組見本（pdf）

xroot : 2016/6/20(15:30). まえがき. 本書は，拙著『微分積分学講義』に引き続き，意欲的な読者に複素関数論のおもしろさ・楽しさを伝えたいとの思いで書いた．方針もまったく同様で，教科書としても機能するように基礎的な部分を一通りカバーする形をとりつつ，興味深い例や応用を盛り込んだ．読者としては，数学科の学生をはじめ，複素関数論を必要とする分野へ進もうとする学生，将来，数学の研究・教育・応用等に関わることを目指す学生等を想定している．実変数のときと形式的には同じ微分可能性の定義から，驚くほどの良い性質が導かれるのが複素関数論の世界である．その体系の美しさに誰もが感動を覚える．本書では，関数が正則であることの定義としては，領域の各点で微分可能であることのみを要求し，導関数が連続であることまでは仮定しない．したがって，複素関数論入門における主題の一つであるCauchyの積分定理の証明は，Greenの定理に依拠するものではなく，位相的なものを出発点とする．それはGoursatによるものであり，そのアイデアを敷衍した Pringsheim による三角形閉路でまず示すものである．そして，凸領域・星形領域における定理へと進む．正則関数の基本的な諸性質は星形領域における Cauchyの積分定理から得られる．これらの諸性質は，回転数を用いる一般形のCauchy の積分定理の証明に適用される．Liouvilleの定理も使うこの明快な証明は， 1971 年に出版された J. Dixon のわずか 2 ページの論文によるものである．その論文にある一文 “It is reasonable to argue that the concept of homotopy in connection with Cauchy’s theorem is as extraneous as the notion of. Jordan curve.”は大変興味深い．. xroot : 2016/6/20(15:30). iv まえがき. さて，本書の特徴の一つに，例題や演習問題には，じっくり考えるタイプのものや解いていて興味が湧くものを比較的多く採録し，解答・解説を詳しく述べたことがある．中には難しい問題や計算量の多い問題もあるが，そのような問題は解けなくても悲観する必要は決してない．解答・解説を読んで分析することで得られることも多いはずである．また，複素関数論による代数学の基本定理の証明については，類書に見られる代表的なものの他に，American Mathematical Monthlyで発表されたものをいくつか選んで演習問題として取り入れた．一方で，本書における議論の基礎となる複素数の級数や 2重級数，そして位相に関する基本的な諸概念や定理等は，それぞれ一つの章を設けて述べた．これは読者が他書を参照する手間を少しでも省きたかったからである．複素関数論を講義していると，意外と少なからぬ初学者が苦戦しているように見受けられる．複素数の扱いに慣れていないことも一因ではあるが，コンパクト性や連結性をはじめとする位相的議論，関数の列や級数の一様収束を本格的に扱うこともあると思われる．したがって，極限と積分の順序交換等，解析学として避けることができない操作と論証については，ていねいに述べることに努めた．しかしながら，関数項級数の項別微分や積分記号下の微分の可能性を保証する定理については，本書の対象とする 2年生後半から 3年生前半の学生諸君はなかなかうまく使いこなせないようである．このような観点から，本書では，ベキ級数の項別微分や Cauchy型積分の積分記号下における微分では，直接の証明を与えた．本書においても，九州大学マス・フォア・インダストリ研究所の落合啓之氏からは，広範囲に及ぶ多種多様のコメントをいただいた．多忙な中，本書に対して時間を割いてくださった落合氏に，この場を借りて心からお礼を申し上げたい．最後になるが，共立出版の寿日出男氏と日比野元氏には，今回も終始お世話になった．本書を書き終えた今，あらためて感謝の意を表したい．. 2016年 7月野村隆昭. xroot : 2016/6/20(15:30). 目次. まえがき iii. 記号と番号付けについて ix. 第 1章序 1 1.1 複素数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 複素数平面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 極形式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 複素数平面の幾何 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.5 向き付けられた角度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13. 第 2章複素数の数列と無限級数 15 2.1 複素数列 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 複素数の無限級数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3 2重級数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28. 