補充

No.19�� 補充 【図形の性質①】

〈確認〉

① ＡＣ＝５cmのとき，ＡＢは何cmですか。

② ∠Ｂ＝65°のとき，頂角∠Ａの大きさを次のように求めた。

   次の  にあてはまることば，記号，数をかきなさい。

    △ＡＢＣはＡＢ＝ＡＣの二等辺三角形であるから，

         は等しいので，∠Ｂ＝∠Ｃ＝      

    三角形の内角の和は180°であるから，

      （∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ＝180°）

① 二等辺三角形の     ・・・２辺が等しい三角形を二等辺三角形という。

② 二等辺三角形の性質・・・二等辺三角形の２つの     は等しい。

③ 次の図で∠

�

④ 三角形の３つの内角の和は     度である。

ＡＢ＝ＡＣならば

∠Ｂ＝∠Ｃとなる。

証明された性質のうち，

大切なものを    という。

覚えておこう！！

答  ① 定義  ② 底角  ③ 61°  ^ていぎ ④ 180 定理

ちょうかく

ていかく ていり

問  下の図はＡＢ＝ＡＣの二等辺三角形である。

    次の問に答えなさい。

55°

64° �

頂角Ａ

底辺

底角Ｂ 底角 Ｃ

Ｃ

ていへん ていかく

Ａ

5cm Ｂ

ちょうかく

定義

底角

180

61°

定理

5cm

底角 65°

No.19�� 定着 【図形の性質①】

〈確認〉

（１）△ＡＢＤと△ＡＣＤにおいて，

         とその間の角がそれぞれ等しいから，

   三角形の合同条件より△ＡＢＤ≡      

  したがって，その他の対応する辺や角も等しいから，

     ∠Ｂ＝∠    ，ＢＤ＝     

     ∠ＡＤＢ＝∠      ＝90°となる。

（２）以上のことをまとめると

① 二等辺三角形は，      が等しい三角形（定義）

② 二等辺三角形の２つの      は等しい（性質・以下定理という）

③ 二等辺三角形の      の二等分線は底辺を垂直に二等分する（定理）

（１）ＡＢ＝ＡＣ

（３）ＡＢ＝ＡＣ

（２）ＡＢ＝ＡＣ

（４）ＡＢ＝ＡＣ    ＢＤ＝ＤＣ

答 （1） ２辺， △ＡＣＤ， Ｃ， ＣＤ， ＡＤＣ   （2） ① ２辺 ② 底角 ③ 頂角

問  下の図で，∠

�

�

下の図のようにＡＢ＝ＡＣである二等辺三角形の∠Ａの二等分線をひき，ＢＣとの交点をDと して，二等辺三角形の性質を調べてみよう。次の□にあてはまることば，記号をかきなさい。

