()(1)  P ()1 PP  ()2 PP  () P  P JPP ()[1()] 

(1)

The New Prime theorems（241）-（290）

Jiang, Chun-Xuan (蒋春暄)

Institute for Basic Research, Palm Harbor, FL34682-1577, USA

And: P. O. Box 3924, Beijing 100854, China (蒋春暄，北京3924信箱，100854)

[email protected], [email protected], [email protected], [email protected], [email protected]

Abstract: Using Jiang function

J

²

( ) 

we prove that the new prime theorems (241)-（290) contain infinitely many prime solutions and no prime solutions.

[Jiang, Chun-Xuan (蒋春暄). The New Prime theorems（241）-（290）. Academ Arena 2016;8(1s): 1-46]. (ISSN 1553-992X). http://www.sciencepub.net/academia. 1. doi:10.7537/marsaaj0801s1601.

Keywords: new; prime; theorem; Jiang Chunxuan; mathematics; science; number; function The New Prime theorem（241）

,

402

( 1, , 1)

P jP   k j j   k 

Chun-Xuan Jiang

[email protected] Abstract

Using Jiang function we prove that

jP

402

  k j

contain infinitely many prime solutions and no prime solutions.

Theorem. Let k be a given odd prime.

,

402

( 1, , 1)

P jP   k j j   k 

. （1）

Proof. We have Jiang function [1,2]

2

( ) [ 1 ( )]

P

J    P    P

（2）

where

  

^P

P

，

 ( ) P

is the number of solutions of congruence

1 402

1

0 (mod ), 1, , 1

k

j

jq k j P q P





 

        

（3）

If

 ( ) P  P  2

then from (2) and (3) we have

2

( ) 0

J  

（4）

We prove that (1) contain infinitely many prime solutions.

If

 ( ) P  P  1

2

( ) 0

J  

（5）

We prove that (1) contain no prime solutions [1,2]

If

J

²

( )   0

then we have asymptotic formula [1,2]



⁴⁰²



² 1 ¹

( , 2) : ~ ( )

(402) ( ) log

k

k k k k

J N

N P N jP k j prime

N

  

 



    



（6）

where

( ) ( 1)

P

    

.

(2)

Example 1. Let

k  3, 7

. From (2) and(3) we have

2

( ) 0

J  

（7）

we prove that for

k  3, 7

, (1) contain no prime solutions Example 2. Let

k  3, 7

. From (2) and (3) we have

2

( ) 0

J  

（8）

We prove that for

k  3, 7

(1) contain infinitely many prime solutions

The New Prime theorem（242）

,

404

( 1, , 1)

P jP   k j j   k 

Chun-Xuan Jiang

jP

404

  k j

,

404

( 1, , 1)

P jP   k j j   k 

. （1）

2

( ) [ 1 ( )]

P

J    P    P

（2）

where

  

^P

P

，

 ( ) P

1 404

1

0 (mod ), 1, , 1

k

j

jq k j P q P





 

        

（3）

If

 ( ) P  P  2

2

( ) 0

J  

（4）

If

 ( ) P  P  1

2

( ) 0

J  

（5）

If

J

²

( )   0



⁴⁰⁴



² 1 ¹

( , 2) : ~ ( )

(404) ( ) log

k

k k k k

J N

N P N jP k j prime

N

  

 



    



（6）

where

( ) ( 1)

P

    

.

Example 1. Let

k  3,5

2

( ) 0

J  

（7）

We prove that for

k  3,5

(1) contain no prime solutions.

Example 2. Let k 5. From (2) and (3) we have

(3)

2

( ) 0 J  

（8）

We prove that for k5, (1) contain infinitely many prime solutions

,

406

( 1, , 1)

P jP   k j j   k 

Chun-Xuan Jiang

jP

406

  k j

,

406

( 1, , 1)

P jP   k j j   k 

. （1）

2

( ) [ 1 ( )]

P

J    P    P

（2）

where

  

^P

P

，

 ( ) P

1 406

1

0 (mod ), 1, , 1

k

j

jq k j P q P





 

        

（3）

If

 ( ) P  P  2

2

( ) 0

J  

（4）

If

 ( ) P  P  1

2

( ) 0

J  

（5）

If

J

²

( )   0



⁴⁰⁶



² 1 ¹

( , 2) : ~ ( )

(406) ( ) log

k

k k k k

J N

N P N jP k j prime

N

  

 



    



（6）

where

( ) ( 1)

P

    

.

