線形空間レクチャー in 釧路高専　Part2

.

...

線形空間の入門編

Part2

あけまつしんじ

j1701

大きい線形空間,

小さい線形空間

O

x

x

x

1

2

3

大きい線形空間,

小さい線形空間

よーくみてみると

,

R

3

には

_R

2

_{が埋め込まれている}

_!!

.

大事なポイント 1

大きい線形空間,

小さい線形空間

さらに

,

R

2

_,

_R

3

_は

_R-

_{線形空間だった}

_.

R

R

2

3

線形空間

線形空間

.

大事なポイント 2

..

...

R

3

_:

_{大きい線形空間}

R

2

_:

_{小さい線形空間}

大きい線形空間,

小さい線形空間

.

定義

..

...

V

は

_R-

線形空間とし

, W

⊂ V

とする

.

W

も

_R-

線形空間のとき

, W

は

V

の部分空間

(subspace)

であるという

.

線形空間

線形空間

V

W

部分空間の例

R ⊂ R

2

_,

_{R ⊂ R}

3

_も

_,

それぞれ部分空間になっている

.

R

O

R

実際証明するのは大変!!

W

⊂ V

が部分空間になっていることを示すためには

_{· · ·}

.

和, スカラー倍について閉じている

..

...

∀a, b ∈ W ⇒ a + b ∈ W.

∀a ∈ W, ∀c ∈ R ⇒ ca ∈ W.

.

8 つの代数的性質

..

和について

_{· · ·}

∃0 ∈ W s.t. ∀a ∈ W ⇒ a + 0 = 0 + a = a. (ゼロベクトル)

∀a ∈ W, ∃(−a) ∈ W s.t. a + (−a) = (−a) + a = 0. (和の逆元)

∀a, b ∈ W ⇒ a + b = b + a. (可換)

∀a, b, c ∈ W ⇒ (a + b) + c = a + (b + c). (結合法則)

スカラー倍について

_{· · ·}

実際証明するのは大変!!

実はこれで

OK!!

.

定理

..

...

V :

R-

線形空間

.

W

⊂ V

が

V

の部分空間であることと

,

以下が満たされることは同値

.

.

..

W

̸= ∅.

.

..

∀a, b ∈ W ⇒ a + b ∈ W.

.

..

∀a ∈ W, ∀c ∈ R ⇒ ca ∈ W.

.

Proof.

..

...

今日の最後の演習問題

!!

大事な補足

.

Important!!

..

...

部分空間も

_R-

線形空間なので

,

ゼロベクトルが存在

!!

∃0 ∈ W.

大事な補足

.

例題 : 次の W が

_R

3

_{の部分空間かどうかを判定せよ}

..

...

W =











x

x

1

2

x

3



 | x

1

+ 2x

2

− x

3

= 3







部分空間ではない

とすぐわかる

!!

.

Proof.

..

...0 − 2 × 0 − 0 ̸= 3

より

, 0

̸∈ W

だから

.

張る空間

V

は

R-

線形空間とする

.

.

定義

..

...

v

1

, v

2

,

· · · , v

n

∈ V

とする

.

< v

1

, v

2

,

· · · , v

n

>

def

=

{a

1

v

1

+ a

2

v

2

+

· · · + a

n

v

n

| a

1

, a

2

,

· · · , a

n

∈ R}.

と定義し

, < v

1

, v

2

,

· · · , v

n

>

を

,

v

1

, v

2

,

· · · , v

n

が張る空間

(spanning space)

と呼ぶ

.

張る空間

.

定理

..

...< v

1

, v

2

,

· · · , v

n

>

は

V

の部分空間

.

示すべきことは

3

つ

!!

.

..

< v

₁

, v

₂

,

· · · , v

_n

>

̸= ∅.

.

..

∀a, b ∈< v

₁

_{, v}

₂

_,

· · · , v

_n

_>

⇒ a + b ∈< v

₁

_{, v}

₂

_,

· · · , v

_n

_{> .}

.

..

∀c ∈ R, ∀a ∈< v

₁

_{, v}

₂

_,

· · · , v

_n

>⇒ ca ∈< v

₁

_{, v}

₂

_,

· · · , v

_n

_{> .}

張る空間

.

