⩌, Lie ⎔࡟௜㝶ࡍࡿ Dirichlet ⣭ᩘ࡟㛵ࡍࡿ◊

(1)

᪩✄⏣኱Ꮫ኱Ꮫ㝔 ᇶᖿ⌮ᕤᏛ◊✲⛉

༤ኈㄽᩥᑂᰝሗ࿌᭩

ㄽ ᩥ 㢟 ┠

Dirichlet series associated with some groups and Lie algebras

⩌, Lie ⎔࡟௜㝶ࡍࡿ Dirichlet ⣭ᩘ࡟㛵ࡍࡿ◊

✲

⏦ ㄳ ⪅

Fumitake HYODO ර⸨ ྐṊ

ᩘᏛᛂ⏝ᩘ⌮ᑓᨷ ᩚᩘㄽ࣭≉Ṧ㛵ᩘ◊✲

2 0 15 ᖺ 7 ᭶

(2)

ۙ୅ͷ਺࿦ݚڀʹ͓͍ͯ࠷େͷ੒ՌΛ΋ͨΒͨ͠ख๏͸, ݚڀର৅ʹ෇ਵͯ͋͠

ΔछͷDirichletڃ਺(ҎԼ D-ڃ਺ͱུه)ΛఆΊ, ͦͷղੳతੑ࣭͔Βର৅ͷ਺࿦

తੑ࣭Λಋ͘ͱ͍͏΋ͷͰ͋Δ. ਺࿦ʹ͓͚ΔD-ڃ਺͸௨ৗθʔλؔ਺,·ͨ͸ L

ؔ਺ͱݺ͹ΕΔ. D-ڃ਺͸਺࿦ʹ͓͍ͯ࠷΋ॏཁͳݚڀର৅Ͱ͋ΔϦʔϚϯͷθʔ λؔ਺ΛҰൠԽͨ͠΋ͷͰɼ୅਺ମ΍ͦͷΨϩΞ܈ͷදݱɼ༗ཧ਺ମ্ͷ୅਺ۂઢ

΍Ξʔϕϧଟ༷ମɼอܕܗࣜ, ౳ʑͷ͞·͟·ͳ਺࿦తର৅ʹ෇ਵͯ͠ఆٛ͞Εɼ

͜ΕΒͷର৅ͷ਺࿦తੑ࣭ͷݚڀʹେ͖ͳ໾ׂΛՌ͍ͨͯ͠Δ. ॏཁͳఆཧ΍༧૝

͸͠͹͠͹, ҟͳΔ༝དྷΛ΋ͭೋͭͷ D-ڃ਺͕Ұக͢Δͱ͍͏ܗΛऔΔ. ҰྫΛڍ

͛ΔͳΒ͹, ༗ཧ਺ମ্ͷପԁۂઢ E ʹ෇ਵ͢ΔD-ڃ਺(L ؔ਺)͸ॏ͞ 2ͷਖ਼ଇ อܕܗࣜf(z) ͷ Mellin ม׵Ͱ͋ΔอܕL ؔ਺ͱҰக͢Δ: L(E, s) =L(f, s) ͱ͍

͏ࣄ࣮(୩ࢁɾࢤଜ༧૝=Wiles ͷఆཧ)͸, 20 ੈل຤ͷ਺࿦ʹ͓͚Δ࠷େͷ੒ՌͰ

͋ͬͨ.

͜ͷΑ͏ͳഎܠͷதͰ, 1980೥୅ʹ Grunewald, Smith, Segal ͸,ᎇΕͷͳ͍༗ݶ ੜ੒ႈྵ܈ Gʹରͯ͠ D-ڃ਺Λఆٛ͠, ͜ΕΒ͕ྑ͍ੑ࣭Λ΋ͭ͜ͱΛࣔͨ͠.

ͱ͘ʹ G ͷࢦ਺n ͷ෦෼܈ͷݸ਺ a_n ͔ΒಘΒΕΔ D-ڃ਺ζ_G(s) := P

n>0 a_nn^−s Λ܈G ͷθʔλؔ਺ͱݺͿ. ܈ G ͕༗ݶ֊਺ͷࣗ༝Ξʔϕϧ܈ͷ৔߹, ͜ͷ D-ڃ

਺͸ϦʔϚϯͷθʔλؔ਺ζ(s−i) (i= 0,1, ..) ͷੵͱͳΔ. ζ_G(s)͕ݩͷ܈G ͷ৘

ใΛͲͷΑ͏ʹอ͍࣋ͯ͠Δͷ͔ͱ͍͏໰୊͕ॏཁͰ͋Δ. ͞Βʹ,ζ_G(s)͕ݩͷ܈

G Λಛ௃෇͚Δ͔, ͱ͍͏໰୊͸୅਺ମͷ਺࿦ʹ͓͚ΔNeukirch-Uchida ͷఆཧͷ

ྨࣅͱΈͳ͞ΕΔجຊతͳ໰୊Ͱ͋Δ.