Example 1. Let

k  3,59

2

( ) 0

J  

（7）

We prove that for

k  3,59

, (1) contain no prime solutions.

Example 2. Let

k  3,59

2

( ) 0

J  

（8）

We prove that for

k  3,59

(4)

,

408

( 1, , 1) P jP   k j j   k 

Chun-Xuan Jiang

jP

408

  k j

,

408

( 1, , 1)

P jP   k j j   k 

. （1）

contain infinitely many prime solutions or no prime solutions.

2

( ) [ 1 ( )]

J   

P

P    P

（2）

where

  

^P

P

，

 ( ) P

1 408

1

0 (mod ), 1, , 1

k

j

jq k j P q P





 

        

（3）

If

 ( ) P  P  2

2

( ) 0

J  

（4）

If

 ( ) P  P  1

2

( ) 0

J  

（5）

If

J

²

( )   0



⁴⁰⁸



² 1 ¹

( , 2) : ~ ( )

(408) ( ) log

k

k k k k

J N

N P N jP k j prime

N

  

 



    



（6）

where

( ) ( 1)

P

    

.

Example 1. Let

k  3,5, 7,13,103,137, 409

2

( ) 0

J  

（7）

We prove that for

k  3,5, 7,13,103,137, 409

Example 2. Let

k  3,5, 7,13,103,137, 409

2

( ) 0

J  

（8）

We prove that for

k  3,5, 7,13,103,137, 409

,

410

( 1, , 1)

P jP   k j j   k 

Chun-Xuan Jiang

(5)

jP

410

  k j

,

410

( 1, , 1)

P jP   k j j   k 

. （1）

2

( ) [ 1 ( )]

J   

P

P    P

（2）

where

  

^P

P

，

 ( ) P

1 410

1

0 (mod ), 1, , 1

k

j

jq k j P q P





 

        

（3）

If

 ( ) P  P  2

2

( ) 0

J  

（4）

If

 ( ) P  P  1

2

( ) 0

J  

（5）

If

J

²

( )   0



⁴¹⁰



² 1 ¹

( , 2) : ~ ( )

(410) ( ) log

k

k k k k

J N

N P N jP k j prime

N

  

 



    



（6）

where

( ) ( 1)

P

    

. Example 1. Let

k  3,11,83

2

( ) 0

J  

（7）

We prove that for

k  3,11,83

Example 2. Let

k  3,11,83

2

( ) 0

J  

（8）

We prove that for

k  3,11,83

, (1) contain infinitely many prime solutions

,

412

( 1, , 1)

P jP   k j j   k 

Chun-Xuan Jiang

jP

412

  k j

,

412

( 1, , 1)

P jP   k j j   k 

. （1）

(6)

2

( ) [ 1 ( )]

J   

P

P    P

（2）

where

  

^P

P

，

 ( ) P

1 412

1

0 (mod ), 1, , 1

k

j

jq k j P q P





 

        

（3）

If

 ( ) P  P  2

2

( ) 0

J  

（4）

If

 ( ) P  P  1

2

( ) 0

J  

（5）

If

J

²

( )   0



⁴¹²



² 1 ¹

( , 2) : ~ ( )

(412) ( ) log

k

k k k k

J N

N P N jP k j prime

N

  

 



    



（6）

where

( ) ( 1)

P

    

. Example 1. Let

k  3,5

2

( ) 0

J  

（7）

We prove that for

k  3,5

2

( ) 0

J  

（8）

We prove that for k 5, (1) contain infinitely many prime solutions

,

414

( 1, , 1)

P jP   k j j   k 

Chun-Xuan Jiang

jP

414

  k j

,

414

( 1, , 1)

P jP   k j j   k 

, （1）

2

( ) [ 1 ( )]

P

J    P    P

（2）

where

  

^P

P

，

 ( ) P

(7)

1 414

1

0 (mod ), 1, , 1

k

j

jq k j P q P





 

        

（3）

If

 ( ) P  P  2

2

( ) 0

J  

（4）

If

 ( ) P  P  1

2

( ) 0

J  

（5）

If

J

²

( )   0



⁴¹⁴



² 1 ¹

( , 2) : ~ ( )

(414) ( ) log

k

k k k k

J N

N P N jP k j prime

N

  

 



    



（6）

where

( ) ( 1)

P

    

.

