§1.
正多面体の分類
定義 1 A :正ℓ面体（ℓ : 自然数）とは (1)各面は ℓ個の正 m 角形 (m≧ 3) (2)各辺は ２つの正 m 角形の共通の辺 (3)各頂点には常に n個の辺が集まっている (n≧ 3) (4) Aは球面と同相（ゴムでできていると思って球面に変形可能） 定義 2 頂点の個数をα,辺の本数をβ，面の枚数をγとする． 定理 1 正多面体について， α− β + γ = 2 が成り立つ（証明は後の節で行う） 定理 2 正多面体は正４面体，正６面体，正８面体，正１２面体，正２０面体の５通りしかない． 考察 1 各面の頂点近くに点を取る．点の総数は，各面にm個で，ℓ面より，全部でℓm個．一方， １つの頂点の周りにはn個の点があるので，全部でnα個．従って，nα = ℓm. α = ℓmn . 考察 2 辺の両側に点を取る．各面にm個の点があるので，点の総数はℓm個．一方，辺の両側 にあるので，全部で2β．従って，2β = ℓm，β = ℓm2 . 考察 3 面の枚数γ はℓ§2.
ユークリッド空間
点P, Q∈R
n={(x1, x2,· · · , xn) ; x1, x2,· · · , xn∈R
} P = (p1,· · · , pn) Q = (q1,· · · , qn) 定義 3 P と Qを結ぶ線分 P Q ={(tp1+ (1− t)q1,· · · , tpn+ (1− t)qn) ; 0≦ t ≦ 1} 定義 4 ベクトルv0, v1,· · · , vk が１次独立⇐⇒ λ0v0+ λ1v1+· · · + λkvk= 0 (λi∈
R
) =⇒ λ0= λ1=· · · = λk = 0 例題 1 (6, 2, 3), (0, 5,−3), (0, 0, 7)は１次独立か． 問題 1 (1, 2, 3), (1, 3, 5), (4, 3, 2) は１次独立か． 定義 5 点P0, P1,· · · , Pk∈R
n が一般の位置にある． ⇐⇒ −−−→P0P1,−−−→P0P2,· · · ,−−−→P0Pkが一次独立． 定義 6 点P0, P1,· · · , Pk ∈R
n が一般の位置 P0, P1,· · · , Pk ∈R
n を通る平面S(P0,· · · , Pk)とは， S(P0,· · · , Pk) ={λ0OP−−→0+λ1−−→OP1+· · ·+λk−−→OPk; λ0+λ1+· · ·+λk= 1, λ0,· · · , λk∈R
}§3.
単体
(
三角形
)
定義 7R
n のk + 1個の点 P0,· · · , Pk;一般の位置 |P0P1· · · Pk| = {λ0−−→OP0+ λ1−−→OP1+· · · + λk−−→OPk ; λ0+ λ1+· · · + λk = 1, λ0≧ 0, λ1≧ 0,· · · , λk≧ 0}をP0P1· · · Pk を頂点とする k次元単体とする（略して k 単体)． 定義 8 kを単体 |P0P1· · · Pk|の次元という． (dim|P0P1· · · Pk|と書く) 例題 2R
2 上の点 P0= (1, 0), P1= (0, 1)について，|P0P1|を図示せよ． 問題 2R
3 上の点 P0= (1, 0, 0), P1= (0, 1, 0), P2= (0, 0, 1)について，|P0P1P2|を図示せよ． ⋆ s : 0≦ s ≦ k を満たす整数 定義 9 k単体 |P0P1· · · Pk|の s次元面単体 ⇐⇒ P0, P1,· · · , Pk のうち s + 1個の点を頂点とする単体． 例題 3 3単体 |P0P1P2P3|の１次元面単体をすべて求めよ． 問題 3 3単体 |P0P1P2P3|の２次元面単体をすべて求めよ． 定義 10 s単体 τ が k単体 σ の面単体であるとき，σ≧ τ と書く． 定義 11 k単体 σ の面単体で σ 以外のものを固有な面単体といい，σ > τ と書く． 定義 12 単体 σ の境界 ∂σ ⇐⇒ σの固有な面単体全体の和集合∪τ <στ 定義 13 単体 σ の内部 Int σ = σ− ∂σ. 注意. 0単体 σ については，∂σ =∅, Int σ = σ.§4.