第 3章複素数平面の位相 34 3.1 複素数平面の点集合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.2 コンパクト集合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37. xroot : 2016/6/20(15:30). vi 目次. 3.3 連続関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.4 連結集合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.5 集合間の距離 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49. 第 4章ベキ級数 50 4.1 収束半径 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4.2 ベキ級数の微積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.3 ベキ級数の解析性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4.4 ベキ級数の演算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63. 第 5章解析的関数の例 66 5.1 指数関数と三角関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 5.2 双曲線関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 5.3 その他の三角関数と双曲線関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 5.4 対数関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 5.5 累乗関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 5.6 Bernoulli数の行列式表示と tan z のベキ級数表示 . . . . . . 78 5.7 微分方程式のベキ級数解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80. 第 6章正則関数 81 6.1 Cauchy–Riemannの関係式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 6.2 調和関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86. 第 7章 Cauchyの積分定理（その 1） 88 7.1 複素数平面上の曲線 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 7.2 複素線積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 7.3 星形領域における Cauchyの積分定理 . . . . . . . . . . . . . 98. xroot : 2016/6/20(15:30). 目次 vii. 7.4 一様収束と積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105. 第 8章正則関数の性質 107 8.1 Cauchyの積分公式（その 1） . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 8.2 正則関数のベキ級数展開 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 8.3 一致の定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 8.4 Liouvilleの定理とその周辺 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 8.5 最大絶対値の原理とMoreraの定理 . . . . . . . . . . . . . . 124. 第 9章 Cauchyの積分定理（その 2） 128 9.1 回転数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 9.2 Cauchyの積分公式（その 2） . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 9.3 単連結領域における Cauchyの積分定理 . . . . . . . . . . . . 