複素関数とグラフィックス

(1)

複素関数とグラフィックス

長崎大学教育学部数学教室菅原民生

要約

複素関数には、実部の「等高線」と虚部の「等高線」が互いに直交しあう、

いわゆる等角写像の性質がある。実部を赤と白の縞、虚部を青と白の縞で表し

、赤と青の交わりを紫とすると、美しいグラフが得られる。そのグラフィックス画面を作るには、N88Basicが依然として便利である。

本稿は、プログラムの基礎的な部分を、N88Basicのグラフィックス入門のテキストの形で解説している。

§ 1 平面を塗りつぶす

Practice 1

次の直接命令を一つづつ実行せよ。

SCREEN 3

LINE(500,150)-(600,200)

LINE(500,150)-(600,200) ,3 LINE(500,150)-(600,200) ,3,B LINE(500,150)-(600,200) ,3,BF

Practice 2

(1) 次のプログラムを打ち込んで実行せよ。

100 SCREEN 3 :CLS 2

110 FOR Q=150 TO 200

120 FOR P=500 TO 600

130 PSET(P ,Q)

140 NEXT P

150 NEXT Q :END

(2) 次のプログラムを追加して実行せよ。

スペースキーを打つごとに進行する事を観察せよ。

144 PRINT "q=";q

145 X$=INKEY$ :IF X$="u GOTO 145

−29−

(2)

( 3 )

( 4 )

次のプログラムを追加して実行せよ。

134 135

PRINT 11

Y$=INKEY$

P=II ;P

:IF Y$="" GOTO 135

RENUM 300

，

100

を実行して番号がどう変わるかを観察せよ。

RENUM A

，

B

，

C

は B からを A から C きざみに番号を付け直す。

RENUM 100

，

300

を実行して番号がどう変わるかを観察せよ。

プログラムは現在次のようになっていることを確かめよ。

100 SCREEN 3 :CLS 2 110 FOR Q=150 TO 200 120 FOR P=500 TO 600 130 PSET(P

，

Q)

140 PRINT 11 P=" ;P

150 Y$=INKEY$ :IF Y$="" GOTO 150 160 NEXT P

170 PRINT ^l^IQ=II;Q

180 X$=INKEY$ :IF X$="" GOTO 180 190 NEXT

Q :

END

今後、テキストのプログラムの文番号が、学習者のとずれることがあるかも知れないが、あまり気にする必要はない。

P r a c t i c e 3 ( 1 )

( 2 )

( 3 )

次のプログラムを追加して実行せよ。

130

行は一部書き替えである。

105 CL(0)=7 :CL(1)=5 :CL(2)=3 :CL(3)=1 125 SA=工町T(P/10) :S=SA‑I町T(SA/2)*2 130 PSET(P

，

Q)

，

CL(2*S)

次のプログラムを追加して実行せよ

⁰

130

行は一部書き替えである。

126 130

TA=I町T(Q/10) :T=TA‑I町T(TA/2)*2 PSET(P

，

Q)

，

CL(T)

126

と

130

行を一部書き替えて実行せよ。

TA=INT(Q/10) :T=TA‑I町T(TA/2)*2:L=2*S+T PSET(P

，

Q)

，

CL(L)

‑30一

(3)

赤い縞と青い縞が重なっているように見える。

この方法を今後頻繁に用いる。

~2

X Y

直交座標系

P r a c

七

i c e4

( 1 )

次のプログラムを打ち込んで実行せよ。

( 2 )

( 3 )

( 4 )

( 5 )

100 SCREEN 3 :CLS 2 110 PC=320 :QC=200 :M=50 120 LINE(PC，O)ー(PC，399) 130 LINE(O，QC)ー(639，QC) 140 FOR Q=QC‑60 TO QC+60 150 FOR P=PC‑60 TO PC+60 160 X=(P‑PC)/M