証明

..

...

< v

1

, v

2

,

· · · , v

n

>

̸= ∅.

0

∈< v

1

, v

2

,

· · · , v

n

>

より

, < v

1

, v

2

,

· · · , v

n

≯= ∅.

∀a, b ∈< v

1

, v

2

,

· · · , v

n

>

⇒ a + b ∈< v

1

, v

2

,

· · · , v

n

> .

a

=

a

1

v

1

+ a

2

v

2

+

· · · + a

n

v

n

b

=

b

1

v

1

+ b

2

v

2

+

· · · + b

n

v

n

(a

1

, a

2

,

· · · , a

n

, b

1

, b

2

,

· · · , b

n

∈ R)

a + b

=

(a

1

v

1

+ a

2

v

2

+

· · · + a

n

v

n

) + (b

1

v

1

+ b

2

v

2

+

· · · + b

n

v

n

)

=

(a

1

+ b

1

)v

1

+ (a

2

+ b

2

)v

2

+

· · · + (a

n

+ b

n

)v

n

∈ < v

1

, v

2

,

· · · , v

n

>

張る空間

.

証明

..

...

∀c ∈ R, ∀a ∈< v

1

, v

2

,

· · · , v

n

>

⇒ ca ∈< v

1

, v

2

,

· · · , v

n

> .

a

=

a

1

v

1

+ a

2

v

2

+

· · · + a

n

v

n

(a

1

, a

2

,

· · · , a

n

∈ R)

ca

=

c(a

1

v

1

+ a

2

v

2

+

· · · + a

n

v

n

)

和空間と共通部分

.

定義

..

...

V

を

_R-

線形空間

, W

1

, W

2

を

V

の部分空間とする

.

W

1

+ W

2

def

=

{w

1

+ w

2

| w

1

∈ W

1

, w

2

∈ W

2

}.

で定義される

W

1

+ W

2

を

, W

1

, W

2

の和空間

(sum space)

という

.

和空間と共通部分

W

1

=< e

1

>, W

2

=< e

2

> .

x

x

x

W

W

1

2

和空間と共通部分

M

2

(

R)

も

R-

線形空間だった

!!

W

1

=

⟨(

1

0

0

0

)

,

(

0

1

0

0

)⟩

W

2

=

⟨(

0

0

1

0

)

,

(

0

0

0

1

)⟩

.

W

1

+ W

2

=

{w

1

+ w

2

| w

1

∈ W

1

, w

2

∈ W

2

} .

=

{(

c

1

c

2

c

3

c

4

)

| c

1

, c

2

, c

3

, c

4

∈ R

}

= M

2

(R).

和空間と共通部分

.

命題

..

...

W

1

+ W

2

, W

1

∩ W

2

は

V

の部分空間である

.

.

Proof.

..

...

今日の最後の演習問題

!!

和空間と共通部分

.

定義

..

...

V = W

1

+ W

2

, W

1

∩ W

2

=

{0}

のとき

,

V = W

1

⊕ W

2

と書き

, V

は

W

1

, W

2

の直和空間

(direct sum space)

という

.

.

定理

..

...

V = W

1

⊕ W

2

⇐⇒ ∀v ∈ V

が

v = w

1

+ w

2

(w

1

∈ W

1

, w

2

∈ W

2

)

と一意的に表せる

.

和空間と共通部分

R

2

_{=< e}

1

>

⊕ < e

2

>,

∀x, y ∈ R

2

.

<e >

1

O

y

y

x

x

1

1

2

2

y

x

2

<e >

線形空間をつなぐもの

線形空間と線型空間の関係を調べたい

!!

.

例

..

...

R

3

_{の部分空間}

_,

V =< e

1

, e

2

>, W =< e

2

, e

3

>

<e >

<e >

<e >

<e >

軸の名前が違うだけで

,

全く同じ

_R-

線形空間

!!

線形空間をつなぐもの

この事実の鍵をにぎるのが

,

線形写像

(linear mapping)!!

∃f : V

→ W (linear isomorphism.)

∼

.

important!!

..

...

「線形写像」は「線形空間同士の関係」を明らかにする

!!

”写像”とは何だ??