Example 1. Let

k  3, 7,19,97,139

2

( ) 0

J  

（7）

We prove that for

k  3, 7,19,97,139

Example 2. Let

k  3, 7,19, 97,139

2

( ) 0

J  

（8）

We prove that for

k  3, 7,19, 97,139

,

416

( 1, , 1)

P jP   k j j   k 

Chun-Xuan Jiang

jP

416

  k j

,

416

( 1, , 1)

P jP   k j j   k 

, （1）

2

( ) [ 1 ( )]

P

J    P    P

（2）

where

  

^P

P

，

 ( ) P

1 416

1

0 (mod ), 1, , 1

k

j

jq k j P q P





 

        

（3）

If

 ( ) P  P  2

2

( ) 0

J  

（4）

(8)

If

 ( ) P  P  1

2

( ) 0

J  

（5）

If

J

²

( )   0



⁴¹⁶



² 1 ¹

( , 2) : ~ ( )

(416) ( ) log

k

k k k k

J N

N P N jP k j prime

N

  

 



    



（6）

where

( ) ( 1)

P

    

. Example 1. Let

k  3,5,17, 53

2

( ) 0

J  

（7）

We prove that for

k  3,5,17, 53

Example 2. Let

k  3,5,17,53

2

( ) 0

J  

（8）

We prove that for

k  3,5,17,53

,

418

( 1, , 1)

P jP   k j j   k 

Chun-Xuan Jiang

jP

418

  k j

,

418

( 1, , 1)

P jP   k j j   k 

, （1）

2

( ) [ 1 ( )]

P

J    P    P

（2）

where

  

^P

P

，

 ( ) P

1 418

1

0 (mod ), 1, , 1

k

j

jq k j P q P





 

        

（3）

If

 ( ) P  P  2

2

( ) 0

J  

（4）

If

 ( ) P  P  1

2

( ) 0

J  

（5）

(9)

If

J

²

( )   0



⁴¹⁸



² 1 ¹

( , 2) : ~ ( )

(418) ( ) log

k

k k k k

J N

N P N jP k j prime

N

  

 



    



（6）

where

( ) ( 1)

P

    

. Example 1. Let

k  3, 23, 419

2

( ) 0

J  

（7）

We prove that for

k  3, 23, 419

Example 2. Let

k  3, 23, 419

2

( ) 0

J  

（8）

We prove that for

k  3, 23, 419

,

420

( 1, , 1)

P jP   k j j   k 

Chun-Xuan Jiang

jP

420

  k j

,

420

( 1, , 1)

P jP   k j j   k 

, （1）

2

( ) [ 1 ( )]

P

J    P    P

（2）

where

  

^P

P

，

 ( ) P

1 420

1

0 (mod ), 1, , 1

k

j

jq k j P q P





 

        

（3）

If

 ( ) P  P  2

2

( ) 0

J  

（4）

If

 ( ) P  P  1

2

( ) 0

J  

（5）

If

J

²

( )   0

 

1

420 2

1

( , 2) : ~ ( )

(420) ( ) log

k

k k k k

J N

N P N jP k j prime

N

  

 



    



（6）

(10)

where

( ) ( 1)

P

    

.

Example 1. Let

k  3,5, 7,11,13, 29, 31, 43, 61, 71, 211, 421

2

( ) 0

J  

（7）

We prove that for

k  3,5, 7,11,13, 29, 31, 43, 61, 71, 211, 421

Example 2. Let

k  3,5, 7,11,13, 29,31, 43, 61, 71, 211, 421

2

( ) 0

J  

（8）

We prove that for

k  3,5, 7,11,13, 29,31, 43, 61, 71, 211, 421

,

422

( 1, , 1)

P jP   k j j   k 

Chun-Xuan Jiang

jP

422

  k j

,

422

( 1, , 1)

P jP   k j j   k 

. （1）

2

( ) [ 1 ( )]

P

J    P    P

（2）

where

  

^P

P

，

 ( ) P

1 422

1

0 (mod ), 1, , 1

k

j

jq k j P q P





 

        

（3）

If

 ( ) P  P  2

2

( ) 0

J  

（4）

If

 ( ) P  P  1

2

( ) 0

J  

（5）

If

J

²

( )   0



⁴²²



² 1 ¹

( , 2) : ~ ( )

(422) ( ) log

k

k k k k

J N

N P N jP k j prime

N

  

 



    



（6）

where

( ) ( 1)

P

    

.