170 Y=ー(Q‑QC)/M 180 R=SQR(X*X+Y*Y) 190 IF R>l GOTO 210 200 PSET(P

，

Q)

210 NEXT P 220 NEXT Q : END

PC

，

QC

，

Mの値を変えたとき、画面はどう変わるか。

その役割を理解せよ。

次のプログラムを追加して実行せよ。

200行は一部書き替えである。

同心円の輸ができる。

115 CL(0)=7 :CL(1)=5 :CL(2)=3 :CL(3)=1 195 S=INT(R*10) :S=S‑INT(S/4)*4 200 PSET(P

，

Q)

，

CL(S)

次のプログラムを追加して実行せよ。

楕円の同心円ができる。

145 A=2 :B=l

180 R=SQR(X/A*X/A+Y/B*Y/B) 次のプログラムを追加して実行せよ。

180

，

放射状に色分けする。

‑31一

(4)

( 6 )

180 190 195 200 210

200

O

で、割っているというエラーメッセージが出るのは、

TH=ATN(Y/X)/3.14159*16

においてである。これを防ぐには

160 FOR P=PC‑60.5 TO PC+60

とすればよい。その理由を考えよ。

~3 複素数の平面

P r a c t i c e 5

( 1 ) 次のプログラムを打ち込んで実行せよ。

( 2 )

100 SCREEN 3 :CLS 2 110 PC=320 :QC=200 :M=10

120 CL(0)=7 :CL(1)=5 :CL(2)=3 :CL(3)=1 130 L1NE(PC

，

O)ー(PC

，

399)

140 L1NE(O

，

QC)ー(639

，

QC) 150 FOR Q=QC‑60 TO QC+60

160 FOR P=PC‑60.5 TO PC+60 170 X=(P‑PC)/M

180 Y=ー(Q‑QC)/M

190 S=1NT(X) :S=S‑1町r(S/2)*2

200 T=1NT(Y) :T=T‑1町r(T/2)*2 :L=2*S+T 210 PSET(P

，

Q)

，

CL(L)

220 NEXT P 230 NEXT Q :END

次のプログラムを追加して実行せよ。

これで第一象限が明かになる。

125 CL(4)=6 :CL(5)=4 :CL(6)=2

212 1F Y>O AND X*(X‑.4)<0 THEN PSET(P

，

Q)

，

CL(L+4) 214 1F X>O AND Y*(Y‑.4)<0 THEN PSET(P

，

Q)

，

CL(L+4)

‑32ー

(5)

(3) ここで190から 214までを

s u b r o u t i n e

にするために変数XとYとを XVとYVとに変えておく。実行結果が変わらないことを確かめよ。

185 XV=X :YV=Y

190 S=1N1・(XV) :S=S‑1NT(S/2)*2

200 T=1N1・(YV) :T=T‑1NT(T/2)*2 :L=2*S+T 210 PSET(P

，

Q)

，

CL(L)

212 1F YV>O AND XV*(XV‑.4)<0 THEN PSET(P

，

Q)

，

CL(L+4) 214 1F XV>O AND YV*(YV‑.4)<0 THEN PSET(P

，

Q)

，

CL(L+4)

( 4 ) s u b r

加七

i n e

にして切り放す。実行結果が変わらないことを確かめよ。

170 X=(P‑PC)/M 180 Y=ー(Q‑QC)/M 185 XV=X :YV=Y 190 GOSl氾 *PPP 220 NEXT

p .