単体複体と多面体
σ1, σ2,· · · , σk : 有限個の単体 定義 14 K ={σ1,· · · , σk} が単体複体 ⇐⇒ K が次の条件(1) (2) を満たすときとする． (1) σをKの単体とする．このとき，τ がσの面単体ならば，τ もσの面単体になる． (σ∈ K, τ ≦ σ =⇒ τ ∈ K) (2) σとτ をKの単体とする．このとき，σとτ の共通部分はσの面単体でもあり，τ の面単体でもある．(σ, τ ∈ K, σ ∩ τ ̸= ∅ =⇒ σ ∩ τ ≦ σ, σ ∩ τ ≦ τ). 例題 4 K ={|P0P1P2|, |P0P1|, |P1P2|, |P0P2|, |P2P3|, |P0|, |P1|, |P2|, |P3|}は単体複体か． 問題 4 下図の点P0, P1, P2, P3, P4について， K ={|P0P1P2|, |P0P1|, |P1P2|, |P0P2|, |P0|, |P1|, |P2|, |P0P3P4|, |P0P3|, |P3P4|, |P0P4|, |P3|, |P4|}は単体複体か． P0 P1 P3 P2 P4 定義 15 単体複体K の次元 (dim K) ⇐⇒ K に属する単体の次元の最大値 定義 16 K ={σ1, σ2,· · · , σk} 単体複体K の多面体|K| ⇐⇒ |K| = σ1∪ σ1∪ · · · ∪ σk 定義 17 |K|の次元 dim|K| ⇐⇒ K の次元 dim K
§5.
三角形分割
X : 位相空間 定義 18 X が三角形分割可能 ⇐⇒ ある単体複体K について，同相写像f :|K| → X が存在するときとする． 例題 5 球面は三角形分割可能 問題 5 メビウスの帯とトーラスが三角形分割可能であることを示せ．§6.
単体の向き
σ =|P0P1· · · Pk| : k 単体 定義 19 (P0,· · · , Pi,· · · , Pj,· · · , Pk) を (P0,· · · , Pj,· · · , Pi,· · · , Pk) に並び替えることを互換 という．定義 20 ２つの並び方が同値(∼) ⇐⇒ 偶数回の互換で移りあうときとする． 例題 6 (P0, P1, P2)∼ (P2, P0, P1) 問題 6 (P0, P1, P2, P3) と (P3, P2, P1, P0) は同値かを調べよ． 注意. 同値な並べ方には２種類ある． 定義 21 (Pi0, Pi1,· · · , Pik) を含む類を⟨Pi0, Pi1,· · · , Pik⟩ と書く． 例. ⟨P0, P1, P2⟩ = ⟨P1, P2, P0⟩ 定義 22 ２つの類 ⟨P0, P1, P2,· · · , Pk⟩, ⟨P1, P0, P2,· · · , Pk⟩ を単体 |P0P1P2· · · Pk|の向きとい う． 定義 23 ⟨Pi0, Pi1,· · · , Pik⟩ = ⟨Pj0, Pj1,· · · , Pjk⟩ ⇐⇒ 向きが一致という． 定義 24 ⟨Pi0, Pi1,· · · , Pik⟩ ̸= ⟨Pj0, Pj1,· · · , Pjk⟩ ⇐⇒ 向きが逆といい，⟨Pi0, Pi1,· · · , Pik⟩ = −⟨Pj0, Pj1,· · · , Pjk⟩ と書く． 注意. 0単体の向きは１つとする． 1単体 |P0, P1|の向きのイメージ ⟨P0, P1⟩ · · · P0からP1へ向かう矢印 ⟨P1, P0⟩ · · · P1からP0へ向かう矢印 2単体 |P0, P1P1|の向きのイメージ ⟨P0, P1, P2⟩ · · · 三角形 |P0P1P2|の中に書いた丸い矢印で，P0→ P1→ P2の順のもの ⟨P0, P2, P1⟩ · · · 三角形 |P0P1P2|の中に書いた丸い矢印で，P0→ P2→ P1の順のもの 定義 25 k単体 |P0P1· · · Pk|の面単体|P0· · · bPi· · · Pk|について，
向き ⟨P0P1· · · Pk⟩から誘導される|P0· · · bPi· · · Pk|の向きとは ⇐⇒ (−1)i⟨P 0· · · bPi· · · Pk⟩ とする． ここで，(−1)⟨P0· · · bPi· · · Pk⟩と−⟨P0· · · bPi· · · Pk⟩は同一視するものとする． 例題 7 向き ⟨P0P1⟩を持つ1 単体|P0P1|の 0 次元面単体の向きを調べよ． 問題 7 向き ⟨P0P1P2⟩ を持つ2単体 |P0P1P2|の 1次元面単体の向きを調べよ．
§7.
