15
<論 説 〉
生 涯消 費財 と危 険資 産 混合 の動 学 分 析
桐 谷 維
目 次
0.序 論
1,基 本 モ デ ル
1.1記 号 表 記 と富 の 制 約 1.2生 涯 効 用 の 最 適 化 問 題 2。 投 資i三体 の 最 適 化 行 動
2.1最 適 解 の 導 出
2.2期 待 生 涯 効 用 関 数 の 特 性
3.パ ラ メ ー タ ー 変 化 の 最 適 解 に 及 ぼ す 効 果 3.1増 分 の 同 時 方 程 式
3.2最 適 化 行 動 の 比 較 静 学 分 析
3.2.1最 適 消 賛 財 束c,に 及 ぼ す 効 果 3.2.2最 適 危 険 資 産 混 合 渇 に 及 ぼ す 効 果 4.単 純 化 の 仮 定
4.1単 純 化 の 仮 定 導 人 4.2対 角 逆 行 列
5.単 純 化 の 仮 定 に お け る パ ラ メ ー タ ー 変 化 の 効 果 5.1最 適 消 費 財 束c,に 及 ぼ す 効 果
5.2最 適 危 険 資 産 混 合 渇 に 及 ぼ す 効 果 [注 】
[参 考 文 献]
0.序 論
当初,単 …期 間の 最適 資 産 混 合 の編 成 を追 求 して い た 資 産選 択理 論 は,理 論 の 多期 間 モ デ ル化へ の進 展 に伴 い,生 涯 資 産選 択 へ と分析 が 拡 張 され た。 この
16商 経 論 叢 第37巻 第1号
段 階 に い た る と,資 産 選 択 理 論 は,「 現 在 と将 来 の 世 代 が 各 期 に 所 得 の どれ だ け を貯 蓄 す べ きか?」 と い う旧 来 の ラ ム ゼ イ 問 題[F、P.Ramsey,1931]に 基 づ き,先 に 多 期 間 貯 蓄 理 論 に お い て 展 開 され た 時 間 選 好 体 系 を包 摂 して,一 層, 拡 張 さ れ る こ と に な っ た 。
フ ェ ル プ スrE.S.Phelps,1g62]は,実 際 に 貯 蓄 毛 体 が 将 来 の 資 本 損 失 の 危 険 に 直 面 す る場 合,伝 統 的 な 貯 蓄 理 論 が どの よ う に 修 正 され るか とい う 論 点 に 焦 点 を 当 て,貯 蓄 主 体 の 最 適 生 涯 貯 蓄 計 画 を 解 明 す る 多 期 間 分 析 を 発 展 させ た が,ラ ム ゼ イーフ ェ ル プ ス段 階 に お け る 問 題 意 識 は,相 変 わ らず 貯 蓄 理 論 の 傾 向 が 強 く,資 産 選 択 論 的 な 多 様 化 投 資(Cl1VeCSlfCat1011)の 発 想 法 は ま だ 希 薄 で あ っ た 。こ の 傾 向 は,レ ヴ ァ ー リ=ス リ ニ ヴ ァ サ ン[D.Levhari=T.N.Srinivasan, 196g]の モ デ ル に お い て も受 け継 が れ 丁 経 済 主 体 の 最 適 貯 蓄 を 従 来 と 同 様 に 貨 幣 形 態 で の み 論 じて お り,投 資 の 資 産 保 有 形 態 の 多 様 化 に つ い て は ほ とん ど 言 及 して い な か っ た 。
しか し,投 資 の 多 様 化 問 題 と多 期 間 貯 蓄 理 論 が 結 合 す る と,問 題 は,経 済 主 体 の 生 涯 に わ た る最 適 資 産 系 列 が どの よ う に 決 定 され るか と い う多 期 間 資 産 選 択 理 論 に 移 る こ と に な る 。 特 に,ポ ー ル ・A・ サ ミ ュ エ ル ソ ン[PA Samuelson,1969aは,不 確 実 性 下 に お け る割 引 効 用 和 の 期 待 値 を 極 大 に す る と
い う フ ェ ル プ ス 流 の 理 念 に 基 づ き な が ら,危 険 資 産3)と 確 実 資 産2)の 単 純 な2 資 産 モ デ ル に お い て 多 様 化 投 資 を 初 め て 多 期 間 分 析 に 導 入 した と 見 られ る。
さ ら に,フ ィ ッ シ ャ ー=フ ェ ル プ ス線hの 不 確 実 性 下 に お け る貯 蓄 モ デ ル の 一般 化 と精 緻 化 の 一・つ に ニ ル ス ・H・ バ カ ン ソ ン[NilsH.Hakansson,1970a,bユ
の モ デ ル が あ る 。 そ こ で は,無 限 期 間 に わ た る 消 費 の 期 待 効 用 極 大 化 が 図 ら れ,確 率 変 数 と して の 生 産 的 投 資 か らの 収 益 に加 え て,確 実 な非 資 本 所 得流 入 が 含 まれ て い る。 しか し な が ら,従 来,こ の よ う に 展 開 さ れ て きた 生 涯 消 費 ・ 資 産 選 択 の 動 学 分 析 は,い ず れ も 消 費 と投 資 を 金 額 表 示 の 名 目 値 に よ り定 式 化
し,効 用 は 消 費 支 出 額 の 関 数 と して 定 義 さ れ,消 費 量 の 関 数 で は な い 。 危 険 資 産 投 資 につ い て も,貯 蓄 理 論 の 伝 統 に 由 来 して 名 目的 な 支 出 額 の ま ま に取 り扱 わ れ て き た。 そ れ 故,消 費 財 価 格 と証 券 価 格 は モ デ ル の 中 で 明 示 的 で は な く,
生 涯消 費 財 と危 険 資 産 混 合の 動 学 分 析17
暗 意 的 に取 り扱 われ て い たの で,消 費量 を変 数 とす る効 用 関数 に基づ く在 来 の 消 費 者行 動理 論 との 整合 性 にお い て,か な り難点 を残 しなが ら,展 開 され て き た の で あ る。
ヒ述 の 問 題点 を考 量 して,本 論 文 は,消 費 支 出 を消 費財 の実 物 量 と価 格 の積 と して 表 示 し,金 融 資 産投 資 額 を資 産 の 実 物 的量(枚 数 ・株数)と 資 産 価 格 に 分解 して,多 種 類 の 財 と金融 資 産 の実 物 的 量 のベ ク トル,お よび,そ れぞ れ の 価 格 ベ ク トル を導 入 す る こ とに よ り,ミ ク ロ経 済 分 析 にお け る本 来 の理 念 で あ る消 費財 お よび市 場性 資 産 の均 衡価 格 決 定 に至 る論 理 的過 程 の 動学 的一 般 化 を 目指 して い る。
1.基 本 モ デ ル
1.1記 号 表 記 と富 の 制 約
本 論 で 考 察 す る経 済 主 体 は,消 費 と投 資 の 配 分 を 同 時 に 考 慮 して 実 行 す る 。 あ る 個 別 主 体 の 生 涯 をT個 の 期 間t=1,2,…,T‑1,Tに 分 け る 。 一般 の 期 間' の 期 首 に お い て 消 費 さ れ る ∫謹1,2,…,"種 の 消 費 財 の ベ ク トル をCtsそ れ ら 消 費 財 価 格 のn次 列 ベ ク トル をprと 表 す 。 ま た,期 間tの 期 首 に 保 有 さ れ る h=1,2,…,S種 の 危 険 資 産 の 物 理 的 保 有 量(枚 数 ・株 数等)のS次 列 ベ ク トル を Xt,そ の 危 険 資 産 の 価 格 ベ ク トル をqtと 表 す 。
C'瓢 Clt Cat
Cnt
pt一 plt
ρ2'
ρ 躍
,X∫ 縮
κ1'
κ2∫
xsr
qr一
91' Lj̀Zt
qsr
当 初,個 別 主 体 は 賦 存 富 ω。を 初 期 保 有 して お り,ま ず,初 期t=1期 の 期 首 に お い て 賦 存 富 ω、,の中 か ら消 費 支 出(p,cl)を 支 払 い,そ の 残 余 を 金 融 資 産 で 保 有 す る 。 金 融 資 産 の 一…部 は 現 金 あ る い は要 求 払 い 預 金 の よ う な確 実 資 産 の 形 態 で 貯 蓄 され(〃 露1),残 余 の 部 分 は 証 券 等 の 危 険 資 産 混 合 に投 資 さ れ る(ql x1)。 た だ し,期 間 ∫=1の 期 首 に お い て,c,は 消 費 財 の 列 ベ ク トル,qlは 危 険
資 産 の 市 場 価 格 の 列 ベ ク トル,x,は 危 険 資 産 の 物 理 的 投 資 量(枚 数 ・株 数)の
18商 経 論 叢 第37巻 第1号
列 ベ ク ト ル と す る 。 確 実 資 産 混 合 の 価 値 は 名 目 貨 幣 額 と し て 測 ら れ る 。 す な わ ち,そ の 価 格 を 物 理 的 単 位 当 た り1と 置 け ば,確 実 資 産 混 合 の 物 理 的 量 と 名 目 的 金 額 が 一 致 し て,m,と 表 す こ と が で き る 。 す る と,賦 存 富wの 支 出 配 分 は 次 の よ う に な る 。
w。=p,c、+m,+q,x,(1)