ຊ࿦จʹ͓͍ͯਃ੥ऀ͸, Grunewald, Smith, Segal ʹΑΔ܈ͷθʔλؔ਺ͷݚڀ Ͱੜͨ͡Ұ࿈ͷ໰୊ʹऔΓ૊Έ,ҎԼͷ݁ՌΛؚΉ͍͔ͭ͘ͷڵຯਂ͍੒ՌΛಘͨ.

(i)ζ_G(s)ͷҰகͱ܈ͷಉܕͷಉ஋ੑ͕, ͋Δ܈ͷΫϥεͰ੒Γཱͭ͜ͱΛࣔͨ͠.

(ii) ͋ΔछͷϦʔ؀ʹ෇ਵ͢ΔඇՄ׵Hecke؀ͱ͜Εʹ܎਺Λ΋ͭHeckeڃ਺Λఆ

ٛ͠, ͦΕ͕Ϧʔ؀ͷθʔλؔ਺ͱؔ࿈͚ͮΒΕΔ͜ͱΛࣔͨ͠.

(iii) p ਐ੔਺؀্ͷϋΠθϯϕϧάͷϦʔ؀ͷHeckeڃ਺͕͋Δ౳ࣜΛΈͨ͢͜ͱ

Λࣔ͠,ͦΕ͕θʔλؔ਺ͱݹయతͳHeckeڃ਺ͷ༗ཧੑఆཧΛಋ͘͜ͱΛࣔͨ͠.

(ii),(iii)Ͱ͸, ܈͓ΑͼϦʔ؀ʹ෇ਵ͢ΔඇՄ׵Hecke؀͓Αͼ͜Εʹ܎਺Λ΋ͭ

Heckeڃ਺Λఆٛ͠, ্ड़ͷอܕܗࣜʹ͓͚ΔݹయతͳL-ؔ਺ͷཧ࿦ͱͷରൺ͔Β,

܈ɾϦʔ؀ͷθʔλؔ਺͕ඇՄ׵Hecke؀ͷཧ࿦ͷ࿮૊Έ͔ΒಘΒΕΔ͜ͱΛࣔ͠

͍ͯΔ. ܎਺͕ඇՄ׵Hecke؀ʹଐ͢Δ΂͖ڃ਺Λߟ࡯͠,ͦͷ౳ࣜΛݚڀͨ͠ͷ͸

ਃ੥ऀͷ࿦จ͕࠷ॳͰ͋Γ,ߴ͍ΦϦδφϦςΟΛ༗͢Δ΋ͷͰ͋Δ. ͞Βʹͦͷ౳

͕ࣜݹయతͳHeckeڃ਺ͷ༗ཧੑΛಋ͘ͱ͍͏݁Ռ͸, ਃ੥ऀͷఆٛͨ͠Heckeڃ

਺͕਺ֶతʹਂ͍ҙຯΛ࣋ͪ, ߋͳΔൃలͷܖػͱͳΔՄೳੑΛ͍ࣔࠦͯ͠Δ.

1

(3)

ຊ࿦จ͸ 5ষ͔Βͳ͍ͬͯΔ. ҎԼ֤ষͷ಺༰Λ֓આ͢Δ.

ୈ1ষͰ͸ຊݚڀͷഎܠΛͳ͢͜ͱ͕Β, ͱ͘ʹ܈ͷθʔλؔ਺ͷఆ͓ٛΑͼ, ܈ͷ ΫϥεT_n ͱͦͷੑ࣭͕ৄ͘͠ड़΂ΒΕ͍ͯΔ. ࣗવ਺nʹରͯ͠܈ͷΫϥεT_n ͸ ҎԼͷ܈ͷू߹{(Zⁿ,Z^m;A)| m∈Z^≥⁰, A∈M_n(Z^m)}ͱఆٛ͢Δ. ͜͜ͰM_n(Z^m) ΛZ^mΛཁૉʹ࣋ͭn×n ͷߦྻ, ߦྻ A∈M_n(Z^m) ʹରͯ͠,܈(Zⁿ,Z^m;A) ͸Ҏ ԼͷΑ͏ʹఆٛ͞ΕΔ.