単体複体のホモロジー群
7.1
k-chain C
k(K)
K : m次元単体複体 K ={σ10,· · · , σ0i0, σ 1 1,· · · , σi11,· · · , σ m 1 ,· · · , σimm} (σ j i はj 次元単体の i番目のこと) 定義 26 Ck(K) ={n1⟨σ1k⟩ + n2⟨σ2k⟩ + · · · + nk⟨σkik⟩ ; ni∈Z
} (形式的な和) 定義 27 （加法） (n1⟨σ1k⟩ + n2⟨σ2k⟩ + · · · + nik⟨σ k ik⟩) +(n′1⟨σk1⟩ + n2′⟨σk2⟩ + · · · + n′ik⟨σ k ik⟩) = (n1+ n′1)⟨σk1⟩ + (n2+ n2′)⟨σk2⟩ + · · · + (nik+ n′ik)⟨σ k ik⟩ 問題 8 (2⟨σ2 1⟩ − 2⟨σ22⟩ ) +(−⟨σ2 1⟩ + ⟨σ22⟩ ) を計算し，図示せよ．7.2
境界準同型
定義 28 ∂⟨P0P1· · · Pk⟩ = ∑k j=0(−1) j⟨P 0P1· · · cPj· · · Pk⟩ 例題 8 ∂⟨P0P1P2⟩ = ⟨P1P2⟩ − ⟨P0P2⟩ + ⟨P0P1⟩ 問題 9 ∂⟨P0P1⟩ を求めよ． 定義 29 m 次元単体複体K ={σ0 1,· · · , σ0i0, σ 1 1,· · · , σi11,· · · , σ m 1 ,· · · , σimm}. 境界準同型∂ : Ck(K)→ Ck−1(K) (0≦ k ≦ m) ∂(n1⟨σ1k⟩ + n2⟨σ2k⟩ + · · · + nik⟨σ k ik⟩) = n1∂⟨σ1k⟩ + n2∂⟨σk2⟩ + · · · + nik∂⟨σ k ik⟩ 定義 30 k > dim Kのとき，Ck(K) = 0とする． k < 0のとき，Ck(K) = 0とする． · · · ∂ → Ck+1(K) = 0 ∂ → Ck(K) ∂ → · · · · · · ∂ → C1(K) ∂ → C0(K) ∂ → C−1(K) = 0→ · · ·∂ これを，系列という． 例題 9 ∂(2⟨P0P1⟩ + 3⟨P1P2⟩)を求めよ． 問題 10 ∂(∂⟨P0P1P2⟩)を計算せよ． 補題 1 ∂∂ : Ck+1(K)→ Ck−1(K)は零写像． (すなわち，∀c∈ Ck+1(K), ∂∂(c) = 0)7.3
単体複体のホモロジー群
定義 31 k次元 cycle Zk(K) ⇐⇒ Zk(K) ={c ∈ Ck(K) ; ∂(c) = 0} (= Ker ∂) 定義 32 k次元 cocycle Bk(K) ⇐⇒ Bk(K) = ∂(Ck+1(K)) ={∂c ∈ Ck(K) ; c∈ Ck+1(K)} 命題 1 Bk(K)⊂ Zk(K) 命題 2 Bk(K) はZk(K) の正規部分群 系. Zk(K)/Bk(K) は群になる． 定義 33 k次元ホモロジー群 Hk(K) Hk(K) = Zk(K)/Bk(K) (Bk(K)のすべての元α について，α = 0という関係式を取り，Zk(K) にいれたもの) 例題 10 K ={|P0P1|, |P0|, |P1|}について，H0(K), H1(K) を求めよ． P0 P1 Fig. 1C0(K) ={n1⟨P0⟩ + n2⟨P1⟩ ; n1, n2∈
Z
} C1(K) ={n⟨P0P1⟩ ; n ∈Z
} Z0(K) ={c ∈ C0(K) ; ∂c = 0} ={n1⟨P0⟩ + n2⟨P1⟩ ; ∂(n1⟨P0⟩ + n2⟨P1⟩) = 0}（条件はいつでも成立） ={n1⟨P0⟩ + n2⟨P1⟩ ; n1, n2∈Z
} B0(K) ={∂(d) ; d ∈ C1(K)} ={∂(n⟨P0P1⟩) ; n⟨P0P1⟩ ∈ C1(K)} ={n⟨P1⟩ − n⟨P0⟩ ; n ∈Z