134. 第 10章孤立特異点 139 10.1 定義と分類 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 10.2 留数定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 10.3 実積分の計算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 10.4 級数の和への留数定理の応用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164. 第 11章有理型関数 167 11.1 無限遠点の導入 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 11.2 孤立特異点としての無限遠点 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 11.3 有理関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 11.4 1次分数変換（その 1） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 11.5 偏角の原理とその帰結 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 11.6 有理型関数の無限分数展開 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189. xroot : 2016/6/20(15:30). viii 目次. 第 12章等角写像 193 12.1 正則関数と等角写像 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 12.2 1次分数変換（その 2） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 12.3 等角写像としての初等関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 12.4 Joukowski変換と三角関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 12.5 単位円の内部全体への等角写像 . . . . . . . . . . . . . . . . . 209. 第 13章初等Riemann面 211 13.1 z1/2 の Riemann面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 13.2 z1/m の Riemann 面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 13.3 log zの Riemann面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 13.4 代数的分岐点の例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 13.5 逆三角関数の Riemann面 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216. 第 14章整関数の無限積分解 219 14.1 無限積の収束 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 14.2 sin⇡zの無限積分解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 14.3 ガンマ関数の逆数の無限積分解 . . . . . . . . . . . . . . . . . 223. 問題の解答・解説 226. 参考文献 272. 索引 274. xroot : 2016/6/20(15:30). 記号と番号付けについて. • 次の集合を表す記号は断りなしに用いる． R：実数全体， Z：整数全体， N：自然数（すなわち正の整数）全体．. また，本文の第 1ページにおいて導入される複素数全体の集合を表す C も，導入以降は断りなしに用いる．. • 空集合は?で表し，集合 Aの補集合は Acで表す．また，a 2 Aは aが Aの元であることを表し，a /2 Aは aが Aの元ではないこと，すなわち Ac の元であることを表す．. • 二つの集合 A, B に対して， A [B：Aと B の和集合． A \B：Aと B の共通部分． A \ B：Aに含まれるが B には含まれない元の集合． A ⇢ B：Aは B の部分集合．. • 集合A ⇢ Rの上限 supA，実数列 {an}の上限 sup an，変数 xが集合X を動くときの実数値関数 f(x)の上限 sup. x2X f(x)については既知とする．. 下限 inf A, inf an, inf x2X. f(x)についても同様である．