偏極
log Hodge
構造のモジュライ空間の境界
巴山 竜来∗1
Introduction
例えば0 で半安定退化するような単位円盤 ∆ 上の楕円曲線の族 f : E → ∆ が与えられたとする. このと きt 6= 0 上のファイバー f−1(t) に対して, そのサイクル γ t, δt上での1 次微分形式 ωtの積分値をとることに より, 穴あき円盤 ∆∗から上半平面H 1への写像 ∆∗→ H1 ; t → Z γt ωt . Z δt ωt (γt· δt= 1) が定まる. t ∈ ∆∗が0 のまわりを一周することによりサイクルが変わってしまうため, この写像は多価であ る（モノドロミー作用）. これは上半平面に一次分数変換により作用していて, そのモノドロミー群を Γ と すれば, 一価の正則写像 ϕ : ∆∗→ Γ\H 1が得られる. とくに今の場合, このモノドロミー作用素はベキ単で あり, Γ\H1∼= ∆∗である. ここで自然な発想として, Γ\H1∼= ∆∗に0 を付け加えることにより, ϕ を原点まで拡張させたい. トーリッ ク多様体の理論を使えば, C∗をC に錘を使って埋め込むことができ, その中での ∆∗の閉包の内部をとるこ とで∆∗の自然な拡張∆ が得られる [♣]. しかし原点上では f−1(t) のサイクルがつぶれてしまうため, サイ クル上の積分による写像は定義されない. ∆ に log 構造を与え, それに付随する ∆log上で消失サイクルを回 復させ, ϕ の原点への延長を考える, というのが加藤和也・臼井三平によるアイデアである. [KU] の言葉を使 えば, (Γ\H1) t {0} は, ‘偏極 log Hodge 構造のモジュライ空間’ である. 以上の例は一般の代数多様体の場合に拡張することができる. サイクル上の積分, 上半平面, 写像 ϕ はそれ ぞれ一般に周期積分, 周期領域, 周期写像と呼ばれる. 私は一般の周期領域 D に対する偏極 log Hodge 構造 のモジュライ空間について研究している. D が対称領域の場合, それはトロイダル部分コンパクト化と一致 する. それはおおまかに次のようにして得られる1(cf. [AMRT], [H]): Step1. D の有界領域への埋め込みに対して, その有理的境界成分 F をとる. D は, F と, あるベクトル空間 W (F ) によってパラメトライズされるチューブ領域の族である. (第 3 種 Siegel 領域としての実現) Step2. ある Z-自由アーベル群 Γ(F ) による商 Γ(F )\D は F × W (F ) 上の主束 (ファイバーは代数的トーラス Γ(F )C/Γ(F )) の開部分集合である. Lie (Γ(F )R) の錘を使って, 上の [♣] と同様の方法で Γ(F )\D に境 界成分を付け加える. ここでD が非対称領域の場合は, 一般に有界領域への埋め込みは存在しない. ゆえに [KU] では, 境界成分 F から出発するのではなく, Lie 環 Lie (Γ(F )R) から出発して, Γ(F )\D の部分コンパクト化を構成する (cf. §2.3). 簡単にいえば, 偏極 log Hodge 構造のモジュライ空間 (周期領域 D の離散商の部分コンパクト化) の幾何的 構造は, D が対称領域の場合は易しく, 非対称領域の場合は難しい. D が対称領域になるのは代数多様体の族 が曲線やK3 曲面などの限られた場合のみで, 例えば一般型曲面や Calabi-Yau 多様体を考える場合は非対称 ∗大阪大学大学院理学研究科 [email protected] 1もう少し補足すると, Aut(D) の数論的部分群 Γ に対し, この Step で得られた部分コンパクト化を各境界成分 F に関して貼り合 わせることによって, Γ\D のコンパクト化を構成することができる. コンパクト化の構成は完備な扇の構成と同値である.2 領域を考える必要が出てくる. 私は特に, D が対称領域と非対称領域の場合による違いを調べていて, 対称領 域の場合はThm3.1 によってその性質が特徴づけられる.
2
偏極
log Hodge
構造のモジュライ空間
2.1 偏極Hodge 構造，分類空間，周期写像 そもそも偏極Hodge 構造はコンパクト K¨ahler 多様体のコホモロジー群の性質を線形代数的に抽象化した ものとして導入された． Definition 2.1. Z 自由加群 H と HC:= H ⊗ C の減少フィルター F = {Fp} pが次を満たすとき，(H, F ) を重さw, Hodge 型 {hp,q} p,qのHodge 構造という．(1) dimCFp= Σr≥phr,w−r for all p.
(2) HC=LpFp∩ Fw−p. Hodge 分解により，コンパクト K¨ahler 多様体 X に対して H = Hw(X, Z), Fp =L q<pHw−q(X, Ωq) と すれば，(H, F ) は重さ w の Hodge 構造である．さらに Hw(X, C) (1 ≤ w ≤ dim X) の原始的部分には， Hodge-Riemann の双線形関係式より，ある性質を持った双線形形式が定義される．これを一般化して，次を 定義する． Definition 2.2. 重さ w, Hodge 型 {hp,q} p,qのHodge 構造 (H, F ) に対して，HQ := H ⊗ Q 上の双線形形 式ψ( , ) が次を満たすとき，ψ を (H, F ) の偏極といい，(H, F, ψ) を偏極 Hodge 構造という． (1) w が奇数のとき ψ は交代形式，w が偶数のとき ψ は対称形式． (2) ψ(Fp, Fq) = 0 for p + q > w. (3) (√−1)p−qψ(v, ¯v) > 0 for all v ∈ Fp∩ Fq , p + q = w. (ここで ψ は HC上への自然な拡張．) 重さw, Hodge 型 {hp,q} p,qの偏極Hodge 構造 (H0, F0, ψ0) を固定する．それと同じ型の偏極 Hodge 構造 すべての集合D，すなわち， D := {F ：HCの減少フィルター| (H0, F, ψ0) は重さ w, Hodge 型 {hp,q}p,qの偏極Hodge 構造 } を({w, {hp,q} p,q, H0, ψ0} 型の) 偏極 Hodge 構造の分類空間と呼ぶ．D は旗多様体の閉部分多様体の開部分 集合である．さらにD のコンパクト双対 ˇD を次のように定める． Dopen⊂ ˇD := {F ：HCの減少フィルター| dimCFp= X p0<p hp0,w−p0 , ψ0(Fp, Fq) = 0 for p + q > w}.
とくにD(resp. ˇD) には GR:= Aut(H0,R, q0) = {g ∈ AutH0,R| q0(gx, gy) = q0(x, y)}(resp. GC) が推移的に 作用している．
代数多様体の滑らかな族π : X → S が与えられたとき, それに付随して偏極 Hodge 構造の変形が得られる
が，それは写像φ : S → Γ\D (Γ はモノドロミー群) を導く. これを周期写像と呼ぶ．周期写像は水平的な正
則写像である．
Example 2.3. w = 1, {h1,0= h0,1 = g, 0 otherwise}, H0をrank 2g の Z-自由加群とする．H0の適当な基
底をとってH0上の双線形形式を
Ã
3 と定義すれば, D = ( F0= H0,C⊃ F1= span C (à τ Ig ! の縦ベクトル ) ⊃ F2= {0} τ ∈ H g ) ∼ = Hg (g 次 Siegel 上半空間). 以降断りがない限り，フィルターF = à F0= H0,C⊃ F1= span C (à τ Ig ! の縦ベクトル ) ⊃ F2= {0} ! を 単に à τ Ig ! と書く．とくにg = 1 のとき ˇ D = ( à τ 1 ! τ ∈ C ) t à 1 0 ! ∼ = P1(C). 2.2 分類空間の拡張，偏極log Hodge 構造のモジュライ空間 しかし退化した代数多様体を考えた場合，そのコホモロジー群は一般にHodge 分解が成り立たないため, 退化した族に対しては周期写像が定義できない. Griffiths は次のような問題提議をしている : D に「無限遠 点」を付け加えることにより, それを退化した Hodge 構造の分類空間と見なすことはできないか？—この問 題に解答を与えるのが加藤・臼井による共同研究である. 半安定な退化族が与えられたとき，その周期写像の極限の挙動があるベキ零軌道によって近似できる，と いう結果がSchmid らにより得られていた．例えば単位円盤 ∆ 上 {0} で半安定退化する退化族が与えられた とき，∆∗= ∆ − {0} 上の周期写像 φ : ∆∗→ Γ\D について，モノドロミー群 Γ はあるベキ単元 T によって Γ = Z T と書ける．このとき φ の上半平面 H1への持ち上げ ˜φ : H1→ D に対し， ˜ τ (w) := exp (−wN ) ˜φ(w) (N = log T /2π√−1) と定めれば，τ は一価正則な写像 τ : ∆˜ ∗→ ˇD を定める．このとき τ (0) ∈ ˇD が存在し， H1→ ˇD ; w 7→ exp (wN )τ (0) はIm w À 0 において元の周期写像の持ち上げ ˜φ を近似する (ベキ零軌道定理)．このとき exp (CN )τ (0) を ベキ零軌道と呼ぶ． 一般にベキ零錐，ベキ零軌道を次のように定義する．§2 で定めた記号 {w, {hp,q} p,q, H0, ψ0} に対して， Definition 2.4. gR= Lie(GR) (GR= Aut(H0,R, ψ0)) の錐2σ が次を満たすとき，ベキ零錘と呼ぶ．
(1) 任意の N ∈ σ は End(H0,R) としてベキ零. (2) 任意の N, N0 ∈ σ に対し，N N0= N0N .