} H0(K) = Z0(K)/B0(K) ={n1⟨P0⟩ + n2⟨P1⟩ ; n1, n2∈Z
}/{n⟨P1⟩ − n⟨P0⟩ ; n ∈Z
} ⟨P1⟩ − ⟨P0⟩, 2⟨P1⟩ − 2⟨P0⟩, · · · を0と思う．特に，⟨P1⟩ = ⟨P0⟩と思う． ={(n1+ n2)⟨P0⟩ ; n1, n2∈Z
} ={n⟨P0⟩ ; n ∈Z
} =Z
⟨P0⟩ （=Z
と書く） Z1(K) ={c ∈ C1(K) ; ∂c = 0} ={n⟨P0P1⟩ ; ∂ n⟨P0P1⟩ = 0} ={n⟨P0P1⟩ ; n⟨P1⟩ − n⟨P0⟩ = 0} ={n⟨P0P1⟩ ; n = 0} ={0}（= 0と書く） H1(K) = Z1(K)/B1(K) ={0} = 0 問題 11 K ={|P0P1P2|, |P0P1|, |P1P2|, |P2P0|, |P2P3|, |P3P0|, |P0|, |P1|, |P2|, |P3|}について，H2(K) を求めよ． P0 P1 P3 P2 Fig. 2 例題 11 上の K について，H1(K)を求めよ． 問題 12 K ={|P0P1P2|, |P0P2P3|, |P0P1|, |P1P2|, |P2P0|, |P2P3|, |P3P0|, |P0|, |P1|, |P2|, |P3|}について，H1(K) を求めよ．P0 P3 P1 P2 Fig. 3 補充 1 K = {|P0P1|, |P1P2|, |P2P0|, |P2P3|, |P3P0|, |P0|, |P1|, |P2|, |P3|} について，H1(K) =
Z
⊕Z
になることを示せ(ここで，⊕は直和)．§8.
単体複体のオイラー数
定義 34 K: 単体複体 βj(K) = (Hj(K)のrank) = (Hj(K)の中に入っているZ
の個数) Kのオイラー数χ(K) = dim K∑ j=0 (−1)jβj(K) 定理 3 αj(K) = (Kに属するj単体の個数) χ(K) = dim K∑ j=0 (−1)jαj(K) ⋆ Kの次元が2のとき， (オイラー数)= (面の数)− (辺の数) + (頂点の数) になる（ただし，各面は３角形）．§9.
単体写像
K, L : 単体複体 K0= (Kの頂点全体の集合) L0= (Lの頂点全体の集合) 定義 35 φ : K0→ L0 が単体写像 ⇐⇒ K の任意の単体|P0P1· · · Pk|について，集合{φ(P0), φ(P1),· · · , φ(Pk)}が，L の１つ の単体の頂点になっているときとする． （単体写像φ : K → L と書く） 注意. φ(P0),· · · , φ(Pk)の中に同じものが入っていてもよい．例題 12 K ={|P0P1P2|, |P0P1|, |P1P2|, |P2P0|, |P2P3|, |P0|, |P1|, |P2|, |P3|}L ={|Q0Q1|, |Q1Q2|, |Q0|, |Q1|, |Q2|} φ : K0→ L0 φ(P0) = Q0, φ(P1) = Q0, φ(P2) = Q1, φ(P3) = Q2 が単体写像かを調べよ． 問題 13 上の K, Lについて，ψ : K0→ L0 ψ(P0) = Q0, ψ(P1) = Q1, ψ(P2) = Q2, ψ(P3) = Q2 が単体写像かを調べよ． 定理 4 K, L, M : 単体複体 φ : K → L : 単体写像 ψ : L→ M : 単体写像 =⇒ 合成写像ψ◦ φ : K → M も単体写像 定義 36 K, L : 単体複体 単体写像φ : K → Lが同型写像 ⇐⇒ (1) φ : K0→ L0が全単射 (2)逆写像φ−1: L0→ K0が単体写像 定義 37 単体複体K と Lとが同型 ⇐⇒ 同型写像φ : K → Lが存在するときとする．
§10.
