ランダムな自己共役作用素の固有値分布の極限（九州大学集中講義）

(1)

ランダムな自己共役作用素の固有値分布の極限

（九州大学集中講義）

小谷眞一

関西学院大学理工学部

2012

^年

11

^月

12-16

^日

1 ^序

自己共役作用素の体表的なものとして

•

^{エルミート行列}

A =



 

 

a

11

a

12

· · · a

1n−1

a

1n

a

12

a

22

· · · a

2n−1

a

2n

... ... ... ... ...

a

1n−1

a

2n−1

· · · a

n−1n−1

a

n−1n

a

1n

a

2n

· · · a

n−1n

a

nn



 

  , a

ij

= a

ji

∈ C, (a

ii

∈ R)

• Jacobi

^行列（

tridiagonal

^行列）

J =



 

 

a

₁

b

₁

0 0 · · · 0 0

b

₁

a

₂

b

₂

0 · · · 0 0 0 b

₂

a

₃

b

₃

· · · 0 0 ... ... ... ... ... ... ...

0 0 · · · b

_n−3

a

_n−2

b

_n−2

0 0 0 · · · 0 b

_n−2

a

_n−1

b

_n−1

0 0 · · · 0 0 b

_n−1

a

_n



 

 

, a

_i

∈ R, b

_i

> 0

• Schr¨odinger

^作用素

−∆ + V (x) , ∆ = ∂

²

∂x

²₁

+ ∂

²

∂x

²₂

+ · · · + ∂

²

∂x

²_d ^（

Laplacian

^）

がある。それぞれに固有値・スペクトルが定義され、種々の現象を解析する上で重要な量になっている。これらの自己共役作用素の成分・係数に適当な仮定をすれば、固有値・スペクトルの性質を導出することは可能である。一方、主に物理的な観点から、これらの成分・係数がランダムな場合の固有値・スペクトルの性質を求めることが要求されるようになった。そして、近年、多くの結果が発表されている。これらの３つの作用素は一見無関係の作用素のように見えるが、結果自身は密接に関係しているように見える。その辺の事情がこの授業で説明できればと考えている。

(2)

2 ^{ランダム行列}

この章では

n

次のランダムな実対称行列の固有値分布密度の計算、および

Jacobi

行列との関係を説明する。

2.1

実対称行列のパラメータ表示と体積要素

A

を

n

次の実対称行列とすると

A =

^t

OΛO (1)

と分解できる。ここで

O

^{は直交行列で、}

Λ

^{は実対角行列である。}

O

^{の各列ベクトルは}

A

^{の固有ベクトルなの} で、適当に符号を変えることにより

det O = 1

とできる。

O = (u

ij

) , Λ = (λ

i

δ

ij

)

とすると

a

ij

= ∑

k,l

u

ki

λ

k

δ

kl

u

lj

= ∑

k

u

ki

u

kj

λ

k

この表示は１対１ではないので、実対称行列全体の空間での大域的な座標を与えてはいないが、すべて異なる固有値のみをもつ部分集合で考えると局所的には座標を与えている。ここでは固有値が重複するようなことは確率

0

の場合しか扱わないので固有値はすべて異なるとしてよい。そこで

(1)

を実対称行列のパラメータ表示と考え

Jacobian

を計算する。そのために

ω = ∧

i≤j

da

_ij

とおく。これは、たとえば

n = 3

^の場合

∧

i≤j

da

ij

= da

11

da

12

da

13

da

22

da

23

da

33

を意味する。

da

_ij

= ∑

k

u

_kj

λ

_k

du

_ki

+ ∑

k

u

_ki

λ

_k

du

_kj

+ ∑

k

u

_ki

u

_kj

dλ

_k

であるので

∑

i,j

u

_pi

u

_qj

da

_ij

= ∑

i,j,k

u

_pi

u

_kj

λ

_k

u

_qj

du

_ki

+ ∑

i,j,k

u

_pi

u

_ki

λ

_k

u

_qj

du

_kj

+ ∑

i,j,k

u

_pi

u

_ki

u

_kj

u

_qj

dλ

_k

= λ

_q

∑

i

u

_pi

du

_qi

+ λ

_p

∑

j

u

_qj

du

_pj

+ δ

_pq

dλ

_p

となる。ここで

∑

i

u

pi

u

qi

= δ

pq

⇒ ∑

i

u

pi

du

qi

+ ∑

i

u

qi

du

pi

= 0

に注意すると

∑

i,j

u

pi

u

qj

da

ij

= (λ

q

− λ

p

) ω

pq

+ δ

pq

dλ

p

となる。ただし

ω

pq

= ∑

i

u

pi

du

qi

(= −ω

qp

)

(3)

とした。一方

∧

p≤q



 ∑

i,j

u

_pi

u

_qj

da

_ij



 = (det O)

²

∧

i≤j

da

_ij

= ω (2)

