鋼柱の座屈後挙動解析

【論　 文

l

UDC ：624

．

0フ5

．

2

．

　

e14 日本建築 学 会構 造 系 論 文 報 告 集 第 387 号

・

昭 和 63 年 5月

鋼

柱

の

_{座 屈}

_{後挙 動解析}

正 会 員 正 会 員

鈴

前

木

田

弘

恒

之＊

＿

＊ ＊ 　§

1．

序 　柱の塑 性 座 屈 後の挙 動は材 料 特 性に依 存する

。

従 来よ く研究さ れ てい るの は，

Shanley

の著 名な研 究 J） を始め と し て

，

応 カ

ー

ひずみ線 図 が上に凸な材 質の柱につ いて で ある

。

鋼の 応 カ

ー

ひずみ 関 係 を

bi−linear

と仮 定すれ ば2）

・

3） ， 硬 化 係 数の大き さをい か よ うに選 択し たとし て も

，

得ら れ る鋼柱の座屈後挙動は， この類の柱に特有な 解の特性 を 逸 脱 す る もの で はない

。

　し か し， 周知の ご と く， 鋼は降伏 直後顕著な塑性流れ を示し た後に ひずみ硬 化す るの であっ て

，

む し ろ特 異な 材料特性を持つ と 言 え る

。

実用鋼 柱や鋼梁の座屈耐 力を 評 価す る に際し て， こ れ の も た ら す影 響を考察す ること が重要で あ る こ とを 認 識 し得た初 期の 研究と して

Haaijer

・

_ThUrlima

皿n4｝

，

　

Lay5

）お よ び

Lay −Galambose

｝

を 挙げ ねばな ら ない。 実 際鋼 柱の座 屈後挙動はこの特 異性 に強く影 響さ れ る． こ れ を初めて明示し得たの は加 藤

・

秋山で あ るη

_。

_{彼 等は}

Shanley

_{モ デル に よ る 思考実 験 を} 行い

，

鋼柱は降 伏に よっ て失っ た安 定性を ひずみ硬 化に よっ て回 復す ること

，

特に短柱はひずみ履 歴に強く依 存 す る応 答を経た後 安 定 性を完全に回 復す ること等を刻 明 に解 析し たの であ る。 さ らに

，

彼 等は 上記モ デル解 析を 踏ま えた第二 の研究に よっ て

，

実用に供さ れ る実鋼柱の 座屈 後 挙 動の多く を解 明し た8）

_。

_{し か し な が ら}

_，

_{彼 等が} 第二の研 究で得た短 柱に対 する解は

，

彼 等 自身の第

一

の 研 究成果に照し て満足で きるもの で はない。 履歴依存性 の強く出る 短柱に対して非 線型弾 性 解 析を適用して いる か ら である

。

国外で は，

Yanev−Gjelsvik

が鋼 twQ

−flange

柱の座屈後挙 動を解 析 して いる％ し か し彼等の _用い た 基 本 仮 定お よ び解法 は

，

先ん じて公表さ れ た 上記 加 藤

・

秋 山の第二 の研 究と細 部を除い て同

一

で あ る。 彼 等の得 た解の中に 加 藤

・

秋 山と は異なる結 果を導び く

factor

を認め ること はでき ない。 　今の_所

，

_鋼柱の挙 動の本質を探っ た研 究は上 記三研 究 に集約さ れ る

。

し た がっ て

，

実 鋼 柱の座屈後挙動につ い て は未だ解き得ていない重 要な空 白が存 在する

。

即 ち

，

零 _{筑 波 大} 学 　助 教授

・

工博 ＃ _大 林組

・

工修 　 〔昭和62年9月1日原 稿 受理〉 実 鋼 短 柱におい て も

Shanley

　

Model7

）同様に座 屈た わ みが消 滅し

，

柱は安 定 性を完全 に回復す るの か否か

，

完 全に回 復 する と し た ら そ れ に到るプロセス は如何な るも の か

，

さ ら に そ れ に対す る 理論 的 説明 は 可能か等々が不 明なの である

。

_本論の _目的は_， 上記の空 白 を埋める こと に よっ て

，

単調載 荷時に お け る実鋼柱の挙動の全相を系 統的に明ら かにす ること に あ る

。

ひずみ履歴 に依存す る 柱の_{挙 動}を 正 し く追跡すべ _く

_，

_本論で は増 分 解析を採用 す る。 し か しこれ に附随して次の解法上の問 題が派生す る

。

　 1

．

　鋼の _{塑 性 流}れ を増 分 解 析の _枠にいかに組 込む か ？ 　

2．

柱の塑性化し た部分が示す負荷

・

除荷の推移を正 　 　し く かつ _{見 通}し よ く 追 跡 し_得る_解法_{手 順 如 何}？ 　両 問 題へ の_{対 処}は先の 空白を埋め る た め に

，

即ち実鋼 短柱の挙 動を解 明す る た め に 必須で あ り

，

これ を示すこ と は本 論の副 主題で あ る。 　な お

，H

型 等 実 断 面 を 持つ _{鋼 柱}

，

_特に鋼 短 柱の_{完 全}な 履 歴 解 析は極 めて困 難である

。

解か れ る柱は

，

加 藤

・

秋 山およ び

Yanev−Gjelsvik

同 様two

−flange

断 面 柱に止ま る。 　 §

2．

解 析モデル 　 解 析モ デル を次の よ うに設 定す る。 問題は規 準 化され た無 次 元の変 数 及び定 数で記 述 される

。

その正 当 性につ い て は付 録1で詳 述 する

。

以 下 実 物 理 量は太 字 体で

，

対 応する無 次 元 量は細 字 体で表 記 する

。

　［

1

］　材 料 特 性 ：鋼は図

一

1（a＞に示す如 く降 伏 後 塑 性 流れを起こ した後に ひずみ硬 化 するとする

。

硬 化 後の 接 線 係 数は

一

定 値 E。t と する

。

鋼が降 伏し た後の除荷は 弾 性 的に行 われ ると する

。

除 荷 が 大 き くなっ た後の引 張 降 伏は考えない

。

応 力 σ

，

ひずみ ε

，

ヤン グ率E

，

硬 化 点ひ ずみ e。t及び硬 化 係 数

E

。tの 無 次 元 値σ， ε，E ， e

。

t 及 び

E 。

tを 次の よ うに定 義 する

。

　 　 　σ

＝

σ／σ，

，

ε

＝

ε／εy

，E ＝E

／

E ＝

1

，

　 　 　ε。尸 ε。ノε跏

E

。

，

＝

E

。，／

E

こ こに ati

，

　ey は各々_降伏応 力， 降伏ひずみであ る

。

（a） 図に描か れ てい る の は無 次 元 量 間の関 係である

。

　［2］ 柱の断 面 ；柱の断 面は two

−

flange型 （図

一

1（

b

＞ 参 照 ）で

，

両 flangeの 断 面 積は 等 し い と する。 各

一 61 一

（a ）

1

←

2

→

l

u

a

1

／

2

　 　 　

1

！

2

　　 （

b

）

亀 ＼

朔

O ε

（

d

）

態

，

2

　　（

e

）

皀

幽

 

ド

Fig

．

1　Two　Fla皿ged　Model　of　a　Sしeel　Column

　 o

（

c

）

flange

の断 面積を全 断 面 積

A

で除し た無 次 元 値は 1／

2

で あ る

。

こ の断 面の場 合

，

断 面 丈 （

flange

間 距 離 ）を 回転 半 径r で除し た無 次元値は 2で ある

。

　

［

3

］

　