単体写像による誘導準同型
K, L : 単体複体 φ : K → L : 単体写像 ⟨P0,· · · , Pk⟩ : 向きのついた K の単体 定義 38 φ(P0), φ(P1),· · · , φ(Pk) がすべて異なるとき， φ#(⟨P0, P1,· · · , Pk⟩) = ⟨φ(P0), φ(P1),· · · , φ(Pk)⟩ φ(P0), φ(P1),· · · , φ(Pk) の中に同じものがあるとき， φ#(⟨P0, P1,· · · , Pk⟩) = 0 定義 39 φ#: Ck(K)→ Ck(L) φ#(n1⟨σ1⟩ + · · · + nl⟨σl⟩) = n1φ#(⟨σ1⟩) + · · · + nlφ# (⟨σl⟩) 問題 14 K ={|P0P1P2|, |P0P1|, |P1P2|, |P2P0|, |P2P3|, |P0|, |P1|, |P2|, |P3|} L ={|Q0Q1|, |Q1Q2|, |Q0|, |Q1|, |Q2|} φ : K0→ L0，φ(P0) = Q0, φ(P1) = Q0, φ(P2) = Q1, φ(P3) = Q2 について，φ#(⟨P0P1⟩ + 2⟨P1P2⟩ + 3⟨P2P0⟩) を求めよ． 補題 2 ∂· φ#= φ#· ∂ 補題 3 φ : K → L : 単体写像 =⇒ (1) φ#(Zk(K))⊂ Zk(L) (2) φ#(Bk(K))⊂ Bk(L) 定義 40 Zk(K)の元 c により代表されるHk(K) = Zk(K)/Bk(K)の元を [c] と書く． 定義 41 φ∗: Hk(K)→ Hk(L)φ∗([c]) = [φ#(c)] φ∗を単体写像により誘導される準同型という． 例題 13 K = {|P0P1|, |P1P2|, |P2P0|, |P0|, |P1|, |P2|}, L = {|Q0Q1|, |Q0|, |Q1|} と す る ． φ(P0) = Q0, φ(P1) = Q0, φ(P2) = Q1 に よ り 与 え ら れ る 単 体 写 像 に つ い て ， φ∗([⟨P0P1⟩ + ⟨P1P2⟩ + ⟨P2P0⟩]) を計算せよ． 問題 15 K ={|P0P1|, |P1P2|, |P2P0|, |P0|, |P1|, |P2|} L ={|Q0Q1Q2|, |Q0Q1|, |Q1Q2|, |Q2Q0|, |Q0|, |Q1|, |Q2|}とする． φ(P0) = Q0, φ(P1) = Q1, φ(P2) = Q2 に よ り 与 え ら れ る 単 体 写 像 に つ い て ， φ∗([⟨P0P1⟩ + ⟨P1P2⟩ + ⟨P2P0⟩]) を計算せよ． 定理 5 (1) id : K → K ;恒等写像 =⇒ (id)∗: Hk(K)→ Hk(K) も恒等写像 (2) φ : K→ L ; 単体写像 ψ : L→ M ;単体写像 =⇒ (ψ ◦ φ)∗= ψ∗◦ φ∗
(3) φ : K→ L ; 同型写像 =⇒ φ∗: Hk(K)→ Hk(L) : 同型写像 「同型な単体複体のホモロジー群は同型」
§11.