より

ω = ∧

p≤q

((λ

q

− λ

p

) ω

pq

+ δ

pq

dλ

p

)

= ( ∏

p<q

(λ

_q

− λ

_p

) ) ( ∧

p

dλ

_p

) ( ∧

p<q

ω

_pq

)

ここで

∆ (λ) = ∏

p<q

(λ

q

− λ

p

)

とおくと

補題

1 n

^{次実対称行列}

A

^{のパラメータ表示}

(1)

^{に対して、}

SO (n)

^{の体積要素を}

Ω

とすると、その体積要素は

|∆ (λ)| ∏

p

dλ

_p

Ω

となる。

記事

1 (2)

を

n = 2

のときに確認しておく。

∧

p≤q



 ∑

i,j

u

_pi

u

_qj

da

_ij





= ∧

p≤q

(u

p1

u

q1

da

11

+ (u

p1

u

q2

+ u

p2

u

q1

) da

12

+ u

p2

u

q2

da

22

)

= u

₁₁

u

₁₁

(u

₁₁

u

₂₂

+ u

₁₂

u

₂₁

) u

₂₂

u

₂₂

− u

₁₁

u

₁₁

u

₁₂

u

₂₂

(u

₂₁

u

₂₂

+ u

₂₂

u

₂₁

)

− (u

11

u

12

+ u

12

u

11

) u

11

u

21

u

22

u

22

+ (u

11

u

12

+ u

12

u

11

) u

12

u

22

u

21

u

21

+ u

₁₂

u

₁₂

u

₁₁

u

₂₁

(u

₂₁

u

₂₂

+ u

₂₂

u

₂₁

) − u

₁₂

u

₁₂

(u

₁₁

u

₂₂

+ u

₁₂

u

₂₁

) u

₂₁

u

₂₁ であり、

O

が直交行列であることより

u

₁₁

u

₁₁

(u

₁₁

u

₂₂

+ u

₁₂

u

₂₁

) u

₂₂

u

₂₂

− u

₁₁

u

₁₁

u

₁₂

u

₂₂

(u

₂₁

u

₂₂

+ u

₂₂

u

₂₁

)

= u

₁₁

u

₁₁

u

₂₂

u

₂₂

(u

₁₁

u

₂₂

− u

₂₁

u

₁₂

) = u

²₁₁

u

²₂₂

(u

11

u

12

+ u

12

u

11

) u

11

u

21

u

22

u

22

− (u

11

u

12

+ u

12

u

11

) u

12

u

22

u

21

u

21

= 2u

₂₁

u

₂₂

(u

₁₁

u

₂₂

− u

₁₂

u

₂₁

) u

₁₁

u

₁₂

= 2u

₂₁

u

₂₂

u

₁₁

u

₁₂

u

₁₂

u

₁₂

u

₁₁

u

₂₁

(u

₂₁

u

₂₂

+ u

₂₂

u

₂₁

) − u

₁₂

u

₁₂

(u

₁₁

u

₂₂

+ u

₁₂

u

₂₁

) u

₂₁

u

₂₁

= u

₁₂

u

₁₂

u

₂₁

u

₂₁

(u

₂₂

u

₁₁

− u

₁₂

u

₂₁

) = u

²₁₂

u

²₂₁ となり

u

²₁₁

u

²₂₂

− 2u

₂₁

u

₂₂

u

₁₁

u

₁₂

+ u

²₁₂

u

²₂₁

= (u

₁₁

u

₂₂

− u

₁₂

u

₂₁

)

²

= 1

を得る。

(4)

2.2

^{実対称行列の}

Jacobi

^行列化

A

を

n

次実対称行列とする。

a

₁

= a

₁₁とおき

A =

( a

1 t

x x B

)

とする。

u = x − ∥x∥ e

₁^{に関する反射写像を}

−H

^（

n − 1

^{次直交行列）とすると}

H y = y − 2 (y, u)

∥u∥

²

u, H u = −u

なので

∥u∥

²

= 2 ∥x∥ (∥x∥ − x

₁

)

より

H x = Hu + ∥x∥ H e

1

= −u + ∥x∥ e

1

− 2 ∥x∥ u

1

∥u∥

²

u = ∥x∥ e

1

となる。この

H

^により

( 1 0

0

^t

H

) ( a

₁ ^t

x x B

) ( 1 0 0 H

)

=

( a

₁

b

₁^t

e

₁

b

₁

e

₁ ^t

HBH

)

, b

₁

= ∥x∥

となる。ここで^t

HBH

^は

n − 1

次の対称行列である。この操作を

tridiagonalization

^{と名付ける。この}

tridiagonalization

^を^t

HBH

に適用すると、さらに次数が下がっていき、最終的には

t

OAO =



 

 

a

₁

b

₁

0 0 · · · 0 b

₁

a

₂

b

₂

0 · · · 0 0 b

₂

a

₃

b

₃

· · · 0 ... ... ... ... · · · ...