230 NEXT Q : END 500 '

510 *PPP

520 S=1NT(XV) :S=S‑1町r(S/2)*2

530 T=1NT(YV) :T=T‑1町r(T/2)*2 :L=2*S+T 540 PSET(P

，

Q)

，

CL(L)

550 1F YV>O AND XV*(XV‑.4)<0 THEN PSET(P

，

Q)

，

CL(L+4) 560 1F XV>O AND YV*(YV‑.4)<O THEN PSET(P

，

Q)

，

CL(L+4) 570 RETURN

注意 185 XV=X :YV=Y は今後、複素関数を扱うときにさまざまな式に変化するところである。

(5) RENUM 100

，

100で番号を整えておく。

~4 複素関数の例

まず複素関数

ω =f ( z )

の例として

ω =mz

を考える。ここに

m

は複素定数である。

実部と虚部を明らかにすれば

ω =

包

+vi ， m =α + b i ， z = x + y i

とすると

すなわちである。

包

+vi =

α(

+ b i ) ( x + y i ) =

(ω ‑b

y ) +

(αν

+ b x ) i

包

=α x‑

by

， v = α y+bx

‑33一

(6)

オイラーの表示 m

=

r ( c o s 0 +

i

s i n 0 )を使えば m 倍することは

γ

倍して O だけ回転する事を意味する。

P r a t i c e 6

( 1 ) P r a c t i c e 5 の ( 5 ) の一部を次のように変える。

下の例では m 倍することは

2

倍して

30

度だけの回転である。あらかじめどのようなグラフになるか、予想をたてておくことが大切である。

155 '

156 A=1.73205 :B=1

160 FOR Q=QC‑100 TO QC+100 170 FOR P=PC‑100 TO PC+100 180 X=(P‑PC)/M

190 y=ー(Q‑QC)/M

200 XV=A*X‑B*Y :YV=A*Y+B*X 210 GOSUB *PPP

220 NEXT P 230 NEXT Q :END

( 2 ) 予想と逆になって、困惑している人が多いのではなかろうか。

ここは是非落ちついて、そもそもこのグラフは何を表しているのかをしっかり理解する事が大切である。次のプログラムを追加して実行せよ。

注意サブルーチン

*PPP

を消してしまわないように、あらかじめ

RE飢別 400

，

250

などで避難させておくとよい。

310 FOR NQ=‑5 TO 5 :Q=NQ*M+QC 320 LlNE(O

，

^Q)ー(640

，

^Q)

330 NEXT NQ

340 FOR NP=‑5 TO 5 :P=NP*M+PC 350 LlNE(P，O)ー(P，399) 360 NEXT NP

これは

z

平面の格子であり、グラフは

z

平面の中に、

ω

平面の図を描いたものである。

次に複素関数 ω=f(z) の例として ω= Z 2を考える。

これも実部と虚部を明らかにすれば

包

+ v i = ( x + y i ) 2 = ( x 2 ‑y 2 ) + ( 2 x y ) i すなわち

旬

=X2̲y2 ， v=2xy

である。

同様にして複素関数 ω=Z3 については

u + v i = ( x + y i ) 3 = ( x 3 ‑3 x y 2 ) + ( 3 x 2 y ーが ) i

‑34一

(7)

すなわちである。

包

=

^X³^‑^3Xy2

，

^v

=

3x2y ̲y3

P r a c t i c e 7

これもあらかじめ予想をたてて

( 1 )

複素関数

ω =

Z2のグラフを描こう。

おくことが大切である。

( 2 )

200

X V = X * X ‑ Y * Y : Y V = 2 * X * Y

複素関数

ω =

z3のグラフを描こう。

200

X V = X * X * X ‑ 3 * X * Y * Y : Y V = 3 * X * X * Y ‑ Y * Y * Y

ω =

Z2

w=

Z3

オイラーの表示

z

=

r ( c o s 8 + i s i n 8 )を使えばそれぞれ

Z2 =γ2

( c o s 28 + i s i n 2 8 )

Z3

= γ 3 ( c o s 3 8 + i s i n 3 8 )

を得る。グラフの結果と突き合わせて納得することが大切である。

注意1 Z平面の格子が煩わしければ、その手前で END とすればよい。

注意2 倍率 M

，

PとQに関する FORNEXTの範囲など適宜自分の気に入った値に改めよ。

次に逆数の関数

ω 1

について考える。

これも実部と虚部を明らかにすれば

z

包

+ . 1

_v~

=

一一一一一 Z n n U n

x + y i x ² + y 2 x ² + y 2

Z

‑y

包

= v=

z話 +y辺 x~

+y

^五

すなわち

‑35‑

(8)