図形のホモロジー群とホモトピー不変性
X : 位相空間 定義 42 X が三角形分割可能 ⇐⇒ ある単体複体K について，同相写像f :|K| → X が存在するときとする． 注意. 三角形分割は１通りとは限らない． 定義 43 X のホモロジー群Hk(X) (k = 0, 1, 2,· · · )とは，Hk(K) のこととする． 定理 6 Hk(X)は三角形分割の取り方によらない． 定理 7 X, Y : 位相空間 X = Y （同相） =⇒ Hk(X) = Hk(Y )（同型） 例. X : １点 H0(X) =Z
, Hk(X) = 0 (k≧ 1) 例. X : 円周 H0(X) =Z
, H1(X) =Z
, Hk(X) = 0 (k≧ 2) 例. X : 球面 H0(X) =Z
, H1(X) = 0, H2(X) =Z
, Hk(X) = 0 (k≧ 3) 例. X : 種数 gの閉曲面 H0(X) =Z
, H1(X) =Z
2g , H2(X) =Z
, Hk(X) = 0 (k≧ 3) 定義 44 X, Y : 位相空間 f, g : X→ Y ; 連続写像 f と gがホモトープ ⇐⇒ F : X × I → Y ;連続写像(I = [0, 1]単位閉区間) があって，次の性質を満たすときとする． (1) F (x, 0) = f (x) (2) F (x, 1) = g(x) 例題 14 X = S1, Y =R
2 f (θ) = (cos θ, sin θ) (θは角度) g(θ) = (0, 0) このとき，f とg はホモトープ 問題 16 X = [0, 1], Y = [0, 1] f (θ) = 0, g(θ) = θ がホモトープであることを示せ． 定義 45 f と gがホモトープなとき，f ≃ g と書く．定理 8 f と gがホモトープ =⇒ f∗= g∗ 定義 46 X, Y : 位相空間 X と Y がホモトピー同値 (X ≃ Y ) ⇐⇒ f : X → Y ;連続写像 g : Y → X ;連続写像 が存在して，次を満たすときとする． g◦ f ≃ id (X の恒等写像), f ◦ g ≃ id (Y の恒等写像) 例題 15 X = [0, 1], Y ={0}とすると，X≃ Y 問題 17 X ={0}, Y = D2 とすると，X ≃ Y 定理 9 X と Y が同相 =⇒ X と Y はホモトピー同値 定理 10 X, Y : 位相空間 X≃ Y （ホモトピー同値） =⇒ Hk(X) = Hk(Y )（同型） 例題 16 次の図形のホモロジー群を計算せよ． 問題 18 次の図形のホモロジー群を計算せよ． 定理 11 Z : X とY を１点でつないでできる図形 Hk(Z) = Hk(X)⊕ Hk(Y ) (k≥ 1) ここで，直和Hk(X)⊕ Hk(Y )とは， 直積{(x, y) ; x ∈ Hk(X), y∈ Hk(Y )}のことだが， 足し算ができるので，このように書く． 定理 12 Xが連結であるとき，H0(X) =
Z
例題 17 次の図形のホモロジー群を計算せよ． 問題 19 次の図形のホモロジー群を計算せよ． トーラスに円板がはさまっている ⋆ 一度切って，また同じところを貼っても同じ．
§12.
正多面体の分類（再）
最初の節で，正多面体が正４面体，正６面体，正８面体，正１２面体，正２０面体の５通 りしかないことを証明した．そこで用いた次の定理を証明する． 定理 13 正多面体は正４面体，正６面体，正８面体，正１２面体，正２０面体の５通りしかない． 定義 47 A :正ℓ面体（ℓ : 自然数）とは (1)各面は ℓ個の正 m 角形 (m≧ 3) (2)各辺は ２つの正 m 角形の共通の辺 (3)各頂点には常に n個の辺が集まっている (n≧ 3) (4) Aは球面と同相（ゴムでできていると思って球面に変形可能）定理 14 正多面体について， (頂点の数)− (辺の数) + (面の数) = 2 が成り立つ（各面は３角形とは限らない）．
§13.
ホモロジー群の応用
2 — Brouwer
の不動点定理
D2 : 円板 f : D2→ D2 ;連続写像 定義 48 z∈ D2 が f の不動点 ⇐⇒ f(z) = z 定理 15 (Brouwer)連続写像f : D2→ D2 は不動点を持つ．§14.
連結性
つながっている単体複体を連結であるといい，そうでないとき，非連結という．正確には次のように定義する． 定義 49 K: 単体複体 P , Q: K の頂点 P とQが弧状連結であるとは，頂点の列P0, P1,· · · , Pk があって，次を満たすときと する． (1) P0= P , Pk = Q (2) |PiPi+1| (i = 0, 1, · · · , k − 1)はKの単体 定義 50 Kが連結であるとはKの任意の２頂点P , Qについて， P とQが弧状連結のときとする． 例題 18 下図の正４面体Kについて，C1(K)の元c =⟨P0P1⟩ + ⟨P1P2⟩について，∂cを求めよ．
問題 20 下図の正８面体Kについて，C1(K)の元c =⟨P0P1⟩ + ⟨P1P2⟩ + ⟨P2P5⟩について，∂c を求めよ． 定理 16 Kが連結であるとき，H0(K) ∼=
Z
になる. 定義 51 単体複体K を連結なものに分けた１つ１つを連結成分という． 定理 17 K1,· · · , KmをKの連結成分とする． このとき，Hq(K) ∼= Hq(K1)⊕ · · · ⊕ Hq(Km) (q ≥ 0)§15.