∠

�

∠

�

∠

�

∠

�

∠

�

∠

�

∠

�

∠

�

Ｂ Ｄ

Ｄ Ｄ

A

Ｃ

Ｂ

A

Ｃ

Ｃ

Ｂ

Ａ Ｂ

A

Ｂ Ｄ

A A

Ｃ

Ｃ

底辺

底角 底角

頂角

65°

70° �

�

�

Ｂ

Ｂ D

A A

Ｃ

Ｃ 130°

50°

�

�

�

�

�

△ＡＣＤ

ＡＤＣ ２辺

２辺 底角 頂角

Ｃ ＣＤ

65°

50°

40°

70°

80°

50°

40°

50°

No.19�� 発展 【図形の性質①】

問１  下の図のようにＡＢ＝ＡＣである△ＡＢＣについて，次の問に答えなさい。

      （１）△ＡＢＣは何とよばれる三角形か答えなさい。

      （２）∠Ｂ＝∠Ｃであることを証明しなさい。

      （３） ∠Ｂ＝65°のとき∠Ａの大きさを求めなさい。

問２  ＡＢ＝ＡＣの二等辺三角形ＡＢＣで，頂角∠Ａの二等分線と底辺ＢＣとの交点をＤとする。

    次の問に答えなさい。

（１） 問題文にあう図をかきなさい。 （２） ＢＤ＝ＤＣ，ＡＤ⊥ＢＣとなることを証明しなさい。

問３  下の図で∠

�

  （１）      （２）       （３）∠

�

〔証明〕

△ＡＢＤと△ＡＣＤにおいて

△ＡＢＣを２つの三角 形に分けて合同条件を 利用して証明せよ。

ＢＣの中点を Ｄとしてみよう

Ａ

Ｂ Ｄ Ｃ

〔証明〕△ＡＢＤと△ＡＣＤにおいて

Ａ

Ｂ Ｃ

△ＡＢＤ≡△ＡＣＤを証明 するとよい。

� 50°

Ａ

Ｂ Ｃ

�

110°

Ａ

Ｂ

Ｃ �

a°

Ａ

Ｂ Ｃ

二等辺三角形

50°

  ＡＢ＝ＡＣ……仮定   ＢＤ＝ＣＤ……仮定   ＡＤは共通

  ３辺がそれぞれ等しいから   △ＡＢＤ≡△ＡＣＤ   したがって∠Ｂ＝∠Ｃ

● ●

Ａ

Ｃ Ｄ

Ｂ

ＡＢ＝ＡＣ……仮定  ＡＤは共通

∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ……仮定

２辺とその間の角がそれぞれ等しいから  △ＡＢＤ≡△ＡＣＤ

対応する辺や角は等しいので，ＢＤ＝ＣＤ  ∠ＡＤＢ＝∠ＡＤＣがいえる

∠ＡＤＢ＋∠ＡＤＣ＝180°より

∠ＡＤＢ＝∠ＡＤＣ＝90°

 したがってＡＤ⊥ＢＣ

No.20�� 補充 【図形の性質②】

〈確認〉

（１）２つの辺が等しい三角形を         といいます。

（２）３つの辺が等しい三角形を         といいます。

（３）３辺が等しければ，そのうちの２辺は等しいので，正三角形は       の特別なものと考えられます。

答  （1）二等辺三角形  （2）正三角形  （3）二等辺三角形

問１  正三角形の１つの内角の大きさを求めてみよう。

次の    にあてはまることば，記号，数をかきなさい。   

△ＡＢＣはＡＢ＝ＡＣである      と考えられるので，

     ∠Ｂ＝     ・・・（１）

また，△ＡＢＣはＢＡ＝ＢＣである      と考えられるので      ∠Ａ＝     ・・・（２）

（１），（２）から  ∠Ａ＝∠Ｂ＝∠Ｃがいえる。

     したがって，１つの内角は     °÷３＝     °    以上のことより，次のような性質が成り立つ。

      正三角形の３つの     は等しい。

問２  下の図で，同じ印をつけた辺は等しいとして，∠

�

   （１）      （２）

三角形

三角形

�

� Ａ

Ｂ Ｃ

No.20�� 定着 【図形の性質②】

〈確認〉

（１）二等辺三角形の定義をもとに

  右の線分ＢＣを底辺として二等辺三角形ＡＢＣを   作図しなさい。

（２）正三角形の定義をもとに

  右の線分ＢＣを底辺として正三角形ＡＢＣを作図   しなさい。      

（３）正三角形の３つの     は等しく，     度である。

答  （1），（2）図略  （3）内角，60

問１  下の図の△ＡＢＣは正三角形である。次の角の大きさを求めなさい。

（１）∠ＡＣＥ＝     °

（２）∠ＡＤＥ＝     °

問２  下の図で△ＡＢＣと△ＡＰＱはともに正三角形であり，点Ｐは辺ＢＣ上の点である。

    また，∠ＣＡＰ＝40°のとき，∠ＱＰＢの大きさを求めなさい。

問３  下の図でＯＰ//ＱＲ，△ＡＢＣは正三角形である。

   ∠ＰＡＣ＝40°のとき，∠

�

Ｅ

Ｄ

Ｂ

50°

20°

Ａ

Ｃ

Ａ

Ａ

C Ｑ

Ｂ

O P

Ｐ Ｃ

Ｂ Ｃ

Ｂ Ｃ

40°

40°

�

No.20�� 発展 【図形の性質②】

問１

（１）右の図に問題文にあう図をかきなさい。

（２）仮定と結論を文字や記号を使って表しなさい。

  仮定   結論

（３）証明しなさい。

問２

   ∠ＱＲＢの大きさを求めなさい。

問３

   また，点Ｃは辺ＤＥの延長線上にある。

   ∠ＤＡＢ＝15°のとき，∠ＤＣＢの大きさを求めなさい。

〔証明〕

Ａ

Ｂ Ｃ

Ｑ

Ｐ Ｃ Ｒ Ｂ

Ａ

Ａ

Ｄ Ｂ

Ｅ Ｃ

15°

No.21�� 補充 【図形の性質③】

〈確認〉

答 ①ＡＢ，ＡＣ  ②二等辺

問１  下の図の

�

（１）       （２） 

問２  下の図の中から，二等辺三角形であるものをすべて選び，番号で答えなさい。

（１）      （２）

（３）      （４）

問３  下の図の△ＡＢＣにおいて，∠ＢＡＤ＝∠Ｂ，∠ＤＡＣ＝∠Ｃである。

    ＡＤ=４cmのとき，ＢＣの長さを求めなさい。

    ∠Ｂ＝∠C   ならば       ＝  

② ２つの角が等しい三角形は       三角形  である。

① 

ＡB      AC 二等辺

４ ６

（１），（２），（４）

８cm

70°

50°

60°

70° 60°

４cm ４cm Ｂ

A

��cm ４cm

�cm ６cm

６cm

130°

40° 50°

70°

50° 120°

60°

30° 30°

Ｃ Ｂ

A

Ｃ

二等辺三角形 になるための 条件じゃ !!

A

Ｂ Ｃ

60°

110°

No.21�� 定着 【図形の性質③】

〈確認〉

答（１）仮定∠Ｂ＝∠Ｃ，結論ＡＢ＝ＡＣ 

 （２）ア Ｃ，イ ＣＡＤ，ウ ＡＤＣ，エ ＡＤ，オ １辺とその両端の角，カ ≡，キ ＡＢ＝ＡＣ  （２）△ＡＢＣを２つの三角形に分け，合同条件を利用して証明してみよう。