座 標 ；柱の被 解 析 部 分は単 純 支持 中心圧 縮 柱を その対 称 面で 二分した

一

方であ る （図

一1

（c_）参 照 ）

。

柱 の 材 軸方 向 を X 軸とし

，

これ が上記の_対称 面と交わる 点を原点 と する

。g

座 標は座 屈た わみ である

。

　x と g の 無次元 殖は x

＝

》

IJ

・

x ／r

，

　y

＝

u ／r で定 義さ れ る

。

柱 長の半分 を tとすれば

，

そ の無 次元値は

　　　lTVE7 ・

t

／r

＝

1

／

葛

7

・

λ／2

・

・

…

　

t・

…

　

曾

・

・

・

・

・

…

　

一・

・

−t・

（1 ） であ る

。

こ こ に λ

＝

21／r は所 謂 細 長 比で あ る

。

　

［

4

］

　

力 学量 ：柱に作 用する軸 力P お よび 曲 げモ

ー

メ ン ト

M

の _{無 次}元 値は_， 各々 P

＝

P／ayA

，

　

M

＝

M

／ asAr で定義さ れ る

。

　

［

5

］

　

変形 ；柱の変 形は平 面 保 持 仮定に従う と す る

。

　

以上 を前提と す る と解 析モデル の支 配 方 程 式は次の 4 条 件か ら_導びか れ る （上 記 無 次 元 諸 量を （

A3

）の各 式 に代入 す る）

。

　釣 合 条 件 ：Py

・

＝

M

…・

・

…・

……・

…・

……・

………・

（2｝ こ こ に 　 　σ1十σ2 　 　 　 　σ 1

一

σ 2 　 　 　 　

・

………・

………・

・

…・

…

（3） P

＝

＝



2

　

・ M

ニ

　

2 適合条件 ・

譜

許

_φ

一一

_・

”

一

雫

一 …

（・_） 境界条件 ：y’（

0

｝

＝

y（の

＝

0

・

……・

・

・

・

・

……・

………・

（5） 構 成 式 ：σ＝ _σ（ε_）

………・

・

……・

・

…・

……・

…・

・

…・

・

（6 ） こ こ に_，σ1

，

ε、は座屈た わ み の凹側 flangeに お け る応 力

，

ひずみの無 次元量， σ2， e2 は凸 側flangeに おける そ れ ら で ある

。

_φ

，

ε。は柱の曲 率

，

平 均ひず みの そ れ ぞ れ無 次 元 量で ある _（図

一

1 （

d

）と （e_＞を参照〉

。

’

は

d

／

dx

で あ る。 　 式 （2）

〜

（6）は問題の無 次 元 変 数による表 示であっ て

，

1つ の σ（ε）と

1

に対して

P ，

y｛x｝

，

ε。（x）三者の関 係 を 定 め る 方 程 式 であ る （し たがっ て

，

当 然な が ら

，

σ

一

ε 曲 線が相 似な材 料 群に対 し て は

，

同じ 1値を持つ two

一

flange

柱の_{座 屈後挙}動は皆 同じ である8り

。

以 下

，

例え ば 「応 力 σ」とは無 次 元 応 力を指すこと と し， 特に は無 次 元で あ ることを断らな い。 　解 析に お け る荷重条件は軸力

P

の単 調 載 荷とする。 ただし

，

_単調載荷の 意 味す る所につ い て は若 干の考 察を 要 する （次 節 末尾参照）

。

　§

3

．

解析手順 　増 分 解 析を 正 し く進め る た めに は_， どの瞬 間の増 分に 対し て も

，

柱の 塑 性 化 し た各 部が負 荷

・

除 荷の いずれ の 応 答 を 示 すべ き か を定め る陽な判定 手 段 が必 要である。 そ して これ が解 法全体の_{枠 組}

，

即ち解 析 手 順 を統 制 する こ とにな る。 two

・

flange柱の場 合に は見 通 しの良い解 析 手 順 を見 出 すこと がで き る。 下に そ れを示す

。

　図

一

5は柱 内の弾 塑性 域の分布 が推 移す る過 程 を示 し た もの であ る。 これ は後述の解 析 結 果である

。

図に見る 通り，柱の ひずみ履 歴に依 存す る応 答 を追 跡する ことは

，

two

・

flange

柱の場 合に は弾 塑 性 境 界 （点で代表で き る） が

flange

上 を移 動する過 程 を追 跡する ことに他な ら な い

。

図で は柱頂部 （単 純 支 持 端 ）は概 念 的に鋼 要 素で連 結さ れて い る

。

柱 頂 部 両

flange

の応 力は等 し く従っ て 両 者は同 じひずみ履 歴 を示すか ら で ある。 か く す れば

，

two

−flange

柱は

一

方の flange基 部

A

から頂 部 を 通っ て も う

一

方の基 部

B

に至る

一

本の通 路と考え ら れ る。 弾塑 性 境界は こ の通 路を連 続 的に移 動す る_点で ある。 　圧縮 降伏と同 時に座 屈する鋼 柱は

，

片 側flange基 部 （例えばA ）か ら塑 性 化 する （図

一

5（a_{）参 照 ）。} 塑性 域 とそ れ に隣 接す る弾 性域を 分 け る境界 を塑 性 域の先 端F と呼ぶ 。 先 端

F

は先の

flange

上の通路 を前 進また は後 退 す る

。・

一

時 的に停 留す ることも ある

。

これが前 進 して 塑性域が広が るとき， 前 進 部に は降伏と塑 性 流れ が 起こ る

。flange

の応 力は座 屈 後 材 軸に沿っ て勾 配を持つか ら

．

前 進 部の ひず み は降 伏 後直ちに ε

．

_9tへ

jump

し

，

塑 性流 れ は 瞬 時に完了 する

。

従っ て塑 性 域と は ひずみ硬 化 域に他な ら な い

。

先 端Fの応 力は降 伏 値 σs （

＝

1）で あっ て

，

その 塑 性 側の ひずみ値は ε

。

t

，

弾 性 側の ひずみ値は

εy （

＝

1）になっ ており

，

ひずみ は こ こ で不 連 続で ある。

一

_方

_，

_{先 端Fが後 退し て塑 性 域が縮むときに は} ， 後 退 部 に は弾 性 除 荷 が 起こる

。

　塑 性 域が十 分 広が り， 先 端

F

が頂部を 通 っ て 凸側 flangeに及ん だ後， 凹側

flange

基部 A か ら弾性 除荷を 起こす 柱 が ある （図

一5

（c_）参 照）

。

この場合の弾塑性境 界 を 塑 性 域の終 端

F ’

と 呼 ぶ

。

終端

F ’

が

flange

上 を後 退し て塑 性 域が_縮む とき，後退部に は弾性 除 荷が起こる。

一

_{方これ が前 進す る と きには塑} 性再 負荷が起こ る。 　上 記の ごと く

，

複 数現 わ れ るで あ ろ う弾塑性 境 界の 必 ずしも単 調で な い_移動 を制御し得る_{解 法}の_枠組を作るに は_， 先 端

F

の

flange

通 路 上の位置を制御 変数と す るの が よい

。

1つ の増分解を 求 め るに際 して

，

先 端

F

の前 進 また は後 退が既 知な ら ば， その解は唯

一

で あ ること を示 すこと がで き る か ら である （付録

2

参照）。 し た がっ て

，

た と え終 端

F ’

が通 路上に現 わ れ るに して も

，

その_{位 置} は適当な試探操作によっ て確定して し まう。 しか し先 端

F

が 前 進す る か後退 す る か は分か ら ない

。

そこ で解 析手 順と し て は

，

先 ず 先端

F

の _{現 位 置}を既 知と してその後 退 解と前進解をこ の_順番で個 別に_求めてみ る 〔求 め 方は§ 5

．

で述べ る）

。

有意義な解

，

即ち履 歴 条 件に抵 触 し ない 解が得ら れ た とこ ろでこれ を当 増 分 解と す れ ば よし  か く し て 1つの_増分解と先端

F

の_新しい位 置が定 まる。 こ の_手順を

F

の_位置を更新しつ つ _{逐 次 進}め ることによっ て two

・

flange

柱の正 しい_{解 析}が行わ れ得る。

　