マイヤー・ビートリス完全系列
K: 単体複体 K1, K2: Kの部分複体 (すなわち，K1, K2はKの部分集合で，かつ，単体複体) 問題 21 K1={|P0P1P2|, |P0P1|, |P1P2|, |P2P0|, |P0|, |P1|, |P2|} K2={|P0P2P3|, |P0P2|, |P2P3|, |P3P0|, |P0|, |P2|, |P3|} K1∩ K2がKの部分複体になっているかを調べよ． 補題 4 一般に，Kの部分複体K1, K2について，K1∩ K2は部分複体になる． 目的 以下，∆q : Hq(K1∪ K2)→ Hq−1(K1∩ K2)の構成を目指す． [z]∈ Hq(K1∪ K2)とする． c1∈ Cq(K1)とc2∈ Cq(K2)が存在して，z = c1+ c2と表せる． 定義 52 ∆q : Hq(K1∪ K2)→ Hq−1(K1∩ K2)を ∆q([z]) = [∂(c1)] により定義する． 注意. このとき，z = c1+ c2の表し方によらずに，Hq−1(K1∩ K2)が定まる． 問題 22 K ={|P0P1|, |P1P2|, |P0P2|, |P2P3|, |P0P3|, |P0|, |P1|, |P2|, |P3|}， K1={|P0P1|, |P1P2|, |P0P2|, |P0|, |P1|, |P2|}， K2={|P0P2|, |P2P3|, |P0P3|, |P0|, |P2|, |P3|} について，z =⟨P0P1⟩ + ⟨P1P2⟩ + ⟨P2P3⟩ + ⟨P3P0⟩とするとき，∆q([z])を求めよ． 定義 53 i : K1∩ K2→ K1 包括写像(すなわち，i(x) = x) i′ : K1∩ K2→ K2包括写像(すなわち，i′(x) = x) j : K1→ K1∪ K2 包括写像(すなわち，j(x) = x) j′ : K2→ K1∪ K2 包括写像(すなわち，j′(x) = x) i, i′, j, j′は単体写像になる． 誘導する準同形を，それぞれ， i∗ : Hq(K1∩ K2)→ Hq(K1), i′∗: Hq(K1∩ K2)→ Hq(K2) j∗: Hq(K1)→ Hq(K1∪ K2), j∗′ : Hq(K2)→ Hq(K1∪ K2) とするとき， 直和Hq(K1)⊕ Hq(K2) ={(z, w) ; z ∈ Hq(K1), w∈ Hq(K2)}に対して， ψq : Hq(K1∩ K2)→ Hq(K1)⊕ Hq(K2) ψq([z]) = (i∗([z],−i′∗([z])) φq: Hq(K1)⊕ Hq(K2)→ Hq(K1∪ K2) φq([z1], [z2]) = j∗([z1]) + j∗′([z2]) と定義する． 定理 18 マイヤービートリス完全系列とは，∆q+1 Hq(K1∩ K2) ψq −→ Hq(K1)⊕ Hq(K2) φq −→ Hq(K1∪ K2) ∆q Hq−1(K1∩ K2) ψ−→ Hq−1 q−1(K1)⊕ Hq−1(K2) φ−→ Hq−1 q−1(K1∪ K2) ∆q−1 H0(K1∩ K2) ψ0 −→ H0(K1)⊕ H0(K2) φ0 −→ H0(K1∪ K2) ∆0 0 定義 54 一般に，準同形写像f : A→ B について， Im f とはf (A) ={f(x) ∈ B ; x ∈ A}であり， Ker f とは{x ∈ A ; f(x) = 0}のことであった． 定義 55 A1, A2,· · · , An: 可換な群 準同形f1: A1−→ A2, f2: A2−→ A3, fn−1: An−1−→ Anが完全系列をなすとは， Im fi= Ker fi+1が成り立つときとする． 従って，マイヤビートリスでは，次が成り立っている． (1) Im ∆q = Ker ψq−1 (2) Im φq = Ker ∆q (3) Im ψq = Ker φq