    ∠Ａの二等分線とＢＣとの交点をＤとする。

  仮定から，∠Ｂ＝∠       ……… ①

     ∠ＢＡＤ＝∠       ……… ②

  三角形の内角の和は 180°であるから，

  ①，②より  ∠ＡＤＢ＝∠       ……… ③

  共通だから ＡＤ＝       ……… ④

  ②，③，④から三角形の合同条件      がそれぞれ等しいから，

  △ＡＢＤ       △ＡＣＤ，したがって      となる。

問  ＡＢ＝ＡＣの二等辺三角形ＡＢＣで，頂角Ａの二等分線と底辺ＢＣとの交点をＤとする。また，

   点Ｃを通り，ＡＤに平行な直線とＢＡの延長線との交点をＥとするとき，次の問に答えなさい。

（１）問題文にあうように図をかきなさい。

（２）ＡＣ＝６cmのとき，ＥＢの長さを求めなさい。

イカチの図形をもとに，

（１）仮定と結論を式で表しなさい。 仮定 結論

A

Ｂ Ｄ Ｃ

ア イ

エ

ウ

カ キ

オ Ｂ

A

Ｃ Ｂ

A

Ｃ

２つの角が等しい三角形は二等辺三角形であることを証明してみよう。

       ならば

No.21�� 発展 【図形の性質③】

問３

問１

（１）∠ＡＣＤの大きさを求めなさい。

（２）ＢＣ＝３cmのとき，ＡＦの長さを求めなさい。

問２

      （１）∠ＤＢＣの大きさは何度ですか。

      （２）△ＤＢＣはどんな三角形ですか。

∠ＤＢＣ

＝―∠ＡＢＣ と表すとよい。

１ ２

〔証明〕

A

Ｄ

Ｂ Ｃ

A

Ｄ E

F 60°

30°

Ｂ Ｃ

A

Ｄ

Ｂ Ｃ

No.22�� 補充 【図形の性質④】

〈確認〉

①

   ＡＢ＝ＡＣ   ならば        ＝

②

   ∠Ｂ＝∠Ｃ   ならば        ＝

③ ①と②は仮定と結論がいれかわっているので，①は②の    ，  ②は①の   という。

答  ① ∠Ｂ，∠Ｃ  ② ＡＢ，ＡＣ  ③ 逆，逆

問１  

次のことがらの逆をいいなさい。

   （１）  � ＋ 3 ＝ 5 ならば  � ＝ 2

   （２）  //ｍ ならば ∠ａ＝∠ｂ  

   （３）  � が ４の倍数ならば � は２の倍数である。

問２  

問１で，逆が正しいものはどれか。その番号をすべて書きなさい。

Ａ

Ｂ Ｃ

Ａ

Ｂ Ｃ

Ａ

Ｂ Ｃ

Ａ

Ｂ Ｃ

正しいことの逆は，いつも正しいとは限らない。

 例えば 

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

ｍ ａ

ｂ

①は

二等辺三角形 の性質じゃ

 ②は

二等辺三角形に なるための条件じゃ

No.22�� 定着 【図形の性質④】

〈確認〉

 答 （1）∠ｂ，∠ｆ，∠ｈ  （2）① //ｍ，∠ａ＝∠ｂ ②逆 ③∠ａ＝∠ｂ， //ｍ 

問２ 次の（1），（2）の逆をいいなさい。また，それが正しければ○，正しくなければ×をかきなさい。

 （１） △ＡＢＣで，ＡＢ＝ＢC＝ＣＡならば ∠Ａ＝∠Ｂ＝∠Ｃ

 （２） 

�

�

問１ 「平行線では錯角が等しい」このことがらについて，次の問に答えなさい。

 （１）右の図を使って，仮定と結論を式で表しなさい。

          ならば  （２）（１）の逆をつくりなさい。

          ならば

 （３）この逆が正しいことを証明してみよう。

 ［証明］   仮定より，∠ｃ＝∠ｂ

        対頂角は等しいから，∠ａ＝        

        したがって，∠ａ＝∠ｂ        が等しいので， //ｍ         すなわち，錯角が等しければ，２直線は平行である。

△ＡＢＣで，

（１）右の図で //ｍであるとき，∠ｄと等しくなる角をすべていいなさい。

（２）「平行線では同位角が等しい」このことがらについて，次の問に    答えなさい。

 ① 右の図を使って，仮定と結論を式で答えなさい。

      仮定         結論        ならば

 ② ある定理（性質）の仮定と結論を入れかえたものを    その定理の     という。

 ③ ①の逆をつくってみよう。

       ならば        である。

ａ

ａ ｂ

ｂ ｃ ｄ ｆ ｅ

ｇ ｈ ｍ

ｍ

ａ

ｂ ｃ

ｍ ａ ならば ｂ

ｂ ならば ａ

 あることがらが正しくても，その逆  が正しいとは限らない。

 だから，証明する必要があるんだよ。