ま ず,保 有 さ れ た 金 融 資 産 は 期 間'=1の 期 末 ま で に 増 殖 し て,確 実 資m, の 部 分 は 確 定 利 子 率r,を 伴 っ た(1+r,)甥1に な る 。 こ の1+r、 は 累 積 要 因(ac‑
cumulationfactor)と 呼 ば れ る 。 ま た,危 険 資 産 の 物 理 的 単 位(1株)当 た りt 1期 末 の 価 値 は,ベ ク ト ル 表 示 で,期 首 の 価 格qlと 期 中 の 収 益 率Rlの 和ql+
R、 で あ る 。 期 間tに お い て 生 じ る 危 険 資 産hの 物 理 的 単 位(1株 ・1椥 当 た り 収 益 率Rht=4ht‑4h1+dhtのS次 列 ベ ク ト ル を
R,置q{‑q,+dt=gr+d,
と す る 。 た だ し,q{は 危 険 資 産 の 将 来 価 格s次 ベ ク ト ル,g汗q{‑qrは 資 本 利 得 のS次 ベ ク ト ル,d,は 配 当 のs次 ベ ク ト ル で あ る 。 す な わ ち,h=1,2,
…,∫;'二1,2,…,T‑1に 対 し て,
Rt=
R,r Rzr
1〜、,
と す る 。 よ っ て,危 険 資 産 の 価 値 はt=1期 中 に 増 殖 し て(q1+R)'x、 に な る。 こ れ に 当 期 中 の 確 実 な 非 資 産 所 得yが 流 入 し て 期 間t=1期 末 の 新 し い 富 を形 成 す る。
(1+r、)m、+(ql+R,)ノXl+y,=w
こ こ で,(1)式 の 初,を(2)式 に 代 入 し て 整 理 す る と,m、 が 消 去 さ れ て,
(1+r,}(w‑plcl‑qlx1)+(ql+R1)ノxl+y1 ニ(1+rl)(w。‑P{c1)+(Rl‑r,q,)'Xl+y,=w,
が 得 ら れ る3)。
(2)
(3)
こ の 第1期 末 の 富w1は 第2期 で さ ら に 消 費plc,,確 実 資 産 保 有mz,危 険 資
産 保 有qlx,に 配 分 され る 。
ノf
w,=P2c2+m+q2x2
ノ
加 わ っ て 第2期 末 の 富 ω,に な る 。 (1+r,)〃32+(qI+R)Xz+y,
生 涯消 費 財 と危険 資 産 混 合 の動 学 分析19
(4)
こ のp ‑'G"の 部 分 は 消 費 さ れ,規,+qlx、 の 部 分 は 第2期 中 に 増 殖 し,所 得y,,が
=q+乃)(w[‑plc
2)+(R2‑1胞q2)'x、+夕, 罵w
この プ ロ セ ス を続 け て,第t期 に 至 る と, 配 分 され て
ノ ノ
w‑1=prct+mr+q凶
に な る 。 第t期 の 期 末 で,富 の 価 値 は (1+rt)mt+(qt+R)'笛+y,
ユ(1+7,〉(ω 日 一P為)+(R一 フ}q,)X t+夕t
=w
(5) 一般 に ,第 ∫期 の 期 首 の 富wt‑,は
に 増 殖 す る。 最 終 期 に 近 いT‑1期 で は,第T‑2期 末 の 富 が 配 分 され て,
ノ ア
ZUT‑'""""p'1'一 一IC7'1+mTI+qTIXT‑]
と な る 、,そ の 第T‑1期 末 に は 富 が 増 殖 し て
(1+rr‑,)n2r.‑1+(q71+RT‑t)ノ 斯.1+yτ1
=(1+ア ァ
t)(ノωT一 ジ ーP7噛1C7'1)+(R7・ 一「 プ7‑1qフ ・1)'XTユ
+y71墨 ω ア ーi
(6)
(71
(8)
(9) に な る 。 そ して,生 涯 期 最 後 の 第T期 に,期 一首富wlは 消 費 支 出pチcτ と遺 産
酬 に 分 け ら れ る 。 ωT1=Pチc7+U7'
この 遺 産 δアが 実 は 最 後 に 残 され る 富 勧 に 他 な ら な い 。
br‑wr,(≧0)
1.2生 涯効 用 の 最適 化 問 題
(lo)
(ll)
L記 の富 の増 殖 過 程 で 期 ご とに漏 れ て い く消 費量 は生 涯 を通 じて効 用 を もた
20商 経 論 叢 第37巻 第1号
ら す 。 こ の よ う な 効 用 は 生 涯 効 用 関 数 と 呼 ば れ る が,こ こ で は 各 期 の 分 離 効 用 関 数 を 定 義 す る4)。
σ=u(Ci,C,,…,C,,…,C,)
=u(C1)+au(C,)+伽(Cs)+…+à一̀u(Cr) 十 … 十aT'u(CT)
=u(C1)+Σà一'u(Cr)(12)
ア
r二2
現 在 期 は 確 実 で あ る が,将 来 期 は 不 確 実 で あ る と い う 見 地 で,期 間 全 体 に つ い て 期 待 値5)を 取 る が,来 期 以 降 の 期 待 効 用 は 現 在 価 値 に 割 り 引 か れ る 。 た だ
し,こ こ で の 割 引 率 α は0〈 α ≦1と 書 か れ る 。 E[U]=E[u(cｺ,c2,…,c,,…,CT)]
=u(Cl)+aE[u(Cz)]+α2E[π(c:i)]+…+at‑[E[u(ct)]
+…+α 電[u(c。)]
=u(c、)+Σà一
ア
董E[u(Ct)](13)r嘉2
以 上 の よ う に 予 算 制 約 条 件 と極 大 に さ るべ き 目的 関 数 を用 意 して,次 の よ う な最 適 化 問 題6)を 設 け る こ とが で き る。
[問 題]
期待 生 涯 効 用 関数
7'
EAU]=御(c1)+Σ αHE[π(Cr)〕
t=2
を,制 約 条 件
(1+rf)(wt‑,‑iptct)+(R‑rtq,)'】Kt+y,罵 ω,,
(t幕1,2,…,T‑1>
お よ び
ω7‑1=prCr+わ τ,(t==T)
の 下 で,消 費 ベ ク ト ルC1,C,,…,ct,…,CTに 関 し て 極 大 に す る 。
党涯 消 費財 と 危険 資 産 混 合 の動 学 分 析21
期 待 生 涯 効 用 σ の極 大 値 をVと 表 し,添 え 字 丁%は 当期 以 後 の 残 存 期 間 を表 す 。 す る と,極 大 生 涯 期 待 効 用VT(ω ∂は,(13)式 の よ うに,現 在 決 定 期 と 将 来 決 定 期 の 二部 分 に分 割 され,将 来期 に は期 待値 が掛 け られ る。
7'
レ ナ({))離maxひ7=max{麗(c1)+Σà一'E[u(c,川(14)
t二2
こ こ で,体 系 構 造 式 圃 を将 来 に1期 ず らせ る と,
ア
レT.,(w,)=maxUT‑1=max{π(c,)+Σ α卜2E[u(Cr)]},(15)
'‑3
と な る か ら,同 時 に 両 辺 の 期 待 値 を 取 り,割 引 率 α を 掛 け て1期 だ け 割 り 引 き,将 来 決 定 期 に つ い て ま と め る 。
αE[防1(w,)]=αE[maxひ,.1]
ア
=max{αEレ(Cx)]+Σ α州E[u(C
t‑3
t)]}ア
=maclEα'』IE[u(Cc)]}(16)
f')
す る と,初 期 に お け る 現 在 期 と,T期 ま で の 将 来 に わ た る 極 大 期 待 生 涯 効 用 は,単 純 化 さ れ て
V,,(Wu)=mom{π(c】)+αE[VT.、(w、 川(17)
の よ う に 現 在 期 と 将 来 期 の2項 に ま と め ら れ る 。
… 般 に
,中 間 期 の 任 意 のt期 に お け る 極 大 期 待 生 涯 効 用 は,防1(ω,)のwtに 富 の 価 値(7)式 を 用 い て
防.,+1(wt‑1)=max{%(Cr>+aE[レ 宇a(wt)]}
=max{π(Cr)+αE[防 .,((1+rt)(w,‑rplct) +(D‑rlgt)'x、+y川(18)
と 表 さ れ る か ら,一 一 般 の ∫期 と 最 終 期1を 分 け て 示 す と 防 一r・、(wt)蹴m副 麗(Ct)+αE[VT‑t((1+rt)(ωHっlc,)
+(U‑YrClr)'xご+ニ ソ,)]lt=1,2,…,T‑1,(19‑1) F(斯.1)=max#u(Cr)}t‑T(19‑2)
22商 経 論 叢i第37巻 第1号
と 書 か れ る 。
(19)式 の よ う な 系 列 的 効 用 の モ デ ル は,一 般 に ダ イ ナ ミ ッ ク ・ プ ロ グ ラ ミ ン グ 解 法 に よ っ て 最 後 尾 のt=T期 か ら 解 く こ と が で き る 。 生 涯 最 終 期 末'=丁 期 に 対 し て,当 期 首 の 富wT.1は 消 費 財 束Crに 支 出 さ れ た 残 り が 遺 産BT≧0と
し て 残 さ れ る 。
と こ ろ で 第T‑1期 で は,期 首 の 富w,iか ら 消 費 額pl・.1c。‑1を 差 し 引 い た 残 余 の 額w,‑rpl.acs..、 が 最 終 期Tの 期 首 富 ω 。.、に 増 殖 し て,そ れ が 最 終T期 中 に 消 費 妨c。 と 遺 産Bア に 分 割 さ れ る の で あ る 。
