バスケット・オプションの
正確なプライシング
実際的アプローチ
注： 本資料は Deloitte Belgium が作成し、有限責任監査法人 トーマツが翻訳したものです。 この日本語版は、読者のご理解の参考までに作成したものであり、オリジナルである英語版の補助的な ものです。目次
単純なアプローチの短所 4 実際的アプローチ 5 ケーススタディ 9 プライシング・エンジンのワークスペース 11 デロイトができる支援 12 連絡先 13単純なアプローチの短所
オプションに投資すると同時に市場リスクを分散化することを可能にする一般的な金融商品はバスケット・オプションで す。最も単純な形態では、このオプションの原資産は複数の株式の加重平均です。 バスケット・オプションは投資商品としての人気が高いため、その正確なプライシングがトレーディング・デスクやリスク管 理部門から強く求められています。バスケット・オプションの価格を算出する単純な可能性には次のものがあります。このプライシング・ツールは、スマイル
効果を考慮に入れてバスケット・オプ
ションを評価します。この評価は、そ
の株式の将来価格に対する市場の期
待、特に稀な事象の蓋然性に対する
市場の認識を正確に反映する形でな
されます。バスケット・オプションのブ
ラック・ショールズ価格と市場整合的
な価格（すなわち、スマイルを考慮し
た価格）の違いは重要です。
ブラック・ショールズモデルに基づく複数
の原資産のモンテカルロ法
この手法では、各資産が、ドリフトとボラティリティに よって記述される対数正規確率過程に従うと仮定し ます。これらのパラメータの値は市場価格から求め られます（無リスク利子率、配当利回り、インプライ ド・ボラティリティなど）。様々な確率過程は、通常ヒ ストリカル・データの分析から得られる相関行列を通 じて結合されます。次に、モンテカルロ・エンジンを用 いて満期まで各原資産をシミュレートし、オプションに よる受取額（payoff）の割引現在価値を算出します。 このアプローチの長所は、実行が容易で直感的に理 解しやすいということです。短所は、それぞれの時間 ステップですべての原資産の価格を計算しなければ ならないためCPUの負荷が大きいということです。閉形式の解析的近似
（モーメント・マッチング）
このアプローチでは、すべての原資産の加重平均 が、単一の対数正規確率変数に置き換えられます。 したがって、問題は「合成」原資産のプレーンバニラ・ オプションのプライシングに還元されます。このアプローチの長所は、概念的に洗練されており、ブラック・ショールズ 式を想起させる閉形式の解析公式が導かれることです。短所は近似が使用されること、すなわち、確率変数の和が 対数正規分布に従うとする仮定にあります。この近似は、構成要素の原資産が少数の場合には妥当なこともありま すが、中心極限定理のため実際的事例のほとんどで問題が生じます。 上述の単純なアプローチはブラック・ショールズのプライシング理論の枠内に入ります。すなわち、バスケットの原資 産が対数正規で、そのボラティリティが一定であるとみなします。これらはその理論の欠点としてよく知られるもので あり、「スマイル」効果が考慮されていないことを意味します。スマイル効果は、その株式の将来価格の確率分布に関 する市場の期待を織り込んでおり、特に稀な事象の蓋然性に対する市場の認識に関する情報を示します。バスケッ ト・オプションのブラック・ショールズ価格と市場整合的な価格（すなわち、スマイルを考慮した価格）の違いは重要で す。したがって、単純なプライシング・モデルから離脱することが極めて望ましいと言えます。実際的アプローチ
ブラック・ショールズ理論から離脱すると、バスケット・オプションのプライシングが難しくなります。例えば、1つの可能 性は、各原資産について一定のダイナミックなプロセス（例えば、ヘストンまたはバリアンス・ガンマ）を仮定して多次元 モンテカルロ法を実行することです。しかしながら、このアプローチは決して理想的とは言えません。第1に、計算上の本レポートで採用するアプローチは市
場価格からの適切な情報の抽出に基
礎を置いています。この方法の主な構
成要素は次の3つです。
•
各原資産のボラティリティ・スマイル
•
相関行列
•
コピュラ法
観点からすれば、個々の確率論的なボラティリティ・ プロセスをモデリングするにはより多くの乱数が必要 になるため、計算量が極めて多量になります。第2 に、モデリングの観点からすれば、他に優先して1つ の確率過程（例えば、ヘストンまたはバリアンス・ガン マ）を選択することは非論理的な決定になります。 本レポートで採用するアプローチは市場価格からの 適切な情報の抽出に基礎を置いています。この方法 の主な構成要素は次の3つです。 • 各原資産のボラティリティ・スマイル • 相関行列 • コピュラ法スマイルのモデリング
ボラティリティ・スマイルはマーケット・インプライド確 率関数を抽出するために使用されます。このマッピン グは、行使価格に関するオプション価格の二次導関 数は原資産の確率関数に比例するというBreeden and Litzenberger （1978）の定理を通じてなされます。この定理 の長所は、資産のダイナミクスに関する仮定に依存しないことです。そのため、市場価格に適用してマーケット・インプ ライド確率を導き出すことができます。 マーケット・インプライド確率関数のモデリングをさらに進めるために、パラメトリック関数の形式を選択してキャリブレ ーションを行います。選択する関数は次のものを捉えられなければなりません。 • マーケット・インプライド確率関数の尖度（ファットテール） • マーケット・インプライド確率関数の左側／右側テールの歪度（非対称性） 歪度と尖度を適切に捉えることはスマイル効果のモデリングに重要な役割を果たします。マーケット・スマイルは通常 5点（あるいは、資産の流動性が低い場合は3点）のみで価格表示されるため、そうした把捉は特に細心の注意を要 するプロセスとなります。これらの5点には、原資産の将来価格に対する市場の期待に関するすべての情報、すなわ ち、将来の平均価格、標準偏差およびその他の高次モーメントが含まれています。 少し先を見越せば、以下の要件も重要な役割を果たすことが予測できます。 • 迅速なサンプリングを可能にするために、逆累積関数は閉形式の解析公式を持つ必要がある。 • 滑らかかつ連続的である必要がある（すなわち、区分的構成は不可） • 累積関数は十分速やかに1に収束する必要がある。これらの特性は、モンテカルロ法によりバスケット・オプションの価格を設定する際有用となります。その段階では、逆 累積関数から株価がサンプリングされます。上記の特性が充足されないと不具合が発生する可能性があることを示 すために、累積確率関数が極めて緩やかに1に収束すると想定します。この場合、一様乱数[0,1]を逆関数に代入す ると極めて高い株価が生成されます。例えば、以下の図表1をご覧ください。 図表1：緩やかに1に接近する関数（青線）を使用して市場価格に当てはめる設例。この累積関数から株価をサンプ リングした場合、不当に高い価格になる可能性があります。この図は、当てはめ関数が十分に中心点を通っているに もかかわらず、全体として適切でないことを示しています。 スポット価格は100に正規化しています。図表1の左図において、x軸は行使価格を示しており、50から150の範囲に あります。一方、y軸は0から1までの範囲にあります（原資産の累積確率）。市場価格は赤点で表されています。青線 は当てはめ関数です。これを見ると、当てはめ関数は十分に中心点を通っているにもかかわらず、最後の点（行使価 格150）の当てはめが十分ではありません。その結果、1への収束が極めて緩やかになっています。これがモンテカル ロ法のプライシングにどう影響するかが、図表1の右図に示されています。この図は、サンプリング対象のスポット価 格とそれがサンプリングされる確率の対応を表わしています。図に示されるように、例えば10000といった極端な価格 （すなわち、現在のスポット価格の100倍に相当）が0.2％という高い確率で抽出される可能性があります。このこと は、500個の価格を抽出するたびに、10000程度の価格が平均1個含まれることを意味しています。 こうした極端な価格を受取額に組み込んだ場合、価格の行き過ぎが生じます。したがって、確率関数の再構成では ファットテールや極端な事象を考慮に入れるべきですが、モデル作成者は常にそれらをコントロール下に置く必要が あります。
単純なコピュラの例
単純なプライシング手続を例示するため、例えば株式Aと株式Bという2つの原資産からなるバスケットの例を検討します。 最初に、資産Aと資産Bのボラティリティ・スマイルから累積確率分布関数FAと FBを構成します。これらの関数に、その 逆累積関数FA-1 と FB-1が対応しています。次に、以下のような手順を踏みます。 • 2つの独立な標準正規確率変数、y
1~ N
(
0,1
)
とy
2~ N
(
0,1
)
を導出します。 • y1とy2を、相関をもった正規確率変数に変換します。例えば、コレスキー法では以下のように設定します。x
1= y
1x
2=
ρ
⋅ y
1+ 1 −
ρ
2⋅ y
ここで、ρは株式Aと株式B間の相関係数です。 累積確率 ス ポ ッ ト価 格 行使価格 サンプリング確率 2−1 −1 • x1とx2を、[0,1]の値を取る、相関をもった一様確率変数に変換します。
u
1= N
(
x
1)
u
2= N
(
x
2)
ここで、N(.)は正規分布の累積分布関数を表します。 • u1とu2を用いて周辺確率密度から株式Aと株式Bの一対の価格をサンプリングします。S
1= F
A(
u
1)
S
2= F
B (u
2)
• これらの株価をバスケットの受取額に代入して、モンテカルロ・シミュレーションによりその実現価格を計算します。 この方法は、単一資産の累積確率関数から出発してどのように一対の株価を導き出すかを例示しています。2つの 周辺分布を結合して同時分布を得るにはコピュラ法（上記の例ではガウス・コピュラ）を使用します。この手続を多数 回繰り返すことにより、バスケット・オプションの価格のモンテカルロ推定値が導き出されます。相関行列とコピュラの選択
2番目と3番目の構成要素の相関行列とコピュラ法は、モンテカルロ・シミュレーションを用いてバスケット・オプション の価格を生成するために使用します。そのどちらも、この方法で重要な役割を果たします。しかしながら、理論と現実 の間にはずれがあるため、最も適切な相関行列とコピュラを見いだすことは、専用のキャリブレーション手続の一部と なっています。このキャリブレーションは、FTSE100やダウ・ジョーンズ指数などの上場株価指数（バスケットに相当） の市場価格を用いて行います。 経験的な観察からすれば、ガウス／スチューデント・コピュラはスマイルの曲率をより正確に捉える傾向があるのに 対し、クレイトン／フランク・コピュラはスマイルの歪度をより正確に捉える傾向が見られます。このことは、キャリブ レーションの試みを限定するのに役立ちます。つまり、短期的スマイルは長期的スマイルより曲率が大きくなる傾向 があります。 相関行列については、原資産の時系列 に基づく相関の単純な計算からより複雑 な期間構造の依存関係まで様々な選択 肢が存在します。相関係数の計算に際 して過去のどの時点まで遡るべきでしょ うか。経験的な観察によれば、残存期間 が長いオプションほど大量のヒストリカ ル・データが必要になります。 コピュラ法は周辺確率から同時確率分 布を生成します。この効果を評価する手 助けとして、ガウス、クレイトンおよびフ ランク・コピュラの違いを示します。標準 正規分布から抽出した2つの確率変数 X、Yがあるとします。以下の図表2には2変数確率密度の等高線図が描かれています。左端のガウス・コピュラの図 では、両変数の相関係数は50％です。右上と左下が完全に対称になっていることに注目してください。これは、2変数 ガウス関数では2つのテールが区別されないという事実による結果です。これに対し、クレイトン・コピュラでは同時分 布に非対称性が反映される余地が大きくなります。このことは、歪多変数関数の生成、したがって歪みのあるスマイ ルの生成に役立ちます。図2の右端の図は、XとYを結合した2変数フランク関数を示しています。ガウス・コピュラは計算上都合の良い特
性を備えているものの、マーケット・イン
プライド同時分布は往々にして多次元
の1つの角の方向に歪んでおり、他方
の角がファットテールになっています。
こうしたことにより、正確なコピュラを描
くことは、計算上困難な課題です。
この関数もかなり対称的ですが、ガウス関数に比べれば関数のテール領域の確率が高くなっています。 ガウス・コピュラは計算上都合の良い特性を備えているものの、マーケット・インプライド同時分布は往々にしてある 方向に歪んでいる一方、他方の方向がファットテールになっていることがあります。こうしたことにより、正確なコピュラ を描くことは、計算上困難な課題です。 クレイトン・コピュラ フランク・コピュラ ガウス・コピュラ
ケーススタディ
以下の図表3には、2015年3月31日に実行したケーススタディの結果が表示されています。 コピュラと相関行列のキャリブレーションにはFTSE100とダウ・ジョーンズ（DJIA）の2つの市場インデックス が使用されています。両指数はそれぞれ101および30の株式で構成されています。両指数で使用されてい るウェイトは、FTSEでは時価総額、DJIAでは株価に関連しています。DJIAの原資産の1つ（VISA）を例とし てそのスマイルのキャリブレーションを以下に示しました。残存期間は5年で、マーケット・スマイルは左側に 著しく歪んでいます。対応する累積確率関数を以下の図 表3の右側に示しました。市場は11点の価格を表示して いますが、そのうち5点は流動性があり、6点は市場デー タ提供業者によって外挿されたものです。これらは図表3 の右図において赤点で表されています。再構成された確 率関数（青線）は、表示された11点に十分一致している と言えます。しかしながら、市場の表示点への当てはめ が十分良好だとしても、価格全体に影響を与える可能性 があるのはテールにおける関数の振る舞いであることに注意が必要です。言い換えれば、市場の表示点 全体に対する累積関数の当てはめが良好だとしても、必ずしもマーケット・スマイルへの当てはめが良好と は限りません。逆に、マーケット・スマイルへの当てはめが良好であれば、確実に累積関数への当てはめ は良好と言えます。曲率や累積関数の1への収束率のわずかな変化が、価格に大きな影響を与えることが あります。こうした影響は通常、市場価格が示される関数の中央から外れた領域で発生するため、回帰が 成功したか否かの判断がより困難になります。 再構成された確率関数は、プレーンバニラの価格を生成するために使用され、次に、市場価格に基づくス マイル（左図の赤点）に照らして検証されます。この図では、マーケット・スマイルと再構成されたスマイルの 一致度は極めて良好です。以下の図表3のスポット価格は100に調整されています。 累積確率 再構成されたスマイル マーケット・スマイル 行使価格 行使価格 VISA インク－クラス A pdf=nc スチューデント（11，-2.2） 残存期間：5.01 年 P9999=702FTSE100とダウ・ジョーンズをベンチ
マークとして使用して、バスケット・オプ
ション・プライサーの結果を市場と比較
VISA インク－クラス A pdf=nc スチューデント（11，-2.2） 残存期間：5.01 年 P9999=702 イ ン プ ラ イ ド・ ボ ラ ティ リ ティ 再構成された CDF 市場デジタル BS デジタル以下に示したスマイルのキャリブレーションの2つ目の例は、FTSE100指数の原資産の1つであるプロクター・アンド・ ギャンブルに基づくものです。この例では、残存期間の短い（1年）スマイルを選びました。その理由は、残存期間が 短い場合、異なる形状のスマイル、すなわち、より大きな曲率が現れることにあります。 FTSE100とDJIAに含まれる全株式のキャリブレーションを行った後、適切な相関行列とコピュラ法を選択しました が、その際、結果として得られるバスケットの価格と市場価格を比較しました。以下の図表5の両図には、残存期間2 年のスマイルとモデルのアウトプットが示されています。流動的な市場価格が得られた領域であるATM（アット・ザ・ マネー）付近ではスマイルの一致度は十分良好と言えます。 イ ン プ ラ イ ド・ ボ ラ ティ リ ティ プロクター・アンド・ギャンブル pdf=nc スチューデント（5，-1） 残存期間：1 年 P9999=222.4 再構成されたスマイル マーケット・スマイル 行使価格 行使価格 再構成された CDF 市場デジタル BS デジタル 累積確率 プロクター・アンド・ギャンブル pdf=nc スチューデント（5，-1） 残存期間：1 年 P9999=222.4 DJIA クレイトン・コピュラ 残存期間：2 年 期間＝1 年 コピュラのパラメータ＝3 市場 モデル 市場 モデル FTSE クレイトン・コピュラ 残存期間：2 年 期間＝1 年 コピュラのパラメータ＝1 行使価格 行使価格 ボ ラ ティ リ ティ ボ ラ ティ リ ティ
プライシング・エンジンのワークスペース
デロイトは、本文書で説明した実際的アプローチを使用してバスケット・オプションのプライシングのためのツールを開 発しました。開発に当たっては、このモデルが、高度な科学的正確性、追加的開発の容易性、および配布の容易性 を維持できるようにR言語を使用しました。R言語はオープンソースのフリー言語で、様々な研究者から継続的な貢献 がなされています。その機能が豊富である証しは、主要なRのリポジトリに3000（以上）ものパッケージが存在するこ とに現れています。さらに、R言語は明確にデータ分析を目的として設計されたため、市場データの処理および操作 にとって理想的なツールとなっています。 バスケットのプライシングのために作成されたコードは約4000行におよび、高度な自動化を確保するために効率化さ れています。様々な機能の1つとして、正確性を犠牲にしてスピードを求める場合に使用できる「迅速キャリブレーショ ン」を備えています。このツールへのインプットは、標準化された形式による相関行列、ボラティリティ・スマイルおよび 無リスク割引率です。 以下の図表6にプライシング・ライブラリの作業の流れを図示しました。このプロセスの出発点は、バスケットの様々な 構成要素のウェイト、各原資産の配当利回りなど、バスケットの受取額に関するデータの収集です。バスケットの各 原資産のスマイルに関する市場価格は、ブルームバーグのOVDVスクリーンから入手できます。こうした生の情報を 使用して、すべての残存期間と行使価格に関するボラティリティ・サーフェス全体を構成します。さらに、割引カーブを 生成してすべての残存期間について補間します。こうした情報の処理が終了した段階で、単一の原資産のキャリブ レーションを実行します。このキャリブレーションの手続はマーケット・スマイルに照らして検証します。バスケットのボ ラティリティ・サーフェスを得るために、相関行列とコピュラ法のキャリブレーションも実行し、ダウ・ジョーンズや FTSE100など上場株価指数のバスケットを再現します。次に、得られたバスケットのボラティリティ・サーフェスを単一 の「合成」原資産として取り扱い、それに基づいてヘストンやバリアンス・ガンマといった確率論的ボラティリティ・モデ ルのキャリブレーションを行います。この段階で、様々な行使価格や残存期間についてモンテカルロ法やキャリブ レーションされた確率的ボラティリティ・モデルを使用して、経路依然性のあるよりエキゾチックな商品の価格を算出で きるようになります。 バスケットのボラ ティリティ・サーフェ スに基づく確率論 的モデルのキャリ ブレーション データ入力 バスケット・ データ ブルームバーグ のOVDV上のス マイルのデータ スマイル・データ の補間 市場データの 処理 金利カーブの補間 単一株式のキャ リブレーション キャリブレーション1 キャリブレーション2 相関行列のキャ リブレーション コピュラ バスケットのボラ ティリティ・サーフ ェス 検証 単一株式のキャ リブレーションの アウトプット 市場インデックス （DJIA、FTSE） モ ン テ カ ル ロ ・ エンジン プライシングデロイトができる支援
デロイトのクオンツ・チームは、設計から実装に至るプライシング・プロセスの様々なレベルで支援を提供します。 デロイトのバスケット・オプション・プライサーはフロント・オフィスの用途に、あるいは検証チームやリスク管理チーム にとっては独立の検証ツールとして使用されます。 貴社のニーズに合わせたソリューションの例として以下のものがあります。 • デロイトが貴社からの依頼に応じてバスケット・オプションを独立に評価するマネージド・サービス • 貴社独自のプライシング・エンジンの設計・実装に関する専門的支援 • 単独のツール • 多変量プライシング、ボラティリティ・スマイル、確率論的モデリング、コピュラ法、または貴社のニーズに合った他 の関連トピックに関する教育 デロイトの金融サービス業界向け評価サービスは、金融商品のプライシングや評価に関する広範なサービスを提供 します。 評価サービスのためにデロイトがお客様から選ばれる理由 • テーラーメイドの柔軟かつ実際的なソリューション • 完全な透明性 • 高品質のドキュメンテーション • スピードと正確さの適切なバランス • クオンツに経験豊富なチーム • 世界全体のデロイトのクオンツの大規模なネットワークに対するアクセス • 公正なプライシング連絡先
Arno De Groote
Partner
Financial services industry Diegem T: +32 2 800 2473 M: +32 475 90 44 11 E: adegroote@deloitte.com
Nikos Skantzos
DirectorQuant / Modelling services Diegem
T: +32 2 800 2421 M: + 32 474 89 52 46 E: nskantzos@deloitte.com
Kris Van Dooren
Senior Manager
Quant / Modelling services Diegem T: +32 2 800 2495 M: +32 471 12 78 81 E: kvandooren@deloitte.com
George Garston
Consultantデロイト トーマツ グループは日本におけるデロイト トウシュ トーマツ リミテッド（英国の法令に基づく保証有限責任会社）のメンバーファームおよびそのグループ法人（有 限責任監査法人 トーマツ、デロイト トーマツ コンサルティング合同会社、デロイト トーマツ ファイナンシャルアドバイザリー合同会社、デロイト トーマツ税理士法人および DT 弁護士法人を含む）の総称です。デロイト トーマツ グループは日本で最大級のビジネスプロフェッショナルグループのひとつであり、各法人がそれぞれの適用法令に 従い、監査、税務、法務、コンサルティング、ファイナンシャルアドバイザリー等を提供しています。また、国内約 40 都市に約 8,700 名の専門家（公認会計士、税理士、弁 護士、コンサルタントなど）を擁し、多国籍企業や主要な日本企業をクライアントとしています。詳細はデロイト トーマツ グループ Web サイト（www.deloitte.com/jp）をご覧 ください。 Deloitte（デロイト）は、監査、コンサルティング、ファイナンシャルアドバイザリーサービス、リスクマネジメント、税務およびこれらに関連するサービスを、さまざまな業種に わたる上場・非上場のクライアントに提供しています。全世界 150 を超える国・地域のメンバーファームのネットワークを通じ、デロイトは、高度に複合化されたビジネスに 取り組むクライアントに向けて、深い洞察に基づき、世界最高水準の陣容をもって高品質なサービスを Fortune Global 500® の 8 割の企業に提供しています。“Making an impact that matters”を自らの使命とするデロイトの約 225,000 名の専門家については、Facebook、LinkedIn、Twitter もご覧ください。
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