河川流の乱流力学とモデリング
*名古屋工業大学 工学部
冨 永 晃 宏†
Turbulence Dynamics in River Flows and Its Modeling
Akihiro TOMINAGA,
Faculty of Engineering, Nagoya Institute of Technology (Received 1 May, 2010; in revised form 1 July, 2010)1 はじめに 河川において流れを理解することにはいくつかの 意義がある．まず洪水時には堤防高さ（実際には余 裕高を引いた計画高水位の高さ）までの水深でどれ だけの流量を流しうるかが問題となる．これは開水 路乱流の抵抗則の話であり，河道の摩擦損失を与え る粗度係数の評価が最も重要となる．河川の境界条 件は何一つ同じものはなく，河床材料，河道内植生， 断面形状，護岸・護床工の人工粗度等の抵抗の評価 や，断面変化や粗度の急変等の局所的抵抗の評価が 必要である．しかし，流れに抵抗を与えるこれら個々 の要素の積み重ねから全体の抵抗を予測することは 困難であり，全体の平均としての，見かけの粗度係 数を経験的に導くにとどまる．また，これらの精度 を検証するには，河川の正確な流量を知る必要があ るが，これがまた困難である． 河川はまた，土砂を境界に持つ河道が洪水によっ てどのように変形するかという問題も抱えている． この場合はもう少し流れの詳細が必要となり，流速 分布や乱れの大きさが重要となる．局所的な洗掘や 堆積は別にして，底面の土砂の輸送を考えるには， 掃流力（＝底面せん断応力）の把握が必要であり， 砂粒子の掃流限界には乱れの考慮が不可欠である． 浮遊砂の巻き上げの評価については乱れの組織構造 にまで展開することもある．また，最近では，河川 の自然環境保全の見地から，特に河川植生が存在す る流れ構造の問題が注目を集めるようになった． また，河川の境界には非一様性が普遍的に存在し ているが，河川の環境的要素を考慮した管理が要求 される中で，これまで見かけ上の粗度係数の変化に 含められていたような複雑な流れ構造の影響を合理 的に説明することが求められるようになった．河道 横断面形状に起因する潤辺粗度の非一様性，複断面 河道や樹木群を有する河道の横断方向流速の不均一 に伴う付加せん断応力の評価，二次流を伴う３次元 的流れの影響の考慮等がなされている．これらは， 近年の実験・観測技術の進歩や数値予測手法の発達 によって新たな展開を見せており，活発な研究が行 われている．さらに，蛇行，湾曲といった河道平面 形状ならびに水制や床止めのような河川構造物の河 川流に及ぼす影響も河川工学上は重要な課題であり， 様々な角度から研究されている． ここでは，河川の実務的側面よりも流体力学的側 面から見た流れとしての特性に重点を置き，河川流 において見られる複雑な境界条件のうちできるだけ 基本的な要素のみに着目し，これまでの研究成果を 振り返るとともに，今後解決すべき課題を明らかに しようとするものである． 2 一様な開水路流れの乱流構造 河川の流れは言うまでもなく乱流であり，せん断 乱流の基本的特性を有しているが，自由水面を有し ている点と，境界条件に自然的要素が強く複雑であ る点が特徴といえる．流れのスケールから見れば， 日本の河川では，水深で数10cm から数 10m，川幅 で数10m から数 100m の範囲で，水深で規定される レイノルズ数は104から108程度である．開水路流れ の河床の抵抗は最も基本的な課題であり，水位計算 や河床変動計算の基礎となるものである．河川流の 断面形状や粗度の不均一による 3 次元性については 次節に譲り，ここでは横断方向には一様な２次元的 な流れ場について検討したものを取り上げる． *〒466-8555 名古屋市昭和区御器所町 †E-mail: [email protected] 〔特集〕防災の水工学
2.1 滑面開水路の乱流構造
流れの抵抗則を得るには，流速分布やレイノルズ 応力分布といった乱流の内部構造を明らかにする必 要がある．その基本となる滑面開水路の乱流構造に ついては詳細な研究が行われ，普遍的な乱流特性が かなり明らかとなっている．Nezu & Rodi1)は，開水 路乱流を LDA を用いて詳細に計測し，乱れ特性量 の普遍分布特性を明らかにした．また，これらは Nezu & Nakagawa の IAHR モノグラフ”Turbulence in Open-Channel Flows” 2)に詳しい．高い精度の実験結 果から，ウエイク関数を付加した開水路乱流の対数 則分布式が提案されている．
Π
+
+
=
h
z
A
z
U
U
U
2
sin
2
ln
1
* 2 *π
κ
ν
κ
(1) ここに，Uは平均流速，U*は摩擦速度，zは底面か らの距離，ν
は動粘性係数，hは水深であり，カル マン定数κ
=0.41，積分定数A=5.29であるとした． また，ウエイク関数のパラメータΠについては，レ イノルズ数R*(=U*h/ν)≅500以下ではほぼゼロで， 5 *≥1.0×10 R ではΠ≈0.2に収束するとしている．開 水路流れは自由水面があるため，間欠的バルジ運動 を有する境界層流れに比べて小さな値となっている． さらに，乱れ強度については，重要な普遍分布式が 提案されている2)．(
C
z
h
)
D
U
u
'
/
*=
uexp
−
k/
(2)(
C
z
h
)
D
U
v
'
/
*=
vexp
−
k/
(3)(
C
z
h
)
D
U
w
'
/
*=
wexp
−
k/
(4) ここに，u
'
=
u , 2v
'
=
v and 2w
'
=
w であり，2 それぞれ主流方向（x
），横断方向（y
）および鉛 直方向（z
）の乱れ強度である．開水路乱流におい て 定 数 項 は ，Ck =1.0，Du =2.30，Dv=1.63， 27 . 1 = w D が与えられている．これらの結果は開水路 乱流の研究者によって数多く引用されている．また， 開水路流れのバースティング現象についても４象限 区分法等により，ejection，sweepの特性が明らかに されている2)． 2.2 種々の粗度を有する開水路の乱流構造 開水路流において河床はほとんど粗面であり，移 動床では河床が河床波の形成によって変形したり， 粗い河床材料や植生など浸透性のある場合があった り，多種多様な場合が考えられる．したがって，河 川においては粗面乱流の特性を理解することが必要 である．粗面に対する対数則は，B