(1+rT'‑1)(ω7・.2‑P争 一lcτ1)+(Rτ[‑7丁 ・‑1q7‑1)'XT‑1+yll
=wτ1=P与q+B7'(20)
そ れ 故,第7L1期 に お け る 極 大 期 待 生 涯 効 用 は 脆(wT‑2)=max{u(c7・1+aE[μ((1+yl'1)(wf2‑Pひ1q‑1)
+(Rτ1‑‑y71qγ ・‑1)ノxア.1+y71)]1
=max{廊(cア ー1)+αE財(wr‑[)]}
=max観(CI' ‑1)+αE[Y](plq+」Bア)]}(21)
の よ う に,後 続 決 定 部 が 最 終 期 丁 の 極 大 期 待 効 用 と 一 致 す る か ら,(19‑2)式 は(19‑1)に 含 ま れ る こ と が 判 る 。 よ っ て,議 論 は ・般 のt期 に つ い て 進 め れ ば よ い こ と が 判 る 。
2.投 資 主体 の 最 適 化 行 動
2.1最 適 解 の 導 出
hで 示 す よ う に,・ 般 のt期 に お い て 極 大 に さ る べ き 期 待 生 涯 効 用 は,
〔Tt=u(Cr>+αE[レ 与t((1+rf)(wr‑1ptCr) +(R‑r}q,)図+ッ,)]t=1,2,…,7L1,(22)
と 書 か れ る か ら,こ れ をCrとxに 関 し て 偏 微 分 し て ゼ ロ と 債 く と,極 大 化 の 1階 条 件 が 得 ら れ る 。
1慕 讐LαE傷(・+r)(勧 一plω
生涯 消 費 財 と危険 資 産 混 合 の動 学 分 析23
+(Rf‑rtqr)'x,+yr)(1+Yt)PteO
お よ び
1紹 一aEdVr‑tdwt((1+rr)(L[lt‑1‑plc')+(Rt‑rrqr)'x'+ツ ∂
(23‑1)
・(Rr‑‑rrqt)瓢0(23 ‑2)
(23‑1)式 は,現 行 消 費 の 限 界 効 用 が,当 期 に 割 り 引 か れ た 将 来 期 の 限 界 極 大 期 待 生 涯 効 用 に 等 し い こ と を 告 げ て い る 。 同 様 に,(23‑2)式 は 割 引 限 界 極 大 生 涯 効 用 と 危 険 収 益 プ レ ミ ア ム7)の 積 の 期 待 値 が ゼ ロ に な る こ と を 主 張 し て い
る 。
極 大 化 の2階 条 件 は,非 ゼ ロ の[rdctdxt]≠0"に 対 し て,次 の2次 形 式 が 負 値 定 符 号(negativedefinite)8)に な る こ と で あ る 。
∂2び'/∂cl∂Utノ ∂Cr∂x'dcf[
dc'tdx̀t]
∂"Ut/∂x'∂c'∂2θF'/∂X"tdx,
;i4c'r[∂̀'Ut/∂cl】[dct]
+2【dct]'[∂Ut/∂ct∂Xi】[dxt]
+[dXrF【 ∂2ひ/∂x穿1[4x,1〈0(24)
た だ し,hの2次 形 式(24)に お け る 行 列 の 分 割 行 列 は,具 体 的 に は,以 下 の よ う に 書 か れ る 。
でび婿
つ}∂ ∂
誓影 一αEか'(1+r)(wt‑‑P'・ ・)+(R悶')画
・(Rt‑rrgt}(Rt‑一 一rtgt},
42謬+ αE器 匹'/1禰(働 一plω
+(Rr‑‑rrgt}'Xr+yr(1+Yr}̀prpr
( )
X25‑1)
{25‑2)
∂Ut
∂C,∂x,
24商 経 論 叢 第37巻 第1号
一 一αE[翻'((1+r)(‑plc')+(H一 唖)画)
・(1+加(Rt一 司
∂2ひ aXtaCt
一 一 αE[毒 唖1+Y)(‑prc∂+(Rt‑rrqr)'x+y)
・(1+Yt)(Rt‑rrqr)司
(25‑3}
(25‑4)
こ こ でi2次 形 式(24)の 右 辺 第1項 は,消 費 ベ ク トルctに 関 す る効 用 関 数 の2 次 導 関 数 を 配 列 した 負 値 定 符 号Hessian行 列 の2次 形 式 だ か らf部 分 極 大 化 問 題9)の2階 条 件 は[耐[淵[4el]〈 ・ の よ う に負 で あ り・ ま た ・(24) 式 の右 辺 第3項 は,危 険 資 産ベ ク トルXtに 関す る効 用 極 大 化 の 部 分 極 大 化 問
題1・〉の2階 条 件Cdxtl'「d"Udxt][4x7]<・ に よ り 負 と 想 定 さ れ る ・ 一 般 に
,1階 条 件(23‑1)と(23‑2)の 同 時 解 を 解 け ば,%個 の 消 費 財 束 と ∫ 個 の 危 険 資 産 の 解 ベ ク ト ル を 求 め る こ と が で き る 。 た だ し,ノ 、は 危 険 資 産 収 益 率 ベ ク ト ルRが 属 す る 確 率 分 布 を 規 定 す る パ ラ メ ー タ ー の 集 合 を 表 す 。
c*t=c*t(p'fq',rt,wr1,y,ノ,)(26‑1)
Xc=x*t(pr,q,,rt,z〃,.1,y,.ズ 置)(26‑2)
2.2期 待 生 涯 効 用 関 数 の 特 性 一一一般 のt期 に つ い て
,こ れ ら の 最 適 解c*rとx*rを 元 の 期 待 生 涯 効 用 の(22) 式 に 代 入 す る と,期 待 生 涯 効 用 の'期 の 極 大 値maxUfが 得 ら れ る 。 こ れ を
レ}‑t.、と 表 せ ば,期 待 生 涯 効 用 の 極 大 値 は パ ラ メ ー タ ー 群Pt,q,,乃,wt‑1,
y,,,〃rを 変 数 と す る 関 数 と し て 表 さ れ る 。 た だ し,Vの 添 字T‑t+1は 残 存 期 間 数 を 表 す 。
生 涯 消 費 財 と危険 資産 混 合 の 動 学 分 析25
VT‑t+1(Pt,qt,各,w'日,y,、 ガf)
=maxU t‑u(c*)
+αE[VT‑((1+rt)(wt,‐pfcx)+(R一 各q)Xt+ly,)]
t=1,2,…,T‑‑1,(27)
こ こ で の 課 題 は,重 要 な 独 血 変 数 で あ る 前 期 末 富 ωtlの 変 化 が 極 大 期 待 生 涯 効 用V,'‑r+に 及 ぼ す 効 果 を 摘 出 す る こ と で あ る 。 そ の た め に,ま ず,次 の 補 助 定 理 を 用 意 す る 。
〔補 助 定 理1〕
期 間tの 限 界 期 待 生 涯 効 用 匹rは,期tの 富wtに 関 し て 正 で あ る 。 す な わ dV7・。,
ち,>0で あ る 。dw t
(証 明)(23‑1)式 よ り,
du
d(ctcr)aEdVr̲r(wtdwt)(1+rr)ρ](2鋲1)
を 得 る が,Lの(23ノ ー1)式 の 左 辺 は 消 費 財 束Ctの 限 界 効 用 の ベ ク ト ル で あ り, du(c,)
普 通 ,こ れ は 正,す な わ ち>0と 仮 定 さ れ る か ら,(23'‑1)式 の 右 辺 は4c ,
正 で あ っ て,正 の 価 格 ベ ク ト ルp>o,正 の 確 定 利 子 率 名>Q,正 の 割 引 率 α>0
を考慮 す れ ば朋 らか に4防 諾)〉 ・と判 定 で きる。・
〔補 助 定 理2〕
期 間tの 期 待 生 涯 効 用VT‑tは 期'の 富w,に 関 し て 凹 で あ る 。 す な わ ち, d̀Vrt(勘)<0で あ る
。dwt'
(証 明)2次 導 関 数 の 式(25‑2)を 利 用 し て2次 形 式 を 作 る 。
[dxt],a"Utax
t「 伽]
26商 経 論 叢 第37巻 第1号'
一 αE∂J'Vr‑rwt
awr')「 耐(R,r‑Yr(fit)凪 一 副 副 く ・(28)
h式 は,危 険 資 産 ベ ク ト ルxに 関 す る 効 用 極 大 化 の 部 分 問 題 の2階 条 件 で
あ り,こ の2次 形式の負値 定符 号性 に よ り國 儲 囮 〈・と齪 され
る か ら,α>0よ り(28)式 右 辺 の 期 待 値 は 負 で あ る。 す る と,(28)式 期 待 値 内
s
部 の2次 形 式 は 積 和(Rt‑‑rtgt)'[4凶]=Σ(Rht‑rrght)伽,の2乗 な の で 非 負 で あ
lrI
る 。
[4幻(Rツ}q,)(R一 アqが[4幻
={(1〜1f‑rtqt)伽,+(R2,‑7η2,励r2t+…
+(R,r‑745)dxs,}2≧0(29)
そRX,期 待 値 を 考 慮 す る と・42饗 勘)<・ が 渤 れ る・ 腫
す る と,極 大 期 待 生 涯 効 用 防 坦 に つ い て 次 の よ うな 定 理 が 証 明 で き る 。
〔定 理1〕
前 期 末 富 ω卜、が 増 加 す る と 今 期tの 極 大 期 待 生 涯 効 用yナ.田 は 増 加 す る 。 す 4レ ァー,,1>0で あ る