（2）の ③ は正しいことが証明されて  いるんだわ！

No.22�� 発展 【図形の性質④】

問１ 「正三角形の３つの角は等しい」このことがらについて，次の問に答えなさい。

 （１）右の図を使って，仮定と結論を式で答えなさい。

      ならば

 （２）（１）の逆をつくりなさい。

      ならば

 （３）（２）が正しいことを証明してみましょう。

   すなわち，３つの角が等しい三角形は正三角形である。

問２ 次のことがらの逆をかき，正しければ○，正しくなければ×をかきなさい。

 （１）

�

�

�

�

 （２）二等辺三角形の２つの角は等しい。

 （３）△ＡＢＣが正三角形ならば∠Ａ＝60°である。

 （４）

�

�

 （５）

�

�

�

�

△ＡＢＣで，

Ａ

Ｂ Ｃ

二等辺三角形に なるための条件を

利用すればいいのじゃ！！

〔証明〕

№23補充 【図形の性質⑤】

＜確認＞

三角形の合同条件

ア イ ウ

がそれぞれ等しい。 とその間の角がそれ とその両端の角が

ぞれ等しい。 それぞれ等しい。

直角三角形の合同条件

① ②

斜辺と１つの 斜辺と他の

エ オ

がそれぞれ等しい がそれぞれ等しい

ア ３辺 イ ２辺 ウ１ 辺 エ 鋭角 オ １辺 答

下の図で，合同な三角形の組をすべて選び出し，また，その合同条件をいいなさい。

問

組 合同条件 組 合同条件

合同条件 を覚 えているかい！

こ の 辺 を  斜 辺と い うね

し ゃ へ ん

Ⅰ Ⅱ Ⅲ

あ い う

か き

く

え

け

お

こ

3 c m 2 c m

3 c m

5 c m 4 c m

40°

2 c m

3 c m

4 c m

4 c m 40°

2 c m

4 c m

3 c m

5 c m

30°

30°

1 1 0 °

3 c m

2 c m 60°

3 c m

5 c m 6 0 °

5 c m

組 氏 名

№ 23定 着 【 図 形 の 性 質 ⑤ 】

＜ 確 認 ＞

下 の 図 の 直 角 三 角 形 の 合 同 条 件 を い い な さ い 。

① ②

と と

が そ れ ぞ れ 等 し い 。 が そ れ ぞ れ 等 し い 。

① 斜 辺 と 1つ の 鋭 角 ② 斜 辺 と 他 の 1辺 答

下 の 図 の △ Ａ Ｂ Ｃ と △ Ｄ Ｅ Ｆ の 合 同 を 次 の よ う に 証 明 し た 。 次 の に あ て は

問 １

ま る こ と ば ， 記 号 ， 式 を か き な さ い 。

〔 証 明 〕 △ Ａ Ｂ Ｃ と △ Ｄ Ｅ Ｆ に お い て

∠ Ｂ Ｃ Ａ ＝ ＝ ９ ０ ° Ａ Ｂ ＝

Ｂ Ｃ ＝

し た が っ て ， 直 角 三 角 形 で

が そ れ ぞ れ 等 し い か ら

≡

Ａ Ｂ ＝ Ａ Ｃ で あ る △ Ａ Ｂ Ｃ の 頂 点 Ｂ ， Ｃ か ら 辺 Ａ Ｃ ， Ａ Ｂ に 垂 線 を ひ き ， そ の 交

問 ２

点 を そ れ ぞ れ Ｄ ， Ｅ と す る 。 こ の と き ， Ａ Ｅ ＝ Ａ Ｄ と な る こ と を 次 の よ う に 証 明 し た 。 次 の に あ て は ま る こ と ば ， 記 号 ， 式 を か き な さ い 。

〔 証 明 〕 △ Ａ Ｃ Ｅ と △ Ａ Ｂ Ｄ に お い て

＝ ＝ ９ ０ °

＝

は 共 通 し た が っ て ， 直 角 三 角 形 で

が そ れ ぞ れ 等 し い か ら

し た が っ て ， ＝

覚えているか い！

E D

A

B C

A D

B C E F

組 氏 名

№ 23発 展 【 図 形 の 性 質 ⑤ 】

下 の 図 の ∠ の 二 等 分 線 上 の 点 Ｐ か ら ２ 辺 ， に 垂 線 を ひ き ， 交 点 を

問 １

XOY OX OY

， と す れ ば ， ＝ で あ る こ と を 証 明 し な さ い 。

A B OA OB

［ 証 明 ］

下 の 図 の △ の ∠ と ∠ の 二 等 分 線 の 交 点 を と し ， か ら ３ 辺 に 垂 線 を ひ

問 ２

ABC A B I I

AB BC CA D E F C I ACB

い て ， ， ， と の 交 点 を そ れ ぞ れ ， ， と し ま す 。 半 直 線 は ， ∠ を 二 等 分 す る こ と を 証 明 し な さ い 。