k
z
z
U
U
s d+
+
κ
= ln
1
* (5) と表現され，zdは対数則の仮想底面の粗度頂部高さ からの距離，ksは相当砂粒粗度高さである．Bは積 分定数で，粗度レイノルズ数ks+ =U* sk /ν
の関数で あり，ks+が十分大きい完全粗面ではB=8.5となる． 粗面の形態は多種多様であるが，代表的に一様稠密 粗度，桟粗度に関して詳細な実験がある．直径dの 球形の一様稠密粗度では仮想底面高さはzd =d/4 とされる2)．桟型粗度では桟粗度の高さdと桟の間 隔Lとの比によって変化し，L /dが8～10で摩擦損 失係数が最大となる特性が明らかにされている3-5)． いずれの粗度においても，粗度近傍の粗度の後流に 影響される層（roughness sublayer）6)より上の外層で 対数則が成立し，カルマン定数κは滑面と変化がな いことが知られている5,7)．乱れ強度についても外層 ではほぼ普遍分布式に従うが，底面近傍では滑面に 比べて減少する．レイノルズ応力についても底面近 傍を除く外層で理論上の直線分布式h
z
U
uw
21
/
*=
−
−
(6) が 成 立 す る ． 粗 面 乱 流 の 抵 抗 特 性 は ，roughness sublayer より上の外層における乱流構造の普遍特性 を利用して，摩擦速度を適切に見積もることで推測 できる． 現地計測においては電磁流速計を用いた計測が主 流であったが，最近では超音波ドップラー流速計 （ADV）を用いた実河川における乱流計測が盛んに 行われるようになった．乱れ計測においてはドップ ラーノイズの除去が課題となっており種々の議論が あるものの，現地条件下での計測の容易さと比較的 高い計測精度により普及が進んでいる．ここでは著 者らが河川においてADVによって計測した例を示 す8)．計測条件を表1に，図1，2，3に平均主流速， レイノルズ応力および乱れ強度の鉛直分布をそれぞ れ示す．ここに，d50，d90はそれぞれ河床砂礫の50% および90%粒径，Umは水深平均流速，U*は対数則 (5)のフィッティングから計算された摩擦速度，ksは B=8.5として逆算された相当粗度高さ，U*t，U*rは 表1 現地河川における計測条件の例（Y川） 地点 A B C h [cm] 20.0 35.0 53.0 d50 [cm] 0.76 1.19 1.19 d90 [cm] 2.20 3.80 3.80 Um [cm/s] 20.7 30.0 40.6 U* [cm/s] 2.02 4.21 3.67 ks [cm] 3.21 20.10 6.93 U*t [cm/s] 1.74 3.03 3.41 U*r [cm/s] 2.05 3.23 3.43 Re(=Umh/ν) 4.14x104 1.05x105 2.15x105 Fr(=Um/ gh) 0.15 0.16 0.18それぞれレイノルズ応力分布式(6)および主流方向 乱れ強度分布式(2)に対する外層でのフィッティン グから求めた摩擦速度である．現地河道ではz=0とな る底面位置を厳密に決定するのが困難であるため， 計測位置の河床最上部を底面としている．主流速分 布ではB地点において河床近傍で対数則より小さく なるが，外層の分布から摩擦速度を求めている．ま た，この粗面開水路流ではウエイク領域が見られず， 水面まで対数則が成立する．レイノルズ応力−uwは 底面近傍でばらつくもののほぼ直線分布に従ってい る．乱れ強度はz/h>0.2ではほぼ普遍分布式に一致し ており，式(2)から摩擦速度U*rが良好に評価できる ことが分かる．また，v'，w'も同様に式(3)，(4)に 一致し，非等方な乱れ特性の普遍性が高いことが確 認される．３種類の方法で得られた摩擦速度は概ね 一致することがその他の計測結果からも確認されて いるが9)，計測地点の河床砂礫の配列状況や前後左 右の河川地形の影響などが局所的に現れることは否 めない．地点Bでは対数則から求めたU*が乱れから 求めた他の値に比べて大きくなっているが，これは 局所的粗度配置の影響が考えられる．Nikoraらは河 川乱流の計測においては，時間平均に加えて空間平 均を施すことが有用であると主張している10)．上に 示した乱流特性量に関する分布式は基本的に普遍的 であり，これから外れる場合には，その原因が粗度 の形態や二次流およびはく離流れ等のいずれによる のかを考慮する必要がある．そうした中でも乱れ強 度の普遍分布関係から摩擦速度を推定する方法は計 測が比較的容易で，計測値のばらつきも少ないため 有用な手法になりうると考えられる． また，粗度高さに対する相対水深h /d が数倍程度 まで小さくなると，roughness sublayerの占める領域 が増大し，レイノルズ応力の直線分布式(6)に対する 欠損が底面近傍領域で顕著となることが指摘されて いる11)．このレイノルズ応力の欠損は一様な球形粗 度の場合にも見られており，粗度要素間の鉛直平均 流速の場所的変化に伴う運動量輸送に起因すると考 えられるが，実験精度の問題から今後も検討すべき 課題である12)． 河川乱流においても乱流モデルとしてはk-εモデ ルが用いられることが多い．粗面乱流においても滑 面と同様の乱れエネルギー発生率と逸散率の平衡を 仮定し，壁面最近点での流速に粗面対数則式(5)を用 いることでそのまま適用されている．先述の河川に おける計測においても主流速変動のスペクトル分布 がKolmogoroffの-5/3乗則に従う慣性小領域の存在が 確認された8)．これから粘性逸散率
ε
を評価でき， k-εモデルの妥当性が概ね確認されたが，roughness sublayerにおける乱れの平衡条件についてはさらに 検討が必要であろう．また，流速の境界条件として は河床粗度に対応する粗度高さk