。 な わ ち,4
勘 一1
(証 明)(27)式 のVT‑t.1を 前 期 末 富 ωHに 関 し て 微 分 す る 。 4蕩lllL(du(cD
dct)'(蓋il)
+α μ 左話 勘){(1+rt)(1‑P'4寄1
1) +凪 一叫)'(4xld
w,‑1)}
du(c;
clcr)一 αE4防 施}ω)(1+Yr)ptl(藩ll)
生 涯 消 費 財 と 危 険 資 塵 混 合 の 動 学 分 析27
4P!τ,(wt)+
al;1‑(ユ+Yt)d wt
+α μ 論1勘)(rr‑rrgr)(dXfd
wt‑,) 4防 ・,(ω')
瓢 αE(1+Yt)(30) dwr
上 式 の4行 目 と6行 目 は(23‑1)と(23‑2)を 用 い る と ゼ ロ に な る か ら,最
右 辺 の みが 残 る・ しか る に備 助 定馴 こよ り傷'〉 ・だか ら,(3・)式 右 辺
で証 の確 定 利 伸 各〉・証 の割 弓1率α〉・を 舗 す 繊4藷 ∴1>()・ す な
わ ち,所 定 の 導 関 数 は 正 と判 定 で き る。 ■
さ らに,こ の 極 大 期 待 生 涯 効 用 関 数V1'‑r+iの2次 導 関 数 に 関 す る 次 の 定 理 が 証 明 さ れ る 。
〔定 理2〕
極 大 期 待 生 涯 効 用 関 数YT'一川 は 前 期 末 富 ω呂 に 関 して 凹 で あ る 。 す な わ ち, 42レ7・一用 く0で あ る
t̲, 。dw
(証 明)前 期 末 富wf‑1に 関 す る 極 大 期 待 生 涯 効 用Vrt+3の2次 導 関 数 を 求 め る た め に(27)式 を ω,.、に 関 して2回 微 分 す る。
dwt',(dcrdwr,)'4砦)(4祭11)
+αE豊 譲 勘)一{(1+rr}(1‑P'器)+(r‑rrgr)(器)1
+{4砦LαE甥 勘)(1+Yt)P'聯)}
+αE4緊 勘)(R‑)'礎
、)く ・(31)
28商 経 論 叢i第37巻 第1w
r式 右 辺3〜4行 目は,1階 条 件(23‑1)と(23‑2)に よ り,ゼ ロ に等 しい か ら消 え て,右 辺 は 最 初 の2行 の み が 残 る 。 消 費 ベ ク トルCtに 関 す る 効 用 極 大 化 部 分 問 題 の2階 条 件 は,対 応 す るHessian行 列 か ら成 る2次 形 式
囮'14讐)][dcr]<()
が 負 値 定 符 号 だ か ら,(31)式1行 目 に あ る2次 形 式 は 負 で あ る と想 定 す る こ と が で き る 。 ま た,(31)式2行 目 の 期 待 値 内 の レ}2≧0と α>0を 考 慮 す れ ば, 補 助 定理2に よ り42綴 勘)く ・だ か ら・ 灘 ∵1<・ が 証明 され る・・
以 上 の 定 理1と 定 理2に よ り,極 大 期 待 生 涯 効 用 関 数V7'‑t+1は 前 期 末 富 ω削 に 関 して 逓 増 的 で あ り,か つ,凹 関 数111で あ る こ とか ら,《 限 界 極 大 期 待 生 涯 効 用 は逓 減 的 で あ る 》 こ とが 判 っ た 。
3.パ ラ メ ー タ ー 変 化 の 最 適 解 に 及 ぼ す 効 果
3.1増 分 の 同 時 方 程 式
パ ラ メ ー タ ー の 変 化 が 消 費 財 ベ ク ト ルc,と 危 険 資 産 保 有 ベ ク ト ルXrに 及 ぼ す 効 果 を 検 出 す る た め に,1階 条 件(23)を 全 微 分 す る 。 す な わ ち,(23‑1)式 と
(23‑2)式 を 変 数Ct,篇 と パ ラ メ ー タ ーPt,q、,ω,‑1,y,rtに 関 し て 微 分 し,従 属 変 数 の 増 分dcrと4x、 の 項 を 左 辺 に 置 き,パ ラ メ ー タ ー の 増 分dpf,dqt, dwt‑.,,dyt,drtの 項 を 右 辺 に 配 置 し て 表 示 す る 。 す る と,こ れ ら は 同 時 方 程 式 体 系 を 形 成 し,消 費 の 増 分dorと 危 険 資 産 保 有 の 増 分4簸 に つ い て 解 く こ と が で き る 。 表 記 一ヒ,膨 大 に な る の で,以Fで は,こ の 同 時 方 程 式 体 系 を 行 列 形 式 で 示 し,係 数 行 列 を 簡 略 形 で 表 示 す る 。 行 列 の 簡 略 表 示 は,例 え ば,当 期 に お け る 添 え 字tを 省 略 し,ベ ク ト ルC:,渇 に 関 す る 効 用 ひ の2次 導 関 数 を 簡 単
に 鍛 一 侃 表 し ・ ベ ク トルxと パ ラ メ ー タ ー α に 関 す る 効 用Uの2次 a?U =U・ 、 の よ う に 略 記 す る 。
導 関 数 を aXaa
生 涯 消 費 財 と 危険 資 産 混 合 の動 学 分 析29
UccUcx UxcUxx
CXノω4 σVUU
ツyじヨUU
コ御脚UU
qqじズ
U U
PPじむ
U U
dp dq dw‑,
dr
上 式 の左 側 か ら係 数 行 列 の逆 行 列 を掛 け る と,解 ベ ク トルが 得 られ る。
(32)
C X 4 4
α羅U U
㏄蜘
U U
1U・pVcqU
。。,.1U、 ツuCr
U叩U。qLlxwlU料tlxr
σVUU
σ剛UU
↓司
㎝脚UU
eq期
U U
叩即
U U
12器
H H
n21
H H
4P dq dw‑,
dr
dp dq dw‑,
dr
(33)
た だ し,逆 行 列 の 分 割 行 列 をH.(i,j‑1,2)と 表 す 。
(32)式 の 係 数 行 列 は2次 形 式(24)の 係 数 行 列 と 同mで あ る か らf負 値 定 符 号 で あ り,そ れ 故,係 数 行 列 の 要 素Z,戸1f,… ,nに 対 し て 麗。〈0,u;;〈0,
%。砺 一 曜>0が 成 り 立 つ 。 よ っ て,こ の 係 数 行 列 の 対 角 要 素 は す べ て 負 で あ
る12)・ す な わ ち ・(25‑1)式 の 行 ダUUに つ い て ・ 右 辺 第1項4砦)の 対 角
要 素 は 凹効 用 関 数 の仮 定 に よ り負,第2項 の 期 待 行 列 は補 助 定 理2と 正 行 列 PtPt>0よ り負,す な わ ち,
E42留 勧)(1切 ・ppl〈 ・(34)
で あ る か ら,総 じて 行 列U。.の 対 角 要 素 は 必 ず 負 で あ る こ とが 確 か め ら れ る。 ま た,(25‑2)式 の 行 列U脳 に つ い て,右 辺 の 期 待 行 列 の 対 角 要 素 は ,補 助 定 理
30商 経 論 叢 第37巻 第1号
2と 行 列(U‑ytgt)(R‑7}q、)'の 対 角 要 素 が 非 負 で あ る こ と に よ り 負 で あ る が,非 対 角 要 素 の 符 号 は 不 確 定 で あ る 。 ま た,(25‑3)式U。 。と(25‑4)式Uxrの
期 待 行 列 の 要 素 は す べ て 符 号 が 確 定 で き な い こ と に 注 意 す べ き で あ る 。
3.2最 適 化 行 動 の 比 較 静 学 分 析
次 に}各 種 パ ラ メ ー タ ー の 変 化 が 消 費 財 束 の 変 化dctと 危 険 資 産 混 合 保 有 4凶 に 及 ぼ す 効 果 を 摘 出 す る 。 そ の た め に は,上 で 導 出 し た(33>式 を用 い て, パ ラ メ ー ター 変 化 に 関 す る 最 適 消 費 量 お よ び 最 適 ポ ー トフ ォ リ オ の 変 化 の 比 を 求 め て 符 号 を 判 定 す れ ば よ い 。 そ こ で 先 ずTパ ラ メー ター 変 化 が 最 適 消 費 財 束
と危 険 資 産 混 合 に 及 ぼ す 効 果 を 記 述 す る 偏 微 分 式 を 導 出 す る 。
3.2.1最 適 消 費 財 束Crに 及 ぼ す 効 果
各種 の パ ラ メー ター が 変 化 す る場 合 の 最 適 消 費 財 束 の 需 要 量 変 化dctに 及 ぼ す 効 果 はT(33)式 よ り具 体 的 に 以 下の よ う に 書 くこ とが で き る。 与 件 と して 変 化 す る パ ラ メ ー ター は,消 費 財 価 格 ベ ク トルp、,危 険 資 産 価 格 ベ ク トルq,,前 期 末 富 残 高 ω,一]t今期 末 所 得y,確 定 利 升率 乃の 五 つ で あ る 。
(a‑1)消 費財 価 格 変化 の効 果
1言 一 一(HllU。p'+H12U・p1)
=‑HllαE[..V7' ‑C(ω ピ)(1+rt)2cpl一 γ チ.,(w)(1+乃)ln]