拙著 [7]等の微積分. の本を参照のこと． • 整数 m, n を自然数 p (= 2) で割ったときの余りが等しい，すなわち，. m � nが pの倍数であるとき，合同式を用いて，m ⌘ n (mod p)と表す．さらに本書では，実数 a, bに対して整数 nが存在して a� b = 2n⇡ となるとき，a ⌘ b (mod 2⇡)と表すことも多い．. • 本書では，全称記号 8を講義風に次のように用いる．たとえば，『すべての正数 "に対して "+ 1 > 0である．』と書くかわりに，『8" > 0に対して "+ 1 > 0である．』と書いたり，もっと短く『"+ 1 > 0 (8" > 0).』. xroot : 2016/6/20(15:30). x 記号と番号付けについて. と書いたりする．同様に，『実数 xが存在して x3+1 = 0となる．』という文を，存在記号 9を用いて『9x 2 R s.t. x3+1 = 0. 』と表すこともある．これは，英語の『There exists a real number x such that x3 + 1 = 0. 』を略して書いたものである．. • f(z) := z2 + z + 1のように左横にコロンを付けた等号は，右辺によって左辺を定義するときに使う．この例では，関数 f(z)を z2 + z + 1で定義していることを示している．. • 本書では，用語の定義等において，文章で書くよりは視覚的効果があって良いと思われる場合，講義風に記号 def() を用いているところがある．二重の両側矢印の上にある defは定義を意味する英語 definition を略したものである．. • 同様に，『必要かつ十分である』と文章で書くかわりに，記号 () を用いて定理等を記述しているところもある．. • Landauの記号である小文字の oは自由に使う．たとえば，自然数mに. 対して，z ! 0のとき f(z) = g(z) + o(zm)とは，lim z!0. f(z)� g(z) zm. = 0. が成り立つことである．また， lim z!0. f(z) = 0のとき，f(z) = o(1)と表. す．数列 {an}についても同様に，たとえば，n!1のとき an = o( 1n ) とは， lim. n!1 an. (1/n) = 0であることを表す．詳しくは，拙著 [7]等を参照. してほしい． • 式の番号は，定理等の証明の中や，例題・問題の解答の中でのみ引用されるもの，それ以外でもその式の引用が近い場所に限られるものについては， 1�， 2�，. . . 等の丸囲みの番号を用いている．別の章等，離れた場所での引用がある場合，式番号は (m.n)と表記している．第m章にあって，n番目の番号付きの式であることを意味する．. • 前著 [7]と同じく，本書でも，定義，定理，命題，補題，系，例，注意，例題，問題について，検索を容易にするために，番号は一つの系統で付けた．さらに，例題と問題は背景に網かけをして読者の便宜をはかった．. xroot : 2016/7/21(21:33). 第1章. 序. 1.1 複素数複素数とその四則演算については高校で学習していることもあるので，ここではざっと復習1)しておくだけにしよう．複素数とは，i2 = �1をみたす iと，実数の組 (x, y)を用いて，z = x + iy. と書かれる数 zのことである．この iのことを虚数単位と呼ぶ．複素数の全体をCで表す．複素数 z = x+ iyに対して，xを zの実部 (real part)，yを z の虚部 (imaginary part)2) といい，それぞれx = Re z，および y = Im z で表す．実数は虚部が 0の複素数であり，実数 xに対して，x + i0のことを単に xと書く．同様に，実部が 0の複素数 0+ iyを単に iyと表して純虚数と呼ぶ．yが 2などの具体的な数値であるときは，2iというように書く．本書では 0も純虚数とする．したがって，0は実数でありかつ純虚数でもあり，iR は純虚数の全体を表す．2個の複素数 z1 = x1 + iy1 と z2 = x2 + iy2 の和，差，積は次のように定義される．. z1 ± z2 := (x1 ± x2) + i(y1 ± y2) （複号同順）, (1.1) z1z2 := (x1x2 � y1y2) + i(x1y2 + x2y1). (1.2). 1)複素数（虚数）がはっきりと認知されたのは，3 次方程式の根の公式を解釈する必要性からである．それまでは，2 次方程式 x2 + 1 = 0 は『解けない』ということで済まされてきたのである．この辺りの歴史的事情は大変興味深いのであるが，本書では紙幅の関係もあって省略する．文献 [18] の第 3 章参照．. 2)いちいち面倒なので，今後は z = x + iy と書いたときは，とくに断らない限り，x, y 2 R とする．また，z = x + iy の虚部としては，iy を採用する流儀もあるが，本書では y のこととする．. xroot : 2016/6/20(15:30). 2 第 1 章序. 