0 0 · · · b

_n−2

a

_n−1

b

_n−1

0 0 · · · 0 b

n−1

a

n



 

 

= J

となり、直交行列

O

^により

A

^は

Jacobi

^{行列に変換される。}

A

^と

J

^{の固有値は一致する。}

2.3 Jacobi

行列のパラメータ表示

Jacobi

^{行列}

J

^{の対角成分}

diagJ = (

a

₁

, a

₂

, · · · , a

¹_n

)

からできるベクトルを

a

とし、非対角成分

(b

₁

, b

₂

, · · · , b

_n−1

)

^{からできるベクトルを}

b

^{とすると、}

Jacobi

^行列

J

^は

{a, b}

^{でできている。}

J

^{は実対称行列} なので直交行列

Q

により対角化可能である。

J = QΛ

^t

Q (3)

そこで

λ = diagΛ, Q = ( q

∗ )

q

^は

Q

^{の第１行ベクトル} とおくと

補題

2 {q, λ}

^がある

Jacobi

^行列

J

に対応しているための必要十分条件は

（

J

^）

{

q, qΛ, qΛ

²

, · · · , qΛ

ⁿ⁻¹

}

は一次独立となる。

このとき、

J

^および

Q

^は

{q, λ}

^{より一意的に定まる。}

(5)

証明

. {q, λ}

がある

Jacobi

行列

J

に対応しているとする。直交行列

Q

の第

i

行ベクトルを

q

_i（

q

₁

= q)

とすると

(3)

^は



 

 

 

 

a

1

q

₁

+ b

1

q

₂

= q

₁

Λ b

1

q

₁

+ a

2

q

₂

+ b

2

q

₃

= q

₂

Λ

b

n−2

q

_n−2

+ a

n−1

q

_n−1

... + b

n−1

q

_n

= q

_n−1

Λ b

n−1

q

_n−1

+ a

n

q

_n

= q

_n

Λ

となっている。したがって

{

q, qΛ, qΛ

²

, · · · , qΛ

ⁿ⁻¹

}

を基底

{q

₁

, q

₂

, · · · , q

_n

}

^{で表現すると}

qΛ

^k−1

= ∑

^k

i=1

c

_ki

q

_i

, k = 1, 2, · · · , n

と三角型になり、特に

c

kk

= b

1

b

2

· · · b

k−1

> 0, k ≥ 2, c

11

= 1

となるので、

{

q, qΛ, qΛ

²

, · · · , qΛ

ⁿ⁻¹

}

は一次独立になる。逆に

{

q, qΛ, qΛ

²

, · · · , qΛ

ⁿ⁻¹

}

が一次独立とする。正規直交系

{q

₁

, q

₂

, · · · , q

_n

}

^を

q

₁

= q, q

_k

= q

_k−1

Λ − ∑

_k−1

j=1

( q

_k−1

Λ, q

_j

) q

_j

°° °q

_k−1

Λ − ∑

_k−1

j=1

( q

_k−1

Λ, q

_j

)

q

_j

°° ° , k ≥ 2

と定める。

{

q, qΛ, qΛ

²

, · · · , qΛ

ⁿ⁻¹

}

が一次独立であることより、

q

_k−1

Λ ̸= ∑

_k−1

j=1

( q

_k−1

Λ, q

_j

)

q

_j ^であることが帰納的に示せる。したがって

q

_kはすべての

1 ≤ k ≤ n

に対して定義可能である。そこで

a

_k

= (q

_k

Λ, q

_k

) , b

_k

=

°° °°

°° q

_k

Λ − ∑

^k

j=1

( q

_k

Λ, q

_j

) q

_j

°° °°

°°

とおく。まず

a

1

q

₁

+ b

1

q

₂

= q

₁

Λ

となる。さらに

(q

₂

Λ, q

₁

) = (q

₂

, q

₁

Λ) = b

1

より

b

2

q

₃

= q

₂

Λ −

∑

2 j=1

( q

₂

Λ, q

_j

)

q

_j

= q

₂

Λ − b

1

q

₁

− a

2

q

₂

つまり

q

₂

Λ = b

₁

q

₁

+ a

₂

q

₂

+ b

₂

q

₃ を得る。

k < n

に対して

b

_j−1

q

_j−1

+ a

_j

q

_j

+ b

_j

q

_j+1

= q

_j

Λ, 1 ≤ ∀j ≤ k − 1

^（ただし

b

₀

= 0

^とする）

となっているとすると

∑

k

(

q

_k

Λ, q

_j

)

q

_j

= a

k

q

_k

+

^k−1

∑ (

q

_k

, q

_j

Λ )

q

_j

(6)