(i)ू߹ͱͯ͠ (Zⁿ,Z^m;A) = Zⁿ×Z^mΛͱΔ.

(ii) Zⁿ×Z^m ͷݩ(a,b),(a^′,b^′)ͷੵΛҎԼͰఆٛ͢Δ.

(a,b)(a^′,b^′) := (a+a^′,b+b^′+ ^taAa^′).

܈(Zⁿ,Z^m;A)͸ᎇΕͷͳ͍༗ݶੜ੒ႈྵ܈Ͱ͋Δ. T_n͸࣍ͷΑ͏ͳ७ਮʹ܈࿦త ʹఆࣜԽͰ͖Δ܈ͷΫϥεͱಉܕΛআ͍ͯҰக͢Δ͜ͱ͕ࣔ͞Ε͍ͯΔ.

(i)ᎇΕͷͳ͍, ༗ݶੜ੒ͳႈྵ܈Ͱ nilpotent class͕2ҎԼ, (ii) த৺ʹΑΔ঎ͷZ-rank͕nҎԼ,

(iii) ަ׵ࢠ܈ͷZ-rankͱnͷ࿨͕Hirsch lengthҎԼ.

ୈ2ষ͓Αͼୈ3ষͰ͸, ্ड़ͷ, ܈ͷθʔλؔ਺͕ݩͷ܈ͷ৘ใΛͲΕ͘Β͍อ࣋

͍ͯ͠Δ͔,ͱ͍͏جຊతͳ໰୊͕࿦͡ΒΕ͍ͯΔ. 2ͭͷ܈ͷθʔλؔ਺͕౳͚͠

Ε͹ݩͷ܈͸ಉܕ͔ͱ͍͏໰୊ʹؔͯ͠͸طʹ͍͔ͭ͘ͷ൓ྫ͕஌ΒΕ͍ͯΔͷͰ,

࣍ͷ໰୊͕ॏཁͰ͋Δ.

(∗) ͲͷΫϥε T_n ͷ܈Ͱ, θʔλؔ਺ͷҰகͱ܈ͷಉܕ͸ಉ஋ͱͳΔ͔ʁ

ਃ੥ऀ͸T₂, T₃ ͷ܈ʹରͯ͠໰୊(∗) Λߟ࡯ͨ͠. n ≥4ͷͱ͖, (∗)ʹ͸൓ྫͷ ଘࡏ͕஌ΒΕ͍ͯΔ. Ұํ, T₁͸֊਺༗ݶͷࣗ༝Ξʔϕϧ܈ͷΫϥεʹଞͳΒͣ,͜ ͷΫϥεͰ͸܈ͷθʔλؔ਺͸܈ͷߏ଄ΛܾΊΔ͜ͱ͕༰қʹΘ͔Δ. Ҏ্ͷ͜ͱ

͔Βਃ੥ऀͷҎԼͷ݁Ռ͸,͜ͷ໰୊ʹ׬શͳղ౴Λ༩͑ͨ΋ͷͰ͋Δ:

ఆཧ T₁,T₂, T₃ʹ͓͍ͯ܈ͷθʔλؔ਺͸܈ͷߏ଄Λܾఆ͢Δ.

ୈ4ষ Ͱ͸, ಛఆͷ੔Ҭ্ͷϦʔ؀ Lʹରͯͦ͠Εʹ෇ਵ͢ΔHecke؀ͱHecke ڃ਺͕ఆٛ͞Ε,ͦͷੑ࣭͕ݚڀ͞Ε͍ͯΔ. ·ͨҰํͰ Grunewald,Smith,Segalͷ ఆٛΛҰൠԽ͢ΔܗͰ L ͷθʔλؔ਺ζ_L(s) Λఆٛ͠,ͦΕΒͷؔ܎ʹ͍ͭͯௐ΂

͍ͯΔ. L͕Z^p্ͷLie؀Ͱ Z^pՃ܈ͱͯ͠֊਺༗ݶͷࣗ༝Ճ܈ͷͱ͖, ζ_L(s) ͸ L ͱಉܕͳ༗ݶࢦ਺ͷ෦෼Lie؀ΛΧ΢ϯτ͢Δ͜ͱͰಘΒΕΔ. ͜ͷθʔλؔ਺͸

ࢦ਺ؔ਺p^−sΛύϥϝʔλͱ͢ΔZ܎਺ͷܗࣜత΂͖ڃ਺ʹͳΔ͜ͱ͕Θ͔Δ.