Example 1. Let k 3. From (2) and(3) we have

2

( ) 0

J  

（7）

(11)

we prove that for k 3, (1) contain no prime solutions Example 2. Let k3. From (2) and (3) we have

2

( ) 0

J  

（8）

We prove that for k3 (1) contain infinitely many prime solutions

,

424

( 1, , 1)

P jP   k j j   k 

Chun-Xuan Jiang

jP

424

  k j

,

424

( 1, , 1)

P jP   k j j   k 

. （1）

2

( ) [ 1 ( )]

P

J    P    P

（2）

where

  

^P

P

，

 ( ) P

1 424

1

0 (mod ), 1, , 1

k

j

jq k j P q P





 

        

（3）

If

 ( ) P  P  2

2

( ) 0

J  

（4）

If

 ( ) P  P  1

2

( ) 0

J  

（5）

If

J

²

( )   0



⁴²⁴



² 1 ¹

( , 2) : ~ ( )

(424) ( ) log

k

k k k k

J N

N P N jP k j prime

N

  

 



    



（6）

where

( ) ( 1)

P

    

. Example 1. Let

k  3, 5,107

2

( ) 0

J  

（7）

We prove that for

k  3, 5,107

Example 2. Let

k  3,5,107

2

( ) 0

J  

（8）

We prove that for

k  3,5,107

(12)

,

426

( 1, , 1)

P jP   k j j   k 

Chun-Xuan Jiang

jP

426

  k j

,

426

( 1, , 1)

P jP   k j j   k 

. （1）

2

( ) [ 1 ( )]

P

J    P    P

（2）

where

  

^P

P

，

 ( ) P

1 426

1

0 (mod ), 1, , 1

k

j

jq k j P q P





 

        

（3）

If

 ( ) P  P  2

2

( ) 0

J  

（4）

If

 ( ) P  P  1

2

( ) 0

J  

（5）

If

J

²

( )   0



⁴²⁶



² 1 ¹

( , 2) : ~ ( )

(426) ( ) log

k

k k k k

J N

N P N jP k j prime

N

  

 



    



（6）

where

( ) ( 1)

P

    

. Example 1. Let

k  3, 7

2

( ) 0

J  

（7）

We prove that for

k  3, 7

Example 2. Let

k  3, 7

2

( ) 0

J  

（8）

We prove that for

k  3, 7

,

428

( 1, , 1)

P jP   k j j   k 

Chun-Xuan Jiang

[email protected]

(13)

Abstract

jP

428

  k j

,

428

( 1, , 1)

P jP   k j j   k 

. （1）

contain infinitely many prime solutions or no prime solutions.

2

( ) [ 1 ( )]

P

J    P    P

（2）

where

  

^P

P

，

 ( ) P

1 428

1

0 (mod ), 1, , 1

k

j

jq k j P q P





 

        

（3）

If

 ( ) P  P  2

2

( ) 0

J  

（4）

If

 ( ) P  P  1

2

( ) 0

J  

（5）

If

J

²

( )   0



⁴²⁸



² 1 ¹

( , 2) : ~ ( )

(428) ( ) log

k

k k k k

J N

N P N jP k j prime

N

  

 



    



（6）

where

( ) ( 1)

P

    

. Example 1. Let

k  3,5

2

( ) 0

J  

（7）

We prove that for

k  3,5

Example 2. Let

k  3,5

2

( ) 0

J  

（8）

We prove that for

k  3,5

,

430

( 1, , 1)

P jP   k j j   k 

Chun-Xuan Jiang

jP

430

  k j

(14)

