価する最も簡単な方法は，各教科の成 績の総和を評点とするものである。この方法には，計 算が単純という優れた点があるので，広く使われてい る。しかし，同じ点数でも，難しい教科と易しい教科 とでは，差をつけて評価するのが自然であろう。この ような配慮が入らないという欠点がある。  評点を決めるということは，各個人に対するp個の 情報から1個の情報を定めるという問題である。この ような立場から，成分分析における主成分を用いると いうような方法などがある。ここでは，各教科の成績 に重みを掛け，これの評点に対して占める割合（有効 率）をすべて同じにすること，更に，これを拡張した 有効率を任意に指定できる方式について述べる。 2．有 効 率 対象n人に対するp教科の成績を  X＝［X1…Xp］   X1＝［Xll…Xln］t    Xp＝［Xp・…Xpnコt とする。ここにtは転置を表す。

㌶

1 2 n 1 Xl1 X12 Xln P XPI Xp2 XPn  生の成績Xを重みベクトル   w＝［ω、…ωP］t により修正した成績を   Y＝［Yi…Yp）    ＝［XIω1…XpωP］ とし，これによる評点を次のように表す。   z＝Yi＋…＋Yp   ＝＝ XIω1＋…＋XpωP

  ＝Xw

 評点zに対する成tw Yiの占める割合を求めよう。 n次元空間における任意のベクトルVのz上への射影 をvzとすれぽ，ベクトルv−vzはzと直交している から

図一1射影   zt（v−Vz）＝0 また，ベクトルv、はz上にあるから。あるスカラー 量αにより

    zz

評点ベクトルは，重みのベクトル   1＝（1…1）‘ を用いると   z＝Y1 と表せるから，有効率ベクトルhは     ltYtY   ht＝1・γ・γ『r となる。   Vz＝2α と表せる。これを直交条件に入れてαを求めれぽ     t

  α一一讐      （1）

    三

  炉讐〃．       （2）

    z2  ベクトルv、は，評点zに占めるvの成分であるか ら，vの有効分，αはその割合であるから有効率と名 付けよう。また，v−v、は評点の構成にあずからない 成分であるから，無効分と名付ける。  教科iの有効率をhiとすると成績γの有効率hは   h＝［h，…hp］t   −［多㌔…ξ≧］‘ となるから   ht＝z‘Y．      t 3．重みの計算 （3）  成績Xと重みwを与えれぽ，有効率hは（3）式で求ま るが，逆に，有効率力を与えても重みwは，一意には 定まらない。これは（3）式が成績γ，すなわち重みwの 2次同次式の比であることから明らかである。  重みwを一意に決める方法は，評点ベクトルzの長 さを1とすれぽよい。このときは   11zH2＝ぬ     ＝（Y1）e（Yl）     ＝1tYtY1 であるから，（3）式は転置すると

  h＝YY1

となる。したがって，有効率を与えて重みを求める問 題は，上の式を解いて修正した成績を求める問題に帰 着できる。  ベクトルY，の長さを1τ，方向ベクトルをyiとする と   YtYニ［y，11…yplp］t［yil1…ぬちコ     ＝［1㍉1］［il：”㌶［1’・・；，2］ ここで   C＝［錫コ，cη＝y垣」，ゴ，元＝1，…，P   l＝［1，…lp］t D（’）＝