sを決定しておく 必要がある．砂礫床河川では，河床材料の粒径分布 から得られる代表粒径と関係づけられれば都合がよ いが13)，流れ場に影響される場合が多く一義的に決 定するのは困難である． 一方，自然環境に配慮した河川管理が提唱される 中で，底面に植生を有する開水路流れが多くの関心 を集めている．植生層内では植生密度に応じた固有 の流速場が存在し，ここでは乱れ強度はあるものの， レイノルズ応力が発生しない流れ場となる．植生層 と上層との境界面では流速分布に変曲点が現れ，レ イノルズ応力が発生する14)．清水らは植生の個々の 要素を空間的な粗視化によって平均した流れの基礎 方程式の中に植生の形状抵抗を与えるとともに，k-ε モデルの輸送式の中に植生による乱れの生成項を記 述することで計算に取り入れた15)． このような流れ場は通常の粗面流れとは見かけ上 0 5 10 15 0.01 0.1 z /k 1 10 s U/ U* A B C eq.(5) 図 1 平均主流速の鉛直分布（Y 川） 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 z/h -uw /U *t 2 A B C eq.(6) 図 2 レイノルズ応力−
uw
の鉛直分布（Y 川） 0 0.5 1 1.5 2 2.5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 z/h u'/ U*r , v' /U *r , w '/U *ru'(A) v'(A) w'(A) u'(B) v'(B) w'(B) u'(C) v'(C) w'(C) eq.(2) eq.(3) eq.(4)
異なるようであるが，粗度要素の密度が小さい場合 には同様の現象が認められ，粗面流れに含めて考え ることができると考えられる，空間平均的な粗度に よる形状抵抗を考慮した乱流モデルによって統一的 に扱うことも今後検討すべき課題である．また，空 間平均とは逆に粗度要素を一つ一つ境界条件として 組み込み通常の滑面の境界条件のもとで乱流モデル を計算することにより，結果的に粗度要素の効果を 予測する手法も考えられる．桟粗度については，低 Re数k-εモデルを用いて，正方形断面の相対水深h /d が２通りの桟粗度について相対桟間隔L /dを変え て計算した結果，摩擦損失係数f と相対桟間隔の関 係を良好に再現することができた16,17)．これを図4に 示す．また，三角形の断面を持つ桟粗度のケースで は抵抗がこれらよりも増大することが報告されてい るが18)，粗度要素の形状に対応した乱れ構造の変化 を予測できるかどうかは乱流モデルの検証課題であ る．最近では，河川流にLES計算を適用する例も見 られるが，やはり壁面の境界条件の取り扱いが課題 となっている19,20)．これについてはさらなる現地で の河川乱流に関するデータ収集が必要である． その他の粗度については，河床波を想定した波状 の河床条件の下での乱流構造に関心が高い．この場 合は単に河床形状による抵抗の変化よりも，１波長 間の流れ構造の再現や周期的で組織的な流れ構造と 浮遊砂輸送プロセスの解明に焦点が当てられている 21,22)．また，河床波発達状態で活発になる組織構造 と水面にわき上がる渦構造として知られるコルク・ ボイル渦の形成に関する検討が行われている23)．こ れらは３次元の渦構造であることから，近年では DNSによる数値シミュレーションが行われ，バース ティングに見られるヘアピン渦が水面に達してコル ク・ボイル渦となるプロセスが再現されている24)． 植生についても，流れに対して変形しない剛な植生 に加えて，変形し揺動する柔な植生も対象とされる 25)．いずれの場合も植生層と上層の境界における大 きな流速勾配によるせん断不安定に起因する組織渦 構造が顕著に観察される点が特徴である．Nezu & Sanjoはこうした植生キャノピーが存在する開水路 流れの乱流構造に関して詳細なレビューを行ってい る26)．植生が流れによって組織的な揺動を示す現象 は空気流に対しては穂波と呼ばれるが，水草に関し ては藻波（Monami）現象として検討されている． 河川流の防災的な観点からは，護床ブロックや護 岸ブロックの安定性が問題となる．これらについて は直接抗力や揚力を計測する実験から経験的な安定 限界を算定することが主体となっている．人工的ブ ロックはまた，生態系にとって有益な多様な空間を 提供することもあり，今後は粗度近傍の流れ構造を 詳細に把握した上で自身の安定性と周辺への影響を 予測していくことが必要となろう． 2.3 自由水面の効果 河川流のもう一つの特徴としては自由水面を有す る点が挙げられる．管路流の対称面や境界層外縁と 異なり，自由水面は一種の壁のような働きをし，長 さスケールの減少をもたらす．フルード数が小さい 場合には乱れ強度の鉛直成分が自由水面近傍で大き く低減することが知られている2,27)．これは自由水面 で乱れのエネルギーが流速変動の鉛直成分から主流 方向および横断方向に再配分される割合が増加する ためである．k-ε乱流モデルにおける自由水面での境 界条件としては，水面で乱れエネルギーkに減衰係 数をかけることで表現できる2,28)．この条件は後の章 で述べる乱れに起因する二次流の形成に与える自由 水面の効果として重要である．一方，フルード数が 大きくなるにつれて水面変動が増加し，鉛直成分へ の再配分率が増加して鉛直方向乱れ強度が増大する ことが指摘されている29)．自由水面における乱れの 特性は，水面を通してのガス交換に重要な役割を果 たしており，乱れの組織構造や風による波動と共存 する場合の乱れ構造に関する研究も活発に行われて いる． 3 直線開水路の断面形状と二次流 河川の抵抗則や河床変動をより高精度に評価する ためには，開水路の断面形状の違いや側壁・護岸の 粗度等が流速の３次元分布構造や壁面せん断応力の 局所的分布に与える影響を明らかにすることが必要 とされる．開水路の３次元的な流れ構造を支配する 100 101 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 L/d
f
Exp. for squ. (h/d=16) Exp. for squ. (h/d=10) Cal. for squ. (h/d=16) Cal. for squ. (h/d=10)
. . . . . . . . ( . ( . ( . ( 100 101 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 L/d
f
Exp. for squ. (h/d=16) Exp. for squ. (h/d=10) Cal. for squ. (h/d=16) Cal. for squ. (h/d=10)
. . . . . . . . ( . ( . ( . ( 図 4 開水路桟粗度乱流における摩擦損失係数 f と 相対桟間隔L/dの関係の計算による予測16)