［ 証 明 ］

B Y

O

A

X

B

D

A

F

E C

◎ ◎

Ｉ P

○

○

No.24�� 補充 【図形の性質⑥】

〈確認〉

答  ① ＤＣ  ② ＢＣ  ③

問３ 右の平行四辺形において

  平行四辺形の性質 ３ を式で表すと   ＯＡ＝       ＯＢ＝

 である。

問２ 右の平行四辺形において

  平行四辺形の性質 ２ を式で表しなさい。

問１ 右の平行四辺形において

  平行四辺形の性質 １ を式で表しなさい。

平行四辺形の定義

 「２組の対辺（向かい合う辺）が，それぞれ平行である四角形」 

右の平行四辺形において  ① ＡＢ//

 ② ＡＤ//      である。

 ③ 平行四辺形ＡＢＣＤを      ＡＢＣＤとかく。

  平行四辺形の性質 平行四辺形では 

１ ２組の対辺（向かい合う辺）はそれぞれ等しい。

２ ２組の対角（向かい合う角）はそれぞれ等しい。

３ 対角線はそれぞれの中点で交わる。      

A D

B C

A D

B C

A D

B C

A Ｏ

D

B C

たいかく たいへん

No.24�� 定着 【図形の性質⑥】

問２ 平行四辺形の性質 ３ の証明

  「平行四辺形では対角線はそれぞれの中点で交わる。」

 ① この仮定は ＡＢ//ＤＣ，ＡＤ//ＢＣである。   

  このときの結論を式で表しなさい。      

 ② △ＡＢＯ≡△ＣＤＯを証明して    ①の結論を導きなさい。

 〔証明〕

問１ 平行四辺形の性質 １ の証明

  「平行四辺形では２組の対辺（向かい合う辺）はそれぞれ等しい。」

 ① この仮定は ＡＢ//ＤＣ，ＡＤ//ＢＣである。

  このときの結論を式で表しなさい。

     ＡＢ＝ＤＣ      ＡＤ＝ＢＣ

  ② 対角線ＡＣをひき，△ＡＢＣ≡△ＣＤＡを証明しなさい。 

    〔証明〕△ＡＢＣと△ＣＤＡにおいて  

               ＡＣは共通

      平行線の錯角は等しいから ∠ＢＣＡ＝∠ＤＡＣ        ∠ＢＡＣ＝∠ＤＣＡ            １辺とその両端の角がそれぞれ等しいから

               △ＡＢＣ≡△ＣＤＡ    

 ③ ②より△ＡＢＣ≡△ＣＤＡ          したがってＡＢ＝        ＡＤ＝

  ゆえに，平行四辺形では２組の対辺（向かい合う辺）はそれぞれ等しい。

Ａ Ｄ

Ａ Ｄ

Ｂ Ｃ

Ｂ Ｃ

Ｏ

性質 １ は

使っていいんだよ。

No.24�� 発展 【図形の性質⑥】

問２ 平行四辺形の性質をかきなさい。 

    平行四辺形では  １ ２組の  対辺（向かい合う辺）はそれぞれ等しい。

       ２ ２組の対角（向かい合う角）はそれぞれ等しい。

       ３ 対角線は  それぞれの中点で交わる。

問３ 次の平行四辺形において，平行四辺形の性質 ２ の仮定と結論を記号を使った式で表しなさい。

     仮定 ＡＢ // ＤＣ，ＡＤ // ＢＣ      結論  ∠Ａ＝∠Ｃ，∠Ｂ＝∠Ｄ

問４ 対角線ＡＣをひき，△ＡＢＣ≡△ＣＤＡを証明して     平行四辺形の性質 ２ を証明しなさい。

   〔証明〕 △ＡＢＣと△ＣＤＡにおいて                ＡＣは共通   

        平行線の錯角は等しいから  ∠ＢＣＡ＝∠ＤＡＣ             ∠ＢＡＣ＝∠ＤＣＡ         １辺とその両端の角がそれぞれ等しいから

     △ＡＢＣ≡△ＣＤＡ       したがって ∠Ｂ＝∠Ｄ

     また ∠ＢＡＤ＝∠ＢＡＣ＋∠ＣＡＤ         ∠ＢＣＤ＝∠ＤＣＡ＋∠ＡＣＢ      ここで ∠ＢＡＣ＝∠ＤＣＡ

         ∠ＣＡＤ＝∠ＡＣＢ      したがって ∠ＢＡＤ＝∠ＢＣＤ      これより ∠Ａ＝∠Ｃ，∠Ｂ＝∠Ｄ

問１ 平行四辺形の定義をかきなさい。

     ２組の対辺（向かい合う辺）がそれぞれ平行である            四角形     ＡＢ＝ＤＣ

     ＡＤ＝ＢＣ

性質 １ を使うと

３辺がそれぞれ等しいから

△ＡＢＣ≡△ＣＤＡ という証明もできるよ。

Ａ Ｄ

Ｂ Ｃ

Ａ Ｄ

Ｃ Ｂ

Ａ Ｄ

Ｃ Ｂ

No.25�� 補充 【図形の性質⑦】

〈確認〉

答  １ ＤＣ，ＢＣ  ２ ＢＣＤ，ＡＤＣ  ３ ＯＣ，ＯＤ 

問１ 次の平行四辺形で，角の大きさや辺の長さを求めなさい。

  ① ∠Ａ       ② ∠Ｄ 

  ③ ＡＢ       ④ ＢＣ   

  ⑤ ＥＯ       ⑥ ＦＨ    

問２    ＡＢＣＤの対角線の交点Ｏを通る直線が，辺ＡＤ，ＢＣと交わる点をそれぞれＭ，Ｎと    すると，△ＡＯＭと△ＣＯＮ は合同になる。       

   このことを次のように証明した。    にあてはまることばや記号をかきなさい。

   〔証明〕   △ＡＯＭと△ＣＯＮ において

     平行四辺形の対角線はそれぞれの中点で交わるから                            ＡＯ＝

     対頂角は等しいので             ∠ＡＯＭ＝∠

    平行線の錯角は等しいので ∠ＯＡＭ ＝∠       

       がそれぞれ等しいから        次の    にあてはまる記号をかきなさい。

  平行四辺形では          １ ２組の対辺（向かい合う辺）はそれぞれ等しい。

     ＡＢ＝        ＡＤ＝  

   ２ ２組の対角（向かい合う角）はそれぞれ等しい。

     ∠ＢＡＤ＝∠       ∠ＡＢＣ＝∠ 

   ３ 対角線はそれぞれの中点で交わる。

     ＯＡ＝       ＯＢ＝

8cm D

6cm

4cm E

O

H

F G

75° 105°

10cm

C B

A

A D

B C

M

N

O

A D

B C

O

No.25�� 定着 【図形の性質⑦】

問１ 次の   ＡＢＣＤで，角の大きさや辺の長さを求めなさい。

        またその理由をかきなさい。

  ① ∠Ｄ

    理由   

  ② ＤＣ

    理由   

問２     ＡＢＣＤの対角線の交点Ｏを通る直線が，辺ＡＤ，ＢＣと交わる点をそれぞれＰ，Ｑと    すると，△ＰＯＤ≡△ＱＯＢとなる。次の    にあてはまることばや記号をかきなさい。