和と積に関して，次の交換法則，結合法則，分配法則が成り立つ． z1 + z2 = z2 + z1, z1z2 = z2z1 （交換法則） (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3), (z1z2)z3 = z1(z2z3) （結合法則） z1(z2 + z3) = z1z2 + z1z3, (z1 + z2)z3 = z1z3 + z2z3 （分配法則）. とくに，積の定義は i2 = �1と整合的で，複素数の積の計算においては，iを文字として扱い，i2 に出会うたびに �1に置き換えればよいことも高校で学習している．. 0でない複素数に逆数があることは，式 (1.2)において z1 6= 0, z1z2 = 1として，実際に z2 を z1 で表してみることでわかる．すなわち，x2, y2 に関する次の連立 1次方程式を解けばよい．(. x1x2 � y1y2 = 1 y1x2 + x1y2 = 0. z1 6= 0であることから，係数行列式 x21 + y21 6= 0であり，. x2 = x1. x21 + y21 , y2 = �. y1 x21 + y21. を得る．したがって，x + iy 6= 0のとき， 1 x + iy. = x� iy x2 + y2. である．. 問題 1.1 s := i1 + i2 + · · · + i1234，および p := i1i2 · · · i1234 を求めよ．. 複素数 z = x + iy に対して，z := x � iy を z の共役複素数という．定義からただちに，Re z = Re z，Im z = � Im zであり，さらに，. Re z = z + z 2. , Im z = z � z 2i. .. また，z 2 R () Im z = 0，および，z 2 iR () Re z = 0であるから，. z 2 R () z = z, z 2 iR () z = �z. · · · · · · 1�. 1�で述べた同値性は今後引用なしで用いる．また，もう一つの w 2 Cに対して，次の各式が成り立つことも容易に確かめることができる．. z ± w = z ± w, zw = zw.. 次に， z := p. x2 + y2とおいて， z を複素数 zの絶対値と呼ぶ．定義より. xroot : 2016/6/20(15:30). 1.1 複素数 3. 明らかに，z = 0 () z = 0である．また，次の不等式や等式も定義からすぐにわかる．. Re z 5 z , Im z 5 z , z = z , z z = z 2. (1.3). 式 (1.3)の右端の等式を用いて次の展開式を得る3)．. z + w 2 = (z + w)(z + w) = z 2 + 2 Re(zw) + w 2. (1.4). 積の絶対値に関しては， zw 2 = (zw)(zw) = z zww = z 2 w 2が成り立つので， zw = z w を得る．. さて，z = x + iy 6= 0のとき，先に求めた逆数は 1 z. = z z 2. と表される. ことに注意しよう．そして次の等式が成り立つことも，すぐにわかる． ⇣ 1. z. ⌘ = 1. z , 1. z = 1. z .. 例題 1.2 Re 1 z. > 1 () z � 1 2. < 1 2 を示せ．. 解説複素数を扱う計算では，共役複素数や絶対値をうまく使って計算できるようになろう． z = x + iy とおくのは，どうしてもうまくいかない場合の最終手段である．. 解 Re 1 z. = Re z z 2. = 1 z 2. Re zであるから，. Re 1 z. > 1 () z 2 � Re z < 0 () z � 1 2. 2 < 1. 4 （式 (1.4)より）．. 最後の式は明らかに z � 1 2. < 1 2 と同値である．. 問題 1.3 z 2 C \ R とする．このとき，z + 1 z 2 R () z = 1 を示せ．. 例題 1.4 c > 0とする．複素数 z, wに対して次の不等式を示せ．. z + w 2 5 (1 + c) z 2 + ⇣ 1 + 1. c. ⌘ w 2.. 3)この展開を間違う人が意外に多い．今後繰り返し現れるので，間違いなく使えるようになっておくこと．. xroot : 2016/6/20(15:30). 4 第 1 章序. 解式 (1.4)を用いて問題の不等式の左辺を展開して右辺から引くことで，. 問題の不等式 () c z 2 + 1 c. w 2 � 2 Re(zw) = 0.. 右側の不等式が成り立つことは，再び式 (1.4)を用いて，その左辺が c z � w c. 2. と書き直せることからわかる．. 1.2 複素数平面座標平面上の点 P(x, y)が複素数 x + iy を表していると見ることにより，複素数を視覚化できる．このときに，この座標平面を複素数平面，あるいは数学者ガウスに敬意を表して，ガウス平面ともいう．本書では複素数平面4)と呼ぶことにする．そして，『複素数平面上の点 z』という言い方をする．また，元の x軸を実軸，そして y 軸を虚軸と呼び直す．