要素として壁面の摩擦抵抗とともに二次流がかなり 大きな役割を果たしていることが知られている．こ の二次流の発見は，幅の狭い開水路の流速分布にお い て最大 流速 が水面 より 下に現 れる ，いわ ゆる velocity dip現象を説明するために推測されたもので ある30,31)．二次流は非常に流速が小さいため以前は 計測が困難であったが，近年の詳細な計測によって その構造が明らかとなり，流速分布のひずみや局所 的せん断応力の増減との関係が明らかにされてきた． 二次流の生成機構については次の流下方向の渦度方 程式で説明される． z U y U x U z W y V x U t ∂ ∂ ζ ∂ ∂ η ∂ ∂ ξ ∂ ∂ξ ∂ ∂ξ ∂ ∂ξ ∂ ∂ξ + + + = + +
(
2 2)
2 w v z y y uw z uv x + − − + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (7) ξ ν ∂ ∂ ∂ ∂ 2 2 2 2 2 ∇ + − + vw y z z V y W ∂ ∂ − ∂ ∂ = ξ (8) Prandtl の第１種の二次流は式(7)の右辺第１項の渦 度の引き延ばしに起因するもので，せん断流れに遠 心力が働く湾曲部の二次流に代表される流れである． 直線河道の二次流は右辺第３項の乱れの非等方，非 一様性に起因し，Prandtl の第２種二次流と呼ばれる． 長方形の閉管路において等流速線が角に向かって 突出する現象を説明する二次流パターンでは，開水 路のvelocity dip現象が説明できず，開水路では自由 水面の存在が二次流パターンを変化させていること が予想される．図5は長方形断面の閉管路と開水路， 側壁を傾斜させた台形断面開水路および複断面開水 路の二次流構造の変化を模式的に示したものである 32-35)．これらの二次流構造の変化は，水平方向と鉛 直方向のレイノルズ垂直応力の差，(v2−w2)の分布 にしたがって二次流の構造が変化することが流下方 向の渦度方程式(7)の解析から示されている36)．閉管 路では(
v
2−
w
2)
は隅角部の角の２等分線を軸とし て対称な分布を示すことから，コーナーへ向かう二 次流が発生するのに対し，開水路では自由水面の効 果によりコーナー対角線に対する対称性が崩れるた め，側壁側の渦Aが自由水面に沿って水路中央側へ 拡大し，底面側の渦Bが縮小する．水面に沿う二次 流Aに よ る側 壁 付 近の低 速 流 の中央 へ の 輸送が velocity dip現象をもたらしたのである．このような 二次流構造の存在は，実験水路だけでなく規模の大 きい野外の流れ場でも観測された37)．図6は，水路幅 4.1m，水深1.6m，平均流速0.42mの用水路で計測さ れた主流速，二次流，垂直応力差(
v
2−
w
2)
の分布で ある．レイノルズ数は6.1x105，フルード数は0.11で ある．最大流速は水面より下に現れ，velocity dip現 象が明らかであり，二次流構造もNezu & Nakagawa の実験水路における結果32)とよく一致している．式 (7)における二次流発生項であるレイノルズ垂直応 力差についても実験水路における計測結果と同様で あることがわかる． この二次流は乱れの非等方性に起因することから， 壁面の粗度の変化や側壁の傾斜によってその生成機 構が影響される．二次流の直接計測や主流速分布の 変化特性より，長方形断面の側壁の粗度が底面の粗 度に対して大きくなるにつれて，二次流の横断方向 スケールが増大することが指摘されている36)．側壁 を傾斜させるとやはり乱れの非等方非一様効果が変 A B (a)長方形断面閉管路 A B C A B C (b)長方形断面開水路 A C B A C B (c)台形断面開水路 (c)複断面開水路 図 5 断面形状の変化に伴う二次流構造の変化 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 0.0 0.5 1.0 z/h y/h U/Umax 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 0.0 0.5 1.0 z/h y/h U/Umax (a)主流速 0.0 0.5 1.0 0.0 0.5 1.0 z/h y/h Ψ/(Umaxh) (x103) 0.0 0.5 1.0 0.0 0.5 1.0 z/h y/h Ψ/(Umaxh) (x103) 0.0 0.5 1.0 0.0 0.5 1.0 z/h y/h (v2-w2)/U *2 0.0 0.5 1.0 0.0 0.5 1.0 z/h y/h (v2-w2)/U *2 (b)二次流流線 (c)二次流発生項 図 6 開水路乱流三次元構造に関する野外計測結果化し，二次流構造が変化する35,36)．長方形断面にお ける水面側の渦Aが消滅し，これとは逆回転の新た な二次流Cが水面と側壁で挟まれた空間に発生し， 底面側の渦Bがより発達する．その結果velocity dip 現象は見られなくなり，コーナーへ向かう流れが卓 越するようになる．複断面開水路では低水路と高水 敷の境界で斜めに上昇する流れが特徴的である． このような開水路特有な二次流の再現には，乱れ の非等方性を考慮したレイノルズ応力モデルまたは 代数応力モデルが適用される38,39)．水面の境界条件 としては，自由水面を弱い壁と仮定して逸散率に壁 関数を適用し，長さスケールを調整する方法がとら れた．二次流は長時間平均された流れ構造であり， 瞬間的な渦構造の集積された結果であることから， 横断面内の流れの可視化から二次流構造を説明しよ うとする試みもみられ，底面隅角部および水面隅角 部において拘束された縦渦構造が時間平均され二次 流構造をもたらすことが示された40-42)．一方，数値 計算においてもDNSによる長方形断面開水路の乱流 計算が行われており，velocity dipをもたらす水面側 の二次流に加えて，水面と側壁に挟まれた領域にこ れとは逆回転の渦Cの存在を予測している43)．これ は河川の側岸付近によく見られるボイル現象を説明 するものとされる．また，台形断面の側壁付近で発 達した二次流はこの渦が発達した可能性がある． 以上はいずれも側壁の存在が二次流発生の原因と なっていたが，底面粗度や掃流砂，浮遊砂等の不均 一からも二次流が発生することが知られている．木 下は木曽川の洪水時における水面の航空写真に流れ に平行な縞模様ができていることを発見し，水深規 模の縦渦群である並列らせん流を推定した44)．