凸多面体の見取図の立体実現について

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(1)凸多面体の見取図の立体実現について教科一領域教育学専攻. 自然系コ」ス M 1 0 1 6 7 E 岩崎利紀の映像に近く」「その平面図から立体が容易に想起され」. 1 研究の内容. 「その図を用いて，立体の構成や性質を考察することが r見取図」を辞書で調べると，「一一定の位置から目に. できる」といった性質をもつ図が見取図と呼ばれるので. 映じたままの実景の概要を描いた図．」とある．物体が. あろうし，見取図を用いる場面や文脈によって，用いる. 目に映る現象を幾何学的にモデル化した図法として，中. 心投影図法（透視図法）と呼ばれる方法がある1この図. のにふさわしい図法も変わってこよう．. しかしながら，中心投影図法を一つの標準的な見取図. 法は，立体を見たままに近い形で平面に表す図法とされ. の方法と定めて，描かれた図が正しい図であるか，また，. る．実際，カメラによって写真を撮った時の映像は中心. その図から元の立体を再現できるか，などを論じること. 投影図法による図と極めて近い．. は数学的に大いに興味深い問題であろう．また，中心投. 一方で，小学校の算数で描き方を習う見取図は，斜投. 影図法においては，一つの視点を定めたうえで立体を描. 影図法と呼ばれるものの一種である．実際の授業では，主として直方体や立方体の見取図を扱うこととなる．. くこととなるが，逆に描かれた図から立体だけでなく，. 視点の位置の推測を行うことなどは応用上にも意味が. F. ある．さらに，中心投影図法における視点を、投影面から遠ざけていくと，特別な平行投影図法である垂直投影図法に近くなる．実際，望遠カメラなどで撮影した写真は垂直投影図法による図と近い．垂直投影図法による図が，小学校で扱う見取図と一致することがあるのか，な. しかしながら，中心投影図法によって直方体や止方体. どといった問題も考えられる．. を描いたときに，ここで習う図が得られるかというと，. 本研究では，与えられた線画が中心投影や平行投影に. 実はそのようなことはない．というのも，中心投影図法. よる見取図として正しい図であるかどうか，特に後半で. は別名で遠近法とも呼ばれるように，そこでは一般に，. は直方体の見取図に関しでそのような問題を扱う．. 視点から離れたものほど小さく描かれることになるが，斜投影図法では直方体の前面と背面の同じ長さの辺が，. 見取図上でも同じ長さとして描かれるからである．実. 2 研究の特徴. 際，上図の斜投影図において，λDと亙Fの長さが等し. 見取図というのは立体の様子を表す回として算数で. くなっている・数学教育学の文献を見ても，例えば，［11. 扱われ，中学校においても製図の方法としてキャビネッ. において，普通，見取図と呼ばれるものは上図のような. ト図，等角図について学習する．しかし，見取図とは何. 斜投影図のことであるとしながらも，一方で，r形状や. かということや立体と見取図の関係についてはあまり深. 大小を目に映ずる実際に，できるだけ近いものとして表. く掘り下げられない．あらためて見取図を考察すると，. 現しうる点が透視図の特徴であり，合理的な見取図とい. 一見，立体の見取図に見えても，正確な見取図として成. うことができる．」とあるように中心投影図法が見取図. 立するのか，逆にどのような条件を満たしていれば正確. と呼ぶに相応しいことも認めている．. な見取図として成立するのかといったような疑問が生じ. 結局のところ，どの描き方が「正しい見取図」か，と. る．そもそも，正確な見取図として成立するとはどうい. いうような議論は無意味であろう．要するに「見たまま. うことであろうか．. 一3！8一.