本法か ら得ら れ る解は通 例の _{荷 重 制 御 解}

，

_{変 位 制 御解} の_何れ で もない。 柱の ど こか が塑 性 負 荷 する解 を

，

正

lange

通 路 上 を弾塑性 境 界が徐々 に移 動 するとい う制 御 条 件をつ _けて求めて いるの である。 本 論でい う単調 載 荷と はこれ を指す。 　 §

4．

柱 断 面の力 学 量

M ，P

と変 形 量 φ

，

ε。の間の増 分 　 　　関係 　 ［

1

］　 断面に塑性流れ が発 生し ないと き 　こ の _{場 合}に は先 ず 式 （6）より 　 　 　

Oi＝E1

乙1

，

　∂1

＝EzEz・・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（7） であ る

。

こ こ に

’

は無 限 小 増 分を表す。 E，

＝d

σ，／

d

ε、

，

E2

＝

d

σ2／

d

ε2 で あ る。　

E

，

，

　

E

，の値は対 応 するflangeが 弾性域ま た は弾 性 除 荷 過 程にあ る と きにはE （

＝

1）

，

塑性 負荷過程にあ る と きにはEStである。 式 （3）

，

（4） の_{増分 関係}と式 （7 ）を連立して

d

、

，b

，

，

　

E

、 および

E

， を消 去す れ ば求め るもの を得る。 即ち 　 　 　M

＝

1）φ

一

8P

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一・

（8） 　 　　

to

＝ ＝

PIK

十s_φ

………・

…・

…・

・

………・

…・

…・

_（9_） こ こ に 　 　 　 　 　2　E_，E2 　 　 　 　E置十E2　 　 　 E2

− El

　　　

D

＝

E

、＋E、

・

κ

＝

2

・

s

＝

El

＋

E2

　 　 　 　

……・

・

…・

…・

…・

……・

…・

…・

（10） 　 ［2］　 断 面の

一

方の flangeに塑 性 流れが発 生する と

k

−

_{2 一到}

φ Z ε ε

o

−ey

＝1 51 ε ε

Fig

．

2　

Jump

　in　Cttrvatttre　and 　Central　

Strain

　

due

　to　Material

　 　 　Yielding 　 　 　 　 き 　 以 下の関 係は塑 性 域の先 端

F

が ま さに前 進しよ うとす る断 面の み に_適用さ れ る

。

図

一

2は

一

方の

flange

が降 伏 して塑 性 流れ を起 こ し， その ひずみ が ε。t へ 瞬 時に

jump

し

，

それに対 応し て _φとε。に も不 連 続が発 生する こ と を示 し た断 面の ひずみ分 布 図で ある

。

_φと ε。の不 連続 量 φ」とε」は 　 　 　φ，

＝

εJ

＝

（εs 厂 1）／2

……・

一 …・

…………・

…・

・

（11 ） で与え られ る

。

こ の断 面の _φと E。は各々式 （

11

）の不 連 続 量 を 含む有限変 化で あ る

。

こ の断面の

M

_，

P

と φs

i

。の間の 関係は

，

式 （

8

）

，

（9）で表 示さ れ る

M

と

P

に寄 与する _φとε。の変 化が実 際の 有限変化 φ

，i

。か ら 各々 の不 連続量 を 減じ た無限小変化， 即ち φ

Tdi

，，　

E

。

一

εJ で あること を用い て得 られ る

。

即 ち 　 　 　

M

＝

D

（_φ干_φ 丿）

−

sP

…・

……・

…・

…・

・

…・

…・

…

（

12

） 　 　 　

Eo＝P

／κ 十8_（φ平φ丿｝十εプ

………・

………・

…

（

13

） こ こ に複号の上記号は 凹側

flange

が降伏す る場 合

，

下 記 号 は 凸 側

flange

が降伏 す る 場合に_採るべ き関 係で あ るこ と を示す （以 下複号が現れ る と き に はこ の規 約が適 用さ れ る）。 　 §

5．

無 限 小 釣 合 増 分 解 　釣 合 式（

2

）の増 分 形

M ＝Py

＋

P9

に式 （8）又は（12） を代入 す る とこの問 題の支配 方程式を得る

。

即 ち 　 　 　

D

雪

”

十

P

宙＝

− P

_（s_十y_）

− D

_φ ∫δ（x

−

XJ）廊

・

・

…

（14） これ は塑 性 流れ が先 端

F

の現 位 置x

＝

XJ と XJ ＋

th

に挟 ま れ る狭い_区間内のみ に発 生する とし て表わ し た式であ る

。

δ（コC）はDiracの デル タ関 数で あ る。

1

酬

は増 分が 行わ れ る間に為さ れ る先 端

F

の前 進 量で あっ て

，th

＞0 の と きには凹 側

flange

上の F が前 進し

，

廊く0の とき に は 凸 側

flange

上の

F

が前進 する。 先 端F が後退 又 は停 留す る と き

，

お よ び柱全 域の塑 性 流れ が完 了し た後は

th

＝0

であ る

。

　

式 （14）は

P

（x）と s（x）が既 知な らば_シの 二_階線型 微 分 方 程 式で あ る

。

こ れ を仮 定して解の形を求める

。

先 ず方 程 式 （14）の基 本 解， 即 ち同 次 方程式 　 　 　DY

”

十PY

＝

0

………・

…・

・

…・

・

………

（15） の独 立 な2つ の解を

f

｛x｝

_，g

（x）と すれば，非同次 形 （

14

） の

一

般解は次の よ う に表わ さ れ る10） 。

一

₆₃

一

　　　

9

−

Af

・

B

_{・ ＋}

∬毒［

_{ル ）・（ξ）}

一

_ノ（ξ

剥

　　

　　

・

_［

_P

￥

＋y

・

・

ip

・・（ξ

一

・x・）

司

d

ξ

一・

一 一

（16 ） こ こ に 為

，

B

は積分定 数，　

W ＝

fg

’

₋

f

’

g

は Wronskian で あ る

。

式 （15 ）を用いれば

W

’

＝

O

．

で あること が分か る か ら

，W

はこの場合 定 値で ある

。

特に

，

　

f

，

　g と して

　　　

f

（

0

）

＝

i

，

　

f

’

（

O

｝；

o

_；

g

（

0

）

＝

O ，

　

g

ノ

（0）

＝

1

・

・

・

・

・

…

　

（17 ） な る もの を 選べ ば

W ＝

1と 簡 単になる の で以 下これ を 採 用す る。 　

f

，

g は式 （

17

）を初期 条件とす る方 程 式 （15）の _初 期 値 問題の解であ る か ら

，

数値的には容 易に定 め

_得

る。 次に

　　

　

・（x）・

∬

9i

’

s

−

1cy



_fd

ξ， ・（x）・

1

”

−

E−

1

’

〃

YY

　・

d

ξ 　 　 　

・

・

…

　

−9・

…

　

一・

J・

・

・

・

・

・

…

　

一

一

・

・

・

…

　∴

・

_（18_） を 直 接 的な数 値 積 分で定め る。 さ ら に

　　

　

・（・）・

f

。 x

［

f

（x）・（ξ）

一

∫（ξ）

9

（・）

］

_φ’・（

9

−

・・’｝・ξ

　

　

　

　

　

一

ll

，

［

，、x，，，。、，

．

，，XJ、、｛x，

］

：

鷺

当

　 　　 　 　　 　 　 　

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一…

　

t4

・

・

…

　（

19

＞ である

。

以 上の諸 関 係を用いれ ば式 （16）は

　　　　 り

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　　 　盈

＝Af

十

Bg

十P（

fG

−

Fg）十1f毒 と書け る

。A ，

　