  〔証明〕△ＰＯＤと△ＱＯＢにおいて              平行四辺形の

      から  ＯＤ＝

      対頂角は等しいから∠      ＝∠ＱＯＢ       平行線の      は等しいから ∠ＰＤＯ＝∠

      がそれぞれ等しいから              △ＰＯＤ≡△ＱＯＢ

問３     ＡＢＣＤの辺ＡＢ，ＤＣ上に，ＡＥ＝ＣＦ        となるようにＥ，Ｆをとる。

       このとき△ＡＥＤ≡△ＣＦＢであること        を証明しなさい。

  〔証明〕 

    △ＡＥＤと△ＣＦＢにおいて     仮定より ＡＥ＝ＣＦ  

    平行四辺形の対辺は等しいから ＡＤ＝ＣＢ       対角は等しいから  ∠Ａ＝∠Ｃ     ２辺とその間の角がそれぞれ等しいから       △ＡＥＤ≡△ＣＦＢ

5cm

60°

A D

B C

A P

Q O

D

B C

A D

B E

C F

理由は平行四辺形の 性質から選んでね。

No.25�� 発展 【図形の性質⑦】

問１ 右の平行四辺形について，次の角の大きさや辺の長さを求めなさい。

        ただし同じ印をつけた角は等しいとする。

  ① ∠Ｃ         （３６０°−６０°×２）÷２    ② ∠ＡＥＢ       平行線の錯角

  ③ ＡＥ         △ＡＢＥは正三角形

問２    ＡＢＣＤの対角線ＢＤにＡ，Ｃから垂線をひき，

    ＢＤとの交点をそれぞれＥ，Ｆとする。

    このとき△ＡＢＥ≡△ＣＤＦであることを証明しなさい。 

    〔証明〕

問３ 次の図のように   ＡＢＣＤの対角線ＢＤ上に    ＥＤ＝ＦＢとなるように２点Ｅ，Ｆをとる。

   このときＡＥ//ＣＦとなることを証明しなさい。 

    〔証明〕

7cm

6cm 60°

A D

B Ｅ C

Ａ Ｄ

Ｂ Ｃ

Ｆ Ｅ

Ａ Ｄ

Ｂ Ｃ

Ｆ

Ｅ

No.26�� 補充 【図形の性質⑧】

〈確認〉

答 １ ＤＣ，ＢＣ  ２ ＤＣ，ＢＣ  ３ ＢＣＤ，ＡＤＣ  ４ ＯＣ，ＯＤ  ５ ＤＣ，ＤＣ

〈平行四辺形になるための条件〉

 四角形は，次のどれかが成り立てば平行四辺形である。次の   にあてはまる記号をかきなさい。

 １ ２組の対辺がそれぞれ平行である。…………定義               ＡＢ //        ＡＤ //

   ２ ２組の対辺がそれぞれ等しい。

       ＡＢ ＝        ＡＤ＝

 ３ ２組の対角がそれぞれ等しい。

       ∠ＢＡＤ＝∠        ∠ＡＢＣ＝∠

   ４ 対角線がそれぞれの中点で交わる。       

       ＯＡ ＝        ＯＢ＝

   ５ １組の対辺が平行でその長さが等しい。       

       ＡＢ //        ＡＢ＝

問 次の四角形ＡＢＣＤが平行四辺形になるために，次の辺の長さや角の大きさを求めなさい。

  ①

  ② 

  ③ 

  ④

Ａ Ｄ

Ｂ Ｃ

Ａ 120°

60°

Ｄ

Ｂ Ｃ

Ａ O

Ｄ

Ｂ Ｃ

Ａ Ｄ

Ｂ Ｃ

8cm 5cm

5cm 4cm 3cm

ＢＣ         ＤＣ

∠Ｃ         ∠Ｄ

ＯＡ         ＯＤ

ＡＤ//ＢＣ      ＢＣ

A D

B C

O

No.26�� 定着 【図形の性質⑧】

〈確認〉

答 １ 対辺，ＡＤ，ＢＣ  ２ ＡＤ，ＢＣ  ３  対角，ＡＢＣ，ＡＤＣ   ４ それぞれの中点，ＯＢ，ＯＤ  ５ １組の対辺，ＡＢ，ＤＣ   次の    にあてはまることばや記号をかきなさい。      

  〈平行四辺形になるための条件〉

  四角形は，次のどれかが成り立てば平行四辺形である。      

   １ ２組の       がそれぞれ平行である。………… 定義            ＡＢ//ＤＣ        //

 ２ ２組の対辺がそれぞれ等しい。

    ＡＢ＝ＤＣ        ＝

   ３ ２組の       がそれぞれ等しい。

    ∠ＢＡＤ＝∠ＢＣＤ  ∠      ＝∠

   ４ 対角線が      で交わる。

    ＯＡ＝ＯＣ        ＝

   ５       が平行でその長さが等しい。

    ＡＢ//ＤＣ        ＝

問 四角形ＡＢＣＤの対角線の交点をＯとする。ＡＯ＝ＣＯ，ＢＯ＝ＤＯのとき， 平行四辺形になる   ための条件 ４ を次のように証明した。証明を完成し    にあてはまる記号をかきなさい。