(2) 本研究では，見取図というものを中心投影，平行投影. た，中心投影や平行投影についての定義もここで述べた．. を用いて定義し，見取図を数学的に捉える．その見取図. さらに，直方体を例にキャビネット図や等角図について. の定義にしたがって，ある線画Dが中心投影，平行投影. 述べた．. による立体の見取図となっているかどうか，つまり立体. 2章ではある線画Dが中心投影，または平行投影によ. 実現可能かという立体実現問題について考察していく．. る見取図として立体実現可能であるとき，立体実現の可. ここでの立体実現問題は平面にかかれた色々な形の線画. 否は視点や視線方向の変更，また投影方法の変更によっ. に対し，立体実現できるかどうかを一っ一っ判定してい. ても依存しないことについて示した．ただし，多面体の. くようなものではなく，視点や視線方向，投影方法を変. 族を凸多面体に指定して立体実現問題を考えた．その準. えることによって指定した多面体での立体実現の可否が. 備として，1章で凸包によって定義した凸多面体を使っ. どのようになるのかについて考えていくことである．. て，凸多面体を凸多面体に移す変換ψの条件を示した・. また，立体を表すのに使われる見取図の一つである. その上で，視点，視線方向の変更，投影方法の変更を行. キャビネット図や等角図についても考察した．中心投影. う変換が変換後も投影図を変えず，凸多面体を凸多面体. では遠近法が働くため，視点をどの位置にしても立方体. に移すことを示した．. のキャビネット図や等角図が立方体の中心投影図と一. また，平行投影を中心投影に投影方法を変更する変換. 致することはない．そこで，平行投影を中心投影に投影. を用いて，中心投影図がキャビネット図，等角図となる. 方法を変える変換を用いることで，中心投影図が立方体. ような立体について述べた．. のキャビネット図や等角図と一致する立体の模型を実. 3章では直方体を想起させる線画のうち，どのような. 際につくり，求めた視点からカメラで撮った映像がキャ. ものが正しい直方体の見取図となるのかを述べた．つま. ビネット図や等角図となることを実際に確かめた、その. り，直方体を想起させるようなある線画Dが中心投影. 模型をつくる活動をするまでは，視点の変更を行う変換. や垂直投影による見取図として直方体で立体実現可能. や投影方法を変更する変換を一般化されたものとして. であるための必要十分条件を示した．また，平行な直線. だけで捉えていたが，特定の場面において実際に考えた. 群の中心投影像は共点的な直線群になり，直方体の辺は. り，手を動かして活動する二とはさらに視点変更や投影. 平行な線分の組み合わせでできているので，視点から見. 方法の変更を行う変換についての理解を深めることに. える直方体の辺の中心投影像は共点的な3組の線分群. もっながった．. となることを示した．共点的な3組のうち，消点を三つ. さらに，．立体実現問題は空間ベクトルの教材としての. もつ場合から，消点をもたない場合まで，それぞれ必要. 可能性があるものである．例えば，立体の投影像は視点. 十分条件を示した．中心投影図がキャビネット図や等角. や視線方向で定まる直線と投影面との交点で求まり，空. 図に一致することはないことにっいてもここで証明を. 間ベクトルの知識があれば理解できる．工夫の仕方に. した．また，直方体を想起させる線画Dを垂直投影に. よって様々な状況での立体実現問題を設定し，見取図に. よる見取図とするとき，まず線画Dの必要条件として. 対して実際に展開図をつくり，立体を組み立てるところ. 3組の平行な線分となることがあげられる．さらに，ど. まできる．また，見取図だけでなく写真，絵を中心投影. のような必要条件が必要なのか，その必要十分条件を示. 図として捉え，視点の位置を考察するというような生活. した．. に身近な題材を活用した問題も考えられる．・参考文献：［11佐々木徹郎，『算数・数学科重要用語300. の基礎知識』，明治図書出版，2008. 3 論文の構成 1章では線画に対し立体実現の対象となる凸多面体の. 定義を有限個の半空間の共通部分である凸多面集合を. 主任指導教員濱中裕明. 用いた定義と凸包を用いた定義の二通りから述べた．ま. 指導教員濱中裕明. 一3！9一.

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