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微積分学演習第3回 1

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Academic year: 2021

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微積分学演習第3回

1

次の関数

f(x, y)

の極値を求めよ.

(1) f (x, y) = 1

2 x

2

xy + y

3

(2) f (x, y) = x

4

x

2

y

2

+ y

4

(3) f (x, y) = x

3

+ y

3

3x 12y + 2 (4) f (x, y) = xy log(x

2

+ y

2

)

2

次の関数に対し原点の近くにおける

3

次の近似多項式を求めよ.

(1) f (x, y) = sin x cos y (2) f (x, y) = e

x

sin(x + y) (3) f (x, y) = 1

1 x y (4) f (x, y) =

1 xy 1 + x + y

3

ラグランジュの未定乗数法を用いて

(1) x

2

2xy + 5y

2

= 2

のとき,

x

2

+ 6y

2の最大値と最小値を求めよ.

(2) x

2

4xy 2y

2

= 10

のとき,

x

2

+ y

2の最大値と最小値を求めよ.

4

次の関数の与えられた集合における最大値と最小値を求めよ.

(1) f(x, y) = xy, D = {(x, y) | x

2

+ y

2

= a

2

}, a > 0.

(2) f(x, y) = x

2

+ y

2

, D = {(x, y) | 2x

2

+ y

2

4}.

(3) f(x, y) = x

2

+ y

2

xy 3x, D = {(x, y) | 0 x 3, 0 y 2}.

5

半径

a

の円に内接する三角形の中で面積が最大になる三角形と,その面積を求め よ.

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