ω =

よは二つの関数Zl

= =

Z2と

ω =

土の合成関数と考えて、そのまま扱

Z畠 Zl

う方が分かりよい。

すなわち

Y l = =

2xy

‑Y l

v==

x i +YI

2 ft.2 Xl

= =

X‑‑y‑

，

Z1

包

x I + y r '

とするのである。

ω = 主も

^Zl

⁼ ⁼

^Z3^と

^{ω =}

土の合成関数として扱う。

zv Zl

P r a c t i c e 8

関数

ω 1

のグラフを描く。

z

︑ ︑ . ︐

I

寸aム

︐ ︐

aE︑ ︑

:yv=‑y/(xx+yy)

関数

ω =

よのグラフを描く。

Z"

XV=X/(XX+YY)

200

( 2 )

Xl=XX‑YY :Yl=2XY

XV=Xl/(XlXl+YlYl) : Y V =

ー

Yl/(XlXl+YlYl)

200

205

どこに現れているかを確かめて、

関数

ω =

とのグラフを描け。

zv

注意

P r a c

七

i c e5

で導入した第

1

象限が、

納得しておくこと。

( 3 )

w== ^{・で}l

Z~

w==‑l z

(9)

~5

指数関数、対数関数、三角関数

指数関数 ω = ♂は、その定義から実部と虚部に分ければ

包

+ v i = e

^x

+

^yⁱ

= e

^x

( c o s

y

+ i s i n

y)

すなわち u = ^e

^X

^c ^o ^s ^y ， v = ^e

^Y

^s ⁱ ⁿ ^y

である。従って虚部は周期

2π

で同じパタ}ンが繰り返される。

複素関数としての対数関数 ω =l o g zは実部と虚部がそれぞれ u = l o g I z 1 = l o g J

^X²

⁺

^y2

^， ^v ⁼ ^a ^r ^g ^z

^{= 紅}^C^七

^a ⁿ ⁽ ^y ^/ ^x ⁾

で与えられて、多価関数であるから、値域を限る必要がある。イ直域は u<v く

2π

としても ‑ π く

U

三π としてもよいのであるが、ここではまず B a s i c の関数

ATN(X)

を調べてみる。

π π

V=ATN(X)

は一一く 2 ‑‑ ‑2

U

くーを与える。すなわち第 1 象限と第 4 象限の角度しか出力しない。

V = ATN(Y/X) :IF X<O叩ENV=V+3.14159

π 3 π

と補正することにより、一一く 2 ‑‑‑2

U

く?の範囲の値が得られるようになる。しかしさしあたってはこのことは使わない。

P r a c

七

i c e9

( 1 ) 指数関数

ω

=

^e^Z

^{のグラフを描け。}

200 XV=EXP(X)*COS(Y) :YV=EXP(X)*SIN(Y)

( 2 ) 対数関数 ω =l o g z のグラフを描け。

200 XV=LOG(X*X+Y*Y)/2

205 YV=ATN(Y/X) :IF X<O THEN YV=YV+PI

ここで問題が起こる。 π が整数値でないため、グラフが美しくない。そこ 1 6

でーという量を用意して一周を 1 6 等分する。

π

135 K=16/3.14159

200 XV=LOG(X*X+Y*Y)/2*K 205 YV=ATN(Y/X)*K

‑37一

(10)

今度はうまく行った。しかも関数

A T N ( Y / X )