,

430

( 1, , 1) P jP   k j j   k 

. （1）

2

( ) [ 1 ( )]

P

J    P    P

（2）

where

  

^P

P

，

 ( ) P

1 430

1

0 (mod ), 1, , 1

k

j

jq k j P q P





 

        

（3）

If

 ( ) P  P  2

2

( ) 0

J  

（4）

If

 ( ) P  P  1

2

( ) 0

J  

（5）

If

J

²

( )   0



⁴³⁰



² 1 ¹

( , 2) : ~ ( )

(430) ( ) log

k

k k k k

J N

N P N jP k j prime

N

  

 



    



（6）

where

( ) ( 1)

P

    

.

Example 1. Let

k  3,11, 431

2

( ) 0

J  

（7）

We prove that for

k  3,11, 431

Example 2. Let

k  3,11, 431

2

( ) 0

J  

（8）

We prove that for

k  3,11, 431

,

432

( 1, , 1)

P jP   k j j   k 

Chun-Xuan Jiang

jP

432

  k j

,

432

( 1, , 1)

P jP   k j j   k 

. （1）

2

( ) [ 1 ( )]

J   

P

P    P

（2）

(15)

where

  

^P

P

，

 ( ) P

1 432

1

0 (mod ), 1, , 1

k

j

jq k j P q P





 

        

（3）

If

 ( ) P  P  2

2

( ) 0

J  

（4）

If

 ( ) P  P  1

2

( ) 0

J  

（5）

If

J

²

( )   0



⁴³²



² 1 ¹

( , 2) : ~ ( )

(432) ( ) log

k

k k k k

J N

N P N jP k j prime

N

  

 



    



（6）

where

( ) ( 1)

P

    

.

Example 1. Let

k  3,5, 7,13,17,19,37, 73,109, 433

2

( ) 0

J  

（7）

We prove that for

k  3,5, 7,13,17,19,37, 73,109, 433

Example 2. Let

k  3,5, 7,13,17,19, 37, 73,109, 433

2

( ) 0

J  

（8）

We prove that for

k  3,5,167

,

434

( 1, , 1)

P jP   k j j   k 

Chun-Xuan Jiang

jP

434

  k j

,

434

( 1, , 1)

P jP   k j j   k 

, （1）

2

( ) [ 1 ( )]

P

J    P    P

（2）

where

  

^P

P

，

 ( ) P

1 434

1

0 (mod ), 1, , 1

k

j

jq k j P q P





 

        

（3）

If

 ( ) P  P  2

(16)

2

( ) 0 J  

（4）

If

 ( ) P  P  1

2

( ) 0

J  

（5）

If

J

²

( )   0



⁴³⁴



² 1 ¹

( , 2) : ~ ( )

(434) ( ) log

k

k k k k

J N

N P N jP k j prime

N

  

 



    



（6）

where

( ) ( 1)

P

    

.

Example 1. Let k 3. From (2) and(3) we have

2

( ) 0

J  

（7）

We prove that for k3, (1) contain no prime solutions.

2

( ) 0

J  

（8）

,

436

( 1, , 1)

P jP   k j j   k 

Chun-Xuan Jiang

jP

436

  k j

,

436

( 1, , 1)

P jP   k j j   k 

, （1）

2

( ) [ 1 ( )]

P

J    P    P

（2）

where

  

^P

P

，

 ( ) P

1 436

1

0 (mod ), 1, , 1

k

j

jq k j P q P





 

        

（3）

If

 ( ) P  P  2

2

( ) 0

J  

（4）

If

 ( ) P  P  1

2

( ) 0

J  

（5）

(17)

If

J

²

( )   0



⁴³⁶



² 1 ¹

( , 2) : ~ ( )

(436) ( ) log

k

k k k k

J N

N P N jP k j prime

N

  

 



    



（6）

where

( ) ( 1)

P

    

. Example 1. Let

k  3,5

2

( ) 0

J  

（7）

We prove that for

k  3,5

Example 2. Let k5. From (2) and (3) we have

2

( ) 0

J  

（8）

,

438

( 1, , 1)

P jP   k j j   k 

Chun-Xuan Jiang

jP

438

  k j

,

438

( 1, , 1)

P jP   k j j   k 

, （1）

2

( ) [ 1 ( )]

P

J    P    P

（2）

where

  

^P

P

，

 ( ) P

1 438

1

0 (mod ), 1, , 1

k

j

jq k j P q P





 

        

（3）

If

 ( ) P  P  2

2

( ) 0

J  

（4）

If

 ( ) P  P  1

2

( ) 0

J  

（5）

If

J

²

( )   0



⁴³⁸



² 1 ¹

( , 2) : ~ ( )

(438) ( ) log

k

k k k k

J N

N P N jP k j prime

N

  

 



    



（6）

where

( ) ( 1)

P

    

.