この ような例は河床の縦筋の発生や浮遊砂濃度分布の横 断方向変化特性などからも推測されている．また， 流れに平行な桟粗度などの縦筋形状の底面への設置 や横断方向に不均一な粗度の配置によって二次流を 生成させることができる45-47)．この例として，粗面 と滑面を水深間隔で横断方向に配置したときの二次 流構造，主流速コンターおよび乱れ強度コンターを 図7に示す48)．粗面上で下降流，滑面上で上昇流を生 じ，主流速は底面粗度よりもむしろ二次流に支配さ れ，粗面上で増大，滑面上で減少する．乱れ強度， レイノルズ応力は底面近くでは粗面上が大きく滑面 上が小さいが，底面から離れると二次流による輸送 が卓越し，粗面上が小さく滑面上が大きくなる． 第２種二次流の流速は，平均主流速の約2～4％程 度と小さく，高精度の計測が必要とされる．しかし， 二次流は継続的に運動量を輸送するため，主流速分 布や底面せん断応力分布には大きく影響する．逆に 主流速や底面せん断応力の分布形状から二次流のパ ターンをある程度推測することができる．二次流を 強制的に与えたシミュレーションから，二次流は平 均主流速のわずか2％でも大きく主流速分布を変化 させ，底面せん断応力
τ
bに±20%の変動を生じさせ ることが知られる49)．したがって，二次流の変形に 伴い底面せん断応力の最大値が大きく変化する可能 性がある．特に台形断面ではコーナーへ向かう二次 流が発達するためコーナー付近のせん断応力が増大 することに注意しなければならない． 4 湾曲開水路の二次流と流れ 河道の湾曲部は堤防の洗掘，水位上昇，流水抵抗 の面から治水上マイナスの働きをすると考えられる が，豊かな生態系を育む自然環境を提供し，また変 化に富む河川の景観美を与えている．湾曲部の流れ は遠心力に起因する二次流の発生と，これによる湾 曲部外岸側の洗掘および内岸側の堆積という河床変 動によって特徴づけられる．中小河川のような比較 的幅水深比の小さな場合の湾曲部では，側壁や断面 形状の影響を受けて二次流構造が変化しやすいもの と考えられ，構造物による制御を考える上でも，二 次流構造を良く理解することが重要である． 最も単純な長方形断面の湾曲部における二次流構 造を図8に示す50)．図8(d)に示す(a)，(b)，(c)３断面 における二次流をそれぞれ示している．図は下流か ら見た図となっており，右側が外岸側である．二次 流は湾曲部入口から発達し始めφ=60ﾟの湾曲出口で 最大となり，ここから減衰していく．二次流渦は通 常の湾曲部の二次流に加えて外岸に直線開水路で見 粗面 滑面 粗面 滑面 粗面 滑面 粗面 粗面 滑面 粗面 図 7 粗面と滑面を交互に配置した開水路流れの二次流， 主流速，乱れ強度の分布られた水面側の渦が存在している．前者を湾曲渦， 後者を外岸渦と名付けることとすると，外岸渦は流 下とともに発達し，水深規模の渦になり，湾曲渦は 水路幅の約70％程度の規模に縮小する．湾曲上流 90cmの平均せん断応力で無次元化された底面せん 断応力の平面コンターを図9に示す．底面せん断応 力の極大値は，湾曲開始点近くの内岸沿いから流下 するにつれて湾曲終了後の直線部の外岸付近へと移 動している．この外岸のピーク位置は明らかに二次 流の下降流位置に対応している． 次に，台形断面開水路の湾曲部における側壁傾斜 角の減少に伴う二次流構造の変化を図10に示す51)． θ=60ﾟでは基本的に長方形断面と同様の二次流構造 を示している．θ=45ﾟでは側壁の傾斜角の減少に伴 い外岸渦が明確に形成されず，傾斜側岸上の狭い範 囲に限られた小規模の弱い渦構造が残るだけである． その結果，外岸の側壁コーナー付近で下降する渦が 単独で存在するようになる．θ=30ﾟでは外岸渦が全 く見られなくなり，湾曲渦が全断面をカバーする単 一渦構造となる．ただし，内岸コーナー付近を中心 とする強い回転成分を持つセルの存在が認められる． 以上のような湾曲開水路流れの数値予測について は，杉山らが自由水面の境界条件を直線開水路の場 合と同様とした代数応力モデルによって詳細に検討 している52,53)．特に，外岸における外岸渦の発達を 良好に再現しており，湾曲部における第２種二次流 と第１種二次流の相互作用を明らかにしている． 治水的には河川湾曲部外岸の洗掘と内岸の堆積が 問題となり，これには二次流が大きな役割を果たし ていることから，人工的構造物によって二次流を制 御しようとする試みが行われている．この例として， 底面に設置するベーン工や護岸に設置する桟粗度な どがある54,55)．これに対し，流れに平行な桟粗度な どの縦筋形状の底面への設置や横断方向に不均一な 粗度の配置によって二次流を生成させることができ る56-58)．このように，乱流構造の詳細な知見を元に 積極的に流れ構造を制御しようとする試みも続けら れている．このことは治水と環境の両立を目指す河 川管理のあり方を考える上で重要なテーマであり， 複雑な断面形状についても流れ構造を実験的に明ら かにすることが必要であると同時に，数値予測手法 の発達に期待するところが大きい． 5 その他の河川乱流の特徴 その他の河川乱流を特徴付ける要素として，土砂 輸送の影響，洪水時の非定常性の影響，横断方向の 速度差による付加抵抗などがあげられる．土砂輸送 R-5 φ=30ﾟ 0.20Um z(c m)15 10 5 0 y(cm) 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 R-5 φ=30ﾟ 0.20Um z(c m)15 10 5 0 y(cm) 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 (a) R-5 0.20Um z(cm) 15 10 5 0 y(cm) 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 φ=60ﾟ R-5 0.20Um z(cm) 15 10 5 0 y(cm) 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 φ=60ﾟ (b) R-5 x'=135cm 0.20Um z (cm) 15 10 5 0 y(cm) 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 R-5 x'=135cm 