B

を境 界 条 件 （5＞で定めると最終的に 次式を得る_。

　　　

i

ノニ

P1

¶

十_己ヒ［

1 ・

・

・

・

・

・

・

・

…

　一・

・

…

　▼

・

・

鹽

鹽

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

（20 ） こ こ に ・（x）

一

［

G

（・）

一

・（の・

F

（の・（の／∫（の

］

∫ω 　 　 　　 　

一F

（x）9〔x_）

…

（21） 　 　

u

（x）＝

H

（x）

− H

（

t

）

f

（x）／

f

（

1

） 　式 （

20

）に おいて

P

と

th

は次の ように定める

。

　 ［

1

］　 先端

F

が後 退又 は停 留す るとし たと き

，

および 　 　 　 柱全域の塑 性 流れが完了し た後

　

こ の_{場 合}に は_柱の どこ に も塑 性

流

れ は起き な い から

th

　　　　　　 ゆ

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

　

ニ0

で あ り

，

式 （

ZO

＞は

9

＝PT

に帰する

。

　P は その符 号が

f

（

1

）の そ れ に等しい任 意の微 小 数とし てよい

。

　 ［

2

］ 先端

F

が前進する と し たとき 　こ の場 合に は先端

F

の現応 力 aXX 」）は 1に等しく

，

増 分 が 行 わ れ た 後 先 端F は π

＝

XJ ＋th迄 移 動し こ こ の応 力 も 1に達する

。

し たが っ て σ

XXj

）

一

σ

KXJ

＋th）

＝

＝

　aKx，＋鋤 で あ る

。

こ れ か ら次式が導びかれる。

　　　

一

［

∂aX ・・）／∂x

］

ab− ax

・・）

…・

・

…………・

・

一

（22 ）

一

_方

_，

_{式 （3）より af}

_{− P}

_±

_Py

_{で あ る か ら}

_，

_その増 分 は

b

！

・

＝P

±

Py

±

P

シであ る

。

これ に式 （

20

｝を代入 す れ ば 　　 　∂ノ

＝

P〔1±y±PT ）±PUth

・

一 ……一 一 …

（23 ） であ る。 式 （23）を式 （22 ）に代入し て P につ い て解 けば ・

譱

藷

・ か

．．

＿

．．

．．

．

、、

4

， を得る

。

こ の場 合の増 分 解を定め るに は先端

F

の前 進量

　　　　　　 の

£ を適 当な微 小 数に固 定す る。 そ う す る と

P

は式 （24 ） の ご と くに £ に比例す る微 小数と し て確 定す る

。

これ を式 （20 ）に_代入 して

，

多の £ に比例す る解を得る

。

　上 記 ［1］

，

［

2

］ 何れの_{場 合}にも， 終端

F ’

が現わ れ る と きにはこ の位 置を試 探 操 作で_定め ること がで き る

。1

つ の試し解を求め るに際して は

，F

’

の 位 置 を適 当に仮 定して

D

（X）と S（X＞を仮に_決め

，

これ に基づ い て ［1 ］ 又は ［2］の場 合の解を求め

，

これ か ら得ら れ る

F ’

の 位 置と最 初に仮 定し た それ との整合を調べ る

。

　柱 支 点 間の縮み 2A

，

お よ び平 均圧縮ひずみ

i

は

，

得 られた盈と

E

。 （式 （9 ）又は （

13

）参照）で y と ε、を 更 新した後 次式で定め る

。

・

一

亨

→

f

。 ’

（

E・＋

i

・

’

・

）

・…

…・

一 ………

（25 ） 　§

6。

数 値 解析と そ の結 果

　

前 節に お け る増分解を数 値 的に求 める ために問 題を離 散 化す る。 柱 自体が分 割によっ て離 散 化さ れ るばか り で な く

，

増 分も 離散化 され

，

こ れ ら は無 限小な らずして微 小な有 限 変 化に な る

。

有限 増 分 解 を累 加して最 終 到達解 を 求める場合に は

，

前 節の線 型 増 分 解 析で は省 略し た二 次微小 項が誤差 と し て 累積する お そ れが ある の で

，

これ を避ける算 法が考案さ れねばな ら ない

。

した がっ て

，

数 値 計 算に際し て は前 節の解 を 基 本 として

，

これ を若 干修 正する必 要が あ る。 これ を付 録3に概 括 する。 　数 値 計 算の対 象は構 造用鋼二種か ら成る中心 圧 縮 柱の 座屈後 挙 動で あ る

。

材 料 として は

SS

　41 と

SM

　

58

を想 定する

。

鋼の材 料 定 数と し て必 要なの は ε。t とE。t二径 数である。 上 記 両材料の そ れ らを表

一

_{1に掲 げる} 。 柱の 長さ 1は

，

実 用に供せ ら れ る鋼 圧縮ブレ

ー

ス や鋼 ト ラス 構 成 部 材に多 用さ れ る 細 長 比の範 囲 を包 含 する値と して

0．

13≦ 1≦1

、

3 を対象と す る

。

解 析に 必 要なの は以 上 εSt

，

　

E 。

t

，

‘の三径 数で あ り

，

これで十 分で あ る。

　

離 散 化の肌理 と し て

，

柱の分割 数 n を100

，

軸力

P

の標 準 増 分 AP。 を1／

100

と す る （付 録3参 照 ）。 　解析 結果 を鋼 種 別に そ れ ぞれ図

一

3

，

4に示す。 各図の （a_）に は 軸 力

P

と座 屈たわみ y（O）の_{関 係}が

，

（

b

）に は軸 力 P と平 均ひずみ

i

の_{関 係}が示さ れて い る。 各 図 の

（

b

_）に は鋼の応 カ

ー

ひずみ線 図が破 線で併 記さ れ て

Table　l　 Mechanical　Preperties　of　Materials

est Est SS41　Steel SM58　Stee1 10

．

010

．

00

，

0190

．

D14

P

　

2

．

1

　　　0　 　　　 　　　

・

5　 　y

（

0

）

（a _） Axial　 CompTessien

．

Buckiing　Wave 　Amplitude　Rela

・

　 　 tiQnships

P

1．

5

1

5

　

0

　

　

　

　

　

　　

　

10

　

　

　

　

　　

　

20

　

　

　　

　

　

　

30

　

　

E

（

b

｝　Axia且Compression

−

Column　Shortening　Re且ationships

Fig

．

3　Analysed　Post

・

Buck ｝lng　Behavior　of　SS　41　columns

い る。 同 じ

1

値を持つ柱につ い て両 図を比 較す る と

，

SM

　58か ら成る柱の 方が より不安 定で あ ること が 分 か る

。

こ れ は

SM

　

58

の

E

_。tが小さい _{（降 伏}比 が高い ）か らで あ る。 同 じ細 長比 λ を持つ 柱に対 して は な お さ ら 不安定にな る （式 （1 ）参照）。 　 §

7．

鋼 柱の座 屈 後 挙 動 概 観 　上に得ら れ た数値解 析の_結果を考察する。 た だ し解 析 に際しては次の制 約が加え ら れてい る

。

　 （i） 鋼の硬 化 係 数

E 。

tは

一

定で ある

。

　 （

ii

＞ 鋼は引 張 力に よっ て降 伏し ない

。

　卞

記は上の 制 約の枠 内で の議 論で ある。 図

一

5に は 弾

・

塑性域の分布の 推移する過程が描かれて い る。 これ は前節の_解析か ら得た もの であ る

。

以下の _{考 察}に際して

，

P

◎

2

　　

0

　　　 　　　 　

・

5 　　

y

（

0

）

〔a _＞AxialCompression

・

Buckhng WaveAmphtude

Rela・

　 　 tionships

P

1．

5

　 　 ，

．

．

5

　　

0

　　　　　　　　

10

　　　　　　　

20

　　　　　　　

30

　　