+Hl2(xE[V,r7',(ωf)(1+Yt)(R,一 川,)c,']1 (35‑1)
(a‑2)危 険 資 産 価 格 変 化 の 効 果
∂ct =一(H U。q'+H12U。q') aqr
=‑HllαE[//VT ‑t(wt)(1+Yt)乃P∫xり1
+Hl2αE[レFタ ゴ(ω,)軸(R一 γ}q、)'+VT‑,(wt)IJ乃 {35‑2)
生 涯消 費 財 と危険 資産 混 合の 動 学 分析31
(a‑3)前 期 末 富 変 化 の 効 果
∂寄'1‑一(H・1u恥 、+H1・ 恥 、)
=・H aE[Vii7',(w)(1+r
t)'pt]
‑H i2αE[itVT‑t(wt)(1+Yr)(R‑rtgt)]
(a‑4)所 得 変 化 の 効 果
寄 一 《H11耐H・?Uxvt
=H11αE[iiT ‑t(w,)(1+各)p,】
‑H }2αE[71で 一,(w)(R一 各qガ)]
(a‑5)利 子 率 変 化 の 効 果
盤 一 一(Hllu回+H1細
二H aE[レT ‑r(wt)(ω 卜 土一plcrφ 駈)(1+rt)P t +レ 千r(wt)P,1
‑H I2αE[Tr..Y'(wt)(wt‑1‑plc,‑ql幻(R一 川,)
‑V ,一一t(wt)q,】}
X35‑3)
(35‑4)
(35‑5)
3.2.2最 適 危 険 資 産 混 合x,に 及 ぼ す 効 果
各 種 パ ラ メ ー ター が 変 化 す る場 合 の 最 適 危 険 資 産 ポ ー トフ ォ リオ 編 成 の 変 化 4渇 に 及 ぼ す 効 果 は,(33)式 を 用 い て 具 体 的 に は 以 ドの よ う に 壽 く こ とが で き
る。 与件 と して 変 化 す る パ ラ メー ター は,消 費 財 価 格 ベ ク トルpr ,危 険 資 産 価 格 ベ ク トルqr,前 期 末 富 残 高2UrI,今 期 末 所 得y,,確 定 利 子 率rtで あ る 。
(b‑1)消 費 財 価 格 変 化 の 効 果
32商 経 論 叢 第37巻 第1号
aX
apt‑一(HllUcpt+肌 μ)
=‑H21αE[レ 字一r(wt)(1+rt)2p￡t‑7チ.,(ω,)(1+rt)L]
+H22αE[四.、(wt)(1+rt)(R一 鎧q,)c,']
(36‑1)
(b・2)危 険 資 産 価 格 変 化 の 効 果 aX
aqf‑一(肌 ・・+肌 ・t)
・=‑H2}αE[yll ‑t(ω,)(1+rf)鮪p麟]
+H22αE[//VT‑t(ω,)(R一 川f)Xr+VT‑r(wt)ISMr,
X36‑2)
(b‑3)前 期 末 富 変 化 の 効 果
∂警 ≒ 一 《H・1u・‑1+H・ ・u…‑1)
=H21αE[四 一,(w,)(1+rt)7vpt]
‑H 22αE[レFタ.r(wt)(1+rt)(U一 川,)]
{36‑3)
(b‑4)所 得 変 化 の 効 果
aXt
ayt‑一(H21u。 ッ汁H22u。y')
=HztaE[..VTt(ω,)(1+rt)Pr]
‑H 22αE[//Vr‑r(wt)(R一 川,)]
(36‑4)
(b‑5)利 子 率 変 化 の 効 果
鱗'一 一(H・酬H・2u・ の
=Hz,aE[yll ‑r(wt)(w、.、frt、‑q'函)(1+rt)Pt
+防.,(wt)Pt]
‑H 22αE[..VT‑r(ω,)(働.ptc,‑q'凶)(R‑7q,)
‑yFチ .,(wt)qt]
(36‑5)
生 涯 消 費 財 と危 険 資 産 混 合 の動 学 分析33
4.単 純 化 の仮 定
4.1単 純 化 の 仮 定 導 入
上 掲 の(35)と(36)式 に お い て,行 列Hl1とHz,の 対 角 要 素 は 負 で あ る が,非 対 角 要 素 の 符 号 は 不 確 定 で あ る。 他 方 で,行 列H1,とH,1の 要 素 の 符 号 は す べ て 不 確 定 で あ る 。 ま た,割 引 率 は 正(α>0)で あ る 。 極 大 生 涯 効 用 の1階 導 関 数 は 正(VT‑t(ω,)>0)で あ り,2階 導 関 数 は 負(昭.,(ω,)<0>で あ る。 確 定 利 子 率 は 正(rt>o)で あ る か ら,累 積 要 因 は 正((1+yt)>o)で あ る。 さ ら に,消 費 財 価 格 ベ ク トル は正(p=>0)で あ り,消 費 ベ ク トル は 非 負(Ct≧0) だ か ら,消 費 支 出 額 行 列 は 非 負(prCr≧0)で あ る と判 る。
しか しな が ら,危 険 資 産 保 有 量 ベ ク トル は 必 ず し も非 負 で は な くf空 売 りの 場 合,そ の 危 険 資 産 の 要 素 ノは 負(xt<0)で あ る 。 よ っ て,空 売 りを 考 慮 す れ ば,危 険 資 産 保 有 ベ ク トル の 構 成 要 素 は,正,ゼ ロa負 を取 り得 る の で,ベ
ク トルXrの 符 号 は … 律 に 確 定 で き な い 。
と こ ろ で,ベ ク トルRl‑rtqrは 危 険 資 産 の 物 理 的 単 位 当 た り収 益 と確 実 資 産 の 利 子 の 開 差 を表 し,狭 義 の 危 険 プ レ ミア ム13)を 表 す が,物 理 的 危 険 資 産 収 益 率 が 確 実 性 資 産 利 子 率 を ド回 る 可能 性 は優 に あ り得 る こ とで あ る。 よ っ て,狭 義 の 危 険 プ レ ミア ムR‑rrqtあ る い は,そ の 期 待 値E[(R,‑rtqt)]‑utrrqtの
符 号 は 不 確 定 で あ る 。 従 っ て,こ の 項 を 含 む 部 分 の 符 号 は 不確 定 で あ る 。 そ れ 故,(35)と(36)式 は,ど れ も符 号 を判 定 す る こ とが で き な い 。
(32)式 の 係 数 行 列 は,そ の 対 角 要 素 が す べ て 負 で あ るが,非 対 角 要 素 の 符 号 は確 定 的 で は な い 。 そ れ 故,要 素 の 符 号 に つ い て,次 の よ う な 単 純 化 の 仮 定 を 設 け る 。
〔単 純 化 の仮 定 〕
(32)式 の係 数 行列 は対 角 行 列 で あ り,主 対 角 要 素 の符 号 は負 で あ るが,非 対 角要 素 は すべ て ゼ ロで あ る。■
34商 経 論 叢 第37巻 第1号
4.2対 角 逆 行 列
上 の 仮 定 は,首 座 小 行 列U.,,U窟 の 対 角 要 素 が す べ て 負 で あ る ・方 で,非 対 角 要 素 が す べ て ゼ ロ で あ る こ と,ま た,非 対 角 小 行 列Uα とU・・が と も に ゼ
ロ 行 列 で あ る こ と を 意 味 す る 。 す る と,首 座 対 角 小 行 列U。 。の 第i対 角 要 素 は,次 式 で 書 か れ,負 で あ る 。 す な わ ち,i=1,2,…nに 対 して,
∂諺 一 ∂讐)+αEか'((1+7)(wt‑prCr)
+(Rt‑rrqr)xr+yt)(1+rr)捌 く ・(37‑1)
ま た,対 角 行 列U双 の 第h対 角 要 素 は 負 で あ る 。 す な わ ち,h=1,2,…,s に 対 し て,
12鶏 一αE諾 γ1'((1+r)(‑P!c')+(H一 剛 脚)
・(R々一Y,gノ,ガ)2]<0(37‑2)
さ ら に,非 対 角 行 列U。 、 とU..の す べ て の 要 素 は ゼ ロ で あ る 。 す な わ ち,'=
1,2,…,nお よ びh=1,2,…,Sに 対 し て,
器 一 一αE毒 γ1‑'((1+y)(wf‑‑P'・)+(』 卿)X+y)
・(1+Yr)ρ 。(R,,一7,σ,1∂‑0(37‑3)
かつ,
∂1畿 一 一 αE備y・'((1+r)(勘1‑P∫c')+(Rr‑rrqr)画)
・(1+rt)(1ぞ ρ一 ア,(7々、)t)、'eO(37‑4)
で あ る。
(32)式 の 係 数 行 列 を(n+S)次 の 対 角 行 列 と仮 定 す る と,そ の 逆 行 列 は や は り (n+S)次 の 対 角 行 列 に な り,そ の 対 角 要 素 は 原 対 角 要 素 の 逆 数 に な る 。 す な わ ち,(33)式 のn次 の 分 割 首 座 小 行 列H。 の 対 角 要 素 η、,(i=1,2,…,n)とs
生 涯消 費 財 と危険 資 産 混 合 の 動 学 分析35
次 の 分 割 首 座 小 行 列H,,の 対 角 要 素 ζ、h(h=1,2,…,S)は,そ れ ぞ れ ,i=
1,2,… ・η に 対 す る(37‑1)式 と,h=1,2,…,∫ に 対 す る(37‑2)式 が 示 す 原 行 列 の 対 角 要 素 の 逆 数 で あ る 。
η"
η 」』O
1112 ..