数学と切っても切り離せない

,

最重要パーソン 「写像

(mapping)

」

.

.

定義

..

...

集合

X

から集合

Y

への写像

(mapping) f

とは

,

集合

X

の元に集合

Y

の

元を対応させるルールのことである

.

X

_f

_Y

”写像”とは何だ??

.

定義

..

...

「

X

から

Y

への写像

f

」というのを

,

省略して

f : X

→ Y.

と書く

.

また

, x

∈ X

を

f

で飛ばした先の元を

f (x)

と書く

.

X

_Y

x

_f(x)

f

例

:

身近なことが写像に見える

釧路高専

3D

の学生全体の集合を

3D

と置く

.

3D

の学生が

, 100

点満点の数学のテストを受けた

.

例

:

身近なことが写像に見える

.

学生に点数を対応させる規則 t

..

...

3D

の元

(

学生

)

に

,

テストの点数を対応させるルールを

t

と書く

.

t : 3D

→ {0, 1, · · · , 100}

は

, 3D

から

{0, 1, · · · , 100}

への写像といえる

!!

.

例

..

...

t(Okahisa) = 95, t(Nagamachi) = 60.

例

:

関数

is

写像

.

関数は写像

..

...

実関数

f (x)

というのは

,

f :

R → R.

とみなすことができる

.

y=f(x)

x

y

.

Let’s try

..

...

思いつく面白そうな写像を

3

つくらい挙げてみよう

!!

単射

.

定義

..

...

f : X

→ Y

が次を満たすとき

, f

は単射

(injection)

であるという

.

x

1

̸= x

2

⇒ f(x

1

)

̸= f(x

2

).

X

Y

単射

X

Y

単射

.

単射の定義

..

...

写像が単射だということを証明するときは

,

さっきの定義の対偶

f (x

1

) = f (x

2

)

⇒ x

1

= x

2

.

を単射の定義とするほうが良い

!! (

対偶は真偽が一致

)

全射

.

定義

..

...

f : X

→ Y

が全射

(surjection)

とは

,

次が満たされることである

.

∀y ∈ Y, ∃x ∈ X s.t. y = f(x)

X

_Y

全部

,

どっかから来ている

!!

全単射

.

定義

..

...

f : X

→ Y

が全単射

(bijection)

とは

,

f

が全射かつ単射であることをいう

.

X

Y

全単射

f : X

→ Y

が全単射

(bijection)

のとき

,

.

..

∀y ∈ Y

に対して

∃x ∈ X s.t. y = f(x) (f

は全射だから

)

.

..

それはただひとつに定まる

_(f

は単射だから

₎

.

定義

..

...

f

−1

: Y

→ X

を

, y

∈ Y

に対して

,

上のように定まる

x

を対応させる写像

とする

.

この

f

−1

を

, f

の逆写像

(inverse mapping)

と呼ぶ

.

.

定義

..

...

id

X

: X

→ X

を

,

∀x ∈ X, id

X

(x) = x.

を満たす写像とする

(

つまり

,

何もかえない写像

).

id

X

を

, X

の恒等写像

(identity map)

という

.

全単射

.

定義

..

...

f : X

→ Y, g : Y → Z

により

, g

◦ f : X → Z

を次のように定める

.

(g

◦ f)(x) = g(f(x)) (∀x ∈ X)

g

◦ f

を

f, g

の合成写像

(composition map)

という

.

※合成写像は順番に注意

!!

.

定理

..

f : X

→ Y

が全単射

_⇐⇒

∃g : Y → X s.t. g ◦ f = id

, f

◦ g = id

.

写像の用語

f : X

→ Y

に対して

_{· · ·}

.

定義

..

...

X

を

, f

の定義域

(domain)

と呼ぶ

.

写像の用語

A

⊂ X

に対して

_{· · ·}

.

定義

..

...

f (A)

def

=

{f(a) | a ∈ A}.

を

A

の

f

による像

(image)

と呼ぶ

.

X

Y

A

線形写像

いよいよ

,

線形代数の最も重要な鍵をにぎる「線形写像」を定義しよう

.

.

定義

..

...

