絡作用素と
p
進簡約群の既約表現の構成
成田宏秋 熊本大学自然科学研究科
講演概略
1. 導入 2. 絡作用素 3. Plancherel 測度 4. 自己準同型環定理と R-群 5. 既約表現の分類 6. 実例：G = U(2), U(3) の場合 (表現の分類表を以下で与える.)表：G = U (2)(F ), U (3)(F )
の非超カスプ表現
(1) U (2)(F ) の既約非カスプ表現の表. 種類 名称 ユニタリ性 L パラメータ (φ|LE) Sφ 二乗可積分 StG(η) ユニタリ η ρ2 1 緩増加 π(µ)± µ⊕ µ Z/2Z IG B(χ), (χ|F× ̸= ωE/F) χ⊕ σ(χ)−1 1 非緩増加 ηu(det) η| | 1/2 E ⊕ η| | −1/2 E 1 IG B(η| | λ/2 E ), (0 <|λ| < 1) η| | λ/2 E ⊕ η| | −λ/2 E 1 IBG(χ| |λ/2E ), 非ユニタリ χ| |λ/2E ⊕ χ| |−λ/2E 1 ( χ|F× ̸= 1F×, λ̸= 0 or χ|F× = 1F×, |λ| > 1 ) 1(2) U (3)(F ) の既約非超カスプ表現の表. 種類 名称 ユニタリ性 L パラメータ (φ|LE) Sφ 二乗可積分 St G(η) ユニタリ η ρ3 1 π2(µ, η) (µ ρ 2)⊕ η Z/2Z 緩増加 π(η1, η)± η1⊕2⊕ η Z/2Z IG B(χ ηu), χ⊕ σ(χ)−1⊕ η 1 (χ /∈ Π(E×, 1F×) or χ = η) 非緩増加 ηu(det) η| |E⊕ η ⊕ η| |−1E 1 πnt(µ, η) µ| |1/2 E ⊕ µ| | −1/2 E ⊕ η 1 IBG(η| |λE ηu), η| |λ E ⊕ η ⊕ η| |−λE 1 (0 <|λ| < 1) IG B(µ| |λE ηu), µ| |λ E ⊕ η ⊕ µ| |−λE 1 (0 <|λ| < 1/2) IG B(χ| |λE ηu), χ| |λE ⊕ η ⊕ χ| |−λE 1 χ̸= η, /∈ Π(E×, ωE/F), and λ ̸= 0, or χ = µ, |λ| > 1/2, or χ = η, |λ| > 1 ここで LF = WF× SU2(R) を F の局所 Langlands 群として，表現に付随する L パラメー タ φ : LF →LG は制限 φ|LE で決まることが知られている．なお ρn:= Symn−1ρ2 : SL2(C) −→ SLn(C) は SL2(C) の唯一の n 次元既約有理表現で，その SU2(R) への制限も ρnと書いている． 最後にSφ := π0(ZGˆ(Im φ)/ZGˆ) である．
参考文献
[Art89] James Arthur. Intertwining operators and residues I. Weighted characters. Jour. of Funct. Anal., 84:19–84, 1989.
[Art93] James Arthur. On elliptic tempered characters. Acta Math., 171:73–138, 1993. [BZ77] I. N. Bernstein and A. V. Zelevinsky. Induced representations of reductive
p-adic groups. I. Ann. Sci. ´Ecole Norm. Sup. (4), 10(4):441–472, 1977. 2
[CL] Kuok Fai Chao and Wen-Wei Li. Dual R-groups of the inner forms of SL(N ). to appear in Pacific Journal of Math.
[Kon03] Takuya Konno. A note on the Langlands classification and irreducibility of induced representations of p-adic groups. Kyushu J. Math., 57(2):383–409, 2003.
[KS88] C. David Keys and Freydoon Shahidi. Artin L-functions and normalization of intertwining operators. Ann. Sci. ´Ecole Norm. Sup. (4), 21(1):67–89, 1988. [Sa97] Francois Sauvageot. Principe de densit´e pour les groupes r´eductifs. Compos.
Math., 108:151–184, 1997
[Sil78] Allan J. Silberger. The Knapp-Stein dimension theorem for p-adic groups. Proc. Amer. Math. Soc., 68(2):243–246, 1978.
[Sil79a] Allan J. Silberger. Correction: “The Knapp-Stein dimension theorem for p-adic groups” [Proc. Amer. Math. Soc. 68 (1978), no. 2, 243–246; MR 58 #11245]. Proc. Amer. Math. Soc., 76(1):169–170, 1979.
[Sil79b] Allan J. Silberger. Introduction to harmonic analysis on reductive p-adic groups. Princeton University Press, Princeton, N.J., 1979. Based on lectures by Harish-Chandra at the Institute for Advanced Study, 1971–1973.
[Wa03] J. L. Waldspurger. La formule de Plancherel pour les group p-adiques d’apr´es Harish-Chandra. Journal of the Inst. of Math. Juissieu, 2 (2): 235–333, 2003.