の補正を必要としていない。これはしかし偶然である。一周を

1 6

等分したため、第 1象限と第

3

象限、第

2

象限と第

4

象限が原点に関して対称になったため(

1 6

が

4

の倍数だから)の見かけ上の現象にすぎない。

ω = l o g z ω = expz

複素関数としての三角関数は指数関数から作られる。

eU+e‑U c o s z =

-~2

Z ρ ν ‑

一

‑

. ︒

b

一一

2

z

ρ ‑

u‑

一一

z n

a u

実部と虚部を取り出すには、双曲線関数との関係

s i n i y = i s i n h y c o s i y = c o s h y ，

と、加法定理を利用して

c o s z = c o s ( x + 勾) = c o s x c o s i y ‑ s i n x s i n i y

=

cosxcoshy ‑i s i n x s i n h y

s i n z

=

s i n ( x +勾)

=

s i n x c o s i y + c o s x s i n i y

= sinxcoshy ‑i c o s x s i n h y tanz =竺 nz

も扱うことができる。

cosz P r a c

七

i c e 1 0

( 1 )

三角関数

s i n z

のグラフを描け。

2 0 0 X V = S I N ( X ) * ( E X P ( Y ) + E X P ( ‑ Y ) ) / 2

2 0 5 Y V = C O S ( X ) * ( E X P ( Y )

ー

E X P (

ー

Y ) ) / 2

(11)

( 2 )

三角関数七

anz

のグラフを描け。

200 XA=SIN(X)*(EXP(Y)+EXP(ーY))/2 210 YA=COS(X)*(EXP(Y)ーEXP(ーY))/2 220 XB=COS(X) *(EXP (Y)+EXP(ーY))/2 230 YB=‑SIN(X)*(EXP(Y)ーEXP(‑Y))/2 240 XV=(XA*XB+YA*YB)/(XB*XB+YB*YB) 250 YV=(YA*XB‑YB*XA)/(XB*XB+YB*YB)

初 =

S l n z

ω = tanz

~6 有理関数の零点と極

これまでのグラフを見ると、第一象限を示す黄色の部分があるのでかろうじてどこが零点かを判別することが出来る。他方、

ω = l o g z

や

ω=logl =

z

‑39‑

(12)

‑logz では原点に同心円が現れる。このことから分かるように、一般に有理関数などでは l o gを付けると零点と極を明示することができる。例えば

( z

ー

α 1 ) ( z ‑ α 2 )

・・・

( z ‑ a

n)

のグラフには各向と各 b

_i

とに同心円が現

( z ‑ b

_t)

( z ‑ b

2) ・・・

( z ‑ b

_m)

れる。

P r a c t i c e 1 1

(z

‑1)

( 1 ) ω = l o g のグラフを描け。

( z +

1)

アポロニウスの円束と l と4 を通る円束とが互いに直角に交わる。

220 XA=X‑l :YA=Y :XB=X+l :YB=Y 230 XC=(XA*XB+YA*YB)/(XB*XB+YB*YB) 240 YC=(YA*XB‑YB*XA)/(XB*XB+YB*YB) 250 XV=LOG(XC*XC+YC*YC)/2*K

260 YV=ATN(YC/XC)*K

( 2 ) l o g ( z ‑1 ) ( z + 1 )のグラフを描け。

220 XA=X‑l :YA=Y :XB=X+l :YB=Y 230 XC=XA*XB‑YA*YB

240 YC=YA*XB+YB*XA

250 XV=LOG(XC*XC+YC*YC)/2*K 260 YV=ATN (YC/XC) *K

零点同士または極同士は青い線から分かるように互いに反発しあ

フ。

それに対して零点と極は互いに引き合う。

( Z 2 + 1 )

( 3 ) l o g のグラフを描け。

( Z 2 ‑ 4 )

( z ‑

2 ‑

i ) ( z ‑

2

+ i )

( 4 ) l o g のグラフを描け。

( z +

2 ‑

i ) ( z +

2

+ i )

‑40‑

(13)

14

‑

噌i

二 +

Z

一

Z

σ 0

0

一一

切

ω = l o g ( z ‑1 ) ( z + 1 )

‑41‑

複素関数とグラフィックス