このとき， z は線分 Ozの長さに等しく，2点 z, zは実軸に関して対称な位置にある．. z = x + iy. x. y. z. Re z. Im z. O. z = x + iy. z = x� iy. || ||. Re z. Im z. O. 複素数平面では，和と差を視覚化できる．実際に，式 (1.1)により，和と差はそれぞれベクトルとしての和と差と同じであることがわかる．とくに，次ページ上部の右図より， z1 � z2 は複素数平面上での 2点 z1, z2 の間の距離に等しい．したがって，r > 0のとき，集合 {z 2 C ; z � c = r}は，中心が cで，半径が rの円を表す．以下では，円 z � c = rという書き方を. 4)高校の指導要領ではそうなっていて，学生諸君にはなじみがあってよいのだが，数学の専門書では複素平面と呼んでいることが多い．実は筆者もずっと複素平面と呼んできた．しかし，文献 [13, p. 99] にあるように，R を実数直線と呼ぶなら，C を複素数平面と呼ぶ方が確かに一貫している．複素平面と言うなら，実直線と言うべきだが，実直な線とは何ぞや，ともなりかねない．なお，複素数平面という用語は指導要領での導入以前からあって，たとえば，文献 [10] などで用いられている．文献 [2] の第 2 章の最初の脚注でも，複素数平面と呼ぶ理由が述べられている．. xroot : 2016/6/20(15:30). 1.2 複素数平面 5. z1 = x1 + iy1. z2 = x2 + iy2 z1 + z2. O. z1 = x1 + iy1. z2 = x2 + iy2. z1 � z2 �z2 = �x2 � iy2. ||. ||. |. | O. する．また，集合 {z 2 C ; z � c < r}はその円の内部，不等号を >にすれば外部を表す．異なる複素数 ↵, �に対して， z � ↵ = z � � をみたす z 2 Cの全体は，. ↵と � を結ぶ線分の垂直 2等分線をなすことも，条件の幾何学的解釈により明らかであろう．三角不等式. z1 ± z2 5 z1 + z2 , �� z1 � z2 �� 5 z1 � z2. も視覚化すれば，三角形の形成条件となる（下図参照）．帰納法を使うと，. z1. z2. z1 + z2. z1. z2 z1 + z2. ||. ||. |. |. O. z1 + z2 + · · · + zn 5 z1 + z2 + · · · + zn. がわかる．本書では，この不等式も三角不等式と呼んで使っていく．. 例題 1.5 z = w = 1のとき，次の不等式が成り立つことを示せ． z + 1 + w + 1 + zw + 1 = 2.. 解三角不等式より， z + 1 + w + 1 + zw + 1. = z + 1 + w + 1� (zw + 1) = z + 1 + w 1� z = z + 1 + 1� z = z + 1 + (1� z) = 2.. 問題 1.6 複素数 ↵, �, � に対して，次の不等式が成り立つことを示せ． ↵ + � + � 5 ↵+ � � � + ↵� � + � + �↵+ � + � .. xroot : 2016/6/20(15:30). 6 第 1 章序. 1.3 極形式平面の極座標に対応する複素数の表示を考え. r. ✓. z. Re z. Im z. O. よう．すなわち，z = x + iy 2 Cのとき，極座標を用いて x, yを x = r cos ✓，y = r sin ✓と表すと，. z = r(cos ✓ + i sin ✓). となる．この表示式を複素数 z の極形式と呼ぶ5)．ここで，r = z は原点 Oと点 z の間の距離に等しい．そして，✓を z の偏角 (argument)といい，記号で arg zと表す．偏角について，次の注意をしておこう．8>>>>>< >>>>>:. (1) z = 0に対しては偏角は定めない． (2) z 6= 0に対して，✓ = arg zは 2⇡の整数倍の差を除いて確定する．. • �⇡ < ✓ 5 ⇡をみたすようにとるとき，Arg zと表す6)． • Arg zを zの偏角の主値という．. 実変数 tの逆正接関数の主値を Arctan tと表す． Arctan t < ⇡ 2 であるか. ら，Re z > 0ならば，Arg z = Arctan Im z Re z. である．. 例 1.7 1 + p. 3 i = 2 ⇣ 1. 2 + p. 3 2. i ⌘. = 2 ⇣ cos ⇡. 3 + i sin ⇡. 3. ⌘ � = 2e⇡i/3. � ．. 問題 1.8 �⇡ < ✓ < ⇡ のとき，次の各複素数の極形式を求めよ．偏角は主値をとること． (1) � cos ✓ � i sin ✓ (2) � sin ✓ � i cos ✓. 問題 1.9 0 5 ↵ < ⇡ 2 とする． Arg z 5 ↵ ならば， z 5 Re z. cos↵ であることを示せ．. 問題 1.10 複素数 z, w が (1 + z 2)w = (1 + w 2)z をみたすならば，z = w または zw = 1 が成り立つことを示せ．. 複素数の積と商は，極形式とよくなじむ．すなわち， z1 = r1(cos ✓1 + i sin ✓1), z2 = r2(cos ✓2 + i sin ✓2). 5)複素変数の指数関数 ez を学習した後は，z = rei✓ という書き方になる．68 ページ参照． 6)正の実軸が範囲の境界にならないようにしている．. xroot : 2016/6/20(15:30). 1.3 極形式 7. のとき，三角関数の加法公式を用いると7)， z1z2 = r1r2. � (cos ✓1 cos ✓2 � sin ✓1 sin ✓2). + i(sin ✓1 cos ✓2 + cos ✓1 sin ✓2). = r1r2 � cos(✓1 + ✓2) + i sin(✓1 + ✓2). . (1.5). ゆえに， z1z2 = z1 z2 であり，かつ arg(z1z2) ⌘ arg z1 + arg z2 (mod 2⇡).. したがって，複素数 z1に複素数 z2をかけるということは，ベクトル ��! Oz1を. r2倍し，さらに ✓2だけ回転して ��! Oz2を得ることを意味する．とくに，複素数. を i倍することは，原点を中心として ⇡ 2 だけの回転ということになる．また，. 1 z2. = 1 r2. 1 cos ✓2 + i sin ✓2. = 1 r2. � cos(�✓2) + i sin(�✓2). � であるから，. z1 z2. = r1 r2. � cos(✓1 � ✓2) + i sin(✓1 � ✓2). � . (1.6). 式 (1.5)と式 (1.6)，および帰納法を用いて示される (cos ✓ + i sin ✓)n = cos n✓ + i sin n✓ (n 2 Z) (1.7). をド・モアヴル. de Moivreの公式という．. 問題 1.11 z = (1� i) 10 ( p. 3 + i) 15. (�1� p. 3 i) 20 を計算せよ．. 問題 1.12 z 5 1 のとき， (1 + i)z2 + iz の最大値を求めよ．. 例題 1.13 (5 + i)4(1� i)の極形式を利用して，次式を示せ．. 4 Arctan 1 5 �Arctan 1. 239 = ⇡. 4 .. 解 ✓ := Arg(5 + i) = Arctan 15 とおくと，5 + i = p. 26 (cos ✓ + i sin ✓)であって，0 < ✓ < ⇡6 である．そして 1� i =. p 2 � cos ⇡4 � i sin. ⇡ 4. � ゆえ，. (5 + i)4(1� i) = 262 p. 2 ⇣ cos. ⇣ 4✓ � ⇡. 4. ⌘ + i sin. ⇣ 4✓ � ⇡. 4. ⌘⌘ .. 7)ez を学習した後では，指数法則から導ける．式 (5.6)の導出参照．. xroot : 2016/6/20(15:30). 8 第 1 章序. ここで，�⇡4 < 4✓ � ⇡ 4 <. 5 12⇡であるから，. Arg (5 + i)4(1� i) = 4✓ � ⇡ 4. = 4 Arctan 1 5 � ⇡. 4 . · · · · · · 1�. 一方，(5 + i)2 = 24 + 10i = 2(12 + 5i)より，(5 + i)4 = 4(119 + 120i)となる．ゆえに (5 + i)4(1� i) = 4(239 + i)であるから，. Arg (5 + i)4(1� i) = Arctan 1 239. .. これと 1�を比べて，証明すべき等式を得る．. 問題 1.14 (2 + i)7 = �278� 29i を知って，7 Arctan 1 2 �Arctan 29. 278 = ⇡ を示せ．. 問題 1.15 (sin ✓ + i cos ✓)n = sin n✓ + i cos n✓ がすべての ✓ 2 R に対して成立する整数 n は，n ⌘ 1 (mod 4)，かつそのときに限ることを示せ．. 1.2 節ですでに述べたように，r > 0 とするとき，. c. ⇡ 4. �⇡6. r 式 z � c = rは中心が cで半径が rの円を表す．円の内部 z � c < rで，たとえば，� ⇡. 6 < Arg(z�c) < ⇡. 4 と. いう条件を付加すれば，右図のような扇形の内部を表す．. 例題 1.16 0 < ↵ < ⇡ 2 とする．. (1) 集合 D := � z 2 C ; z � 1 < cos↵, Arg(1� z) < ↵. を図示せよ．. (2) z 2 D のとき， z < 1かつ 1� z 1� z <. 2 cos↵. であることを示せ．. 解 (1) r := z � 1 ，✓ := Arg(1� z) とおくと，. ↵ ↵ 1O. cos↵z 2 D () r < cos↵かつ ✓ < ↵.. そして 1� z = r(cos ✓ + i sin ✓)より， z � 1 = r(cos(✓ � ⇡) + i sin(✓ � ⇡))．. ここで，�⇡ � ↵ < ✓ � ⇡ < �⇡ + ↵であるから，D は右図の網かけ部分である．ただし，境界は含まない．