V, W

を

_R-

線形空間とする

. f : V

→ W

が次を満たすとき

,

f

を

V

から

W

への線形写像

(linear mapping)

という

.

f (x + y) = f (x) + f (y). (

∀x, y ∈ V )

f (cx) = cf (x). (

∀x ∈ V, ∀c ∈ R)

とりあえず

,

いろんな線形写像を見てみよう

.

例

:

行列によるベクトルの変換

.

行列による線形写像

..

...

A

∈ M

n

(R)

とする

. f :

R

n

→ R

n

を

f (v) = Av (v

∈ R

n

).

と定義すると

, f

は線形写像

!!

これは

,

行列のベクトルへの掛け算の性質

A(v + w) = Av + Aw (v, w

∈ R

n

)

A(cv) = cAv (v

∈ R

n

_{, c}

_{∈ R).}

からすぐに証明できる

.

例

:

多項式の微分

.

多項式の微分

..

...

V =

{a

0

+ a

1

x + a

2

x

2

| a

0

, a

1

, a

2

∈ R}

とおくと

, V

は

R-

線形空間である

.

D : V

→ V

を次のように定義

.

D(a

0

+ a

1

x + a

2

x

2

) = a

1

+ 2a

2

x.

この

D

は線形写像である

.

(D

は

, 2

次の多項式の微分にほかならない

!!)

∀f, g ∈ V

とする

.

f (x)

=

a

0

+ a

1

x + a

2

x

2

g(x)

=

b

0

+ b

1

x + b

2

x

2

例

:

多項式の微分

.

..

D(f + g) = D(f ) + D(g)

D(f + g)

=

D(a

0

+ a

1

x + a

2

x

2

+ b

0

+ b

1

x + b

2

x

2

)

=

D

[

(a

0

+ b

0

) + (a

1

+ b

1

)x + (a

2

+ b

2

)x

2

]

=

(a

1

+ b

1

) + 2(a

2

+ b

2

)x

=

(a

1

+ 2a

2

x) + (b

1

+ 2b

2

x)

=

D(f ) + D(g).

.

..

D(cf ) = cD(f ) (

∀c ∈ R)

D(cf )

=

D(ca

0

+ ca

1

x + ca

2

x

2

)

=

ca

1

+ 2ca

2

x

=

c(a

1

+ 2a

2

x)

例

:

定数係数線形

2

階

ODE

の解空間の線形写像

.

定数係数線形 2 階 ODE の解空間の線形写像

..

...

d

2

y

dx

2

+ a

1

dy

dx

+ a

2

y = 0.

の解空間を

S

とする

. T : S

→ S

を次のように定める

.

T (y) =

dy

dx

.

この

T

は線形写像である

.

.

point!!

..

...

まず

,

「

T : S

→ S

が線形写像」だと示さなきゃいけないので

,

S

の元を

T

で写したらちゃんと

S

の元になるか

??

を調べなきゃいけない

.

例

:

定数係数線形

2

階

ODE

の解空間の線形写像

.

よって, 示すべきことは 3 つ.

..

...

.

..

∀y ∈ S, T (y) ∈ S.

.

..

∀y

₁

, y

₂

∈ S, T (y

₁

+ y

₂

) = T (y

₁

) + T (y

₂

).

.

..

例

:

定数係数線形

2

階

ODE

の解空間の線形写像

∀y ∈ S, T (y) ∈ S.

d

2

T (y)

dx

2

+ a

1

dT (y)

dx

+ a

2

T (y)

=

d

3

y

dx

3

+ a

1

d

2

y

dx

2

+ a

2

dy

dx

=

d

dx

(

d

2

y

dx

2

+ a

1

dy

dx

+ a

2

y

)

= 0.

よって

, T (y)

∈ S

である

.

T (y

1

+ y

2

) = T (y

1

) + T (y

2

)

T (y

1

+ y

2

)

=

d

dx

(y

1

+ y

2

)

=

dy

1

dx

+

dy

2

dx

=

T (y

1

) + T (y

2

).

例

:

定数係数線形

2

階

ODE

の解空間の線形写像

T (cy) = cT (y)

T (cy)

=

d(cy)

dx

=

c

dy

dx

=

cT (y).

よって

, T : S

→ S

は線形写像

!!