   〔証明〕△ＡＢＯと△ＣＤＯにおいて      仮定より ＡＯ＝ＣＯ

      ＢＯ＝ＤＯ

     対頂角は等しいから ∠ＡＯＢ＝∠ＣＯＤ      ２辺とその間の角がそれぞれ等しいから

        △ＡＢＯ≡△ＣＤＯ           したがって対応する角は等しいから ∠ＢＡＯ＝ ∠

    錯角が等しいから      //      ………（1）

   ※同様にして △ＡＤＯ≡△ＣＢＯ           対応する角は等しいから ∠ＡＤＯ＝∠

    錯角が等しいから      //      ………（2）

   （1），（2）より２組の対辺がそれぞれ平行だから四角形ＡＢＣＤは平行四辺形である。

   したがって 対角線がそれぞれの中点で交わる四角形は平行四辺形である。

A D

B C

O

A D

B C

O

No.26�� 発展 【図形の性質⑧】

問１ 四角形ＡＢＣＤにおいて，∠ＢＡＤ＝∠Ｃ，∠Ｂ＝∠Ｄ のとき，四角形ＡＢＣＤは平行四辺形     であることを次のように証明した。

         にあてはまることばや記号，数をかきなさい。

   〔証明〕              

     四角形の内角の和は      だから             ∠ＢＡＤ＋∠Ｂ＋∠Ｃ＋∠Ｄ＝

     また，∠ＢＡＤ＝       ∠Ｂ＝      だから       ∠ＢＡＤ＋∠Ｂ＋∠ＢＡＤ＋∠Ｂ＝

      したがって，∠ＢＡＤ＋∠Ｂ＝      ………（1）       

     いっぽう，頂点Ａにおける外角∠ＤＡＥをつくると             ∠ＢＡＤ＋∠ＤＡＥ＝      ………（2）       

     （1），（2）から ∠ＤＡＥ＝∠Ｂ             が等しいから  ＡＤ//ＢＣ             同様にして      //

     したがって ２組の対角が等しい四角形は平行四辺形である。

問２ 四角形ＡＢＣＤにおいて，ＡＢ//ＤＣ，ＡＢ＝ＤＣのとき，四角形ＡＢＣＤは平行四辺形であ     ることを証明しなさい。

   〔証明〕              

D Ａ

Ｅ

B C

A D

B C

No.27�� 補充 【図形の性質⑨】

〈確認〉

答 １ ＡＤ，ＢＣ  ２ ＡＤ，ＢＣ  ３ ＡＢＣ，ＡＤＣ  ４ ＯＢ，ＯＤ  ５ ＡＢ，ＤＣ  四角形は，次のどれかが成り立てば平行四辺形である。

     にあてはまる記号をかきなさい。

 １ ２組の対辺がそれぞれ平行である。

       ＡＢ//ＤＣ         //

   ２ ２組の対辺がそれぞれ等しい。

       ＡＢ＝ＤＣ         ＝  ３ ２組の対角がそれぞれ等しい。

       ∠ＢＡＤ＝∠ＢＣＤ  ∠      ＝∠

   ４ 対角線がそれぞれの中点で交わる。       

    ＯＡ＝ＯＣ        ＝

   ５ １組の対辺が平行でその長さが等しい。       

           ＡＢ//ＤＣ         ＝

問 次の四角形ＡＢＣＤは，平行四辺形であるといえますか。

  また，いえるときはその理由をかきなさい。

  ① ＡＢ＝５cm   ＢＣ＝８cm     ＤＣ＝５cm   ＡＤ＝８cm

  ② ∠Ａ＝∠Ｃ   ∠Ｂ＝∠Ｄ

  ③ ＡＢ＝ＢＣ   ＡＤ＝ＤＣ

  ④ ＡＤ//ＢＣ

    ＡＤ＝６cm   ＢＣ＝６cm

  ⑤ ＯＡ＝３cm    ＯＢ＝４cm     ＯＣ＝３cm    ＯＤ＝４cm

A D

B C

O

A D

B C

A D

B C

A A

例 Ｂ

Ｃ

Ｄ

D

B C

A D

B C

A

Ｏ

D

No.27�� 定着 【図形の性質⑨】

問１ 次の四角形ＡＢＣＤは，平行四辺形であるといえますか。

    また，いえるときの理由をかきなさい。

  ① ＡＢ＝ＤＣ    ＡＤ＝ＢＣ

  ② ＡＤ//ＢＣ     ＡＢ＝ＤＣ

問２ 次の   ＡＢＣＤでＡＥ＝ＦＣならば，四角形ＡＥＣＦは平行四辺形であることを次のよ     うに証明した。    にあてはまることばや記号をかきなさい。     

   〔証明〕

     平行四辺形の対辺は平行だから          ＡＥ//

     また，仮定より          ＡＥ＝

        から            四角形ＡＥＣＦは平行四辺形である。

問３ 次の   ＡＢＣＤでＯＥ＝ＯＦならば，四角形ＥＢＦＤは平行四辺形であることを次のよ     うに証明した。    にあてはまることばや記号をかきなさい。     

   〔証明〕

     四角形ＡＢＣＤは平行四辺形だから       ＯＢ＝

     仮定から ＯＥ＝      

        から      四角形ＥＢＦＤは平行四辺形である。

例

A D

C Ｂ

Ａ

Ｂ Ｃ

Ｄ

Ａ Ｄ

Ｂ Ｅ

Ｃ Ｆ

Ａ Ｅ

Ｏ Ｆ

Ｄ

Ｂ Ｃ

理由

理由

No.27�� 発展 【図形の性質⑨】

問１ 右の   ＡＢＣＤで，各辺の中点を     Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈとする。