において

q

_j

Λ

と

q

_kの内積で残る項は

j = k − 1

のときのみである。つまり

∑

k j=1

( q

_k

Λ, q

_j

)

q

_j

= a

k

q

_k

+ b

k−1

q

_k−1

となり

b

k

q

_k+1

= q

_k

Λ − a

k

q

_k

− b

k−1

q

_k−1

⇒ q

_k

Λ = a

k

q

_k

+ b

k−1

q

_k−1

+ b

k

q

_k+1 が分かる。最後に、

q

_n

Λ

^{は正規直交系}

{q

₁

, q

₂

, · · · , q

_n

}

の一次結合で表わされるので

q

_n

Λ =

∑

n j=1

( q

_n

Λ, q

_j

)

q

_j

= a

n

q

_n

+ b

n−1

q

_n−1

となる。

{q, λ}

^から

J

^{が構成できることは、}

{q

₁

, q

₂

, · · · , q

_n

}

^が

{

q, qΛ, qΛ

²

, · · · , qΛ

ⁿ⁻¹

}

から決まることより分かる。

条件（

J

）は次のように簡単化できる。

補題

3

^対角行列

Λ

^{と行ベクトル}

q

^{に対して条件（}

J

^{）は次と同値である。}

diagΛ = (λ

1

, λ

2

, · · · , λ

n

) , q = (q

1

, q

2

, · · · , q

n

)

とするとき

q

i

̸= 0, 1 ≤ ∀i ≤ n λ

i

̸= λ

j

, 1 ≤ ∀i ̸= j ≤ n (4)

証明

.

^等式

qΛ

^k

= (

λ

^k₁

q

1

, λ

^k₂

q

2

, · · · , λ

^k_n

q

n

)

より

( q

^t

, (qΛ)

^t

, · · · , (

qΛ

ⁿ⁻¹

)

_t

)

=



 

 

q

1

q

2

· · · q

n−1

q

n

λ

1

q

1

λ

2

q

2

· · · λ

n−1

q

n−1

λ

n

q

n

... ... ... ... ...

λ

₁ⁿ⁻²

q

₁

λ

ⁿ⁻²₂

q

₂

· · · λ

ⁿ⁻²_n−1

q

_n−1

λ

ⁿ⁻²_n

q

_n

λ

ⁿ⁻¹₁

q

1

λ

ⁿ⁻¹₂

q

2

· · · λ

ⁿ⁻¹_n−1

q

n−1

λ

ⁿ⁻¹_n

q

n



 

 

となる。したがって

det (

q

^t

, (qΛ)

^t

, · · · , (

qΛ

ⁿ⁻¹

)

_t

)

= q

1

q

2

· · · q

n

∏

i<j

(λ

i

− λ

j

)

より結論を得る。

補題

2

、補題

3

より

Jacobi

行列

J

の固有値はすべて異なるので、固有ベクトル空間は１次元である。一方、

J

を対角化する直交行列の列ベクトルは

J

の固有ベクトルであるので、列ベクトルは符号の自由度のみをもつ。

補題

3

より第１行ベクトルの成分はすべて

0

ではないので、すべて正にとれる。また固有値

{λ

₁

, λ

₂

, · · · , λ

_n

}

を増大順

λ

1

< λ

2

< · · · < λ

n

に並べると、

Q

の列ベクトルの順序が決まる。以上をまとめると

S = {{q, λ} ; ∥q∥ = 1

^{で成分はすべて正、}

λ

^の成分は

λ

1

< λ

2

< · · · < λ

n

}

とおくと次の定理を得る。

(7)

定理

1 Jacobi

行列

J

と

{q, λ} ∈ S

は１対１に対応する。

ここで

q

の表示について注意しておく。そのために漸化式

b

k−1

u

k−1

+ a

k

u

k

+ b

k

u

k+1

= λu

k

, 2 ≤ k ≤ n − 1 (5)

を考える。

u

₁

= 1, u

₂

=

^λ−a_b₁¹ とした解を

{p

_k

(λ)}

ⁿ₁ とすると、

λ

が

J

の固有値であることは

λ

が

b

_n−1

p

_n−1

(λ) + a

_n

p

_n

(λ) = λp

_n

(λ)

を満たすことと同値である。そこで

1 ≤ k ≤ n

^に対して

{ q

1

(λ) = b

1

p

2

(λ) = λ − a

1

q

k

(λ) = (λ − a

k

) p

k

(λ) − b

k−1

p

k−1

(λ) , 2 ≤ k ≤ n (6)

とおく。

q

k

(λ)

^の根は

Jacobi

^行列

J

^を上から

k

^行

k

^{列で切った}

Jacobi

行列の固有値なのですべての根は実数であり、補題

3

よりすべて異なることが分かる。

(5)

より、

1 ≤ k ≤ n − 1

では

q

_k

(λ) = b

_k

p

_k+1

(λ) (7)