Definition 2.5. ベキ零錘 σ =PjR≥0Njに対して, Z = exp (σC)F ⊂ ˇD (F ∈ ˇD) が次を満たすとき，Z を
σ-ベキ零軌道という．任意の F ∈ Z に対して，
(1) N Fp⊂ Fp−1 for all p ∈ Z, N ∈ σ.
4
ベキ零錘のなす扇Σ に対して，その方向のベキ零軌道すべての集合
DΣ:= {(σ, Z)| σ ∈ Σ, Z is a σ-nilpotent orbit}
が定義できる．加藤・臼井は，GZのneat 部分群3Γ に対して，Γ\DΣは偏極log Hodge 構造のファインモ
ジュライであることを示している([KU] 主定理 B)． Example 2.6 (Exm.2.3 からの継続). g = 1 のとき，N = à 0 1 0 0 ! , σ = R≥0N とすれば， Dσ= ( à {0}, à z 1 !! z ∈ H1 ) t à σ, à C 1 !! . 2.3 Γ\DΣの幾何的な構造 主結果を述べるために必要なため，Γ\DΣの幾何的構造について簡単に述べる． Definition 2.7. gRの扇Σ に対し，GZの部分群Γ が次の二つを満たすとき，Γ は Σ と強く両立する，と いう． 任意のσ ∈ Σ に対して， (1) γσγ−1∈ Σ for all γ ∈ Γ,
(2) σ =PiR≥0log (γi) for some γi ∈ Γ ∩ exp (σ).
扇Σ と Γ が強く両立しているとする．錘 σ ∈ Σ に対し，Γ(σ) := Γ ∩ exp (σ) は fs 半群である．Γ(σ) から トーラス，およびトーリック多様体
toricσ := Spec(C[Γ(σ)∨])an, torusσ:= Spec(C[Γ(σ)∨gp])an
を得る．とくにtoricσは単連結である．またΓ は Σ と強く両立することより σ =
P
iR≥0log (γi) と書ける
から，σC:= σ ⊗ C から torusσ ∼= C∗⊗ Γ(σ)gpへの全射
e : σC→ torusσ∼= C∗⊗ Γ(σ)gp; z ⊗ log (γ) 7→ exp (2π
√
−1z) ⊗ γ
を得る．トーラス軌道分解toricσ=
F
τ ≺σtorusσ· 1τよりtoricσの元はe(z) · 1τ(τ ≺ σ) の形に書ける．こ
のときz ∈ σCの取り方はlog (Γ(σ)gp) + τCを法として唯一に決まる． 以上の準備の下，次を定義する．
ˇ
Eσ := toricσ× ˇD, Eσ:= {(e(z) · 1τ, F ) ∈ ˇEσ| exp (τC) exp (z)F はτ −ベキ零軌道．}
集合Eσはwell-defined である．また toricσには自然にlog 構造が入り，射影 ˇEσ→ toricσによる引き戻しに
より ˇEσにlog 構造が入る． ˇEσはlog 解析空間である．しかしここで Eσは一般に解析空間ではない．[KU]
では‘strong topology’ なる位相を Eσに定義し，Eσ,→ ˇEσによる引き戻しにより，Eσにlog 局所環付き空
間の構造を与えている．Eσから次の自然な写像が決まる．
πσ:Eσ→ Γ(σ)gp\Dσ→ Γ\DΣ,
5 任意のσ ∈ Σ に対し, πσが連続となるような最も強い位相をΓ\DΣの位相として定める．さらに，任意の σ ∈ Σ に対して πσが正則となるようにΓ\DΣの構造層を定める．すなわち，開集合U ⊂ Γ\DΣに対して， OΓ\DΣ(U ) (resp. MΓ\DΣ(U )) := {map f : U → C| f ◦ πσ∈ OEσ(π −1(U )) (resp. M Eσ(π −1(U ))) (∀σ ∈ Σ)} により構造層OΓ\DΣ, および半群の層 MΓ\DΣが決まり，Γ\DΣにlog 局所環付き空間としての構造が入る．
[KU] 主定理 A より，Eσはlog 多様体，さらに Γ が neat のとき Γ\DΣはlog 多様体，Eσ→ Γ(σ)gp\Dσは
log 多様体の圏で σC-torsor4であることが知られている． Example 2.8 (Exm.2.6 からの継続). Γ = SL(2, Z) とすれば Γ(σ) = ( Ã 1 s 0 1 ! s ∈ N ) ．このとき torusσ= C − 0, toricσ= C, Eˇσ= C × ˇD, Eσ = ( Ã exp (2π√−1z1), Ã z2 1 !! ∈ C∗× ˇD z 1+ z2∈ H1 ) t ( Ã 0, Ã z 1 !! ∈ {0} × ˇD z ∈ C ) .
3
主結果
[AMRT]p.238 Thm より, D が対称領域の場合, ベキ零錘 σ に対して exp (σC) · D → exp (σC)\(exp (σC) · D)
が自明な主束であることが分かる. そこから次の可換図式が導かれる. Theorem 3.1. D が対称領域の場合, ベキ零錘 σ に対して次の図式は可換. Eσ trivial bundle πσ ²² ⊂ toricσ× Y ⊂ ⊂ (toricσ× Y ) ∩ Eσ k ∼ = Γ(σ)gp\Dσ σC× Y ∼ = // torusσ× Y ∼ = (Γ(σ)gp\D)−)◦ ⊂ exp (σC) · D trivial bundle ρσ ²² // Γ(σ)gp\(exp (σC) · D) ⊂ Γ(σ)gp\D exp (σC)\(exp (σC) · D) ただし, ここで Y は ρσの切断の像, (Γ(σ)gp\D)−)◦はtoricσ× Y での Γ(σ)gp\D の閉包の内部.
Example 3.2 (Exm.2.8 からの継続). Y = {p} where p ∈ ˇD −
à 1 0 ! .
参考文献
[AMRT] A. Ash, D. Mumford, M. Rapoport and Y. S. Tai, Smooth compactification of locally symmetric
varieties, Math. Sci. Press, Brookline, 1975.
[H] 巴山竜来, Siegel 上半空間のトロイダル部分コンパクト化と偏極 log Hodge 構造のモジュライ空間
6
[KU] K. Kato and S. Usui, Classifying space of degenerating polarized Hodge structures, to appear in Ann. Math. Studies, Princeton University Press.
Non-gap sequence
の測定に対する
新しいアプローチ
川口 良（大阪大学大学院理学研究科）
Cを種数 g の非特異既約代数曲線, P を C 上の点とする. fj(P )を P で j 位の極 を持ち, 他では正則な C 上の有理型関数としたとき, fj(P )はどのような j に対し て存在するか？という問題がある. これは 定義 1. j が P の gap value⇔@fj(P )⇔ h0(C, jP ) = h0(C, (j− 1)P )), jが P の non-gap value⇔∃fj(P )⇔ h0(C, jP ) = h0(C, (j− 1)P )) + 1.と定めれば, non-gap sequence (= non-gap value の全体) を求める問題と言い換え られる. non-gap sequence は加法に関して半群になる. また, 次のようなことも知 られている. 定理 2. g ≥ 1 のとき gap value はちょうど g 個存在し, 最小値は 1 で最大値は 2g −1 以下になる. この研究では, C がトーリック曲面上 S にある場合について考察する. トーリッ ク曲面はP2あるいは a 次ヒルツェブルフ曲面 Σ aからの blowing up で得られるの で, 研究の概要を模式的に表せば以下のようになる. S C P2または Σa C 0 r r r r r -ϕ blowing up P1 p p p Pn Q 特異点 Q の引き戻しを ϕ−1(Q) = {P1, . . . Pn} としたとき, C の P1, . . . Pnに おける non-gap sequence を求める.
1
トーリック曲面
まず, トーリック曲面の基本的な性質を復習しておく. 以下, S は非特異コンパ1.1
トーリック曲面と扇
Sには代数的トーラスによる自然な作用が存在し, その作用で不変な因子をトー ラス不変因子と呼ぶ. トーラス不変因子は図 1 のように S 上で輪をなすように交差 しており, トーラス不変因子のうち隣り合う 2 つを除いたもの（例えば D2. . . , Dd−1） は S のピカール群の生成系になる. さらに S には, 対応する扇と呼ばれる概念が存 在する. 扇とは, 図 2 のような原点を始点とする半直線によるR2の分割であり, 各 半直線がトーラス不変因子に対応している. PPPP PPPP PPPP PPPP PPPP PPPP PPPP PPPP PPPP PPPP PPP""P " """ """ """ """ """ """ """ """ """ """ ""@"@ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J J ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P P © © © © © © © © © © © © © © © © © © © © © © © © © © © © © © © © © © © © © © © © © © © © © © © © © © © © © © © © © © © ©CC C CC C C C CC C C C CC C C C CC C C C CC C C C CC C C C CC C C C CC C C C CC C C C CC C C C CC C C C CC££ £ ££ £ £ £ ££ £ £ £ ££ £ £ £ ££ £ £ £ ££ £ £ £ ££ £ £ £ ££ £ £ £ ££ £ £ £ ££ £ £ £ ££ £ £ £ ££ £ £ £ ££@@ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @@ @ @ @@ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @@ @ @ @@ @ @ @(((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((@ S D1 D2 D3 Dd p p p p p p トーラス 不変因子 -. 図 1 ¡¡ ¡¡ ¡¡ ¡¡ ¡¡ ¡¡ ¡¡ ¡¡ ¡¡ ¡¡ ¡¡ ¡¡ ¡¡ ¡¡ ¡¡ ¡¡ ¡¡ ¡¡ ¡¡ ¡¡ ¡¡ ¡¡ ¡¡ ¡¡ ¡¡ ¡¡ ¡¡ ¡¡ ¡¡ ¡¡ ¡¡ ¡¡ ¡¡ ¡¡ ¡¡ ¡¡ ¡¡ ¡¡ ¡¡ ¡¡ ¡¡ ¡¡ ¡¡ ¡¡ ¡¡ ¡¡ ¡¡ ¡¡ ¡¡ ¡¡ ¡¡ ¡¡ ¡¡ ¡¡ ¡¡ ©©©© © ©©©© © ©©©© © ©©©© © ©©©© © ©©©© © ©©©© © ©©©© © ©©©© © ©©©© © ´´ ´´ ´ ´´´ ´´ ´´ ´´´ ´´ ´´ ´ ´´ ´´ ´ ´´ ´´ ´ ´´ ´´´ ´´ ´´´ ´´ ´´ ´ ´´ ´´ ´ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A Sに対応する扇 σ(D1) : D1に対応する 半直線 σ(D2) σ(D3) p p p p p p σ(Dd) r r r r r r r r r r r r 図 2 また, S の標準因子は KS =− ∑d i=1Diとなる.1.2
トーリック曲面上の因子と多角形
Dを S 上の因子とする. 1.1 で注意したように S のピカール群は D2. . . , Dd−1で 生成されるので, D =∑di=2−1qiDi (qi ∈ Z) と表せる. 以下では便宜上 q1 = qd = 0 としておく. D に対して以下のように多角形¤Dが定義され, これがコホモロジー 群の次元と深く関わっている. 定義 3. σ(Di)上で原点に最も近いZ 格子点を (xi, yi)と表す. ¤D = { (z, w)∈ R2 | xiw− yiz ≤ qi (1≤ i ≤ d) } を D に対応する多角形と呼ぶ. 定理 4. h0(S, D) = ]{(z, w)∈ Z2 | x iw− yiz ≤ qi (1≤ i ≤ d) } = ]{¤Dに含まれるZ 格子点 } . さらに, KS =− ∑d i=1Diと定理 4 を合わせれば次が言える. 定理 5. h0(S, K S+ D) = ] { (z, w)∈ Z2 | x iw− yiz ≤ qi− 1 (1 ≤ i ≤ d) } = ]{¤Dの内部に含まれるZ 格子点 } . 特に S 上の種数 g の非特異既約曲線 C に対しては, { }2
主結果
定理 6. S をトーリック曲面, C =∑di=2−1piDi (pi ∈ Z) を S 上の非特異既約なネフ 曲線とし, i0 = min{i ≥ 2 | C.Di ≥ 1}, i00= max{i ≤ d | C.Di ≥ 1} とおく. C が (i) C.D1 = 1, (ii) xi0yi00 − yi0xi00 ≤ 0 を満たすとする. このとき P = D1|C とおくと, 非負整数 j に対し次が成り立つ. h0(C, jP ) = ]{(z, w)∈ Z2 | x1w− y1z ≥ −j , 0 ≤ xi0w− yi0z ≤ pi0 − 1, i0+ 1≤∃i≤ i00 s.t. xiw− yiz ≥ pi } . 定理 6 により, 任意の非負整数 j に対して h0(C, jP )は格子点の数で測れる. こ れはすなわち, C の P における non-gap sequence が測れることを意味している. 例えば, 平面曲線 C0 : x5+x4y2+xy4+y2 = 0をとり, その原点 (0 : 0 : 1) での特異 点を blowing up ϕ : C → C0により解消した場合を考える. このとき C は, 図 2 の扇 に対応するトーリック曲面上の C = D2+2D3+5D4+8D5+4D6+8D7+5D8+2D9 という曲線になり, ϕ−1((0 : 0 : 1)) = D1|Cとなる. よって D1|C = P とおくと, 主 定理より h0(C, jP )は図 3 の領域で x1X− y1Y ≥ −j に含まれる Z 格子点の数に一 致する. 従って non-gap sequence は, j が k−1 から k になるときに, この領域内の Z 格子点が増えるような正整数 k 全体であり, それを求めると{5, 8, 10, 11, 12, 13, . . .} となる. r ppppppppppppppppppp pppppppppppppppp pppppppppppppppppp pppppppppppppppppppp pppppppppppppppppppp pppppppppppppppppppp pppppppppppppppppppp pppppppppppppppppppp pppppppppppppppppppp pppppppppppppppppppp pppppppppppppppppppp pppppppppppppppppppp pppppppppppppppppppp pppppppppppppppppppppppppppppp pppppppppppppppppppppppppppppp pppppppppppppppppppppppppppppp pppppppppppppppppppppppppppppp pppppppppppppppppppppppppppppp pppppppppppppppppppppppppppppp pppppppppppppppppppppppppppppp pppppppppppppppppppppppppppppp pppppppppppppppppppppppppppppp pppppppppppppppppppppppppppppp pppppppppppppppppppppppppppppp pppppppppppppppppppppppppppppp pppppppppppppppppppppppppppppp pppppppppppppppppppppppppppppp pppppppppppppppppppppppppppppp pppppppppppppppppppppppppppppp pppppppppppppppppppppppppppppp pppppppppppppppppppppppppppppp pppppppppppppppppppppppppppppp pppppppppppppppppppppppppppppp pppppppppppppppppppppppppppppp pppppppppppppppppppppppppppppp pppppppppppppppppppppppppppppp pppppppppppppppppppppppppppppp pppppppppppppppppppppppppppppp pppppppppppppppppppppppppppppp pppppppppppppppppppppppppppppp pppppppppppppppppppppppppppppp pppppppppppppppppppppppppppppp pppppppppppppppppppppppppppppp pppppppppppppppppppppppppppppp pppppppppppppppppppppppppppppp pppppppppppppppppppppppppppppp pppppppppppppppppppppppppppppp pppppppppppppppppppppppppppppp pppppppppppppppppppppppppppppp pppppppppppppppppppppppppppppp pppppppppppppppppppppppppppppp pppppppppppppppppppppppppppppp ppppp ppppp ppppp pppp ppppp ppp ppppp ppp ppppp ppp ppppp pp ppppp pp ppppp p ppppppppppppppppppppppppppppppp ppppp ppppp ppppp ppp ppppp ppppp ppppp pp ppppp ppppp ppppp p ppppp ppppp ppppp ppppp ppppp pppp ppppp ppppp pppp ppppp ppppp ppp ppppp ppppp pp ppppp pppppppppppppp ppppp pppp ppppp ppp ppppp pppppppppppppppppppp © © © ©©©© ©©©© ©©©© ©©©© © @ @ @@ @ @ @@ @ @ @@ @ @ @@ @ @ @@ @ @ @@H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H O ¾ x1X− y1Y =−j 図 3 （定理 6 の証明の概略）図 3 の場合を例に, 証明の概略を述べる. C の種数を g とし, 定理 6 の右辺の値を Zj とおく. 正整数 j に対し, コホモロジーの完全列 · · · → H1(S, jD 1)→ H1(C, jD1|C)→ H2(S, jD1− C) → H2(S, jD1)→ · · · を考える. セールの双対定理と定理 5 より, h2(S, jD 1) = h0(S, KS−jD1) = 0. 従っ てリーマン・ロッホの定理を使えば, h0(C, jP ) = h0(C, jD1|C) = h1(C, jD1|C) + deg jD1|C + 1− g ≥ h2(S, jD 1− C) + j + 1 − g = h0(S, KS+ C − jD1) + j + 1− g. (1)ここで, C に対応する多角形¤C は図 4 であり, 定理 5 により g は¤C の内部のZ 格子点の数と等しい. また, 定理 5 によれば h0(S, KS+ C − jD1) = ] { (z, w)∈ Z2 | x1w− y1z ≤ −j − 1, xiw− yiz≤ pi− 1 (2 ≤ i ≤ d) } = ]{ 図 5 の領域 a の内部に含まれる Z 格子点 } である. さらに, 簡単な計算により j + 1 = ]{(z, w)∈ Z2 | −j ≤ x1w− y1z ≤ 0, 0 ≤ xi0w− yi0z≤ pi0− 1 } も言えるが, これは領域 b に含まれるZ 格子点の数に一致する. r HHHH HHHH HHHH HHHH © © © ©©©© ©©©© ©©©© ©©©© © @ @ @@ @ @ @@ @ @ @@ @ @ @@ @ @ @@ @ @ @@ O ¤C 図 4 r pppppppppppppppppppp pppppppppppppppppppp pppppppppppppppppppp pppppppppppppppppppp pppppppppppppppppppp ppppppppppppppppppppp pppppppppppppppp pppppppppppppppppp pppppppppppppppppppp pppppppppppppppppppp pppppppppppppppppppp pppppppppppppppppppp pppppppppppppppppppp pppppppppppppppppppp pppppppppppppppppppp pppppppppppppppppppp pppppppppppppppppppp pppppppppppppppppppp ppppp ppppp p ppppp ppppp pp ppppp ppppp pppp ppppp ppppp ppppp p ppppp ppppp ppppp pp ppppp ppppp ppppp ppp ppppp ppppp ppppp ppp ppppp ppppp ppppp pp ppppp ppppp ppppp p ppppp ppppp ppppp ppppp ppppp pppp ppppp ppppp pp ppppp ppppp pp ppppp ppppp p ppppp ppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp pp pppppppppppppppp pp ppp ppp ppp p ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp pp ppp ppp ppp ppp ppp p ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp pp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp ppp p ppp ppp ppp pp ppp ppp ppp ppp ppp p ppp pp ppp p ppppppppppppppppppp ppp ppp © © © ©©©© ©©©© ©©©© ©©©© © pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H a b O ? x1X− y1Y =−j 図 5 r pppppppppppppppppppp pppppppppppppppppppp pppppppppppppppppppp pppppppppppppppppppp pppppppppppppppppppp ppppppppppppppppppppp pppppppppppppppp pppppppppppppppppp pppppppppppppppppppp pppppppppppppppppppp pppppppppppppppppppp pppppppppppppppppppp pppppppppppppppppppp pppppppppppppppppppp pppppppppppppppppppp pppppppppppppppppppp pppppppppppppppppppp pppppppppppppppppppp ppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp © © © ©©©© ©©©© ©©©© ©©©© © @ @ @@ @ @ @@ @ @ @@ @ @ @@ @ @ @@ @ @ @@H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H O x1X− y1Y =−j c ? 図 6 これらの事実と (1) を合わせれば, h0(C, jP )は図 6 の領域 c に含まれるZ 格子点の 数以上である. ここで実は, 領域 c は定理 6 の右辺の定める領域になっており, よっ て h0(C, jP )≥ Z j が言える. さて, lj1 : x1X− y1Y =−j とおき, l1jが¤Cの内部にZ 格子点を持つ場合を考え る. このとき, 次のような S 上の因子 I = jD1+ ∑d i=2riDiがとれる. (I) h1(S, I) = 0, (II) h0(S, KS + C− I + D1) = h0(S, KS+ C− I) + 1. コホモロジーの完全列 · · · → H1(S, I)→ H1(C, I| C)→ H2(S, I− C) → H2(S, I)→ · · · を考えると (I) より h1(S, I) = 0,セールの双対定理と定理 5 より h2(S, I) = h0(S, K S −I) = 0 だから, h1(C, I| C) = h2(S, I− C) = h0(S, KS+ C− I). 従ってリーマン・ ロッホの定理より h0(C, jP +∑d i=2riDi|C ) = h0(C, I| C) = h0(S, KS+C−I)+j+ ∑d i=2riC.Di+1−g. 一方,
について同様に考察すれば, h0(C, (j−1)P +∑d i=2riDi|C ) ≥ h0(S, K S+C−I+D1)+(j−1)+ ∑d i=2riC.Di+1−g が得られる. 従って (II) より h0(C, jP +∑d i=2riDi|C ) ≤ h0(C, (j−1)P +∑d i=2riDi|C ) となるが, 逆の不等号は明らかなので, 結局 h0(C, jP +∑d i=2riDi|C ) = h0(C, (j− 1)P +∑d i=2riDi|C ) が成り立つ. ゆえに h0(C, jP ) = h0(C, (j− 1)P ). 最後に帰納法を使って証明を終える. j = 1 のときの証明は省略. h0(C, (j−1)P ) = Zj−1と仮定する. l1j が¤Cの内部にZ 格子点を持つ場合を考える. このとき l1jは 図 6 の領域 c にZ 格子点を持たないことに注意しておく. まず上で見たように h0(C, jP ) = h0(C, (j− 1)P ) が成り立つ. よって h0(C, jP ) = Z j−1. ところで先ほ どの注意より, x1X−y1Y =−(j −1) と x1X−y1Y =−j に対し領域 c に含まれる Z 格子点の数は変化しないが, これは Zj = Zj−1を意味する. ゆえに h0(C, jP ) = Zj. 次に, lj1が¤Cの内部にZ 格子点を持たない場合を考える. このとき l1jは領域 c に Z 格子点をもつ. 従って x1X− y1Y =−(j − 1) と x1X− y1Y =−j を比べると, 領 域 c に含まれるZ 格子点は 1 つ増加する. これは Zj = Zj−1+ 1を意味するので h0(C, jP ) ≤ h0(C, (j− 1)P ) + 1 = Zj−1+ 1 = Zj. 最初に示したように h0(C, jP )≥ Z jは成り立っているので, 結局この場合も h0(C, jP ) = Zjが成り立つ. tu
3
例
定理 6 を使った non-gap sequence の測定方法は常にうまくいくわけではないが, 例えば次のような場合には適用することができる. P2(X 0 : X1 : X2)上で x = XX02, y = X1 X2 とし, 平面曲線 C0 : xp+ yq+ xayb = 0 を考える. ただし p > q > a + b, a, b≥ 1 とする. C0は Q1 = (0 : 0 : 1)と Q2 = (0 : 1 : 0)に特異点を持つ. blowing up ϕ : C → C0 により C0 の特異点を解消する と, Q1の引き戻しは 2 点, Q2 の引き戻しは 1 点になるので, それぞれ ϕ−1(Q1) = {P1, P2}, ϕ−1(Q2) = P3とおく.（図 7） S r C P2 C0 r r r r -ϕ P1 P2 Q1 Q2この場合, C はトーリック曲面上の種数 g = 12(pq− aq − bp − 1) の曲線になり, 定 理 6 の条件を満たす. 従って定理を適用することができ, 次の結果を得る. (i) bと p− a が互いに素なら h0(C, jP1) = ] { (z, w)∈ Z2 | (p − a − b)w − bz ≥ −j, 0 ≤ (q − p)w + qz ≤ 2g, (a + b− q)w − (q − b)z ≥ 0}. (ii) aと q− b が互いに素なら h0(C, jP2) = ] { (z, w)∈ Z2 | (a + b − q)w − (q − b)z ≥ −j, 0≤ (p − a − b)w − bz ≤ 2g, (q − p)w + qz ≥ 0}. (ii) pと q が互いに素なら h0(C, jP3) = ] { (z, w)∈ Z2 | (q − p)w + qz ≥ −j, 0≤ (a + b − q)w − (q − b)z ≤ 2g, (p − a − b)w − bz ≥ 0}.
参考文献
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ON QUOTIENT CURVES OF
THE FERMAT CURVE OF DEGREE TWELVE ATTAINING THE SERRE BOUND
川 北 素 子 代数曲線の有理点数は興味深い研究対象である. 特に 1970 年代に Goppa が代数幾何符号を発見してから, 有限体上で有理点を多数持つ 代数曲線の研究が盛んになった. それを用いて効率の良い誤り訂正符 号を構成できるからである. 本稿では有理点数が Serre 上界に達する代 数曲線に関する研究成果を紹介する. なお代数曲線は絶対既約かつ非 特異な射影曲線とし, 以下 p を素数, q を p 冪とおく. 有限体 Fq上種数 g の代数曲線 C の有理点数について, Hasse–Weil 上 界 #C(Fq) ≤ q + 1 + 2g√q がある. 1983 年に Serre が改良し, [9] の中 で Serre 上界 #C(Fq) ≤ q + 1 + gb2 √ qc (b c はガウス記号) を示した. この上界に達する代数曲線の L-多項式は (1 + b2√qct + qt2)gと書ける. また Lauter が [5] で伊原の結果を一般化 し, Serre 上界は g ≤ (q2− q)/(b2√qc + b2√qc2− 2q) の時にのみ達せ られることを示した. Hasse–Weil 上界に達する代数曲線は最大曲線と呼ばれ, Stichtenoth 予 想「最大曲線は全て Hermit 曲線の像である」がある. Garcia, Stichtenoth らの研究により, 多くの最大曲線が Hermit 曲線の商を取ることにより 構成できることが確認された. 一方, 最大曲線ではない Serre 上界に達する代数曲線は具体例が乏し く, それほど研究が進んでいない. まず種数 3 については, Serre の有限体 F23上の Klein 曲線 x3y + y3+ x = 0 が有名であり, Lachaud が [4] で p ≡ 1 mod 4, さらに a > 0, a ≡ 3 mod 4, b2 ≤ a となる整数 a, b が存在して p = a2 + b2 の時, x4 + y4 = (2/p) が素体 F p上 Serre 上界に達することを示した. ここで (/) は Legendre 記号である. また Auer, Top は [1] で, ある種の次数 4 の 定義方程式で定義された代数曲線が Serre 上界に達することを紹介して いる. 次に種数 4 の場合, 筆者の結果がある. 定理 1 ([6]). 有限体 Fp上の代数曲線 y12 = x4(1 − x) が Serre 上界に達 する必要十分条件は, p ≡ 1 mod 12, b2√pc ≡ 1 mod 3, 整数 n が存在し て p = b√pc2 + 27n2となることである. 最後に種数 11 では, 三浦 [8] が代数幾何符号の構成を研究する途中に得 られた, 有限体 F 上の代数曲線 y23 = x4(1 − x) がある. 以上が全て
これらの結果を踏まえ, 筆者は定理 1 を拡張させるため, 次数 12 の Fermat 曲線の商曲線について, Jacobian 分解を考察し, コンピュータ 探索を実行した. 最大曲線でない Serre 上界に達する代数曲線が得られ たので, ここに紹介しよう. なお, 証明は [7] を参照されたい. 1. Fermat 曲線 本節では次数 12 の Fermat 曲線の商曲線の中, Fermat 曲線に関する 結果をまとめた. 定理 2. 次数 4 の Fermat 曲線 F4 : x4 + y4 = 1 が有限体 Fp 上 Serre 上界に達する必要十分条件は, b2√pc ≡ 6 mod 8, 整数 n が存在して p = b√pc2+ 16n2となることである. 参考のため, 探索で得られた有限体の位数をリストアップする. 素数 p が 977, 2617, 3041, 5641, 5689, 6257, 8297, 9041, 9817, 13241, · · · で ある. 注 3. 標数が 2 でない体上で, 次数 4 の Fermat 曲線 F4の Jacobian が完 全分解する. JF4 ∼ Γ1× Γ 2 2, 但し, 楕円曲線 Γ1 : y2 = 1 + x4, Γ2 : y2 = 1 − x4である. 以下 k を標数が 2, 3 でない体とし, E1 : y2 = x3+ 1, E2 : y2 = x3− 1, E3 : y2 = x3 + 4, E4 : y2 = x3− 4, E5 : y2 = x3+14 を k 上の楕円曲線 とする. 定理 4. 次数 6 の Fermat 曲線 F6 : x6+ y6 = 1 が有限体 Fp上 Serre 上 界に達する必要十分条件は, p ≡ 1 mod 12, b2√pc ≡ 1 mod 3, 整数 n が 存在して p = b√pc2+ 27n2となることである. 探索で得られた素数 p は 15733, 24133, 26029, 27997, 38917, 43789, 51637, 60133, 72469, 93133, · · · である. 実はこの探索結果が代数曲線 C1と同じである. 補題 5. 体 k 上次数 6 の Fermat 曲線 F6の Jacobian が完全分解する. JF6 ∼ E 4 1 × E22× E32× E4× E5. 次数 6 の Fermat 曲線の商曲線に関し次の結果を得ている. 系 6. 代数曲線 D1 : y6 = x2(1 − x2) が有限体 Fp上 Serre 上界に達す る必要十分条件は p ≡ 1 mod 12, b2√pc ≡ 1 mod 3, 整数 n が存在して p = b√pc2+ 27n2となることである. 補題 7. 体 k 上で代数曲線 D1の Jacobian が完全分解し, JD1 ∼ E 2 3 × E4 × E5
2. 次数 12 の商曲線 次数 12 の Fermat 曲線の商曲線の中, 定義方程式 y12 = xn(1 − x) で 定義された代数曲線の結果をまとめた. 代数曲線 C1 : y12 = x4(1 − x) が有限体 Fp上 Serre 上界に達する必要 十分条件は定理 1 にあるが, 体 k 上で Jacobian が完全分解し, JC1 ∼ E3× E 2 5 × E6 となる. 但し, 楕円曲線 E6 : y2 = x3−14 である. 定理 8. 代数曲線 C2 : y12= x5(1 − x) が有限体 Fp上 Serre 上界に達す る必要十分条件は, p ≡ 1 mod 12, b2√pc ≡ 6 mod 8, 整数 n が存在して p = b√pc2+ 36n2となることである. 素数 p の探索結果が, 3061, 3517, 5077, 6277, 8317, 14197, 24061, 24169, 26713, 30661, · · · である. 補題 9. 代数曲線 C2は 1 の原始 6 乗根をもつ体上で Jacobian が完全分 解する. JC2 ∼ Γ3× Γ 2 4, 但し, 楕円曲線 Γ3 : y2 = x3+ x, Γ4 : y2 = x3− 3x である. 定理 10. 代数曲線 C3 : y12 = x6(1 − x) が有限体 Fp上 Serre 上界に達 する必要十分条件は, p ≡ 1 mod 12, p + 1 + b2√pc ≡ 0 mod 8, 整数 n が 存在して p = b√pc2+ 36n2となることである. 素数 p の探索結果が, 2437, 4261, 15661, 21061, 24169, 26713, 28597, 32797, 34261, 42061, · · · である. 補題 11. 代数曲線 C3は 1 の原始 6 乗根をもつ体上で Jacobian が完全 分解する. JC3 ∼ Γ5× Γ 2 6, 但し, 楕円曲線 Γ5 : y2 = x3− x, Γ6 : y2 = x3+ 3x である. 3. 係数を動かす 上記定理の代数曲線の定義方程式の係数を動かすことで, 定理の拡張 を得た. 定理 12. [2] 代数曲線 C10 : y12 = x4(x+16) が有限体 Fp上 Serre 上界に達 する必要十分条件は, p ≡ 1 mod 12, b√pc ≡ 2 mod 3, b2√pc ≡ 1 mod 3, 整数 n が存在して p = b√pc2+ 3n2となることである. 補題 13. [2] 体 k 上代数曲線 C10 の Jacobian が完全分解し, JC0 1 ∼ E 3 1 × E2