ε （b）　Axial　Compression

−

Column　Shortening　Re艮ationships

Rg

．

4　Analysed　Post

．

Buckling　Behavior　of　SM　58　CDIumns これ を随 時 参 照 する

。

　［1］　

1

＜π／2な る柱の弾性座 屈荷重は_{降 伏 値}

1

を_超 え る。 この範 囲の い か な る柱 も 降伏 点 迄圧縮さ れ る と直 ち に座屈 し軸 力

P

は下 降 する

。

座屈た わ み は

一

方の flange_{基 部}A 近 傍の塑性化に よっ て発生する。 残 り全 域の応 力は降伏 点に達し た瞬 間に下降す る か ら塑 性 化す る に 至 ら ず弾 性の ま まである

。

し た がっ て塑性域の先端

F

の始 点 は 凹側

flange

の基 部A である

。

こ の後単調 載 荷を続けると， 上記の いか な る柱につ い ても先 端

F

は凹 側

flange

上 を柱 頂 部に向かっ て単 調に前 進し

，

し たがっ て塑 性 域は拡 大する （図

一

5（a_））

。

こ の _間座屈た わみ も 単 調に増える

。一

方 柱の縮み は

一

_{時 的}に_減少す るもの が あ る。 長い柱の場 合

，

軸 力の下 降に伴う縮みの弾 性 的 戻

一

₆₅

一

B

　 　

AQ

（

・

）

（

1

）

　　

（

b

）

　 　 （

c

）

Q

　　　　　口

・

lasti

・ 　 　 　 zone

（

k

＞

鬮

plasti

・

ally

［oading 　zone

澀

e

｛

asticaHy

unbading 　ZO〔e

（

d

）

（

i

）

く

コ

（

e_） （

h ）

◇

v

（

’

）

（

9

）

Fig

_．

_5　Elastic

_，

　Plastic　and　Unioading　Zone　Distributions　of　a　Buckled　CQIumn　according 　to　Typical　Stages　of 　 　 　Loading り が塑 性 変形の進行に勝 る た めで あ る

。

先 端

F

が凹側

flange

上に在る限り， 柱 頂 部 （その 応 力値は軸力 P に 等しい _）は弾 性に止ま る か ら

，

軸力

P

は降伏 値

1

を 超 え ること は ない

。

　

［

2

］ 先の制 約 （

i

）， （

ii

＞ を仮 定 すれ ば

，

座屈た わ み が無 限 大に な る と きの軸 力

P

の 極 限値は次の re

−

duced

　modulus 　

load

　

P

，である

。

　

　

　

凸

一

誰

こ こ ・

E

・

_「

i

畠

…・

・

…一

（・6・

P

・≦ ・鞴 た す桟 即

69VEI

≦

1

＜

詈

の範 囲にある柱 の座 屈後挙動は極めて単 純であ る。 これ らの柱の先 端F は

，

上記の ご とく

，

凹側

flange

上を単調に前 進 するの で あっ て， そ れが 柱 頂 部に漸 近 する に従い （図

一

_{5 （}

_j

_）） ， 座 屈変形は無 限た大き く なり

，

軸 力

P

は

P

，に漸 近する。 塑性域 は 凸 側

flange

に は及び得ず

，

し た がっ て座 屈 後 の軸 力

P

は決し て 1を上 回る こと は ない 。 座 屈後極め て脆い挙動 を示す柱 から比 較 的 安定な柱に至る迄， 実 用 圧縮 鋼材の多くは こ の範 疇に属す る

。

加 藤

・

秋 山 及び Yanev

−Gjelsvik

の非 線 型 弾 性 解9 ｝

・

9｝_{はこ の範 囲のす}べ て の柱に対し て正 しい結 果を与え る

。

先 端

F

の前 進が継 続 す る限り， 全 塑性 域の応 答は負 荷で あ り

，

し た がっ て柱 の至る所の応 力とひずみ は 応 か ひずみの処 女 曲 線 上を 動い て いるこ とにな る か ら で ある

。

　［

3

］ 図

一3

お よ び

4

の _（a_）図に示した破 線

1

。は凹 側

flange

基 部 A の応 力が降 伏 値 1を保つ _とし たときの P

−

_y（O）関 係

，

即ち 　 　 　

P

十

P ・

y（

0

）；

1

で あ る

。

こ れ は two

・

flange

柱に対す るParisの_解11 ）_{， 即}

ち柱の 基 部に塑 性 ヒ ンジ が形 成さ れ る と す る解を

P −

y（0＞関 係で表 示し た もの に他な ら ない_{。 細 長}い_柱の

P −

y（O）関 係 程 曲 線 らに近 接す る。 本解析の与え る

P −

y （

O

） 関係が曲 線

h

を 上 回る の は材 料が硬 化す る か らで あ る

。

P 一

卸  曲 線 が 曲 線 ゐに近 接 して いる と き

，

基 部

A

の応 力は 1をわずかに上 回っ て いる だ けであ り

，

し た がっ て 柱の塑性域は基 部A の付 近に集 中して い る。 Parisの解 が適 用で き るのはこ のよ うな 状 況 下に限 られ る。 逆に

，

P −

y（

0

）曲 線 が 曲 線

te

に近 接 するよ うな細 長い柱に対し て は

，

材 料の応 カ

ー

ひずみ曲 線を本 論や加 藤

・

秋 山8｝_お よび

Yanev−Gjelsvik9

〕_の ように trilinear とし て も

，

或 いは他の研 究に見るよ うに

bilinear

と仮 定 して も2〕

・

3｝

_，

得ら れ る解析結 果の大 局に は差 異は出ず_， 等し くParis の_解， 即 ち弾 性

一

完 全 塑 性 解がよい近 似であ り得る。 ［・_］

t

＜

晋

再

な る柱の軸 力

P

は1を 上回る

・P

が

1

を超える と同 時に先 端F は柱 頂 部に て凹 側flange か ら凸側

flange

べ_{転移す る}。 これらの柱に対 して さ ら に単調載 荷 を 続ける と， 先 端F は今 度は凸 側

flange

上 を その基部

B

に_向かって前 進 を始める （図

一

5（

b

））

。

こ の時 柱 頂 部は塑 性 負 荷で ある か ら

，

軸 力

P

は 1を超え て上 昇し続け る。 座 屈た わ み も増え る

。

これ らの柱の そ の後の挙動 は 次の 二 組に分 類で きる

。

　 〔5 ］ 先 端

F

の前 進が止む柱 ： こ れ

1

に該 当する の は 1 が あ る臨 界 値よ り大き な柱である。 こ の類に属 する柱の 場合

，

先 端F は凸側

flange

上 を

一

定 程度前 進 し た後

，

前 進が 止 み

，

次に は 後 退 を 始 め る

。

先 端

F

の後退に よっ て後退部に は弾性 除 荷 が起こ る （図

一

5（k））。 こ の 後 退 は単 調であっ て

，

極 限では凸 側

flange

頂部に漸近 す る

。

一

一

一

一

〇

　 　 　 　

。

1y

（

O

）

Fig

．

6　Mark　of 　Some　Representative　Post

−

Buckling　States　on

　 　 　the　P

−

_y（0）Curve　of 　 a 　Short　Column

こ の間

，

柱 頂 部は塑 性 負 荷で あ る から

，

軸 力 P は さ ら に単 調に増え

，

式 （26）で与えら れ る P，に漸 近する

。

座 屈た わ みも単 調に増え る。 　 ［6 ］　先 端

F

が前 進 し続 ける柱 ： これに該 当する の は 極短柱であっ て

，

鋼 柱に特 有な座屈 後 挙 動は特に こ の類 に属 する柱に見ら れ る。 図

一

6に拡 大して再 記し た

P −

y（

O

）曲線を参 照して

，

こ の類の柱の座 屈 後 挙 動 を述べ_る

。

先 端

F

が凸 側flangeを前 進する途上_， 先 ず 座屈た わ み が減 少 方 向に反 転 する （図

一

6の a 点）

。

柱の 中で瞬間 的 に最 も 柔なの は塑 性 流れ が起 こ りひ ずみ が ε。t へ

jump

する先 端F の前 進 部 分である

。

凸側

flange

上にあ る先 端F の近 傍が他に比し大 き く縮むときの た わ み増分 の モ

ー

ドを想 起すれば， 座 屈 変 形が減少す る とい う事 実 を 理 解する ことが でき よ う

。

加藤

・

秋山お よ び

Yanev・

Gjelsvik

の非 線 型 弾 性 解SL9〕 は上記座 屈た わ み の反転を 含む

。

な ぜ な ら ば図

一

6の a 点は 図

一5

で は （

b

）図の 状 態に対 応し_， し た が っ て塑性全域は_{依 然}と して負荷で ある か らである

。

　こ の後， 凹 側

flange

基 部

A

か ら弾 性 除荷が始ま る

。

即 ち塑性 域の_終端

F ’