が成り立つ。

補題

4 1 ≤ i ≤ n

に対して次が成り立つ。

q

_i²

= 1

p

n

(λ

i

) q

^′_n

(λ

i

) (8)

証明

. b

0

= 0

^{とおくと、}

(5)

^より

(λ − µ)

n−1

∑

k=1

p

k

(λ) p

k

(µ) =

n−1

∑

k=1

(b

k−1

p

k−1

(λ) + a

k

p

k

(λ) + b

k

p

k+1

(λ)) p

k

(µ)

−

ⁿ⁻¹

∑

k=1

(b

_k−1

p

_k−1

(µ) + a

_k

p

_k

(µ) + b

_k

p

_k+1

(µ)) p

_k

(λ)

= b

n−1

(p

n

(λ) p

n−1

(µ) − p

n

(µ) p

n−1

(λ))

= b

n−1

((p

n

(λ) − p

n

(µ)) p

n−1

(µ) − p

n

(µ) (p

n−1

(λ) − p

n−1

(µ)))

となる。したがって

λ − µ

^{で両辺を割り、}

µ → λ

^とすると

b

n−1

(

p

^′_n

(λ) p

n−1

(λ) − p

n

(λ) p

^′_n−1

(λ) )

=

n−1

∑

k=1

p

k

(λ)

² となり、

b

_n−1

p

_n−1

(λ

_i

) + a

_n

p

_n

(λ

_i

) = λ

_i

p

_n

(λ

_i

)

より

∑

n k=1

p

_k

(λ

_i

)

²

= b

_n−1

(

p

^′_n

(λ

_i

) p

_n−1

(λ

_i

) − p

_n

(λ

_i

) p

^′_n−1

(λ

_i

) )

+ p

_n

(λ

_i

)

²

= p

^′_n

(λ

i

) (λ

i

− a

n

) p

n

(λ

i

) − b

n−1

p

n

(λ

i

) p

^′_n−1

(λ

i

) + p

n

(λ

i

)

²

= p

n

(λ

i

) (

p

^′_n

(λ

i

) (λ

i

− a

n

) − b

n−1

p

^′_n−1

(λ

i

) + p

n

(λ

i

) )

= p

n

(λ

i

) q

_n^′

(λ

i

) (9)

を得る。一方、

J

^の固有値

λ

_iに対応する固有ベクトルは

(p (λ ) , p (λ ) , · · · , p (λ ))

(8)

なので、

λ

₁

< λ

₂

< · · · < λ

_nと順序づけておくと

q

_i²

= 1

∑

_n

k=1

p

_k

(λ

_i

)

² となるので、

(9)

^{より結論が出る}

最後に

∆ (λ)

の表示を注意しておく。

補題

5 λ

1

< λ

2

< · · · < λ

nと順序づけておくと、次の等式が成り立つ。

∆ (λ) = ∏

i<j

(λ

_j

− λ

_i

) =

∏

1≤i≤n−1

b

ⁿ⁻ⁱ_i

q

₁

q

₂

· · · q

_n

(10)

証明

. k

^次多項式

q

k

(λ)

^{の最高次の係数は}

(b

1

b

2

· · · b

k−1

)

⁻¹^なので

f

_k

(λ) = b

₁

b

₂

· · · b

_k−1

q

_k

(λ)

とおくと

f

k

(λ) =

∏

k i=1

( λ − λ

^(k)_i

)

であり、したがって

¯¯ ¯¯

∏

1≤i≤k 1≤j≤k−1

( λ

^(k)_i

− λ

^(k−1)_j

) ¯¯

¯¯ ¯¯

¯¯ =

¯¯ ¯¯

¯¯ ∏

1≤i≤k

f

_k−1

( λ

^(k)_i

) ¯¯

¯¯ ¯¯ =

¯¯ ¯¯

¯¯ ∏

1≤j≤k−1

f

_k

(

λ

^(k−1)_j

) ¯¯

¯¯ ¯¯ (11)

が分かる。一方、

(5),(6)

^より

{q

k

(λ)}

ⁿ⁻¹₂ ^は

b

k

q

k+1

(λ) = (λ − a

k+1

) q

k

(λ) − b

²_k

b

_k−1

q

k−1

(λ) (12)

を満たすので、

q

k

( λ

^(k)_i

)

= 0

^より

q

_k+1

( λ

^(k)_i

)

= − b

_k

b

k−1

q

_k−1

( λ

^(k)_i

)

となり、これは

f

_k+1

( λ

^(k)_i

)

= −b

²_k

f

_k−1

( λ

^(k)_i

)

= ⇒

¯¯ ¯¯

¯¯

∏

1≤i≤k

f

_k+1

( λ

^(k)_i

) ¯¯

¯¯ ¯¯ = b

^2k_k

∏

1≤i≤k

f

_k−1

( λ

^(k)_i

)

を意味する。したがって等式

(11)

^より

¯¯ ¯¯

¯¯

∏

1≤i≤n−1

f

n

( λ

⁽ⁿ⁻¹⁾_i

) ¯¯

¯¯ ¯¯ = b

²⁽ⁿ⁻¹⁾_n−1

¯¯ ¯¯

¯¯

∏

1≤i≤n−1

f

n−2

( λ

⁽ⁿ⁻¹⁾_i

) ¯¯

¯¯ ¯¯

= b

²⁽ⁿ⁻¹⁾_n−1

¯¯ ¯¯

¯¯

∏

1≤i≤n−2

f

_n−1

(

λ

⁽ⁿ⁻²⁾_i

) ¯¯

¯¯ ¯¯

...

= ∏

1≤i≤n−1

b

²ⁱ_i

(9)

となる。再び等式

(11)

より

¯¯ ¯¯

¯¯ ∏

1≤i≤n

f

_n−1

( λ

⁽ⁿ⁾_i

) ¯¯

¯¯ ¯¯ =

¯¯ ¯¯

¯¯ ∏

1≤i≤n−1

f

_n

(

λ

⁽ⁿ⁻¹⁾_i

) ¯¯

¯¯ ¯¯ = ∏

1≤i≤n−1

b

²ⁱ_i

を得る。ここで

f

_n^′

(λ

_i

) = ∏

j:j̸=i

(λ

_i

− λ

_j

)

なので

∆ (λ)

²

= ∏

1≤i≤n

f

_n^′

(λ

_i

)

p

_n

(λ) = q

n−1

(λ)

b

_n−1

= f

n−1

(λ)

b

₁

b

₂

· · · b

_n−1

, q

^′_n

(λ) = f

_n^′

(λ) b

₁

b

₂

· · · b

_n−1 に注意すると

∏

1≤i≤n

p

n

(λ

i

) q

^′_n

(λ

i

) =

∆ (λ)

²

∏

1≤i≤n−1

b

²ⁱ_i

(b

₁

b

₂

· · · b

_n−1

)

²ⁿ となり

∆ (λ)

²

= (b

₁

b

₂

· · · ∏ b

_n−1

)

²ⁿ

1≤i≤n−1

b

²ⁱ_i

∏

1≤i≤n

p

n

(λ

i

) q

^′_n

(λ

i

) = (b

₁

b

₂

∏ · · · b

_n−1

)

²ⁿ

1≤i≤n−1

b

²ⁱ_i

∏ 1

1≤i≤n

q

_i²

が分かる。これより補題の結論を得る。

記事

2

今までの議論では

q

として

Q

の第

1

列ベクトルとしたが、第

n

列ベクトルとしても補題

2

、補題

3

、定理

1

は同様に成り立つ。補題

4

^、補題

5

^{については}

q

_i²

= p

n

(λ

i

)

q

^′_n

(λ

_i

) , ∆ (λ) = b

1

b

²₂

b

³₃

· · · b

ⁿ⁻¹_n−1

q

₁

q

₂

· · · q

_n

(13)

となる。

2.4 GOE

^{の固有値の分布密度}

実対称行列

X

^の成分

x

ijが確率変数で、

{x

ij

}

_1≤i,j≤n^は平均

0

^{で、任意の実対称行列}

A, B

^{に対して分散が}

Etr (AX) tr (BX) = tr (AB) (14)

となるガウス系とする。ここで

E

_ij

= i, j

^成分と

j, i

^のみが

1

^{で他の成分は}

0

とおくと

tr (E

_ij

X ) =

{ 2x

ij

if i ̸= j

x

ii

if i = j

(10)

となるので、

i ≤ j, i

^′

≤ j

^′に対して

A = E

_ij

, B = E

_i^′_j^′ とおけば

Ex

ij

x

i^′j^′

=

 



0 if (i, j) ̸= (i

^′

, j

^′

) 1/2 if (i, j) = (i

^′

, j

^′

) , i ̸= j 1 if (i, j) = (i

^′

, j

^′

) , i = j

となるので

{x

_ij

}

_{1≤i≤j≤n}は

(i, j)

が異なれば独立で、分散が

i ̸= j

なら

1/2

、

i = j

なら

1

のガウス系になる。

また、任意の直交行列

O

に対して、^t

OXO

は

X

と同じ分布をもつ。このランダム行列

X

は

GOE

（

Gaussian orthogonal emsenbles)

^{と呼ばれている。}

GOE

の固有値の分布密度を求めよう。

X

の分布密度は、正規化定数

Z

^により

Z

⁻¹

exp (

− 1 2 trX

²

) ω

となるが、

X

を対角行列と直交行列によりパラメータ表示すると、補題

2

^より

Z

⁻¹

exp

(

− 1 2 trX

²

)

ω = Z

⁻¹

exp (

− 1

2 tr ∥λ∥

²

) ¯¯

¯¯ ¯

∏

p<q

(λ

q

− λ

p

) ¯¯

¯¯ ¯

∏

p

dλ

p

Ω

となる。ただし

∥λ∥

²

= ∑

ⁿ

p=1

λ

²_p

, {λ

_p

}

^は

X

^の固有値

とした。したがって次の定理を得る。

定理

2 GOEX

^の固有値

{λ

p

}

^{の分布密度は}

Z

⁻¹

exp

(

− 1 2 tr ∥λ∥

²

)

|∆ (λ)| ∏

p

dλ

_p

(15)

である。さらに

GOEX

の固有ベクトルの作る直交行列は固有値と独立で直交行列の中で一様分布する。

類似のランダム行列として、エルミート行列で成分がガウス分布しているもの、成分が４元数でガウス分布しているもんがあり、それぞれ

GUE,GSE

と呼ばれている。これらの場合にも固有値の分布密度は計算でき、それぞれ

Z

⁻¹

exp (

− 1 2 tr ∥λ∥

²

)

|∆ (λ)|

²

∏

p

dλ

_p

, Z

⁻¹

exp (

− 1 2 tr ∥λ∥

²

)

|∆ (λ)|

⁴

∏

p

dλ

_p

となることが分かっている。

2.5 GOE

の

Jacobi

行列表現の分布密度

ここでは対称行列

X

^を

Jacobi

行列化した場合のランダム

Jacobi

行列の確率分布を確定しよう。

{x

i

}

_1≤i≤nが独立で、すべてが平均

0

^で分散が

1

のガウス分布に従うとき以下のことはよく知られている。

正値確率変数

X

が

χ

_n分布をもつとは

P (X < x) = 1 2

ⁿ²⁻¹

Γ (

_n

2

) ∫

_x

0

e

^−y²^/2

y

ⁿ⁻¹

dy

が成り立つことである。

(11)

補題

6 x = (x

₁

, x

₂

, · · · , x

_n

)

とおくと、

∥x∥

と

x/ ∥x∥

は独立で、

∥x∥

は

χ

_n分布をもち、

x/ ∥x∥

は

n − 1

次元単位球面の一様分布となる。

証明

. x

^{の分布密度は、}

n − 1

次元単位球面の体積要素

dφ

^により

1 (2π)

^n/2

exp (

− 1 2 ∥x∥

²

)

dx

₁

dx

₂

· · · dx

_n

= 1 (2π)

^n/2

exp

(

− 1 2 r

²

)

r

ⁿ⁻¹

drdφ

と、極座標により分解できるので、補題の主張が成り立つ。

X

^を

X =

( a

₁ ^t

x x X

₁

)

とすると、

X

^の

tridiagonalization

^で、

H

^は

x/ ∥x∥

にのみ関係しているので、補題

6

^により

( 1 0

0

^t

H

) ( a

1 t

x x X

1

) ( 1 0 0 H

)

=

( a

1

b

1t

e

1

b

1

e

1 t

HX

1

H )

, b

1

= ∥x∥

において

{a

1

, b

1

e

1

,

^t

HX

1

H }

^{は独立であり、}^t

HX

1

H

^{はサイズが}

n − 1

^の

GOE

^であり、

√

2b

₁^は分布

χ

_n−1 をもつ。この操作を繰り返していくと

X

^の

Jacobi

行列化ができるが、それを

J =



 

 

a

1

b

1

0 0 · · · 0 b

1

a

2

b

2

0 · · · 0 0 b

2

a

3

b

3

· · · 0 ... ... ... ... · · · ...

0 0 · · · b

n−2

a

n−1

b

n−1

0 0 · · · 0 b

n−1

a

n



 

 

とすると、補題

6

^{により確率変数}

{a

i

, b

j

}

の分布は以下のようになる。

定理

3 {a

_i

, b

_j

}

1≤i≤n,1≤j≤n−1は独立で

a

_iはすべて標準正規分布に従い、

√

2b

_jは

χ

_n−1−j分布に従う。

このランダム

Jacobi

行列

J

の

{q, λ} −

パラメータ表示を考えたときの

{q, λ}

の分布は

系

1 q

^と

λ

^{は独立で、}

λ

^の分布は

GOEX

^{の固有値と同じ分布}

(15)

^をもち、

q

^は

n − 1

^{次元単位球面上の一} 様分布である。

証明

. X = OΛ

^t

O, J = QX

^t

Q

^{とすると、}

J = (QO) Λ

^t

(QO)

^である。

Q

^{の構成の仕方より}

Q =



 

 

1 0 · · · 0

∗ ∗ · · · ∗ ... ... ... ∗

∗ ∗ · · · ∗



 

 

なので、

QO

の第１行

q

は

O

の第１行と同じである。定理

2

より、

O

の第１行は

Λ

と独立であり、

n − 1

次元単位球面上の一様分布である。

2.6

^変換

{a, b} → {q, λ}

^の

Jacobian

次に、定理

1

^の変換

{a, b} → {q, λ}

^の

Jacobian

^を定理

3

^と系

1

^{を利用して計算する。}

(12)

補題

7 q = (q

₁

, q

₂

, · · · , q

_n

)

とすると

¯¯ ¯¯ ∂ (a, b)

∂ (q, λ)

¯¯ ¯¯ = b

₁

b

₂

· · · b

_n−1

q

₁

q

₂

· · · q

_n

.

証明

.

^変換

{a, b} → {q, λ}

^の

Jacobian

^を

Ξ

^{とする。つまり}

Ξ = ¯¯

¯¯ ∂ (a, b)

∂ (q, λ)

¯¯ ¯¯

である。

GOEX

^の

Jacobi

^行列化を

J = {a, b}

^{とすると、定理}

3

^より

{a, b}

µ (a, b) dadb = c

₁

exp

(

− 1

2 ∥a∥

²

− ∥b∥

²

)   ∏

1≤i≤n−1

b

ⁿ⁻¹⁻ⁱ_i



 dadb

da = da

₁

da

₂

· · · da

_n

, db = db

₁

db

₂

· · · db

_n−1 とした。

J

^の

{q, λ} −

^{表現の分布密度を}

ν (q, λ)

^{とすると、系}

1

^より

ν (q, λ) dφdλ = c

2

∆ (λ) exp (

− 1 2 ∥λ∥

²

) dφdλ

となる。一方

µ (a, b) dadb = Ξµ (a (q, λ) , b (q, λ)) dφdλ = ν (q, λ) dφdλ

なので

Ξ = ν (q, λ)

µ (a (q, λ) , b (q, λ)) = c

2

c

1

∆ (λ) exp (

−

¹₂

∥λ∥

²

)

exp (

−

¹₂

∥a∥

²

− ∥b∥

²

) 

 ∏

1≤i≤n−1

b

ⁿ⁻¹⁻ⁱ_i





である。ここで

∥a (q, λ)∥

²

+ 2 ∥b (q, λ)∥

²

= trJ

²

= ∥λ∥

² に注意すると、補題

5

^より

Ξ = c

2

c

₁

∆ (λ)

∏

1≤i≤n−1

b

ⁿ⁻¹⁻ⁱ_i

= c

2

c

₁

b

1

b

2

· · · b

n−1

q

₁

q

₂

· · · q

_n

を得る。定数

c

1

, c

2は計算すると等しいことが分かるので、結論を得る。

2.7 β−ensembles

β > 0

^に対して

χ

_β

−

^分布を

P (X < x) = 1 2

^β²⁻¹

Γ (

β2

) ∫

_x

0

e

^−y²^/2

y

^β−1

dy

(13)

で定める。ランダム行列

H

_βが

β -ensembles

とは、

H

_βが

Jacobi

行列で、その成分が独立、かつ分布は

√ 1 2



 

 

N (0, 2) χ

_(n−1)β

0 · · · 0 0

χ

_(n−1)β

N (0, 2) χ

_(n−2)β

· · · 0 0

0 χ

_(n−2)β

N (0, 2) · · · 0 0

... ... ... ... ... ...

0 0 0 · · · N (0, 2) χ

_β

0 0 0 · · · χ

_β

N (0, 2)



 

 

となるものである。

H

_βの固有値と固有ベクトルの分布密度は次のようになる。

定理

4 H

_βの固有値と固有ベクトルは独立であり、固有値の分布密度は

c

_β

|∆ (λ)|

^β

exp

(

− 1 2 ∥λ∥

²

)

dλ

₁

dλ

₂

dλ

₁

· · · dλ

_n であり、

q

(q

₁

q

₂

· · · q

_n

)

^β−1

dφ

となる。

証明

. H

_β

= {a, b}

^{とすると、}

a, b

^の分布は

c

1

n−1

∏

k=1

b

^kβ−1_n−k

exp (

− 1 2 trH

_β²

)

dadb = c

1

¯¯

¯¯ ∂ (a, b)

∂ (q, λ)

¯¯ ¯¯

ⁿ⁻¹

∏

k=1

b

^kβ−1_n−k

exp (

− 1 2 trH

_β²

) dφdλ

となる。補題

7

^{より結論を得る。}

参考文献

[1] I. Dumitriu, A. Edelman; Matrix models for beta ensembles, Journal of Mathematical Physics. 43(11), 2002, 5830-5847

3 ランダム行列の固有値分布の極限定理

この章では

GOE

^{およびランダム}

Jacobi

行列の場合に行列のサイズを無限に大きくした場合の固有値の極限定理について既存の結果を紹介する。

ランダムな自己共役作用素の固有値分布の極限 （九州大学集中講義）