==η 朋(38)H
21H22 ζII
Oζ 烈
…ζ・
まず,(33)式 右 辺 に 示 す 期 間tの 消 費 ベ ク トル の 変 化do,と 危 険 資 産 混 合 の 変 化4渇 の 各 種 パ ラ メー ター 変 化 に 関 す る 偏 導 関 数 は 具 体 的 に(35)と(36)式 の よ うに 示 され,す べ て の 場 合 に 符 号判 定 が 不 確 定 で あ っ た が ,上 掲 の 単 純 化 の 仮 定 を 採 用 す る と,い くつ か の ケ ー ス で 符 号が 確 定 す る よ う に な る 。
5単 純化 の仮 定 にお け るパ ラ メ0タ ー 変化 の効 果
5.1最 適 消 費 財 束c,に 及 ぼ す 効 果 (c‑1)消 費 財 価 格 変 化 の 効 果
消 費 財 価 格 ベ ク トル の 変 化dptに 関 す る 消 費 財 束 の 需 要 量変 化dorは ,上 の (35‑1)式 で 非 対 角 行 列HI,を ゼ ロ 行 列(H1,=0)と 置 い て 次 の よ う に 書 か れ る 。
1舌1‑Hl1Uμ 一H1・ αEl77'(wl)(1+幅 一 隔)(1甥>L】 〈 ・
(39‑1) こ の(39‑1)式 で,per>oはIHのn次 正 方 行 列 ,L≧0は η 次 単 位 行 列 を 表 す 。 極 大 期 待 効 用 の1階 と2階 の 導 関 数 は そ れ ぞ れIEと 負,VT‑t(ω,)>0,γr7t (wt><0,だ か ら,期 待 値 は 負(E[・]<0)で あ るf,そ れ 故,非IEの 対 角 行 列 Hl1≦0を 考 慮 し て ∂ct∂p,<0と 判 定 で き る 。
こ の 結 果 をn次 正 方 行 列 ∂c,apのG,ノ)要 素 ご と に 示 せ ば ,
36商 経 論 叢i第37巻 第1号
絵 一 η陶 く ・i・ ノ ー1・2・ 一・・η(39‑1')
で あ る。 す る と,f=ブ の 場 合,も し財i自 身 の 価 格ptが 上 昇 す る な ら ば,財a の 消 費 量C,が 減 少 す る か ら,財iは 普 通 財(ordinarygood)14)で あ る と い え る 。 ま た,a≠ ノの 場 合,も し財 」の 価 格p,が ヒ昇 す る な らば,財iの 消 費 量C, は 減 少 す る か ら,財iと 財 ノは 互 い に粗 補 完 財(grosscomplement)15)で あ る と い え る 。 この 結 果 は,異 な る 消 費 財 は 必 ず 代 替 財 で あ る とい う経 済 理 論 の 常 識 に 違 反 す る 。 こ の 矛 盾 は,Hを 対 角 行 列 とす る 先 の 仮 定 に 起 因 す る と思 わ れ る 。
(c‑2)危 険 資 産 価 格 変 化 の 効 果
危 険 資 産 価 格 ベ ク トル の 変 化dqtに 関 す る 消 費 財 束 の 最 適 需 要 量 変 化dct は,次 の よ う な(n,S)型 行 列 に 書 か れ る 。
謡一恥
=‑HllαE【V7 .,(wt)(1+rl)ハpX窪 】<0(39‑2)
(39‑2)式 で,(n,S)型 行 列p垢 を 正 行 列px>0と 仮 定 す れ ば,極 大 期 待 効 用 の2階 の 導 関 数 は 負V先(Wt)<0だ か ら,期 待 値 は 負 の(n,s)型 行 列E
[・]<oに な る 。 そ れ 故,割 引 率 α>oとH,≦oを 考 慮 し てf∂Cr/∂q,〈0, 負 と 判 定 で き る 。 こ の 結 果 を 行 列 の 要 素 ご と に 示 せ ば,
諭 一 一 η ぬ く ・i=1,2,…,n;h=1・2,…,S(39‑2')
で あ る。 す る と,も し危 険 資 産hの 価 格qhrがh昇 す る な ら ば,財iの 消 費 量 6、tは減 少 す る か ら,財iは 危 険 資 産hの 粗 補 完 財 で あ る とい え る 。
(c‑3)前 期 末 富 変 化 の 効 果
前 期 末 富 の 変 化dwtlに 関 す る 消 費 財 束 の 需 要 量 変 化4Qは,次 の よ う に 書 か れ る。 た だ し,u。 。Hは 消 費 財 束 の 限 界 効 用 を前 期 末 富 ωHに 関 して 微 分 し
た2階 偏 微 係 数 の ベ ク トル で あ る 。
銑 一 一H・1腹 鰍 一1
罵H11αE[V//T. .,(ω,)](1+rt)2Pf>0
坐 涯 消 費 財 と危険 資 産 混 合の 動 学 分 析37
(39‑3)
(39‑3>式 で,価 格 ベ ク ト ル は 正 でp,>o,極 大 期 待 効 用 の2階 導 関 数 は 負:
V/IT‑t(ω,)〈0だ か ら,E[γ7.,(ω,)]〈0,期 待 値 は 負 で あ る 。 そ れ 故 ,Hal≦0と α
>0を 考 慮 し て,4c/dwr‑,>oyす な わ ち,こ のn次 ベ ク ト ル は 正 と 判 定 で き る 。 こ の 結 果 を ベ ク ト ル の 要 素 ご と に 示 せ ば 次 の よ う に な る 。
血 一̲
∂211r‑iη ・μ 伽 削
;η 。αE[..V"1'‑t(ω,)](1+鎧)1ρ 、r>0,a瓢1,2,…,冗(39‑3')
(39‑3')式 は,前 期 末 富 ω,.1が 増 加 す る と 最 適 消 費 量c,tが 増 え る こ と を 意 味 し,消 費 財 が 富 に 関 し て 正 常 財(normatgood)1Fi)で あ る こ と を 述 べ て い る 。
(c‑4)所 得 変 化 の 効 果
所 得 変 化dytに 関 す る 消 費 財 束 の 需 要 量 変 化do,は,次 の よ う な ベ ク トル に 書 か れ る。
apt
ayt‑H・ 賑
H aE[V"T‑r(wt)](1+rt)pt>0(39‑4)
L式 で は,(39‑3)式 と 同 様 に,価 格 ベ ク ト ル は 正 でp>0 ,極 大 期 待 効 用 の2 階 導 関 数 は 負:V先(ω,)<0だ か ら,E[//VT'‑t(wt)]<0,こ の 期 待 値 は 負 で あ る 。 そ れ 故,H.t≦0と α>0を 考 慮 し て,∂Cr/∂y>0,す な わ ち,こ のn次 ベ ク
ト ル は 正 と 判 定 で き る 。 こ の 判 定 結 果 を ベ ク ト ル の 要 素 で 示 せ ば 次 の よ う に な る 。 た だ し,ti<0は 負 値 定 符 号 で あ る よ う な,対 角 行 列millのi要 素 で あ る 。
亟̲̲
∂yrη 幽 ・ジ
38商 経 論 叢 第37巻 第1号
「,,αE[T/T/Jlft(ω,)](1切 か,>0,i=1,2,…,n(39‑4')
(39‑4')式 は,所 得ytの 増 加 が 財iの 最 適 消 費 量c。 の 増 加 を も た ら し,消 費 財 が 所 得yrに 関 し て 正 常 財lr")で あ る こ と を 述 べ て い る 。
(c‑5)利 子 率 変 化 の 効 果
確 実 資 産 利 子 率rtが 変 化 す る 場 合 の 最 適 消 費 財 束 に 及 ぼ す 効 果 は,次 の よ う に 表 さ れ る 。
apt ̲ art‑Hll噺
=H}1αE[V//1 ‑r(wt)(ノωご一1‑PfCゴ ーq凶)(1+yt)ptノ
+rV'1't(w)Pt】<U,た だ し,m,≦0(信 用 買 い の 場 合)(39‑5)
こ の(39‑5)式 に つ い て は 特 別 な コ メ ン ト が 必 要 で あ る 。 ま ず,期 待 値E [・]内 で,次 の 項 は(6)式 よ り 確 実 資 産 保 有 額mrに 等 し い 。
ω、r画 一甑 覗r(6')
ま た,項 砂 一r(w,)pt>0は 正 ベ ク ト ル だ か ら,も し 確 実 資 産 保 有 額 が 非IEで wf.1‑p〜Q‑q図=mt≦oな ら ば,W‑r(Wr)<oと(1+カp>0に よ りf上 式 の 期 待 値 は 正 と 確 定 で き,∂Cr'∂ 〆0が 得 ら れ る 。 た だ し,確 実 資 産 保 有 額 が 非 正(Yi2r≦0)で あ る と は 借 入 を 伴 う 信 用 買 い(buyingonmargin)を 意 味 す る 。 信 用 買 い と は,初 期 富 か ら 消 費 額 を 取 り 除 い た 投 資 残 高 に 確 実 資 産(=貨 幣)の 借 入 れ を 加 え て,そ の 全 額 を 危 険 資 産 で 保 有 す る 買 い 長 の 立 場(longposition)
を 指 し て い る1H)。 す な わ ち, wt.1‑P与c「 吻,‑q函>0(6')
す な わ ち,上 式 を 書 き 換 え れ ば,燃 ≧0を 考 慮 し て, ωバPな 。 ≦4(6")