が_現わ れ

，

これ が基 部

A

か ら後退 を 始め るの で あ る （図

一5

（c_）〉。 この と きの基 部

A

の応 力 を a。 とすれ ば， こ の除 荷が起こる直前お よび直後の 基 部A の応 力は σ。を上 回る こ と は ないか ら 　 　 　

P

十

P ・

y（0）≦ao で あ る

。P

＋

P ・

y（

0

｝＝ σ。 を表す曲線を

ti

と し

，

これ を 図

一

6に破 線で示 す

。

上の _{不 等}式 は

P −

y（O）曲 線が曲 線 1，に下か ら接する こ とを言っ て い る_。 図

一6

の接点

b

は 終 端

F ’

の基 部A か らの後 退 時に対 応す る

。

　 この後 凸 側flange上の 先 端 F は 前 進 を続け， 凹側

flange

に 現わ れた終 端

F ’

は柱 頂 部に向かっ て後退す る

。

座 屈 たわみ は減 少 を続 け る

。

図

一6

の c 点は

P −

y（0）曲線の_{極大 点}で あっ て

，

終 端

F ’

の後 退が丁 度 柱 頂 部に達し た状態に対応す る。 この後， 終 端 F ’ は今 度は 凸側

flange

上を

，

先 端 F の前 進を急 追しつ _{つ 後退} し続 け る （図

一

5 （

d

））。 し た がっ て塑 性 負 荷 域の幅は急 速に 狭ま る。そ して先 端

F

が凸 側 基 部

B

に到 達 すると 同 時に， 終 端

F ’

は先 端

F

に追い付い て しまう （図

一

5（e））

。

こ の _{状 態}は図

一

6の

d

_点に対 応 する。 　基部

B

の応 力が丁度降伏点に達す る という条 件は 　 　 　

P − P ・

y （0）

＝

1 であ る。 こ れ を表 す 曲 線

1

，が図

一

6に点 線で描かれてい る。 上 記の

d

点は曲 線

1

，上に位 置しな ければ な ら ない。 実 際に は

，

図に見る よ うに

，

P

−

y〔O）曲 線が

d

点で曲 線

lz

に下から接 する とい う解 が 得ら れ る

。

これ が， 基 部

B

に て終 端 F

’

が先 端

F

に追い付 く とい う事 実に対応 す る。 図

一

6の状 態c か ら

d

に至る経路上で は

，

座屈た わ み

，

軸 力いずれ も減 少し， し た がっ て基部

B

の応力 上 昇 速 度は残り全 域の それ を上 回る

。

し か し

，d

点で は

P −

y（O）曲 線が曲 線 1，に接する か ら基 部

B

の応力 上 昇 は止 む。 し た がっ て残 り全 域の応 力は_，

d

点に 至っ た と き既 に減 少過 程に なけれ ば な ら ない

。

す な わ ち

，

このと き柱 全 域は弾 性 除 荷 状 態になっ て し ま うの であ るe こ れ は終 端F

’

が 基 部

B

迄 後 退し たこと を意 味す る。 　

d

点に至っ て柱 全 域の降 伏お よび塑性 流れ が完了す る

。

し か し

，

上 記の ごと くこ こ では柱全域は基 部B を除 いて弾 性 除 荷 状 態で あ る

。

次に は終端

F’

が凸 側

flange

基 部

B

か ら柱頂部に向かっ て再 前 進を始め る

。

再 前 進 部 に は塑 性再負荷 が 起こ る

。一

方先 端

F

は今 度は基 部

B

に 停 留す る （図

一5

（

f

＞）。 この と き座 屈た わみ はさらに減 少し

，一

方 軸 力は上 昇 方 向に反転する

。

終 端

F’

が再 前 進す る途 上

，

図

一

6の

P −

_y（O）曲 線がc _点と同じ高さに あ るe _{点を ち ょ う ど過ぎ る と き}

_，

_{終 端}

F’

_{は柱頂部に達} す る

。

e 点 以降終端

F

’ は今 度は凹側

flange

上を その基 部

A

に向かっ て再 前 進す る （図

一

5（

g

））

。

依 然と して， y（

0

＞は減り

P

は増え る。 そ して終に終 端

F ’

は基 部

A

に 達す る

。

こ の_状態は図

一

6におい て P

−

_y（0）曲 線が曲線

1

、と交わ る点

f

に対応 する。 ちょう どこ の と き基部

A

の 応 力は先の σ。に復 帰 する か らで ある

。

終 端

F’

が

一

方の 基部

B

か ら他方の基 部A迄 再 前 進す る全過 程中先 端

F

は 基 部

B

に停 留 し続け る。 し た がっ て f点に至っ て初めて 柱 全 域は塑 性負 荷状態にな る （図

一

5（h））

。

　し かし なが ら極めて顕著で あ るの は

，

柱の座 屈 変 形が

，

図

一

6の

f

点に至っ た瞬 間に完 全に消 滅す るこ とで あ る。下に記 すように理 論 的にそ う な ら な け ればな ら ない。 し た がっ て 図

一6

にお け る

f

点は曲 線

1

、と縦 軸の交 点に

一

_致し ， この と きの 軸力P は a。に等し く な る

。

数 値 解

一

₆₇

一

析で は誤 差に帰 因 する わずか な座 屈た わみが 残っ た が_， 図示して露わ にな る程では ない。 　初 期 不 整の ない 真 直な柱の座 屈後の釣 合いは式 （1）

，

す な わ ち

Py ＝M

で あるが

，

柱 全 域が塑 性負荷な ら ば， 柱の全断面の モ

ー

メ ン トは

M ＝− E

。尾ガ と評価さ れ る か ら

．

，

支 配方程式は 　 　　

EstY

”

十

Py ＝

0 にな る

。

これを 境 界 条 件 （5）の下で解く と

，

周知の ご と く

，

接線係 数 荷 重 　 　　　 　π2Es‘ 　 　 　

一・

一・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　∴

・

・

…



▼

・

・

・

・

・

・

・

…

_（27_） 　 　 　

P

尸 　 　 　 （21）a 未満の軸 力の下で は

，

_自明な解 （y｛x｝iO _{＞以 外}の解は 存 在し得ない とい う結 果が得ら れ る。 先 記の状態∫に お け る軸力

P

（

＝

σ。）は実 際

P

，よ り小さいか ら， 柱 全 域がこ の

f

点で塑 性 負 荷に な っ たと きに は座 屈た わ み は 消 滅し ていな け ればな ら ない の である。 し か し

，

σeく

Pt

で あ ること

，

お よび 柱 全 域が塑 性 負 荷に な り得ること は 実 際に 数 値 解 を得て み なけれ ば分か ら な い

。

　 f

点以 降荷重

P

が上 昇 して P‘に達 する図

一

6の 9 点 まではこ の類の 柱は真 直に縮 む。 こ こ に至っ て

，

降伏と 塑 性 流れによっ て 発生した不 安 定が完 全に除か れ たので ある。 そ の

P 一

τ関係は， 図

一

3お よ び 4の （

b

） 図に見 る ごとく鋼材の σ

一

ε を関係に

一

致 する。 stub　column

testi2〕_に際して

_，

_鋼stub 　_{column は降 伏 荷 重 迄 圧 縮さ れ}

た後 も見た所 座 屈し ないの は よ く知られている。 塑 性 流

れ が起こっ て接 線 係 数が0になっ てい るにもか かわ らず 座 屈た わ みが顕 在 化 し ない の で ある

。

もし降伏 後 座 屈た

わ みが 成 長し た とすればstub 　_column 　test_{その もの の意} 義が失なわ れ て しまう。

Stub

　_column 　test_{はむ し ろこ の} 経験的知 識 を踏ま えて行わ れて いる というべ き で ある。 上に得た解 析 結 果はこ の事実の 理論的 検 証に な り得て い る