m］

とおくと   h＝D（1）CD（1）1   ＝D（1）Cl       （4） となる。この式を解いて長さベクトル1が求まれぽ，

重みはY＝Xwの関係から

Wi

u量r‘−1・…・P  （・）

より定まる。 4．解の一意性  方程式（4）の解の存在と一意性とについてしらべよ う。   f（x）＝L）（x）Cx−h とおき，そのi成分について考えると   fτ（x＋u）  ＝（Xi十Ui）｛Ct1（Xl十U1）十…十Cip（賜十Up）｝−ht  ＝Xi（CZIXI十…十CipXp）−hz   十｛Xi＋（CilXl十…十CZpXp）｝Up＋… という近似式が成り立つ。これより，近似解Xiに対 する補正量Uiは    ＿hi−Xi（Cilx1十…十CipπP）   e4i−     Xi十（CilXl十…十CipXp） となる。これより補正した解Xit＝Xi＋Uiは    ，     Xi2十hi   Xi＝x、＋（CtlXl＋…＋Ci。x。） ベクトルの形で表せば   u＝・1）（x十Cx）−i（h−D（x）Cx）   xl＝D（x十Cx）『1（D（x）・x十h）         （6）  以上の計算ができるための条件について述べてお く。有効率を0とする教科は，初めから除いておけぽ，

有効率は正であると仮定しても一般性は失わない。有 効率が0でないから，Xi＝0となることはない。した がってXiも正であるとしてよい。  行列Cは成績ベクトル間の余弦行列である。成績は すべて正あるいは0とし，負の点数をつけることはな いとすれぽ，   0＜Ci」≦1， Cii＝1， i，」＝1，…，p が成り立つ。これよりD（x＋Cx）−1の存在が示され よう。

 写像qを

  ψ（∋＝D（x十Cの一1（D（x）x十の とおくと，f（x）＝0の解は， qの不動点になる。実際 に，qの不動点をxとすれぽ   ［q（りじ）＝x］≡［D（x十Cx）−1（D（x）x十の＝x］       ≡［C（x）x十h＝D（x十Cx）x］       ≡［D（x）x十h＝D（x）x十D（Cx）x］       ≡［hニD（Cx）x］       ≡［h＝D（x）Cx］ より明らかである。  閉領域において連続な写像は，その領域内に不動点 をもつことが証明されている。しかし，ただ1つとは 限らないが，更にLipschitzの条件を満たすならば， ただ1つになることも証明されている。以下では，写 像goがこれらの条件を満たすことを証明する。  連続な写像opは，閉領域   K＝AP， A＝｛xla≦x≦b｝ においてLipschitzの条件を満たし，   ψ：AP→AP であることを証明しよう。ここに，a， bは定数であ る。  この結果，写像Ptut閉領域K内に，唯一の不動点を b Xj 0  α 図一2写像q b Xi もつことになり，解の存在と一意1生とが証明される。 〔Lipschitzの条件〕  写像q（X）のi成分を

  ・・ω一欝；戸一恩鋼

    ＝ψz（Xi） とおけぽ   qz（x）−qi（y）＝ψz（Xi）一ψ乞（Zli）         一∫似耐（1−t）・・）（x・−yi）dt   gbi’（x）−2（モ謡ヂ） となる。       2（η乞2十4h，）   iPi’t（x）＝        一＞0        （2x十η￠）3 であるからψ乞’（x）は単調増大関数である。よって   ψ・’ω＜† よって   1ψ・ω一qt（y）1≦†1・ry・1 いま，ベクトルxに対し   ixl；maxl副

    i

と定義すれぽ，   1ψω一q（y）1≦†1・−yl かくして，Lipschitzの条件を満たすことができた。 〔閉領域〕  つぎに，写像qに対し   ［x∈AP］⇒［q（x）∈Aρ］， A＝｛xla≦x≦b｝ となる常tw a， bの存在を証明する。   U＝max（hi）， V＝min（ん）     i      i とおくとx∈APにおいて   ηFΣc晒ゴ≦qb，9＝カー1     」キゴ であるから

  ψ・ω一巖争≧麓；

範囲a≦Xi≦bにおいては    X・2＋V＞uq”b2＋V−qb

  2xτ十qb＝＝2

であるから   ［㎡・2b2乎一・b≧司⇒［ψ・ω≧・］ あるいは       〕   ［2≦÷・蠕ト［ψτ（Xi．）≧a］  また，ηzの下限を求めると

  ητ＝Σc乞ゴ晦≧sa， s＝mjn（Σ6Z」）     i・5i i      I        ゴキ∠ であるから        Xi2十u   ψ￠（Xi）≦       2Xi十sa 右辺はa≦Xi≦bにおいて下方に凸な関数であるから Xi ・aあるいはXi＝bにおいて最大になる。したがっ て   ［a2十u      ≦b（s＋2）a］A［嘉㍑≦b］⇒［砲ω≦bコ しかるに   ［a2十u（s＋2万≦b］≡［・・＋u・≦2・b＋sab］   ［誌≦b］一［a・＋u2≦♂＋b・＋・abコ   a2＋b2≧2ab， s＜q であるから   ［ a2十u      ≦b（s＋2）a］⇒陰；≦b］ よって，   ［ a2十u（s＋2万≦b］⇒［ψ・ω≦bコ かくして，次の条件を満たすca， bの存在を示せばよ いことになる。    1．u＋α2〈旦く旦．≡互

  s十2 a2 ＝a＝q a2

 ここで，u＝levとおき，不等式が成り立つ条件を求 あれぽ   ［、↓2・字≦÷・”芸］ ≡［a2≦；㌫㌢司 であるから     u 2十s        （7）   1≦一≦     v   q  この条件が満たされているとき   a2＝2＋s−”ち     2十s十q   b   l  u十a2   ゐ十1

  a 2＋s a2 2＋s−kq

とすれば   b2−（     （k＋1）22十s十9）（2十s−leq）v としてa，bの存在が証明できた。

5．数値解法

 長さベクトル1に関するp元連立2次方程式（4）の数 値解法として，最大傾斜法によってみた。残差ベクト ルrと，その長さの自乗φを   r＝D（1）Cl−h   φ＝〆プ とおく。いま，近似解をuとし   1＝u十〃α とすると   r（1）＝r。＋71α＋グ2α2    プo＝D（u）Cu−h    71＝D（のCu十D（u）Cv    r2＝D（v）Cv   φ（1）＝φ・＋2αφ1＋α2φ，＋…    φ0＝rotro    φ1 ・＝ rotr1    φ2＝2夕。tr2＋r、tr、 となる。したがって，Cが対称行列であることより   φ1＝rot（D（v）Cu十D（u）Cv）    ＝rot（D（Cu）十Z）（u）C）v    ＝［（D（Cu）十CD（u）ro］tv  スカラーαの微小変化に対するφの変化はφ、で定 まるが，これが最大となるvは上式より   v＝（D（Cu）十C1）（u））ro         （8） となる。αの変化に対する極値は        rot〆1   α＝−      2rotr2十rltrl        llvl［2        （9）      2ro‘D（cのv十11（D（Cu）十D（〃）c）vlI2 となる。  逐次近似法では，最初の近似解を適当に選ぶと収束 が速い。計算上からは簡単な形のものが望ましい。こ こでは，最初の近似解1⑰を有効率hの方向とし   1（o）＝μ乃 とおいた。定数μは次のように決める。  この初期解1（°）に対するφの値は   φ＝11、D（h）ChlI2，Ct4−h‘［（D（h）c）t十D（h）cコ乃μ2   ＋1］h［12 となるから，これを最小にするμは   ，＿〃［（Dωc）‘＋D（h）c］h   μ一 211D（h）Chll・ これに対する残差ベクトルr等は   グ＝μ21）（h）Ch−h   φ＝Ilh112−11z）（h）Chl」2μ4 となる。 6．適 用 例  有効率の効果を調べるため，実例について計算して みた。重みの計算には（6）式によるくりかえし法と，最 大傾斜法とを用いた。精度を4桁程度とすると，（6）式 の方法では6∼8回，最大傾斜法ではその半分くらい のくりかえしで収束した。

  有効率の与え方は，それ自身の値を与えるより，そ  とすれば の比を与える方が実用的である。その比率ベクトルを    ’＝乃α，h‘1＝1     r＝（rゴ・・rρ）t       表一2 電子工学実験第三

BANGO

401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 平均点 有効率 順 位

STJUN SGJUN

 3  4  5  5  2 36 36 16  8 19 29 40 34 15  8 11 19 19  8 38 43 45 41 43 14 23 17  1 17 27 27 13  7 12 25 42 26 23 30 35 30 22 38 32 33  3  4  6  7  2 36 38 16  8 19 29 40 34 15 10 12 21 20  9 37 43 45 41 44 14 25 18  1 17 27 28 13  5 11 24 42 26 23 30 35 31 22 39 32 33 生 の 成 績 1 2 3 4

_5 GOKEI

75 85 60 80 70 60 65 65 70 65 65 65 65 60 75 70 60 65 70 70 60 60 60 60 81 65 60 75 60 82 67 77 83 82 85 60 77 82 65 75 78 79 63 68 80 82 82 82 82 82 67 62 67 67 67 68 68 58 68 77 77 72 77 77 75 55 60 75 60 85 80 80 85 80 72 77 77 77 73 73 78 78 78 72 72 79 79 72 72 74 90 90 90 90 90 90 90 90 90 90 75 75 75 75 95 95 95 95 95 60 60 60 60 60 85 85 85 85 85 70 70 70 70 70 70 70 70 70 60 60 75 75 60 60 75 90 65 90 65 95 60 55 75 85 70 75 55 75 80 65 65 65 65 75 60 65 55 65 60 55 55 75 85 85 70 70 85 90 85 70 60 65 65 75 60 60 70 65 70 60 75 80 75 80 80 65 70 80 80 80 75 75 80 95 80 80 80 70 75 75 75 65 75 75 75 80 75 90 65 65 75 75 75 75 65 65 70 70 85 80 65 65 80 85 65 412 402 397 397 417 342 342 377 392 372 358 338 353 378 392 387 372 372 392 340 315 300 335 315 381 365 375 420 375 359 359 384 395 385 363 333 360 365 357 347 357 368 340 355 354 69 73 77 70 75

t

  O．190  0．201 0．212  0．191  0．205 修 正

_した成績

1 2 3 4 5

_GOKEI

16．0 18．1 12．8 17．0 14．9 12．8 13．9 13．9 14。9 13．9 13．9 13．9 13．9 12．8 16．0 14．9 12．8 13．9 14．9 14．9 12．8 12．8 12．8 12．8 17．3 13．9 12．8 16．0 12．8 17．5 14．3 16．4 17．7 17．5 18．1 12．8 16．4 17．5 13．9 16．0 16．6 16．8 13． 4 14．5 17．6 16．5 16．5 16．5 16．5 16．5 13．5 12．5 13．5 13．5 13．5 13．7 13．7 11．7 13．7 15． 5 15．5 14．5 15．5 15．5 15．1 11．1 12．1 15．1 12．1 17．1 16．1 16．1 17．1 16．1 14．5 15．5 15．5 15．5 14．7 14．7 15．7 15．7 15．7 14．5 14．5 15．9 15．9 14．5 14．5 14．9 17．2 17．2 17．2 17． 2 17．2 17．2 17．2 17．2 17．2 17．2 14．3 14．3 14． 3 14．3 18．1 18．1 18．1 18．1 18．1 11．5 11、5 11．5 11．5 11．5 16．2 16．2 16．2 16．2 16．2 13． 4 13．4 13．4 13．4 13．4 13．4 13．4 13．4 13．4 11．5 11．5 14．3 14．3 11．5 11．5 14．3 19．1 13．8 19．1 13．8 20．1 12．7 11．7 15．9 18．0 14．8 15．9 11．7 15．9 17．0 13．8 13．8 13．8 13．8 15．9 12．7 13．8 11．7 13．8 12．7 11．7 11．7 15．9 18．0 18．0 14．8 14．8 18．0 19．1 18．0 14．8 12．7 13．8 13．8 15．9 12．7 12．7 14．8 13．8 14．8 12．7 14．9 15．9 14．9 15．9 15．9 12．9 13．9 15．9 15．9 15．9 14．9 14．9 15．9 18．8 15．9 15．9 15．9 13．9 14．9 14．9 14．9 12．9 14．9 14．9 14．9 15．9 14．9 17．8 12．9 12．9 14．9 14．9 14．9 14．9 12．9 12．9 13．9 13．9 16．8 15．9 12．9 12．9 15．9 16．8 12．9 83．6 81。5 80． 4 80．4 84．6 69．1 69．1 76．3 79．5 75．2 72．6 68．4 71．6 76．6 79．3 78．2 75．1 75．2 79．3 69．1 64．0 60．9 68．0 63．9 77．2 73．7 75．9 85．2 76．0 73．1 72．9 78．2 80．5 78．4 73．9 67．5 73．2 74．2 72．6 70．5 72．5 74．8 69．0 72．1 71．9 14．9   14．9 14．8 14．8 14．9 0．200  0．200  0．200  0．200  0．200

表一3 順位変化（例1） 表一5順位変化（例3） 順位 人数 0   1   2   3   4 27  12   6   0   0 計 順位 45 人数 0   1   2   3   4 17  14   5   4   2 計 42 表一4順位変化（例2） 表一6… 有効率の員2《仰昨3） 順位 人数 0   1   2   3   4 26  16   0   0   0 計

_教科

42 有効率 国語 社会 数学 理科 音楽 技術 英語 美術 保健 2．0  1．5  2．5  2．0  1．0  1．0  2．5  1．O  LO 計 14．5 より   α＝α1＋…＋αρ となるから   D（1）Cl＝r の解より重みを求めると，⑤式の値よりα倍だけ大き くなる。 （例1） 電子工学実験第三  表一2は，45人5テーマに対する計算結果である。左 側の成績は生の点数，右側のものは有効率を同一とし たときの修正した成績である。これらの評点による順 位が第2欄で，左が生の，右が修正した評点に対応し ている。  順位の欄より，その変化と人数とをしらべると， 表一3のようになる。この結果によれば，順位1∼2番 の違いを無視すれば，有効率を同じにする効果はない といえよう。 （例2） 中学校1  表一4は，甲府のある中学校における42人9教科に対 する期末試験に適用したものである。順位の変化でみ ると，やはり，同じにする効果はないようである。 （例3） 中学校2  表一5は，例2と同じ成績表に対し，有効率を表一6 のように与えた結果である。この場合には有効率の効 果が見える。 7． あとがき  適用例において，生の成績にはいずれも有効率に差 があるが，これを同じにしてもはっきりした効果は現 われてこない。これから，従来の評点を各教科の成績 の単純和とする評価法でも，適当なものであるといえ る。  中学校の例のように，有効率を変えると順位にかな りの変動が生ずる。したがって，ある目的に適した順 位を決めようとするならぽ有効率を適当に定める必要 がある。一般化すれば，目的の順位を与えて各教科の 重みを求める問題となるが，これについては考えてい ない。  また，解の存在条件の1つに，有効率の比の上限に 関する（7）式の条件がある。これももっとゆるめられる と思うが未検討である。  本研究に際して，有益な討論を頂いた山梨大学伊藤 誠助教授，志村栄一助手，プログラム作成をした本学 学生大川昭夫，堀井 昇，内田保雄の諸君に感謝する。

参考文献

1） ブース著，宇田川，中村訳：数値計算法，コnナ社   （昭和45） 2） B．ウエンドロフ著，戸川隼人訳：理論数値解析，サ   イェンス社（昭和48） 3）森正武著：数値解析，共立出版（昭和48） 4）藤田広一著：教育情報工学概論，昭晃堂（昭和50年）