と な り,危 険 資 産 投 資 額q函 が,初 期 富 マ イ ナ ス 消wt.1一 画Gよ り も 大 か 等 し い こ と を 意 味 し て い る 。
'lk涯消 費 財 と危険 資 塵 混 合の動 学 分析39
5.2最 適 危 険 資 産 混 合x、 に 及 ぼ す 効 果
同 様 に,危 険 資 産 保 有 ベ ク トル 軸 とパ ラ メ ー タ ー に 関 す る効 用1./の2次 偏 導 関 数 群 は 具体 的 に は 以 ドに 示 す よ う に な る。 た だ し,確 率 変 数 は 収 益 率 ベ ク
トルRと,そ れ に 伴 う富wtで あ る。 ま た,危 険 資 産 保 有 ベ ク トル 渇 に 関 す る 効 用Uの2次 偏 導 関 数 の 行 列 は,そ の 符 号 が 要 素 ご と に 畏 な る の で,ベ ク ト ル な い し行 列 単 位 で は 符 号 を指 定 で き な い こ と に 注 意 す べ き で あ る。
(d‑1)消 費 財 価 格 変 化 の 効 果
まず,消 費 財 価 格 ベ ク トル の 変 化dptに 関 す る危 険 資 産 保 有 変 化 の ベ ク トル 4難 は,(36‑1)式 で 非 対 角 行 列H,1=0と 置 け ば,次 の(∫,η)型 行 列 で 表 さ れ る 。
諮 一一H幽
=H22αE[四 .r(wt)(RI‑rqt)c〆1(1+rt)(40‑1)
b式 で,危 険 資 産 の 紙 券1枚 当 た り 危 険 資 産 収 益 率 と 確 実 資 産 利 子 率 と の 開 差(危 険 資 産 収 益 の プ レ ミ ア ム)の ベ ク ト ル(R:‑rtgr)19)は,一 一般 に,各 要 素 ご と に 符 号 が 異 な る か ら,ベ ク ト ル 全 体 で 符 号 を 確 定 す る こ と は で き な い 。 し か し,も し 投 資 主 体 が 全 般 に 強 気 でE[y7.,(wz)(R,一 アlq,)c〆1≦0な ら ば,d渇/dpt
≧0に な る 。 こ れ は,消 費 財 価 格 が 上 昇 す る と 危 険 資 産 保 有 が 増 加 す る こ と を 意 味 し,危 険 資 産 は 消 費 財 に 対 し て 全 面 的 に 代 替 財 で あ るD
上 述 の 内 容 を,(S,n)型 行 列4凶/dptの(h,i)要 素 に つ い て 表 せ ば,
axh,
ap=t一 甑 αE[711.,(wt)(翫 仙](1+rt)
(40‑1)
に な る。 も し投 資 主体 が 強 気 な らば,∂xkit'∂ ρ11>0で あ り,弱 気 な ら ば,∂xht /∂ あ く0で あ る 。 す な わ ち,投 資 主 体 が 強 気 な ら ば,危 険 資 産 ぬ は 消 費 財i の 代 替 財 で あ り,投 資 主 体 が 弱 気 な らば,危 険 資 産 ぬ は 消 費 財iの 補 完 財 で あ る と言 え る 。
40商 経 論 叢 第37巻 第1号
(d‑2)危 険 資 産 価 格 変 化 の 効 果
一 般 のt期 に お け る 危 険 資 産 価 格 ベ ク トル の 変 化dqrが 最 適 危 険 資 産 混 合 ベ ク トル の 変 化4】鴨に 及 ぼ す 効 果 はS次 正 方 行 列 で 表 さ れ る 。
器一一 臨
=」猛2αE[VnT ̲r(wt)(Rr‑rtqt)Xt+VT‑t(ω,)IS]rt(40‑2)
上 式 で,右 辺 の 期 待 値 第2項 の 対 角 行 列 は 勝 一t(wt)IS>0で あ る が,第1項 の(R「rtq)Xtの 符 号 は 正 だ か ら{)),//V,.t(wt)<0を 伴 う 期 待 値 の 符 号 は 不 確 定 で あ る 。
も し 第1項 で(R,‑rxq)Xt〈0な ら ば3期 待 値 の 符 号 は 正 に な り,結 果 と し て の 行 列 は 半 正4凶/dqtOと な る が,条 件(R,‑7q,)Xi<0は 多 分 あ り 得 な い の で,4x/dqtの 符 号 は 結 局,不 確 定 で あ る 。
S次 正 方 行 列4渇/dqrの(h,h)要 素 ∂xht/∂ 卯 は 次 の よ う に 書 か れ る 。
絵 ㍉ αE[..VT‑twr)(Rkf‑right)瀦 一副 各)(40‑2ノ)
上 式 は,(Rho‑rq,rt)蜘>0を 当 然 の こ と と 想 定 す る と,符 号 が 不 確 定 で あ る 。
(d‑3)前 期 末 富 変 化 の 効 果
前 期 末 富 の 変 化dwf‑,が 危 険 資 産 保 有 変 化 の ベ ク トル4渇 に 及 ぼ す 効 果 は 次 式 で 表 され る。
dxt
dwt‑,‑Hz211xtwt…
=‑HzzaE[..VT ̲r(wt)(Rピ ー 川f)](1+rt)(40‑3)
も しS種 の 危 険 資 産 す べ て の 危 険 プ レ ミ ア ム が 一 律 に 正,(Rt‑rtq)>0,な
ら ば,4x/4ωH<0と な り,前 期 末 富wt.1が 増 加 す る と 危 険 資 産 保 有 は 減 少 す る か ら,危 険 資 産 は 富 ω 卜,に 関 し て 劣 等 財'L1)で あ る 。
ま た,も し 危 険 資 産 す べ て の 危 険 プ レ ミ ア ム が 一律 に 負,(Rt‑rtqr)〈o,な
生 涯消 費財 と危険 資 産 混 合 の 動 学 分 析41
らば,4渇/dwt‑1>0と な り,前 期 末 富2〃,.1が 増 加 す る と危 険 資 産 保 有 は 増 加 す る か ら,危 険 資 産 は 富 ω,.1に 関 して 正 常 財 で あ る 。
しか る に,本 来,危 険 プ レ ミア ム の 符 号 は銘 柄 別 に 異 な る の で,上 式 を 一 括 す る符 号 判 定 は,む しろ 特 殊 ケ ー ス と な る 。
一般 に
,前 期 末 富 ω卜1の 増 加 が 第 乃 危 険 資 産 の 保 有 量xhtに 及 ぼ す 効 果 は, h=1,2,…,nに 対 して,
卜
棚
冠 畿
=一 ζ勧αE[レ 苧 .,(wt)(Rh,一 各g解)](1+各)(40‑3')
と 書 か れ る 。 ヒ式 で,ζ 〆0,a>0,V..T‑,<0,ハ ≧0を 考 慮 す れ ば,
項(Rゼ 繊,)の 符 号 が 正,ゼ ロ,負 で あ る の に 対 し て ∂ κ、/∂wr.1の 符 号 は 負,ゼ ロ,正 と な る 。
(d‑4)所 得 変 化 の 効 果
危 険 資 産 保 有 ベ ク トルXtに 及 ぼ す 今 期 末 所 得 変 化dytの 効 果 は,(36‑4)式 か ら次 の よ う に 表 され る 。
dyr=̲Hz2uXyr
=‑H22αE[V"T ‑r(wt)(R,一 角q,)](40‑4)
前 期 末 富 と 同 様 に,も しS種 の 危 険 資 産 す べ て の 危 険 プ レ ミ ア ム が … 律 に 正, R一 アlq,>0,な ら ば,dxr/dyt<0と な り1今 期 所 得 が 増 加 す る と 危 険 資 産 保 有
は 減 少 す る か ら,危 険 資 産 は 劣 等 財 で あ る と い え る 。 ま た,も し 危 険 資 産 す べ て の 危 険 プ レ ミ ア ム が 一一律 に 負,Rf‑rtgt<0,な ら ば,dx,/dye>oと な り,今 期 所 得 が 増 加 す る と 危 険 資 産 保 有 は 増 加 す る か ら,危 険 資 産 は 正 常 財 で あ る と い え る 。
し か る に,危 険 プ レ ミ ア ム の 符 号 が 銘 柄 別 に 異 な る と い う 見 地 に 立 て ば,上 式 の ベ ク ト ル で …括 す る 符 号 判 定 は 特 殊 と な る 。
… 般 に
,今 期 所 得yrの 増 加 が 第h危 険 資 産 保xhrに 及 ぼ す 効 果 は,ぬ=
42商 経 論 叢 第37巻 第1号
1,2,… 誕 に 対 し て,
舞 一一 蜘
=一 ζ航αE[rrVT ‑f(wt)(」Rht‑rght)](40‑4')
と 書 か れ る 。.r̲式 で,ζ 、、〈0,α>0,γ 先 く0を 考 慮 す れ ば,項1〜 ゼ γ晦 の 符raFj がIE,ゼ ロ,負 で あ る の に 応 じ て,∂xhr∂yの 符 写 は 負,ゼ ロ,正 と 変 わ る 。
(d‑5)利 子率 変 化 の 効 果
最 後 に,確 実 資 産 利 了・率 の 変 化 伽 が 最 適 危 険 資 産 混 合 に 及 ぼ す 効 果 は,次 の よ う に表 さ れ る。
弩 一H・・煽
=‑H22αE[77 ‑r(wt)(wt‐ptct‑qりx,)(R,一 川,)一 レ「T‑t(wt)q,]〈0(40‑5)