。

　

軸力

P

が

Pt

を超えた後の こ の類の柱の挙 動は

，

材 料 の応カ

ー

ひずみ関 係 を

bilinear

型 と仮定し たときの そ れ と 完 全に同

一

で あ る。 す なわ ち

，P

が

P

，を超え る と同 時に先端

F

が基 部B か ら後 退を始め

，

後退部に弾 性 除荷 を起 こ しつ つ 座 屈 変 形が再 生 長す る。 先 端

F

は凸 側

flange

上 を単調に後 退し （図

一

5（i））

，

極限で は柱 頂 部 に_漸近 する

。

軸 力 P は座屈たわ み と 共に 単 調増 加し

，

P

， に漸 近する。 数 値 解 析で は先 記の小さ な残 留 誤 差た わ みが P，直 前で急に増 幅され

，

これに伴い先 端

F

の後 退が促さ れ る とい う結果が得ら れ るe

／

　§

8．

結　論

　

鋼は降伏し た後

，

ひずみ硬 化す る に先立ち顕 著な塑 性 流れ を示すた め に

，

いか な る中心圧縮 鋼 柱も降 伏と 同時 に座 屈す る

。

その後の鋼 柱の座 屈 後 挙動 は

，一

般に

，

鋼 が負荷と除 荷の履 歴に依 存す る応答を 呈 することの影響 を受ける

。

特に鋼短柱は や や複 雑な履 歴 依 存 応 答を経た 後， 安 定性を完 全に回復し， 座 屈た わ み は消滅 して し ま う

。

本論は鋼 柱の履 歴 依 存 応 答を明ら かにすべ _く

，

two

・

flange

鋼 柱に対 する 1つ の解 法 を 示し

，

これ に基づ く 数値解析によっ て， 上 記の事 実を解 明す る と共に

，

単調 載 荷を受け る two

−

flange鋼 柱の座 屈 後 挙 動 全 相を系 統 的に明ら かに し たもの である

。

さ らに

，

従 来 求め ら れ て い る鋼 柱の_非線型弾性 解S ）

・

9 ）の適 用 範 囲 も 自ず と判明 し た。 す な わ ち， 塑性全 域の負 荷 が継 続 する限 りこの種の 解法は 正 しいの で あるが， その適 用 範 囲は必ずし も狭い もの では ない_{。 実際， 実}用的 細 長 比を持つ 鋼 柱の座屈後 挙 動の多く はこの易しい解法で説 明できるのである。

　

以 上本 論は

，

かつ て加 藤

・

秋 山が提 示し た鋼 Skanley Model に対 する座 屈後挙動解T ｝の_， よ り実 情に近い方 向 へ の

一

般 化を試み た もの で あ る

。

　付 録1 無 次 元量 に よ る 問 題 の 記述 　数 学 的 展 開を 簡約すべ く無 次元 量で問 題を記 述し たい

。

そ の た め に下にや や

一

般 な 考 察 を 記 す。

一

般の断面形を持つ 単 純 支 持 中心 圧 縮 柱の曲 げ座 屈お よびその_後の_挙動は次の4方程 式の 連 立 解である

。

釣合 条件 ：P

・

y

＝

〃

，

dPfdx ・

＝

O

　　　

こ こ に P

イ

崩 〃

−

／

・癇 適合条件 （平 面 保 持 仮 定 ） ・

一

書

・＋ c・ 境 界 条 件 ・

響

L

〃（1）

＝

＝

・ 構成 式 ：σ

＝

σ（e＞

………

_（Al） こ こ に dA は柱 横 断 面の微 小 面 積 素

，

　t は中 立 軸か らdA 迄の 腕 長である （図

一

A1参照）

。

他の記 号および座 標は本 文§2

．

に おける定義に準じ る

。

dA

Z

Fig

_．

』

Al AGeneral　Cross　Sectional　Shape　of　a　Column

式 （Al｝にお け る全 物 理 量 を

，

それ ぞれにつ い て適 当に設定し た規準値で除し

，

次の よ うに無 次 元 化す る

。

　 　 σ

＝

σ／a．

，

E

・

・

ε／ε。

，

ε。

＝

ε。ノey 　　 コσ

＝

Vi

；x ／r

，

_y

＝

g／r

，

g

＝

z／ア

・

・

・

・

・

…

（A2｝ 　 　 dA

＝

d1唖〆A

，

　P

＝

P_／σy14

，

　M

＝

』if／eyAr 式 （A2｝を式 （Al）に代 入 する と

，

式 （Al）と完全 に同型な （即 ち太 字 を細 字に置 換し た〉 無 次 元量に よ る支配 方 程 式 を得 る

。

すな わ ち Py

＝

M，　P

’

_‘

₀ こ こ _に P

−

∫

翩 溺

一

∫

・zdA ε

＝−

y

”

z十ε 。 忽

’

（0）

≡

y〔1）

＝

O σ

＝

a〔ε｝

・

_（A3｝

この 同 型 な 関係は

，

無次元諸量 の物理的振 舞 と 対 応 す る実物 理 量のそ れと が 完 全に同じ であること を意 味す る

。

換 言す れば

，

上 記 無 次 元 量 を あ たか も実 物 理 量であ る かの よ うに み な し て相 互の物 理 的 関 係 を見い出 し， そ れに基づいて支 配 方 程 式 を導 き， そ してそ れ ら を展 開す るこ とで正 しい解 析が行わ れ得るの であ る

。

こ う す れ ば

，

本来 解 析 に 不 要 な 径 数 は

一

切 表 面に現 れ る 必 要が な く な る

。

　 　 　

・

、

　 付録2 塑性 域の先端Fの前 進又 は後退が既 定と し た ときの 　 　　　 増分解の唯

一

性 　 ［1_］先 端Fが前 進か ら後 退に転 じ たとし たと き， およ び後 　 　 　 　 退が継 続して いる と し た と きの後 退 解の唯

一

性 　この場合に は

，

先 端 Fの応力 増 分 は0

，

凹 側 flange基 部Aか

’

．

ら先 端Fまで の応 力増 分は正 値

，

凸側 flange基 部Bか ら先 端F までの応 力 増 分は負値でなけれ ば ならない

。

した がっ て柱の至 る所の_{瞬間係 数}ElとE， （本文式 〔7））は既に確 定して いる

。

故に

，

_{本文 §}5

．

_［1_］の_場合と し て得ら れ る解雪

＝

PT は

f

｛1｝

＝

0で な い限り唯

一

である

。

　 ［2］ 先 端F が前 進する とし たと きの増 分 解の唯

一

性 　 先端Fが flange通 路 上を同量 ± だ け前 進す る増 分 解が 2つ あっ て，

一

方 （解

1

と する）は他 方 （解

H

とす る）よ りも終端 F

’

が大 き く後 退 する解であっ た と仮 定 す る

。

両 増 分 解の諸 量 を 下添字1

，

皿 を付して区別す る

、

そ う す る とこ の場 合

，

現 荷 重 P の下 で先 ず解 シ1が起こ り

，

続いて 荷 重 P＋P

，

の下で解

Du一

シ

，

が起こ る と考え て も差し支え な い

。

なぜな ら ば δ

∬

−

d

，

な る 応 力変化はひずみ履 歴の条 件に抵 触し ない か ら である

。

し か も 解 蜘

一

Yi

は最初の仮定よ り先端Fの停留 解で あ る。 し た がっ て 荷 重P ＋P匸の下で は先端Fの停留解が存在す る。

th

は無 限小で あ る か ら荷 重P の下で既に Fの停 留 解が存 在する ことにな る

。

し た がっ て次のよ うに君うこと がで きる

。

　 「先 端Fの後 退解 〔停 留解を 含 む）が存 在し ないな ら ば

，

Fは 前 進し

，

かつ 前 進 増 分 解は唯

一

である

。

」 　 ［3］ 先 端Fが 凸側flange基 部

B

に停 留 しているとし たとき 　 　 　 　の_{増 分 解}の唯

一

性 　［1】

，

［2_］いずれ で も ない 場合と し てこ の場 合 を も検討 して お く必 要が ある

。

こ の場 合に は柱 全 域の塑 性 流れ は既に完了 し て いる

。

し た がっ て

，

硬 化 係 数　EStより得る接線 係 数 荷 重 （本 文 式 （27））未 満の荷重の下では

，

いか な る増 分 解 も

，

し た がっ て終 端F

’

が どこに位置し よう と も得ら れ る増分解は唯

一

で あ る13｝ D 　 付録 3　 数 値 計 算 手 順 概 要 　数値 計算にお け る 基 本 事 項 は 次の 4点であ る

。

　［1］ 材 長 1をn 個に等分割す る

、

y は両 端 点を含む n ＋1 個の評 価点で

，

応 力は両

flange

合せて 2（n＋1＞個の 評 価 点で の み_評価する

。

_隣接す る評価点間の_距離を ∠IX

＝

1／n とする （図

一

_{C1参 照 ）}

_。

　 ［2］　 弾 塑 性 境 界は

一

増 分 間に 1評 価 点 以 上は移 動し ないよ うに制 御 す る （但 し

，

先 端 Fの前 進 途 上 に お け る終 端F

’

の位 置は制 御 しない）

。

　［3］　力の釣 合い _（本 文 式 （2D は

，

現 状 態

P ，

　M ， 　yに対 n 2 0

Fig

．

　C　l　D孟scretization 　of　a　Two　F監anged 　Cohmn

して増 分AP

，

　AM

，

　Ay が 　 　 　 〔P十△P）（y十△y｝

＝

M 十AM

・

……・

・

………・

…・

・

・

…

（C1） を満たす よ うに決め ら れ るものと する

。

　 ［4］ 応力増 分Aσは

，

現 応 力 をσ と すれ ば 　 　　σ十Aσ

＝

（P十 △P）［1±（y十Ay）］

………・

・

……

（C2） を満た す よ う に決め ら れ るもの とする_（本文 式 （2_）

_，

_（3_）参照）

。

　

一

一

増分 AP

，

　Ay は 次 のプロ セスか ら得ら れ る

。

　前 増分 で は Aσ

．

が式 （C2）を 満 た す よ う に定め ら れ る か ら

、

現 状 態で は

M ＝

・

Py

が成 立 している

。一

方

，

　AM は本文 式 〔8｝ と （9） より 　 　 　△M

＝

P△φ

一

8△P

−

Dφ丿δ｛x

一

コc丿）〔士4コじ） で ある

。

こ れらの

．

関 係 を式 （Cl）に代入 す れば 本 文式 （14）に 代る次の方 程 式 を得る

。

　 　　DAy

”

＋〔P十AP ）Ay

＝−

AP （s十y）

−

Dil

，

δ（x

−

Xi｝（土Ax ｝ 　 　　　　 　　　 　　

t・

………・

…・

・

…・

…………・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

（C3） しかしAP は未 知である か ら （C3）はAy の線型微分方程式で は ない

。

そ こ で AP

，

　Ay は次のイテ レ

ー

ショ ン に よって求める

。

　イ テ レ

ー

ションの各 段では次の線型方 程 式を解く

。

　 　　DAy

”

十（P十APCkJ”_）Ay

＝一

△P  _（ ε十y） 　 　 　 　

−

Dφ丿δ（x

−

X」）（± ムユ｝）

・

…・

…・

……r・

……・

…・

…・

・

（C4） こ こ にAPCt

−

1）_{はイテ レ}

ー

_シ ョ ン の前 段で求 め た

AP

の評 価 値

，

△P［”_は 次段で求め るべき未知 増分であ る

。

第1段ではAP ，

°

）

＝

0 と する

。

式 （C4 _）の_解の形は_本文式 （20_）と同じ次 式で あ る。 　 　 　A！ノ軍 TApc「cト十 U

・

（±Ax ）

・

tt

・

・

tttt

・

・

t…

　

tt

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（C5） ここ に T

，

U は本 文式 （21）

，

で与え ら れ る

。

ムP  は次の よ うに 求め られる

。

．

　 ［1］ 塑 性 流 れ が柱の どこにも起こ ら ない解 　この_{場 合 に}は式 （C5｝におけるAx は消え る

。

　Ay

＝

TAP（M を式 （C2）に代 入 し て 応 力増分 を評 価す る と き

，

系の弾 塑 性状 態 （先 端F又は終 端F

’

の位置）が 1評 価点分移動 す る よ う に 式 〔C2 ｝ を解い て AP ［” を定め る

。

も し得ら れ た △P  と

f

（1） の符合が異なるならばこ の解は有 意 義でない

。

1

△P 喇が荷 重 増 分の標準値△P。よ り大で あ ればApc ”

＝

_signf （1）

・

AP。と す る。 　［2］　塑 性 流れ が発 生して先 端Fが 1評価点前進す る解 　式 〔C5）を式 （C2＞に代入 して， 移 動 後の先端Fの応 力が 降伏 値 1であ る という条 件か らこれ を解い て Apua を定める

。

終 点F

’

が 現 れ る と き に は単にこ う して得ら れ る解は履 歴 条 件 を満 た さ ないであ ろ うか ら

，

本 文 §5

．

末 尾に記し た と同じ試探 操 作を行 う

。

　以上を API

”

−

1 〕_{と Apc}”_{の差が十 分 小 （例え ば}

AP

，／100未 満 ） とな るまで繰り返して求め るべ _{き △}P _と Ag _{を確定 し}

，

こ れ を 方 程 式 （C3）の解とする

。

参考文 献 ） 1 ＞ 2 ＞ 3 ） 4 ） 5 ） 6

F

．

R

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SYNOPSIS

UDC :624.e75.Z OI4

ANALYSIS

OF

THE

POST-BUCKLING

BEHAVIOR

OF

STEEL

COLUMNS

by Dr.HIROYUKI SUZUKI, AssociatePfofessorof

ty of Tsukuba and KOICHI MAEDA, Engipeer of

Obayashigumi,Ltd., Members of A.I.

J,

The _{post-buckling}

behavior

of steel columns

depends

largely

on theplasticityof the material which,

before

strain-hardening, exhibits a significant amount of _plastic

flow

without any

increase

in

$tress. This _;e$ultsinzero'

tangentmodulus of the material and therefore any eolumn

buckles

immediately

after

it

is

compressed up toits

.yield

strength and itthen

loses

the stability.

However,

along with thepost-bucklingstraining, the

lost

stability

proves to

be

recovered to some extent or even completely.

This

is

due

of course to the subsequent

strain-hardening

effect,

but

this_process

is

found

to

be

highly

history

dependent

and complex. This study is

devoted

to a refined analysis of thishistory

dependent

_{post-buckling}

behavior

of steel columns,

It

is

found

from

thepresent

study thatthe

buckling

deformation

of a very short column, or so called stub column, vanishes completely after some _{post-buckling}straining,

hence

the column recovers subsequently theoriginal straight configuration,