0.20Um z (cm) 15 10 5 0 y(cm) 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 (c) FLOW θ =60 ﾟ R=2.7m 10.8m 3.6m B=0.9m (a) (b) (c) FLOW θ =60 ﾟ R=2.7m 10.8m 3.6m B=0.9m (a) (b) (c) (d) 図 8 長方形断面開水路湾曲部の二次流の発達過程 -240 -210 -180 -150 -120 -90 -60 0 30 -30 60 90 0.8 0.6 1 1 1.2 1.2 1.2 1.4 1.4 1.8 1.6 1.6 0.8 -90 0 90 180 270 ξ(cm) η (cm) R-5 τbx/τbxO 図 9 底面せん断応力コンター 0.20Um z( cm) 15 10 5 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 y(cm) T-1 Section 6 60 ﾟ 60ﾟ 0.20Um z( cm) 15 10 5 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 y(cm) T-1 Section 6 60 ﾟ 60ﾟ T-2 Section 6 60ﾟ 0.20Um z(cm )15 10 5 0 y(cm) 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 45ﾟ T-2 Section 6 60ﾟ 0.20Um z(cm )15 10 5 0 y(cm) 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 45ﾟ T-3 Section 6 60 ﾟ 0.20Um z(cm) 15 10 5 0 y(cm) 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 30ﾟ T-3 Section 6 60 ﾟ 0.20Um z(cm) 15 10 5 0 y(cm) 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 30ﾟ 図 10 台形断面湾曲水路の二次流構造の変化
の影響については，浮遊砂を含む流れにおいて，カ ルマン定数の減少が指摘されている．Nezu & Azuma はPTV法により流体と粒子の運動を同時に計測した 結果，粒子濃度の増加とともにカルマン定数が減少 することを確認している59)．また，壁面近傍ではよ り高速な粒子が降下することにより粒子速度が流体 より大きくなり，その結果流体の乱れ強度を増大さ せることを示した60)． 洪水流は現地での観測からその水位上昇期および 下降期で大きく流れ構造が変化することが指摘され ている．まず，横断方向に一様な２次元的流れの鉛 直方向の乱流構造の非定常流に対する応答特性が実 験的に検討されている61,62)．さらに，時間的非定常 性を場所的非一様性に置き換えて，加速・減速流あ るいは圧力勾配の流れに及ぼす効果を検討した研究 がある63,64)．開水路の洪水流では，水位ピークより 前に流速のピークが現れることは知られているが， 乱れ強度およびレイノルズ応力は増水期の方が大き くなり，減水期は小さくなることが確認された．管 路流と比較すると，開水路の増水期が管路の減速流 すなわち圧力勾配が流れ方向に減少する流れに，減 水期が管路の加速流すなわち圧力勾配が流れ方向に 増加する流れに対応付けられることが示された59)． また，これらの研究により，非定常流れにおいても 対数則が成立すること，せん断応力のピークは水位 ピークより前に現れることなどが明らかにされてい る．洪水時の流れは水面にボイルや砂の巻き上げを ともなう激しい流れであり，河床形態との関連もあ るが，これを現地で計測しようという試みがなされ ている65,66)．洪水時には大規模な乱流構造が存在し， 強い低速上昇流が発生していることが示され，水面 勾配と摩擦速度の関係が現地計測と実験が比較検討 されている．今後さらに洪水時の河床変動と流れの データ数を蓄積することが望まれる． 横断方向の河床高や粗度の違い，植生の分布，構 造物の存在等により横断方向に流速差が生じる．こ のような横断方向せん断流の存在は，運動量の活発 な交換を引き起こし，付加的抵抗を生じさせ，流速 の横断分布を支配する．河川においては洪水時の水 位予測に関係する非常に重要なテーマであり，複断 面流れを含め数多くの研究がなされてきた．これに ついてはあまりに多岐にわたるため，ここでは触れ ずに別の機会に譲ることとする． 6 おわりに 以上，河川乱流における流体力学的な課題につい てこれまでの研究を振り返ってみた．２次元開水路 の基本的乱流特性はかなり普遍性が高く，実河川へ の適用可能であることが確かめられているが，底面 粗度の特性値の評価が課題として残されている．比 較的幅の狭い河川では，かなり複雑な境界条件にお ける３次元的乱流構造が明らかにされ，抵抗特性も より合理的な評価へと向かいつつある．流れの内部 構造の詳細な検討が，直接洪水流や開水路流れの抵 抗評価には結びつかない場合も多いが，環境輸送問 題を考える上では必要な知見となりうるであろう． また，河道の安定維持を考える上では，河床せん断 応力の場所的な分布や乱れの大きさ等の情報が必要 とされる．高度な開水路の抵抗評価を行う過程で， これらに関する情報が考慮されていかなければなら ない．また，数値シミュレーションは，個々の抵抗 要素を組み合わせて総合的に評価することができ， 有力な手法として確立されてきた．ただし，河川に おける実際の粗度係数や抗力係数および混合係数等 の評価自体が問題として残されている．実河川にお ける乱流計測も活発に行われるようになったが，や はり洪水時の乱流構造については計測が困難であり 実態は明らかではない．これについては今後さらに 観測を続けて解明していかなければならない問題で あろう． 引 用 文 献
1) Nezu, I. and Rodi, W.: Open-channel flow measurements with a Laser Doppler Anemometer, J. Hydraulic Engineering, ASCE, 112-5 (1987) 335-355.
2) Nezu, I. and Nakagawa, H.: Turbulence in open-channel flows, IAHR Monograph, Balkema (1993)
3) 足立昭平：人工粗度の実験的研究，土木学会論 文集，104 (1964) 33-44.
4) Knight, D. W. and Macdonald, J. A.: J. Hydraulic Engineering, ASCE, 105-6 (1979) 675-690.
5) 冨永晃宏：桟粗度の相対桟間隔が開水路の乱流 構造に及ぼす影響，水工学論文集，36 (1992) 163-168.
6) Raupach, M. R., Thom, A. S. and Edwards, I. A.: A wind tunnel study of turbulent flow close to regularly arrayed rough surface, Boundary-Layer Meteorology, 18 (1980) 373-397.
7) Tominaga, A. and Nezu, I.: Velocity profiles in steep open-channel flows, J. Hydraulic Engineering, ASCE, 118-1 (1992) 73-90.
8) 冨永晃宏，榊卓也：川幅急変部を有する砂礫床河 川における乱流計測と摩擦速度の評価，応用力
学論文集，12 (2009) 673-680.
9) 冨永晃宏，金田雪雄，神谷昌文：河川湾曲部にお ける３次元乱流構造の現地計測と底面せん断応 力 の 評 価 方 法 ， 水 工 学 論 文 集 ，38 (1994) 727-732．
10) Nikora, V., McLean, S., Coleman, S., Pokrajec, D., McEwan, I., Campbell, L., Aberle, J., Clunie, D. and Koll, K.: Double-averaging concept for rough-bed open-channel and overland flows: Applications. J. Hydraulic Engineering, ASCE, 133-8 (2007) 884-895. 11) 中川博次，辻本哲郎，清水義彦：粗度近傍の組織 的流速変動場が相対水深の小さな流れの乱流構 造に及ぼす影響，水理講演会論文集，33 (1989) 487-492. 12) 大本照憲，Sukarno Tohirin，松田健作：開水路粗 面乱流における抵抗則と運動量輸送，水工学論 文集，54 (2010) 979-984.
13) Smart, G. M.: Turbulent velocity profiles and boundary shear in gravel bed rivers, J. Hydraulic Engineering, ASCE, 125-2 (1999) 106-116. 14) 清水義彦，中川博次，辻本哲郎，北村忠紀：直立 性植生層を伴う流れ場の構造に関する実験的研 究，土木学会論文集，438 (1991) 31-40. 15) 清水義彦，中川博次，辻本哲郎：直立性植生層を 伴う流れ場の数値計算に関する研究，土木学会 論文集，447 (1992) 35-44.
16) Tominaga, A., Liu, J. and Nagao, M.: Numerical study of turbulent structure over strip roughness in open channel flow using a low Reynolds number turbulence model，土木学会論文集，521 (1995) 227-237.
17) Tominaga, A., Liu, J., Nagao, M. and Nezu, I.: Numerical study on turbulent structure over square and circular strip roughness in open channel flows, Flow Modeling and Turbulence Measurements, 6, Balkema, (1996) 505-512. 18) 冨永晃宏，田本典秀：三角形断面桟型粗度を有 する開水路流れの乱流構造，応用力学論文集, 5 (2002) 727-734. 19) 笠井大彰，中山昭彦：複雑境界上乱流の LES 計 算における壁面モデルの検証，水工学論文集， 53 (2009) 1051-1056. 20) 柴田良一，中山昭彦：LES による実河川河床掃流 力の予測，応用力学論文集，12 (2009) 681-689. 21) 禰津家久，門田章宏，賀建勳：開水路河床波上の 乱流構造に関する数値シミュレーション，水工学 論文集，41 (1997) 669-674. 22) 野口和則，禰津家久，山上路生：河床波の発達に 伴う浮遊砂流れの乱流構造変化と粒子・流体の相 互 作 用 に 関 す る 研 究 ， 応 用 力 学 論 文 集 ，10 (2007) 803-812. 23) 中川博次，禰津家久，松本利典，金沢文彦：開水 路河床波上の乱流構造と組織渦に関する研究， 水工学論文集，33 (1989) 475-480． 24) 林俊一郎，大本照憲，滝川清：DNS解析による砂 堆型河床上の組織的渦構造の解明，水工学論文 集，46 (2002) 385-390. 25) 池田駿介，金沢稔：可撓性を有する沈水性植生内 外の流れ及び植生境界で発生する組織渦の３次 元 構 造 に つ い て ， 水 工 学 論 文 集 ，38 (1994) 345-350.
26) Nezu, I. and Sanjo, M.: Turbulence structure and coherent motion in vegetated canopy open-channel flows, J. Hydro-Environment Research, 2 (2008) 62-90.
27) 禰津家久，中山忠暢：自由水面近傍の乱流構造と 水面変動との関連性に関する研究，土木学会論 文集，593 (1998) 69-78.
28) Gibson, M. M. and Rodi, W.: Simulation of free surface effects on turbulence with a Reynolds stress model, J. Hydraulic Research, IAHR, 27 (1989) 233-244.
29) 中山忠暢，禰津家久：開水路流れにおけるバース トの水面近傍での挙動及び乱れ構造との関連性 について，土木学会論文集，635 (1999) 31-40. 30) Sternes, F.P.: On the current meter, together with a
reason why the maximum velocity of water flowing in open channels is below the surface, Trans. of ASCE, 12-216 (1883) 331-338.