こ の(40‑5)式 に つ い て,期 待 値E[・]内 の 第1項 でiiV,一̲r(ω,)〈0か つ 第2項 勝,,(wr)qt>oは 正 ベ ク ト ル だ か ら,も し(ω,ri‑prct‑gtxt)(R「rtq,)>0な ら ば,∂xノ ∂ 箔〈oで あ り,も し(w‑r画crq'凶 〉(R,‑rqt)<oな ら ば,∂ 藻/∂ η の 符 号 は 不 確 定 で あ る 。
さ ら に,危 険 資 産 混 合 ベ ク ト ル の 第h要 素xjを 採 り ト げ れ ば,確 定 利 子 率 r:の 変 化 が 及 ぼ す 効 果 は 次 の よ う に 書 か れ る 。
静 一 ζ 曲
=一 ζ励αELy乳f(wt)(wt ‑/‑p〜c,‑q函)(Rhｺ一right)一 レ呼一、(wt)(初](40ノ ー5) h式 右 辺 の 期 待 値 第2項 の レr科(wz)>0と 危 険 資 産 価 格 卯>0の 積 はil三 Vチ.t(ω,)伽>0だ か ら,確 実 資 産 保 有 額 と 危 険 資 産 収 益 プ レ ミ ア ム の 積 が 正
(wt‑1一 画q‑q函)(1〜 片、一 ア4、,)>0な ら ば,2次 導 関 数 レFll‑r(w,)〈0,α>0お よ び ζ肋く0に よ り,∂ 堀 ∂rt<0が 得 ら れ る 。 す な わ ち,確 定 利r率 各 がL昇 す る と,危 険 資 産hの 保 有 は 減 少 す る か ら,危 険 資 産 と 確 実 資 産 は,い わ ゆ る 粗 代 替 財 で あ る)J)。
生 涯消 費 財 と危険 資 産 混 合 の 動 学 分 析43
ま た,も し(ノ働1{PfC'‑q凶)(Rバ7峨,)<oなノ ら ば,期 待 値 内 部 の 符 号 が 不 確 定 に な る か ら,∂xht/∂ 各の 符 号 も不 確 定 で あ る 。 しか し,ヒ の 負 符 号 に つ い て,
(a)も しmi>0か つ1〜、,‑74、,<0な らば,確 実 資 産 利 子 収 入 の 方 が 危 険 資 産 収 益 よ り も 大 き く,現 物 投 資 の 場 合 と危 険 資 産 空 売 りの 場 合 を 意 味 す る 。 こ れ は,い わ ゆ る流 動 性 選 好 の ケ ー ス で あ る 。
(b)も しmt<0か つ1〜ゼ7峨,>0な らば,危 険 資 産 収 益 の 方 が 確 実 資 産 利 チ収 入 よ り も 大 き く,確 実 資 産 を 借 り入 れ て 危 険 資 産 を よ り多 く保 有 す る 危 険 資 産 の 信 用 買 い の 場 合 を 指 すc,
付[7す れ ば,正 の 積(wrrp〜crq函)(.Rゼ74ん,)>oは 確 実 資 産 保 有m,と 危 険 プ レ ミア ム(1〜'バーrtgh,)が 同 符 号 で あ る こ と を意 味 す る、,それ ゆ え,
(c)も し 両 者 がIKな ら ば,R,,,‑right>0は 危 険 資 産 収 益 の 方 が 確 実 資 産 利 子収 入 よ り も大 で あ る こ と を 表 す か ら,投 資 主 体 は 危 険 資 産 保 有 を 選 好 す る で あ ろ う。 しか し,mt>0は 現 物 投 資 と 空 売 り を 意 味 す る か ら丁 空 売 り を 排 除 す れ ば,現 物 投 資 の 領 域2〃日 〉燃>0が 妥 当す る で あ ろ う。
(d)も し両 者 が 負 な ら ば,Rゼ7峨,<0は 確 実 資 産 利 子 収 人 の 方 が 危 険 資 産 収 益 よ り も 大 で あ る こ と を 表 す か ら,投 資 主 体 は 確 実 資 産 保 有 を 選 好 す る で あ ろ
うC,同 時 に,負 の確 実 資 産wtr画crq函=吻 くoは, w1ド ーP与c,<q函(41)
を 意 味 す る か ら,確 実 資 産 を借 り入 れ て,自 己 投 資 残 高7.Or‐prcr以 上二に 危 険 資 産 を保 有 す る こ と を 意 味 す る。 従 っ て,両 者 が 負 で あ る ケ ー ス(d)は 矛 盾 を 伴 うV
[注 ユ
1>危 険 資 産(riskyasset)と し て,株 式(stocks)b債 券(bonds)を 考 え れ ば よ い 。 こ れ ら は 証 券(securities)と し て ・括 さ れ,ll∫ 場 で 取 り 引 き さ れ る の で 市 場 性 を 持 ち}そ れ 故,資 本 利 得 縛=qf‑q,を 発 生 す る 、,株 式 は 配 当(dividends)d,を 産 み,債 券 は 確 定 利rを 生 む が,と も に 市 場 性(marketability)が あ る の で,こ こ で は 危 険 資 産 と し て ま と め,債 券 の 収 益 も 配 当 に 含 め る 。 よ っ て,危 険 資 産 収 益 は
44商 経 論 叢 第37巻 第1琴
資 本 利 得 と 配 当 の 和s+d,と 定 義 さ れ る 。
2)確 実 資 産(risklessasset)は,市 場 性 が な く,従 っ て,そ の 収 益 が 確 率 変 数 で は な い 金 融 資 産 を い うn例 え ば,現 金,預 金 類 で あ る 。 確 実 資 産 の 収 益 率 は 確 定 利
子 率 η で あ る 。
3)第1期(3)式 のq+r,)(ω 。‑pl'cl)+(R、‑r,q,)x,+yl‑w1は,賦 存 富 か ら 消 費 支 出 を 差 し 引 い た 残 高(勧 一p,'CI)を 確 実 資 産 に 投 資 し て 運 用 し た 場 合,元 利 合 計 がq+71)(ω 、‑P〆Cl)と な り,こ れ を 危 険 資 産 と 確 実 資 産 の 投 資 収 益 格 差(R,‑r, q1>'x、 で 修 【Eす る 形 式 に な っ て い る 。(7)式 の 般 の 第t期 に つ い て も 同 様 で あ
る 、,
4)多 期 間 の 効 用 関 数u(c,,C?,…,cl,…,CT)を 各 期 に つ い て 分 離 し て 表 現 す る 形 式u(c,)+au(C2)+…+à一'u(C,)+…+α71MCT)を 分 離 効 用 関 数 と い う 。aは 将 来 に 対 す る 割 引 率 で あ る 。
5)連 続 な 確 率 変 数 κ の 期 待 値 はE[x]=μ と 表 さ れ る 。 期 待 値 は'F均 値(mean value)と も い い,確 率 分 布 ノ の 加 重 平 均 を 意 味 す る 。 確 率 変 数xの 分 布 を 表 す 関
数f{x)を 確 轄 度 関 数 と い い,xの 期 待 値 はE[xユ 」ulxffix)dxと 臓 さ れ る ・ 6)制 約 条 件 付 き 極 値 問 題 はLagrange未 定 乗 数 法 に よ り解 か れ る 。xを 変 数 の ベ ク ト
ル と す る 。Lagrange未 定 乗 数 法 は,目 的 関 数f(x)を 陰 関 数 形 式 の 制 約 条 件g(x) Uの ドで 極 大 あ る い は 極 小 に す る 解x*を 求 め る 。Lagrange関 数A=f(x)一 λg(x) を 設 け る 。 λ はLagrange未 定 乗 数 と 呼 ば れ る 。 極 値 化 の1階 条 件 は 変 数xお よ び ラ グ ラ ン ジ ュ 未 定 乗 数 λ に 関 す る 偏 導 関 数 が ゼ ロ に 等 し い こ と で あ る 。
[繍1一
砺/∂x一 λ∂9/∂x g(X}
0 0
2階 条 件 は,点x"で,(dx)'(∂g∬ ∂x)=oを 満
足 す る 非 ゼ ・ の ベ ク ト ルdx≠ ・ に 対 し て2次 形 式(dx)'aX(dx)が 負f直艦 な ら ば 極 大,正 値 定 符 号 な ら ば 極 小 で あ る 。 負 値 定 符 号 に つ い て は 注7を 参 照 せ
よ。
7)項Rバ η伽 は 危 険 資 産hの 物 理 的 単 位 当 た り収 益 と 同 額 の 確 実 資 産 利 子 と の 開 差 を 表 す 。 す な わ ち,危 険 資 産1単 位(1株)に 対 す る 投 資 資 金 伽 を 危 険 資 産 に 投 資 し た 場 合 の 収 益Rhtと,確 実 資 産 にQhtを 投 資 し た 場 合 の 利 壬 収 入 超 ぬ,との 開 差 で あ る 。Rhtの 期 待 値 μゼ ηのtは,狭 義 の 危 険 プ レ ミ ア ム と い わ れ る 。 も し μゼ 鱒 海,>0な ら ば,危 険 資 産 投 資 は 確 実 資 産 保 有 よ り も期 待 収 益 が 大 き く,も し μ海,一 瑠 〆0な ら ば,確 実 資 産 利r収 入 の 方 が 危 険 資 産 の 期 待 収 益 よ り も 大 と な る 。 8)も しx≠0に 対 す る2次 形 式 の 値 が 負 で,x'Ax<0な ら ば,2次 形 式x'Axま た は
行 列Aを 負 値 定 符 号 で あ る と い う 。 も しx'Ax>0な ら ば,】1{値 定 符 号 で あ る と い