ୈ5ষͰ͸,Zp ্ͷHeisenbergͷϦʔ؀Lͷθʔλؔ਺Λৄࡉʹௐ΂͍ͯΔ. ·

ͨ,͜ͷ৔߹ͷ Lʹ෇ਵ͢ΔHecke؀ͷߏ଄ʹ͍ͭͯௐ΂, 2 ࣍ͷߦྻ؀ͷͳ͢Ϧʔ

؀ͱͷؒʹ੒ཱ͢Δڵຯਂ͍ؔ܎Λಋ͍͍ͯΔ. Hecke؀͸E. HeckeʹΑͬͯପԁ 2

(4)

อܕܗࣜ΁ͷ࡞༻ૉͷ؀ͱͯ͠ఆٛ͞Εͨ. ͦͷޙG. ShimuraʹΑͬͯHecke؀ͷ

֓೦͸,୯Ґ൒܈(ϞϊΠυ)∆ͱͦͷ෦෼܈ΓͰ,೚ҙͷݩ δ∈∆ʹରͯ͠Γ,δΓδ⁻¹

͕௨໿తͱͳΔ΋ͷʹରͯ͠ҰൠԽ͞Εͨ. ͜ͷHecke؀͸R(Γ,∆)ͱॻ͔ΕΔ. ຊ

࿦จͷHecke؀͸͜ͷఆٛʹج͍͍ͮͯΔ.

ຊষͷओ݁Ռ͸ҎԼͷͱ͓ΓɽL͸Zp্ͷHeisenbergͷLie؀ͱ͢ΔɽLʹର͠,

ͦͷࣗݾ४ಉܕϞϊΠυͱࣗݾಉܕ܈Λ༻͍ͯHecke؀R_L =R(Γ,∆) ͕ఆٛ͞Ε

Δ. ͜ͷHecke؀ʹ܎਺ʹ΋ͭ͋Δܗࣜత΂͖ڃ਺ D_L(X) ͕ఆ·Γ, Lͷθʔλؔ

਺͸D_L(X) ͔ΒHecke؀ͷdegree mapʹΑͬͯಋ͔ΕΔ͜ͱ͕ࣔ͞ΕΔ.

ఆཧ (i)R_L ͔ΒݹయతͳHecke؀ͷ p-part ΁શࣹ؀४ಉܕ͕͋Δ.

(ii) D2,2(X) :=D_L(X¹²) ͸͋Δ౳ࣜΛຬͨ͠, (i)ͷ४ಉܕࣸ૾Λհͯ͠ݹయతͳ

GL2 ͷHeckeڃ਺ͷ༗ཧੑ͕ಋ͔ΕΔ.

Ҏ্ʹड़΂ͨ೗͘,ຊ࿦จʹ͓͍ͯਃ੥ऀ͸͋Δछͷ܈ͱϦʔ؀ʹରͯ͠Dirichlet ڃ਺Λఆٛ͠, ͦͷղੳతੑ࣭ͱݩͷର৅ͷ୅਺తੑ࣭ͷؔ࿈ʹ͍ͭͯݚڀ͠, ͍͘

͔ͭͷڵຯਂ͍݁ՌΛಘ͍ͯΔ. ·ͨ ͜ΕΒͷݚڀ͸ͦͷ݁ՌͷΈͳΒͣ, ໰୊ͷ

ઃఆ΍ূ໌ͷख๏΋ߴ͍ΦϦδφϦςΟΛ༗͢Δ΋ͷͰ͋Γ, ͜ͷ෼໺ͷࠓޙͷൃ

లʹେ͖ͳد༩Λͳ͢΋ͷͰ͋Δ. Αͬͯຊ࿦จ͸ത࢜(ཧֶ)ͷֶҐ࿦จͱͯ͠૬ Ԡ͍͠΋ͷͰ͋ΔͱೝΊΒΕΔ.

2015 ೥ 6 ݄

৹ࠪһ

(ओࠪ) ૣҴాେֶڭत ཧֶത࢜ (౦ژେֶ) ڮຊتҰ࿕

ૣҴాେֶڭत ཧֶത࢜ (౦ژ޻ۀେֶ) খদ ܒҰ

ૣҴాେֶڭत ത࢜(ཧֶ) (ૣҴాେֶ) ඌ࡚ ֶ

3