(18)

Example 1. Let

k  3, 7, 439

2

( ) 0

J  

（7）

We prove that for

k  3, 7, 439

Example 2. Let

k  3, 7, 439

2

( ) 0

J  

（8）

We prove that for

k  3, 7, 439

,

440

( 1, , 1)

P jP   k j j   k 

Chun-Xuan Jiang

jP

440

  k j

,

440

( 1, , 1)

P jP   k j j   k 

, （1）

2

( ) [ 1 ( )]

P

J    P    P

（2）

where

  

^P

P

，

 ( ) P

1 440

1

0 (mod ), 1, , 1

k

j

jq k j P q P





 

        

（3）

If

 ( ) P  P  2

2

( ) 0

J  

（4）

If

 ( ) P  P  1

2

( ) 0

J  

（5）

If

J

²

( )   0



⁴⁴⁰



² 1 ¹

( , 2) : ~ ( )

(440) ( ) log

k

k k k k

J N

N P N jP k j prime

N

  

 



    



（6）

where

( ) ( 1)

P

    

.

Example 1. Let

k  3,5,11, 23, 41,89

2

( ) 0

J  

（7）

We prove that for

k  3,5,11, 23, 41,89

Example 2. Let

k  3,5,11, 23, 41,89

(19)

2

( ) 0 J  

（8）

We prove that for

k  3,5,11, 23, 41,89

,

442

( 1, , 1)

P jP   k j j   k 

Chun-Xuan Jiang

jP

442

  k j

,

442

( 1, , 1)

P jP   k j j   k 

. （1）

2

( ) [ 1 ( )]

P

J    P    P

（2）

where

  

^P

P

，

 ( ) P

1 442

1

0 (mod ), 1, , 1

k

j

jq k j P q P





 

        

（3）

If

 ( ) P  P  2

2

( ) 0

J  

（4）

If

 ( ) P  P  1

2

( ) 0

J  

（5）

If

J

²

( )   0



⁴⁴²



² 1 ¹

( , 2) : ~ ( )

(442) ( ) log

k

k k k k

J N

N P N jP k j prime

N

  

 



    



（6）

where

( ) ( 1)

P

    

. Example 1. Let

k  3, 443

2

( ) 0

J  

（7）

we prove that for

k  3, 443

, (1) contain no prime solutions Example 2. Let

k  3, 443

2

( ) 0

J  

（8）

We prove that for

k  3, 443

(20)

,

444

( 1, , 1)

P jP   k j j   k 

Chun-Xuan Jiang

jP

444

  k j

,

444

( 1, , 1)

P jP   k j j   k 

. （1）

2

( ) [ 1 ( )]

P

J    P    P

（2）

where

  

^P

P

，

 ( ) P

1 444

1

0 (mod ), 1, , 1

k

j

jq k j P q P





 

        

（3）

If

 ( ) P  P  2

2

( ) 0

J  

（4）

If

 ( ) P  P  1

2

( ) 0

J  

（5）

If

J

²

( )   0



⁴⁴⁴



² 1 ¹

( , 2) : ~ ( )

(444) ( ) log

k

k k k k

J N

N P N jP k j prime

N

  

 



    



（6）

where

( ) ( 1)

P

    

.

Example 1. Let

k  3,5, 7,13,149

2

( ) 0

J  

（7）

We prove that for

k  3,5, 7,13,149

Example 2. Let

k  3,5, 7,13,149

2

( ) 0

J  

（8）

We prove that for

k  3,5, 7,13,149

,

446

( 1, , 1)

P jP   k j j   k 

Chun-Xuan Jiang