    このとき四角形ＥＦＧＨは平行四辺形で     あることを証明しなさい。

   〔証明〕   

問２ 下の平行四辺形ＡＢＣＤの辺上に２点Ｅ，Ｆをとり，平行四辺形ＡＥＣＦを１つ作図しなさい。

   （作図に用いた線は消さずに残しなさい。）

        また，四角形ＡＥＣＦが平行四辺形になる条件をいいなさい。

     条件

Ａ Ｄ

Ｂ Ｃ

Ｇ

Ｆ Ｈ Ｅ

Ａ Ｆ Ｄ

Ｂ Ｅ Ｃ

ＡＦ＝ＥＣ

コンパスや定規で他にも いろいろ作れるよ。

No.28�� 補充 【図形の性質⑩】

〈確認〉

答 ①  角  ②  辺  ③  角（辺），辺（角）  ⑤  垂直

問  長方形，ひし形，正方形を完成させなさい。

    ①  長方形      ②  ひし形

    ③  正方形

次の      にあてはまることばをかきなさい。

①  長方形の定義……４つの      がすべて等しい四角形

②  ひし形の定義……４つの      がすべて等しい四角形

③  正方形の定義……４つの      がすべて等しく，４つの      も            すべて等しい四角形

④  長方形の性質………対角線は等しい

⑤  ひし形の性質………対角線は        に交わる

No.28�� 定着 【図形の性質⑩】

〈確認〉

次の      にあてはまることば，記号をかきなさい。

・長方形，ひし形，正方形はそれぞれ平行四辺形であるといえる。

  その理由は，

   長方形………２組の       がそれぞれ等しい。

   ひし形………２組の       がそれぞれ等しい。

   正方形………２組の    または    がそれぞれ等しい。

・正方形は長方形とひし形の両方の性質を  もっている。よって，正方形は長方形で  ありひし形でもある。

〈長方形の対角線の性質〉

  ・直角三角形の斜辺の中点は，この三角   形の３つの頂点から等しい距離にある。

    Ｍ A ＝     ＝ＭＣ

問  次の文で正しいものはどれですか。番号で答えなさい。

    ①  ひし形は平行四辺形である。

    ②  長方形は正方形である。

    ③  長方形は平行四辺形である。

    ④  正方形は平行四辺形である。

    ⑤  正方形は長方形である。

    ⑥  正方形はひし形である。

答   対角，対辺，対角または対辺，正方形，ＭＢ

き ょ り A Ｄ

Ｂ

Ｍ

Ｃ

ひし形 平行四辺形 長方形

No.28�� 発展 【図形の性質⑩】

〔証明〕

問１

問２

問３

Ｄ A

A D

B C

Ｂ Ｃ

O

No.29�� 補充 【図形の性質⑪】

〈確認〉

 直線 ，ｍが平行で底辺ＢＣを共有している ３つの三角形がある。

 それぞれの三角形の面積を求めなさい。

 ただし，直線 ，ｍ間の距離を６ cm，底辺ＢＣ を４ cm とする。

①  △ ＡＢＣ＝        ＝     cm²

②  △ A' ＢＣ＝          ＝     cm²

③  △ A'' ＢＣ＝          ＝     cm²

なぜ、これらの三角形の面積は，同じになるのか考えてみよう。

問  右の図で //mであるとき，次の問に答えなさい。

    ①  △ＡＢＣと面積の等しい三角形

       を答えなさい。

    ②  △ＣＡＤと面積の等しい三角形

       を答えなさい。

    ③  △ＡOＣと面積の等しい三角形

       を答えなさい。

答   ①，②，③とも，４×６×―，12cm²     底辺が同じで高さが等しいから

１ ２

A A' A''

m Ｂ

C

式      答え

６cm

Ｃ Ｄ

A O

m Ｂ

４cm

No.29�� 定着 【図形の性質⑪】

問２

問１

イ，

ウ，

Ｃ E

Ｄ A

Ｂ

Ｄ A

Ｂ Ｃ Ｅ

No.29�� 発展 【図形の性質⑪】

問２

問３

cm²

〔証 明〕

Ａ

Ｂ Ｃ

Ｏ Ｄ

Ａ

Ｃ Ｂ

Ｑ

Ｍ Ｐ

Ａ Ｆ

Ｃ Ｂ

Ｄ

Ｅ

Ｐ

Ａ

Ｏ

Ｂ

Ｐ Ｑ

Ａ

Ｏ

� ��

130° Ｂ

Ｒ

Ａ Ｏ Ｂ

Ｓ

No.30�� 補充 【図形の性質⑫】

〈確認〉

〈確認〉

答  円周角，中心角，弧

答  ① 130，65，130，65  ② 90  次の    にあてはまることばをかきなさい。

 円Ｏについて，ＡＢを除いた周上の点をＰとするとき，

∠ＡＰＢをＡＢに対する        ，∠ＡＯＢを         という。

また，ＡＢを円周角∠ＡＰＢに対する という。

 次の    にあてはまる数字をかきなさい。

① １つの弧に対する円周角は中心角の半分だから  ∠

�

�

�

�

    ゆえに，１つの弧に対する円周角の大きさは一定である。

② 半円の弧に対する中心角は180°だから，

 円周角は      °である。

1

2 1

2

1

2 1

2

えんしゅうかく ちゅうしんかく こ

No.30�� 定着 【図形の性質⑫】

Ｏ 120°

�

�

� 40° �

Ｏ 55°

50°

Ｏ 136°

Ｏ 35°

75°

� O

�

O

O 70°

55°

� 47°

� Ａ

B

C D

Ｃ

Ａ

Ｂ

Ａ

Ｂ

Ｃ

Ａ

Ｂ Ｃ

A

B

C

A

B

D

Ｂ Ｃ

Ａ

C

A B

C

問_{次の図で∠}

_�

  ①       ②

  ③       ④

  ⑤       ⑥

  ⑦       ⑧

∠

�

�

∠

�

�

∠

�

