数学
II改訂版プリント
# 25 年 組 号■ 円と直線の共有点
氏名例1 x2+y2= 10とy= 3xの共有点の座標を求めなさい。
解答 連立方程式
{ x2+y2= 10· · ·①
y= 3x· · ·② を解けば良い。
②を①に代入すると x2+ (3x)2= 10 x2+ 9x2 = 10 10x2 = 10 x2= 1
√x2=±√ 1 x=±1
O x
y
√10
y= 3x
x2+y2= 10
x= 1のとき②に代入してy= 3x= 3×1 = 3
x=−1のとき②に代入してy = 3x= 3×(−1) =−3 よって共有点は (1,3), (−1,−3)
例2 x2+y2= 10とy= 3x+ 10の共有点の座標を求めなさい。
解答 連立方程式
{ x2+y2= 10· · ·①
y= 3x+ 10· · ·② を解けば良い。
②を①に代入すると
x2+ (3x+ 10)2 = 10 x2+ 9x2+ 60x+ 100 = 10 10x2 + 60x+ 90 = 0
x2 + 6x + 9 = 0 ← 解の公式で解くと (x+ 3)2 = 0
x+ 3 = 0
x=−3
解の公式で解くと x= −6±√
62−4×1×9 2×1
x= −6±√
36−36
2 = −6±√ 0 2 = −6
2 =−3
O x
y
√10
y= 3x+ 10
x2+y2= 10
x=−3のとき②に代入してy = 3x+ 10 = 3×(−3) + 10 = 1 よって共有点は (−3,1)
次の円と直線の共有点の座標を求めなさい。
⑴ x2+y2= 2, y =x ⑵ x2+y2= 5, y= 2x+ 5
⑶ x2+y2= 10, y =−x−2 ⑷ x2+y2= 2, y=x+ 2
⑸ x2+y2= 1, y =x+ 1 ⑹ x2+y2= 25, y= 2x−5
⑺ x2+y2= 5, y = 3x+ 1
↑分数が出る
⑻ x2+y2−10x+2y+1 = 0, x−2y−2 = 0
↑難しい
改訂版プリント
#26
⑴なし
⑵ 個⑶ 1 個⑷ 2 なし⑸ 個⑹ 2 個 1
数学
II改訂版プリント
# 26 年 組 号氏名
■ 円と直線の位置関係
■ 2次方程式の解の公式
ax2+bx+c= 0 の解は x= −b±√
b2−4ac
2a である。
ax2+bx+c= 0において、判別式D=b2−4acとすると D >0
⇕
異なる2つの実数解
D= 0
⇕
重解を持つ
D <0
⇕
異なる2つの虚数解
「円の式」と「直線の式」から片方の変数を消した2次方程式の判別式をD=b2−4acとすると D >0
⇕
異なる2点で交わる
（共有点2個）
D= 0
⇕
接する
（共有点1個）
D <0
⇕
交わらない
（共有点なし）
例題1 x2+y2= 7 と y=x+ 3の共有点の個数を求めなさい。
解答
{ x2+y2= 7· · ·①
y=x+ 3· · ·② の判別式を調べれば良い。②を①に代入 すると
x2+ (x+ 3)2 = 7 x2+x2+ 6x+ 9 = 7 2x2+ 6x+ 2 = 0 x2+ 3x+ 1 = 0
判別式D =b2−4ac= 32−4×1×1 = 5>0なので 共有点2個
改訂版プリント
#25
⑴ (1, 1),
− (
− 1,
⑵ 1)
− ( 2,
⑶ 1)
− ( 3, 1),
− (1,
⑷ 3)
− ( 1,
⑸ 1) (0, 1),
− ( 1,
⑹ 0)
− (0, 5), (4,
⑺ 3)
− (
− 1, 2),
2 (
, 5 11 5 )
⑻ (8, 3),
− (0, 1)
例題2 x2+y2= 3 と y=−x+ 4の共有点の個数を求めなさい。
解答
{ x2+y2= 3· · ·①
y=−x+ 4· · ·② の判別式を調べれば良い。②を①に代入すると x2+ (−x+ 4)2 = 3
x2+x2−8x+ 16 = 3 2x2−8x+ 13 = 0
判別式D =b2−4ac= (−8)2−4×2×13 = 64−104<0なので 共有点なし
次の円と直線の共有点の個数を求めなさい。
⑴ x2+y2= 5, y=−x−4 ⑵ x2+y2= 8, y=−x+ 4
⑶ x2+y2= 9, y=−x+ 3 ⑷ x2+y2= 9, y=x+ 5
⑸ x2+y2= 4, y= 2x−1 ⑹ x2+y2−2x−1 = 0, x−y−3 = 0
