解答例＋引用題 理系数学 過去問

2009 東北大学（理系）前期日程 問題

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１ 解答解説のページへ

DEFを実数とする。以下の問いに答えよ。

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２ 解答解説のページへ

/を以上の自然数Dを＜D＜を満たす実数とする。縦 FP横/FPの 長方形の紙を用いて次のように長方形$%を作る。

長方形$の作り方。/枚の紙を横に並べて順に辺 FPの正方形をのりしろと

して（隣り合う紙が横FP

重なるように）はり合わせ 縦 FP の横長の長方形を 作る。

長方形 % の作り方。/ 枚の紙を縦に並べて隣り合 う 紙 が 縦 DFP 重 な る よ う に は り 合 わ せ て 横

/ FPの長方形を作る。

長方形 $% の面積をそれぞれ_{6FPおよび6FP}

とおくとき以下の問いに答えよ。

6と6を求めよ。

/ のとき 6＜6となるDの範囲を求めよ。

6＜6となる以上の自然数/があるようなDの範囲を求めよ。

/

/

のりづけ

のりづけ

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３ 解答解説のページへ

袋の中に青玉が個赤玉が個入っている。袋から回につき個ずつ玉を取り

出す。一度取り出した玉は袋に戻さないとして以下の問いに答えよ。

回目に初めて赤玉が取り出される確率を求めよ。

回目が終わった時点で赤玉がすべて取り出されている確率を求めよ。

赤玉がちょうど回目ですべて取り出される確率を求めよ。

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４ 解答解説のページへ

Dを≦D≦Sを満たす実数とする。以下の問いに答えよ。

実数T に対してVLQT とVLQTDのうち小さくないほうをITとおく。すな わち

T

VLQ ≧VLQTDのときIT VLQT

T

VLQ ＜VLQTDのときIT VLQTD

となる関数 ITを考える。このとき定積分,

³

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５ 解答解説のページへ

DEFGST はDGEF＞S＞T＞ を満たす実数とする。 つの行列

¸ ¹ · ¨ © §

G F E D

$ と ¸

¹ · ¨ © §

T S

3 が_{$3$ 3を満たすとする。このとき以下の問いに答}

えよ。

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６ 解答解説のページへ

実数D に対して[の方程式 [[ D [ D [ が相異なるつ の実数解をもつようなDの範囲を求めよ。

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１ 問題のページへ

_{DEFDEF DEFDEFDEEFFD………①}

すると DE Fのとき①から _{DEDEF Fが成り立つ。}

_DEFDEEFFD

^

`

すると DE≧Fのとき①②から _{DEDEF≧Fが成り立つ。} なお等号成立はDE FまたはD E Fのときである。

［解 説］

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２ 問題のページへ

のりしろの部分を差し引いた/枚ともとの枚の和で考えると

^

`

/ / / u /

6

^

`

6 u

/ のとき 6 6 DD Dとなり 6＜6より

＜ D D＜

＜D＜より＜D＜

6＜6より /＜D//D D//D＜

ここで _I/ D//D_{とおくと I/＜となる以上の自然数/が存在}

する条件は＜D＜ I D＜に注意すると I D＜であり

＜D＜

［解 説］

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３ 問題のページへ

回目に初めて赤玉が取り出されるのは青→青→青→赤からその確率は

3 3 ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ u

回目が終わった時点で赤玉がすべて取り出されるすなわち赤玉 個青玉

個が取り出される確率は

3 3

& ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ u u

回目が終わった時点で赤玉がすべて取り出されるすなわち赤玉 個青玉

個が取り出される確率は

3 3

& ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ u u

すると赤玉がちょうど回目ですべて取り出される確率はから

回目が終わった時点で取り出されている赤玉の個数は L 個のとき この場合の確率は 3₃

˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜

LL 個のとき この場合の確率は & 3₃ 3 ˜ ˜ ˜˜ ˜ ˜ ˜ u u

LLL 個のとき この場合の確率は & 3₃ 3 ˜ ˜ ˜˜ ˜ ˜ ˜ u u

LY 個のとき この場合の確率は & 3₃ 3 ˜ ˜ ˜˜ ˜ ˜ ˜ u u

L∼LYより赤玉の個数の期待値は

u u u u

［解 説］

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４ 問題のページへ

＜D≦S ≦T≦SにおいてVLQT VLQT D

とおくと

D

T S

T T SD

すると ITはVLQTとVLQT Dのうち小さくな い方より

T

I VLQT

これはD のときも満たしている。

さて ,

³

³

³

_SS

S

T T

T

T _D

D

G D G

,

VLQ VLQ

>

@

>

@

T

T D D _D

FRV

FRV

FRV

より _, VLQ_DVLQ_D

よって VLQD

［解 説］

定積分の計算問題です。で最大値を求めるのに微分をするまでもありません

でした。

2 θ

\

D

D

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５ 問題のページへ

条件より _{$3$ 3……①なので}

_{$ 3 3$ $3$3$ $3 3 $3}

3 ˜ ˜ ………②

¸ ¹ · ¨ © § T S

3 より _¨¨©§ _¸¸¹·

T S

3 となり②から

¸¸¹ · ¨¨© § ¸ ¹ · ¨ © § ¸ ¹ · ¨ © § ¸¸¹ · ¨¨© §

F G S T

E D G F E D T S _DS

DS ……③_{ES ET……④ FT FS……⑤GT GT……⑥} すると③⑥は成立し④より_{EST ⑤よりFST}

L S Tのとき ④⑤も成立し①より

¸¸¹ · ¨¨© § ¸ ¹ · ¨ © § ¸ ¹ · ¨ © § ¸ ¹ · ¨ © § S S G F E D S S G F E

D _¸

¹ · ¨ © § ¸ ¹ · ¨ © § ¸ ¹ · ¨ © § S G F E D G F E D S EF

D _{………⑦EDG ………⑧}

DG

F ………⑨EFG S_………⑩

G

D のとき⑦に代入すると S DGEF＜となり条件に反する。

z G

D のとき⑧⑨よりE F となり⑦⑩より D G S

すると DGzから D G r S

LL SzTのとき ④⑤からE F となり①より

¸¸¹ · ¨¨© § ¸ ¹ · ¨ © § ¸ ¹ · ¨ © § ¸ ¹ · ¨ © § T S G D T S G D ¸¸¹ · ¨¨© § ¸¸¹ · ¨¨© § T S T G S D _{S S}

D ………⑪ _{GT T………⑫}

⑪⑫より D S _{G Tとなり DGEF DG＞から} S

D r G r T（複号同順）

LLLよりE F D r S G r T（複号同順）となり

¸¸¹ · ¨¨© § r T S $

［解 説］

扱いやすい②で解の候補を絞り①で確認するという構図になっています。なお

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６ 問題のページへ

方程式 [[ D [ D [ ……①に対して

D [ [ [ [

ここで [ [ とすると[ r[から [ である。

[ のとき [[ [ のとき [[ となりともに① は成立しない。よって [ [ zより①は

D ………②

さて②の右辺を I[

L [≦のとき

[ ˜[ [_{[ [} ˜[_[[ I ˜ c [ [ [ [ [ [ I ˜ [ [ [

これより I[の増減は右表のようになる。

LL ≦[≦のとき

[ [[

[

[ ˜

I ˜[_[[ ˜[_[

˜ ˜ c [ [ [ [ [ I ˜ [ [ [ o OLP [

[ I −∞

o OLP [

[ I ∞

これより I[の増減 は右表のようになる。

LLL[≧のとき

[ ˜[ _[[ _[ ˜[_[[ I ˜ c [ [ [ [ I o

OLP [

[ I −∞

o

OLP [

[ I ∞

これより I[の増減は右表 のようになる。

[ −∞ …

[

Ic ₋

[

I _∞

[ … … … …

[

Ic ＋ − × − ＋

[

I _×

[ … … … ∞

[

Ic _{− × − ＋}

[

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L∼LLLより \ I[のグラフの概形を図示すると

右図のようになる。

そこで方程式②すなわちD I[が相異なる つ の実数解をもつ条件は直線\ Dと\ I[のグラフ

が つの共有点をもつ条件と等しいことより求めるD

の範囲は

_＜D＜

＜D＜ ＜D

［解 説］

定数分離した後の計算量は通常の量とはいえません。グラフもかなりデフォルメ

して描いていますがそれでも上のような表現力しかありません。

2 [

\