定理 14. 代数曲線 F40 : x4+ y4 = −1 が有限体 Fp上 Serre 上界に達する 必要十分条件は, b2√pc ≡ 6 mod 8, 整数 n が存在して p = b√pc2+ 4n2 となることである. 補題 15. 標数が 2 でない体上, 代数曲線 F40の Jacobian が完全分解する. JF0 4 ∼ Γ 3 7, 但し, 楕円曲線 Γ7 : y2 = −x4− 1 である. 定理 16. 代数曲線 D10 : y6 = x2(4 − 4x2) が有限体 Fp上 Serre 上界に達 する必要十分条件は, p ≡ 1 mod 12, b√pc ≡ 2 mod 3, b2√pc ≡ 1 mod 3, 整数 n が存在して p = b√pc2+ 3n2となることである. 命題 17. 体 k 上代数曲線 D01 : y6 = x2(4 − 4x2) の Jacobian が完全分 解し, JD0 1 ∼ E 3 1 × E2. である. 定理 1, 2, 系 6 は, それぞれ定理 12, 14, 命題 16 に含まれるが, 研究方 針を示すため, 敢えて発見順に全部紹介した. 4. 無限性 上記の定理に現れる有限体の無限性を考察する. Buniakowski の予想. a, b, c が整数, a が正, gcd(a, b, c) = 1, a + b と c の少なくとも一方が奇数, b2− 4ac が平方でないとすると, am2+ bm + c の形の素数が無限個ある. 命題 18. Buniakowski の予想が正しいならば, 定理 1, 2, 4, 8 10 の条件 を満たす素数が各々無限個存在する. References
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〒 520-2192 滋賀県大津市瀬田月輪町 滋賀医科大学生命科学講座数学教室
種数
2
の有理超楕円曲面のフレーム格子
北川真也∗1
主結果と背景
切断をもつ有理楕円曲面のモーデル・ヴェイユ群並びに格子の構造は,ルート格子E8 をフレームとして,小木曽・塩田[5] により特異ファイバーに沿って詳しく分類されてい る. 特にモーデル・ヴェイユ群が自明な場合は,可約な特異ファイバーがII∗ 型のみとな る. 種数2 の有理超楕円曲面に対しても,フレーム格子を求めて, 更に, その拡大ディン キン図形を双対グラフに含む特異ファイバーを考察した. また,ゆくゆくは種数2の場合 も[9]のように,分類の成果を特異点の変形理論へ応用してみたい. 以下, X/Cは非特異有理曲面で, f : X → P1 は相対極小な種数2の超楕円曲線束とす る. 特にファイバーは全て連結である. 特に断りの無い限り, f は少なくとも一つは切断 をもつと仮定して, それを零切断(O) とよぶ. また, f の切断は X の曲線とみなす. ネ ロン・セヴェリ群NS(X)において,すべてのファイバーの既約成分全部と (O)が生成す る部分群をT とおく. それらへ交点形式の(−1)倍で内積をいれて,ネロン・セヴェリ格 子NS(X)−,自明格子 T− とよぶ. このとき塩田[10] によるモーデル・ヴェイユ格子の 基本定理が成り立つ: モーデル・ヴェイユ群MWG(f )はNS(X)/T に同型,狭義モーデ ル・ヴェイユ格子MWL(f )0 は直交補格子(T−)⊥⊂ NS(X)− に同型,モーデル・ヴェイ ユ格子MWL(f )はMWL(f )0 の双対格子に同型である. 以上を受けて,フレーム格子を 次のように定義する: 定義. {fλ : Xλ→ P1} λ∈Λ はNS(Xλ)− が互いに同型な族とする. ある λ0 ∈ Λが存在し て,上の同一視で任意のλ ∈ Λに対してTλ0−⊂ Tλ− が成り立つとき, MWL(fλ0) を,族 {fλ}λ∈Λ のフレーム格子とよぶ. 定義から族 {fλ : Xλ → P1}λ∈Λ には,任意の λ ∈ Λ に対してfλ の一般ファイバーが 同一視できるように, NS(Xλ)− 間の同型を与えておくのが自然と思われる. 一方でf の 切断については次のように自由が効く.∗Supported by The 21st Century COE Program named “Towards a new basic science: depth and
補題1. i = 1, 2に対してDi はf : X → P1 のファイバーとの交点数が1なる(有効でな くとも良い)因子とする. NS(X)において,すべてのファイバーの既約成分全部とDiが生 成する部分群をTi とおく. このときNS(X)/T1 とNS(X)/T2,また, (T1−)⊥⊂ NS(X)− と(T2−)⊥⊂ NS(X)− はそれぞれ同型である. 自己交点数が (−1)なる切断を特に (−1)切断と呼ぶことにする. 定理 2. 種数 2 の有理超楕円曲面は以下の (1)–(5) の何れかに属する. 更に, 各族のフ レーム格子は階数4 − 2KX2 の正定値ユニモジュラ整格子であって,適当な基底による拡 大ディンキン図形が以下の通り: (1) KX2= −4 なる族: l l l l l l l l l l l 3l (2) KX2= −3 なる族: l 1l l l l l l l l l (3) KX2= −2 かつ f が(−1)切断をもたない族: l l l 1l l l l 1l (4) KX2= −2 かつ f が(−1)切断をもつ族: l l l l l l l l (5) KX2= −1 なる族 : l 1l l 1l l 1l ここで,各基底に円が対応して,円内の数字は自己内積を表す. ただし自己内積が2 の場 合は省かれる. また二つの基底の内積が(−k)のときに,対応する二つの円をk 本の直線 で結ぶ. 定理 2 の(1) は齋藤・榊原[8], ヴィエト [4] による先行研究がある. (4) については, 2007年の春の学会で報告した通りである. なお,ルート格子で無い限りは,基底を取り替 える事で,拡大ディンキン図形は変わり得る. 命題 3. MWG(f ) は自明とする. f の可約な特異ファイバーを双対グラフで表すと次が 成り立つ,ただし“ jf”は算術種数が 1 の既約曲線を表し,最左端の元に対応する成分 がf の唯一の切断 (O)と交わる. • f が定理 2 の(1)に属するとき,次の可約ファイバーを唯1 本もつ: l l l l l l l l l l l l 3l 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6 2
• f が定理 2 の(2)に属するとき,図1–4の4 通りで,何れも 2本もつ: l l l 1 1 2 l ±° ²¯ 1 2 l ±° ²¯ 2 1 l l l l l l l l 3 2 3 4 5 6 4 2 図1. l l l 3l 1 2 3 2 l ±° ²¯ 2 1 l l l l l l l l 3 2 3 4 5 6 4 2 図2. l l l 1 1 2 l ±° ²¯ 1 2 l 4 l l l l l l l l 5 1 4 7 10 8 6 4 2 図3. • f が定理 2 の(4)に属するとき,次の 6通り: (4-i) l ±° ²¯ 1 1 l ±° ²¯ 1 1 l ±° ²¯ 1 1 l ±° ²¯ 1 1 l 4 l l l l l l l l 5 1 4 7 10 8 6 4 2 (4-ii) l ±° ²¯ 1 1 l 1 l ±° ²¯ 1 1 l 4 l l l l l l l l 5 1 4 7 10 8 6 4 2 (4-iii) l ±° ²¯ 1 1 l ±° ²¯ 1 1 l ±° ²¯ 1 1 l ±° ²¯ 1 1 l ±° ²¯ 2 1 l l l l l l l l 3 2 3 4 5 6 4 2 (4-iv) l ±° ²¯ 1 1 l 1 l ±° ²¯ 1 1 l ±° ²¯ 2 1 l l l l l l l l 3 2 3 4 5 6 4 2 (4-v) l ±° ²¯ 1 1 l ±° ²¯ 1 1 l ±° ²¯ 1 1 l 3 1 l l l l l l l l 3 2 3 4 5 6 4 2 (4-vi) l ±° ²¯ 1 1 l 3l 1 l l l l l l l l 3 2 3 4 5 6 4 2 1 上の 11種類のf すべてに対して,具体的な構成法も得ている. 尚,図2, 3, 4及び(4-i)
l l l 3l 1 2 3 2 l 4 l l l l l l l l 5 1 4 7 10 8 6 4 2 図4. と(4-ii) が講演で漏れていた. さて,定理 2の (3) または (5)に属して, MWG(f ) が自 明となるf も構成できる. それらの例がもつ可約な特異ファイバーは次の通り: • f が (3)に属するとき: l l l 1 1 2 l l l ±° ²¯ 1 2 2 2 l l l 1 1 2 l l l ±° ²¯ 1 2 2 2 • f が (5)に属するとき: l l l 1 1 2 l ±° ²¯ 1 2 l l l 1 1 2 l ±° ²¯ 1 2 l l l 1 1 2 l ±° ²¯ 1 2 以上の双対グラフは図 2と図 4 を除くすべてが,定理2 の拡大ディンキン図形を一部 に含んでいる.
2
証明の概略
最初に種数が2の超楕円曲線束の顕著な成果 [2]を,有理曲面の場合に制限して紹介す る. 有理曲面の二重被覆は分岐因子から一意に定まる事に注意する. 尚,ここでは特に f が切断をもつと仮定しなくても良い. 有理二重被覆 f × Φ|KX+F | : X 99K Σ0 := P 1× P1 ' P(f ∗OX(KX/P1))の分岐因子を B とおく. Σ0 の第一射影の任意のファイバーを Γ, 第一射影の任意のファイバーを ∆0 で表す. B の三重点が, (k − 1)位の無限近傍点も三重点であって, k 位のそれは高々二重 点となるとき,もとの三重点をk位の三重点と呼ぶ. つまり,一位の三重点を中心とする Σ0 のブローアップで, B の狭義逆像は例外因子上に三重点をもたない. 命題 4. k ≥ 1 とする. Γ 上で B の特異点は次の六種類の何れかである: (0) 一位の三重点を高々一点と高々二重点しかもたない. (Ik) B がΓ を含んで, B − Γが異なる二点で三重点をもつ. ただし,三重点は(2k − 1) または (2k) 位である. (IIk) B は Γ を含まず, B が異なる二点で三重点をもつ. ただし,三重点は (2k) または (2k + 1) 位である. (IIIk) B が Γ を含んで, B − Γ がΓ と一点で六重に交わる(4k − 2) または (4k − 1) 位 の三重点をもつ.(IVk) B はΓ を含まず, B がΓ と一点で六重に交わる(4k)または (4k + 1)位の三重点
をもつ.
(V) B が Γ を含んで, B − Γが Γ と一点で六重に交わる四重点をもつ. ただし四重点
を中心とするブローアップで B − Γ の狭義逆像は, Γ のそれ上で二重点をもつ.
定義. f のファイバーの f × Φ|KX+F | による像が命題 4 のようになるとき, 対応してf
のファイバーを(Ik), (IIk), (IIIk), (IVk), (V)型の特異ファイバーと呼ぶ. 他のf の特異
ファイバーを(0) 型の特異ファイバーと呼ぶ. 例えば,ノードを一個だけ持つ特異ファイバーの像Γ は,ノードに対応するB の非特 異点でB と二重に接するが,これも (0)型と呼ぶことにする. 定理 5. (∗) 型の特異ファイバーの本数を#{∗} とおく. このとき次が成り立つ: B ∼ 6∆0+ Ã X k (#{Ik} + #{IIIk}) + #{V} + KX2+ 6 ! Γ (1) KX2+ 4 = #{V} +X k
((2k − 1)(#{Ik} + #{IIIk}) + 2k(#{IIk} + #{IVk})). (2)
等式 (2) を受けて Hf := KX2+ 4 は (全) 堀川指数と呼ばれる. さて, (∗) 型の特異
ファイバー1本の既約成分の最小数については次の通りである :
(V) (Ik) (IIIk) (IIk) (IVk)
3 2k 2k + 1 2k + 1 2k + 2 ネター公式よりピカール数ρ(X)は(10 − KX2)に等しいから,以上とモーデル・ヴェイ ユ格子の基本定理を合わせて, rkMWL(f ) = ρ(X) − 2 −X t∈P1 (f−1(t)の既約成分の数− 1) ≤ 12 − 2Hf. (3) 双有理射 σ[: Σ[0→ Σ0 は,次のようにB の特異点を中心とする2Hf 回のブローアッ プの合成とする: 先ず,命題 4 の(0)型は無視する. (Ik) の特異点では,二つの三重点の 上で(2k − 2) 位の無限近傍点まで解消する. 同様にして(IIk) については(2k − 1)位の 無限近傍点まで, (IIIk) については(4k − 3)位, (IVk)に対しては (4k − 1)位まで解消す る. (V) についてはB − Γの四重点を解消した後, B − ΓとΓ の狭義逆像の交点を中心 とするブローアップをして終える. このとき特に B の狭義逆像は特異点を,一位の三重 点と高々二重点しかもたない. また, σ[ で生じる適当な(−2)曲線を, B の狭義逆像に加 えてB[ とおく. Σ[ のB[ で分岐する有限二重被覆で得られる曲面は,高々有理二重点し
かもたない. それらの極小解消で非特異曲面Xe を得る. 一連の射とΣ0 の第一射影の合 成は,丁度 Hf 本の (−1)曲線をファイバーに含む,種数 2の超楕円曲線束である. それ らHf 本の (−1)曲線を縮約してf : X → P1 が再構成される. 以上の操作は標準解消と 呼ばれる. また, p2(X) = 0から h0(−KΣ[ 0+ KX 2(σ[ 0)∗Γ) = 0 (4) が従う. 逆に P1× P1 上に被約な有効因子 B を,命題 4 と (1) 及び(4) をみたすように取れ ば,式(2) で定まる堀川指数なる種数2 の有理超楕円曲面を構成できる. さて, 切断をもつ有理楕円曲面は, 平面三次曲線のペンシルを基点解消して得られる. 楕円曲線束は反標準写像に他ならない. 種数が 2 の場合は, KX2 = −4 かつ MWG(f ) が自明なときに限り, X から P2 への双有理射が存在しない. ただし,ここでは非存在性 の証明を割愛する. KX2 = −4 ならばf はいつも切断をもつが,次の定理は特にf が切 断をもつと仮定しなくても成立する. 定理 6. KX2 = −4 ならば MWG(f ) が非自明と仮定する. このとき適当な双有理射 ν0: X → P2 が存在して, f の一般ファイバー F は次の何れかに線型同値である : (1) 4` − 2e1− 13 X i=2 ei (KX2 = −4の場合), (2) 6` − 2 8 X i=1 ei− 12 X i=9 ei (KX2 = −3の場合), (3) 7` − 3e1− 2 11 X i=2 ei (KX2 = −2の場合), (4) 9` − 3 8 X i=1 ei− 2e9− 2e10− e11 (KX2 = −2の場合), (5) 13` − 5e1− 4 10 X i=2 ei (KX2 = −1の場合). ここで` = ν0∗OP2(1)かつei はν0 で縮約される (−1)曲線のX への全引き戻しである. また,任意の双有理射ν : X → P2 に対してdeg ν0(F ) ≤ deg ν(F ) が成り立つ. 証明の概略. 主に対 (X, F ) の #-極小モデル (cf. [1], [3]) と, f のスロープ不等式 (cf. [7])を用いて示される. ただし KX2 = −1のときに, (5) の場合だけに絞り込む際は[2] も本質的に用いる. 一般には,定理 6のν0 は一意に定まらない. しかし(2)のe9, e10, e11, e12及び (4)の e11 は, ν0 の選び方にも依らずして, 一意に決まる(cf. [6, §1]). 更に(4) のe9 と e10 も
一意的である. 以降は便宜上, i < j のときに限ってν0(ej) がν0(ei)の無限近傍点となる 事を許容する. (1)のときはe13, (2) では e12, (4)では e11 が,少なくともf の(−1)切 断曲線となっている. 更に(4) のe11 は唯一の(−1) 切断曲線であり, (3) と(5) の場合 はf の (−1)切断曲線を一本も持たない事が,定理6 から直ちに従う. 特に種数 2 の有 理超楕円曲面の,定理 6に基づいた五つの族への分割は,定理2 のそれと合致する. した がって各族に対して,定理 2のν0 から定まる `及び ei を基底にとってNS(X)− を同一 視したもとで,最小の T− を求めれば良い. 2.1 KX2 = −1 の場合 最初に rkMWL(f ) = 6 かつKX2 = −1なる f : X → P1 が存在する事を示す. これ は不等式 (3)の等号を成立させる. 一般の KX2 = −1なる種数 2 の有理超楕円曲面が, 切断をもつか否かは分からない. P1× P1 の第一座標を t, 第二座標をx とする. fB00= −32(t − 1)2t3+(x − 1)(7x5+ 23x4− 134x3+ 114x2− 109x − 5)t5 +4(x − 1)(73x5− 125x4+ 190x3− 102x2+ 61x + 11)t4 −4(x − 1)(160x5− 256x4+ 263x3− 115x2+ 37x + 7)t3 +8x(x − 1)(67x4− 110x3+ 82x2− 30x + 3)t2 −16x2(x − 1)2(13x2− 10x + 3)t +32x3(x − 1)3 とおく. 更に, tが定義するファイバーを Γ0 として, x − 1が定義する切断曲線を∆01と する. fB00 で定義される曲線を B0 とおく. B0 は点(0, 1) で (3, 10) 型尖点をもち,点 (0, 0)で三位の三重点をもつ. 特に後者は二位の無限近傍点を中心とするブローアップで, 例外因子とB0 の狭義逆像が三点で横断的に交わる. Γ0 上にあるB0 の三重点は命題 4 の(I2)型に他ならない. また, (3t − 2)x2+ (−2t + 2)x + tで定義される2∆0+ Γに線型 同値な曲線は, B0 上の点(0, 1)及び一位と二位の無限近傍点を通るが,点(0, 0)上では一 位の無限近傍点を通っても二位のそれは通らない. したがって式(4)をみたす. またfB00 の判別式を調べる事で, B0 はΓ0 の外で非特異かつ, B0 と接するファイバーΓは図5の ように丁度 12 本で, どの接点でも二重に接する. したがって, P1× P1 の(B0+ Γ0) で 分岐する二重被覆を, 標準解消して得られる種数 2 の有理超楕円曲面が最初に望んだ性 質をみたす. なお, ∆01 はB0 と点 (1, 1) で接するので, ∆01 の狭義逆像の二重被覆によ る逆像は,一点で交わる二本の超楕円曲線束の(−2)切断の対となる. 次に,最小のT−を求める手順を紹介する. 実は,定理6 のe2, e3, . . . , e10は,線織構造 Φ|F +4KX|: X → P1 のファイバーに含まれる(−1)曲線から,適当に選び出される. この
x = 1 t = 0 t = 1 · · · 12 x = 0 図5. とき図6 のような可換図式を得て, e8− e9, e9− e10, −2KX + e10, F, (O) ∈∀T が分かる. そして先の例では上式の左辺の元が T を生成する. 2 : 1 can. res. e X πe ψ rel. min. e13 e12 e11 f Σ[ 0 e σ Σ[ 0 σ[ X f × Φ|KX+F | Σ0 Φ|Γ| f P1 ν0 P2 4∆\0+ 5Γ\ の部分 ペンシル ν7 X7 e10 e9 e8 σ\ Σ\1 e8 .. . e13 の像を 縮約 f Σ\1 2∆\ 0+ 4Γ\ で分岐 Φ|−KX7| P2 図6. f が定理 2 の (3) に属する場合も同様に, 定理 6 の e11 と e10 を適当に選んで Φ|−KX+e10+e11|× Φ|F +2KX|: X → P1× P1 を観察すると, e10− e11, −KX + e11, F, (O) ∈∀T が分かる.
2.2 KX2 = −3 の場合 X から e12, e11, e10, e9 の縮約で得られる曲面をX8 とおく. KX + F = −KX + e12+ e11+ e10+ e9 に付随する有理写像は, e12, e11, e10, e9 の縮約と Φ|−KX8| の合成である. | − KX8|の基点を解消して得られる有理楕円曲面² : S → P1 に着目して, −KX+ e11+ e12, F, (O) ∈∀ T が分かる. 更に進んで次が成り立つ: 定理 7. f : X → P1 は(V)型の特異ファイバーをもつK X2= −3 なる種数2 の有理超 楕円曲面とする. このとき MWG(f ) ' MWG(²) かつ MWL(f ) ' MWL(²). 上の証明は割愛する. さて,等式 (2) より, KX2 = −3ならばf は(I1) 型か (III1) 型, または(V)型の特異ファイバーを唯一本だけもつ. しかし, (I1)型か (III1)型の特異ファ イバーをもつとf は, 切断を二本以上有する. したがって定理7 の系として, MWG(f ) が自明な場合に,次のように定義式を書き下せる. P1×P1の第一座標をt,第二座標をxとする. (α, β, γ, δ) ∈ (C4\{γ = 0})\{α2−4β = βδ + γ = 0}に対して x5+ γt3+ βt2x + αtx(x − δt)2− δtx2(3x2− 3δtx + δ2t2) (5) が定義する曲線を B0 とおく. 第一成分の原点のファイバー Γ0 は B0 と一点 (0, 0) で 五重に交わる. 特に Γ0 は B0 を成分に含まない. また, γ 6= 0 より B0 は {x = 0} が 定義する第一射影の切断曲線を含まず, ただ一点 (0, 0) で三重に交わる. (∞, ∞) で B0 は (3, 5) 型尖点をもつ. 更に (0, 0) で三重点をもち, 一点 (0, 0) を中心とするP1 × P1 のブローアップの後もB0 の狭義逆像は Γ0 のそれ上で二重点をもつ. β 6= α2/4 または γ 6= −α2δ/4 より,その二重点は丁度一回のブローアップで解消される. したがって特に B0 は重複成分をもたない. 逆にそのような曲線として B0 は特徴付けられる. 実際, 特に β = α2/4 かつ γ = −α2δ/4 とおくと,与式 (5)は(x − δt)(2x2− 2δtx + αt)2/4 と因数分解される. このとき命題 3 の可約ファイバーの双対グラフについて次が成り立つ. 図1 図 2 図3 図4 β = 0 否 肯 否 肯 δ = 0 否 否 肯 肯 更に β 6= 0 のとき,可約ファイバーの算術種数が一なる既約成分は, α2− 4β 6= 0 なら ば楕円曲線,つまり幾何種数も一だが, α2− 4β = 0 ならばノードをもつ. また, β = 0の
とき,可約ファイバーに含まれる(−3)曲線と,二点で交わる(−2)曲線は, α 6= 0ならば
異なる二点で交わり, α = 0ならば接する.
f が定理2 の(4)に属する場合も, (2)の場合と同様である.
参考文献
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