31) Gibson, A.H.: On the depression of the filament of maximum velocity in a stream flowing through on open channel, Proceedings of Royal Society, London, England, series A, 82 (1909) 149-159. 32) Nezu, I. and Rodi, W.: Experimental study on
secondary currents in open channel flows, Proc. of 21st IAHR Congress, Melbourne, 2 (1985) 115-119. 33) 冨永晃宏，江崎一博：長方形断面開水路流の３ 次元乱流構造に関する実験的研究，土木学会 論文集，357 (1985) 81-88． 34) 冨永晃宏，江崎一博，禰津家久：台形断面開水 路流の三次元乱流構造に関する実験的研究， 土木学会論文集，381 (1987) 55-63．
35) A. Tominaga and I. Nezu, Turbulent Structure in Compound Open Channel Flows, J. Hydraulic
Engineering, ASCE, 117-1 (1991) 21-41.
36) Tominaga, A., Nezu, I., Ezaki, K. and Nakagawa, H.: Three-dimensional turbulent structure in straight open channel flows, J. Hydraulic Research, IAHR, 27-1 (1989) 149-173.
37) 禰津家久，冨永晃宏，中川博次：河川乱流の野外 計測と２次流に関する研究，土木学会論文集， 467 (1993) 49-56.
38) Naot, D. and Rodi, W.: Calculation of secondary currents in channel flow, J. Hydraulics Division, ASCE, 108 (1982) 948-968.
39) Naot, D.: Response of channel flow to roughness heterogeneity, J. Hydraulic Engineering, ASCE, 110 (1984) 1568-1587. 40) 今本博健，石垣泰輔，梶間厚邦：開水路流れの側 壁近傍における 3 次元特性について，水理講演会 論文集，31 (1987) 431-436． 41) 今本博健，石垣泰輔：台形断面開水路流れの３次 元構造に関する実験的研究，水工学論文集，33 (1989) 517-522． 42) 石垣泰輔，今本博健，塩野耕二：開水路側壁近傍 の壁面せん断力分布と流れの３次元構造につい て，水工学論文集，39 (1995) 761-766． 43) 林俊一郎，本田逸郎，大本照憲：開水路水面隅角 部に生じる二次流の推進機構の解明，水工学論 文集，48 (2004) 655-660. 44) 木下良作：航空写真による洪水流の解析，写真測 量， 6 (1967) 1-17． 45) 中川博次，禰津家久，冨永晃宏：各種河床条件に おける縦渦を伴う流れの乱流構造，京都大学防災 研究所年報，24，B2 (1981) 315-338. 46) 中川博次，禰津家久，冨永晃宏：二次流を伴う流 れの乱流構造について，水理講演会論文集，26 (1982) 469-474. 47) 中川博次，禰津家久，冨永晃宏，若井健：開水路 流れの並列らせん流の発生機構について，水理 講演会論文集，27 (1983) 591-596. 48) 冨永晃宏，中村悦由，高橋正良：縦筋河床上の三 次元乱流構造について，土木学会第13 回関東支 部技術研究発表会講演概要集，(1986) 66-67. 49) 冨永晃宏：河川構造物の治水・環境機能，水工学 に関する夏期講習会，42A (2006) 7.1-7.20. 50) 冨永晃宏，長尾正志，千葉茂樹：幅水深比の小さ な長方形断面開水路の湾曲部流れ構造に関する 実 験 的 研 究 ， 土 木 学 会 論 文 集 ，607 (1998) 19-28． 51) 冨永晃宏，長尾正志，大沼保仁：台形断面開水路 湾曲部の２次流構造，水工学論文集，42 (1998) 895-900. 52) 杉山均，秋山光庸，亀澤正之：曲がり開水路乱流 の構造解析と二次流れ遷移に関する研究，土木 学会論文集，572 (1997) 11-21. 53) 杉山均，杉山真悟：粗面河床を有する曲がり開水 路 乱 流 に 関 す る 研 究 ， 土 木 学 会 論 文 集 ，747 (2003) 71-83. 54) 大同淳之：護岸粗度の制御による局所洗掘の防 止，水工学論文集，35 (1991) 495-500． 55) 仲村学・高松諭・福井吉孝・吉川秀夫：河川護岸 の設計に関する基礎的研究，水工学論文集，37 (1993) 569-574．
56) Tominaga, A., Nezu, I. and Nagao, M.: Turbulence control of channel flow by forced secondary currents over longitudinal ridge, Proceedings of 9th Turbulent Shear Flows, (1993) 14.4.1-14.4.6. 57) 杉山均，秋山光庸，山中和典，平田賢：縦筋を伴 う三次元河川流路の乱流構造解析，土木学会論 文集，479 (1993) 81-90. 58) 杉山均，秋山光庸，田島文敬，佐藤誉之：三次元 乱流場における第二種ボイル生成に関する研究， 土木学会論文集，533 (1996) 127-136.
59) Nezu, I. Azuma, R.: Turbulence Characteristics and Interaction between Particles and Fluid in Particle-Laden Open Channel Flows, J. Hydraulic Engineering, ASCE, 130-10 (2004) 988-1001. 60) 東良慶，禰津家久：浮遊砂流の流速分布と乱流変 調に及ぼす壁面粗度の影響，水工学論文集，49 (2005) 517-522. 61) 中川博次，裲津家久，石田吉宏，門田章宏，藤本 英典：管路及び開水路における非定常流れの乱 流 構 造 の 相 違 に つ い て ， 水 工 学 論 文 集 ，37 (1993) 593-598． 62) 禰津家久，門田章宏，中川博次：開水路乱流の粘 性底層および壁面領域に及ぼす非定常効果，水 工学論文集，39 (1995) 833-838． 63) 禰津家久，門田章宏，戸田孝史：定常開水路にお ける加速・減速流の乱流構造に関する実験的研 究，水工学論文集，40 (1996) 755-760． 64) 鬼束幸樹，浦勝，秋山壽一郎，松岡定和：緩やか な逆圧力勾配を伴う開水路流の実験的研究，水 工学論文集，39 (1995) 391-396． 65) 日野幹雄，村山宣義：多点同時計測システムによ る実河川洪水流中の３次元大規模乱流構造の測 定（２），水工学論文集，37 (1993) 787-792． 66) 長谷川和義，市埜順也，山下彰司，崇田徳彦：洪 水時流速分布の計測と結果の解析，水工学論文 集，41 (1997) 977-984．
