提出期限：4/14の講義開始時
問題
1. Aはσ-fieldかつ無限集合とする．このとき，Aは必ず非可算となることを示せ．
2. Xを空でない集合とし，CをX の部分集合族とする．このとき，任意のB ∈ σ(C)に対し て，B ∈ σ(CB)なる可算なCB ⊂ Cが存在することを示せ．
3. (Durrett 1.1.2). X = R, A = {A or Acが可算であるようなすべてのA ⊂ R},
µ(A) =
0, if Aが可算, 1, if Acが可算 と定義する．このとき，(X, A, µ)が測度空間となることを示せ．
4. (Durrett 1.1.4). σ-field Aが 可算生成である とは，A = σ(C)なる可算集合C ⊂ Aが存在 することである．RnのBorel σ-field Bnは可算生成であることを示せ．
5. (Durrett 1.1.5). A1 ⊂ A2 ⊂ · · · をσ-fieldsとする．(i) ∪∞n=1Anはfieldであることを示 せ．(ii) ∪∞n=1Anがσ-fieldとならないような例を一つ与えよ．
6. AをA ⊂ {1, 2, . . . }のうち，極限 d(A) := lim
n→∞Card(A ∩ {1, . . . , n})/n
が存在するものを集めた集合族とする．(i) dがA上で可算加法的でないことを示せ．(ii) Aはfieldでないことを示せ．
1
宿題
2
提出期限：4/21の講義開始時
問題
1. (X, A)を可測空間とする．可測関数f, g : X → Rと集合A ∈ Aに対して，h : X → Rを
h(x) =
f (x), x ∈ A, g(x), x ∈ Ac と定義すると，hは可測であることを示せ．
2. (X, A, µ)を測度空間とし，f : X → Rを(可測かどうかわからない)任意の関数，g : X → R を可測関数とする．いま，N ∈ A, µ(N ) = 0なるN が存在して，f (x) = g(x), ∀x ∈ X \ N が成り立っているとする．(i) (X, A, µ)が完備なとき，fが可測なことを示せ．(ii) (X, A, µ) が完備でないときは，f はA/B可測とは限らない．そのような例を一つ与えよ．
3. 次の命題を示せ．(X, A)を可測空間，f, g : X → Rを可測関数とする．このとき，(i) f g は可測．(ii) f, gが同時に，f (x) = +∞, g(x) = −∞,またはf (x) = −∞, g(x) = +∞と ならなければ，f + gも可測．
4. RnのBorel σ-field Bnは，すべての連続関数f : Rn→ Rが可測になる最小のσ-fieldであ ることを示せ．
5. Durrett 1.3.5. 6. Durrett 1.3.6.
1
提出期限：4/28の講義開始時．期限に遅れて提出することは認められない．
問題
1. Durrett 1.4.1.
2. f, g ∈ L1(X, A, µ)が ∫
A
f dµ=
∫
A
gdµ, ∀A ∈ A
をみたすなら，f = g a.e.であることを示せ． 3. Durrett 1.4.2.
4. Durrett 1.4.3 (Exercise A.2.1とあるのはLemma A.2.1の誤り). 5. Durrett 1.4.4.
注：(X, A, µ)を測度空間としたとき，x∈ Xに関する命題がalmost everywhere (a.e.)に成り 立つとは，あるN ∈ A, µ(N ) = 0が存在して，その命題がx ∈ X \ N に対して成り立つことを 言う．
1
宿題
4
提出期限：5/12の講義開始時．
問題
Durrett 1.5.1 – 1.5.10 (1.5節の問題すべて).
1
提出期限：6/2の講義開始時．
問題
Durrett 1.7.1, 1.7.2, 1.7.3, 1.7.4, 1.2.3, 1.2.4, 1.6.6, 1.6.8, 1.6.9, 1.6.10.
1.7.3 に関するコメント: F を R 上の右連続非減少関数とし，µ を対応する (R, B) 上の
Lebesgue-Stieltjes測度としたとき，積分∫Af dµを∫Af(x)dF (x)と書く．
1
宿題
6
提出期限：6/9の講義開始時．
問題
Durrett 1.6.3, 1.6.4, 1.6.5, 5.5.1 (p.259), 2.1.4, 2.1.5, 2.1.7, 2.1.10, 2.1.11, 2.1.12.
1
提出期限：6/16の講義開始時．
問題
Durrett 2.1.16, 2.1.17, 2.1.18, 2.2.1, 2.2.2, 2.2.3.
1
宿題
8
提出期限：6/23の講義開始時．
問題
Durrett 2.2.4, 2.2.5, 2.2.6, 2.2.7, 2.3.1, 2.3.8, 2.3.9, 2.3.10, 2.3.11, 2.3.14.
1
提出期限：6/30の講義開始時．
問題
1. {Xi}をi.i.d. r.v’sとしたとき，次の(1)-(3)が同値なことを示せ．(1) E[|X1|] < ∞; (2) max1≤i≤n|Xi|/n → 0 a.s.; (3) E[max1≤i≤n|Xi|]/n → 0.
2. X1, X2, · · · ∼ N (0, 1) i.i.d.とする．φ(x) = (2π)−1/2e−x2/2をN (0, 1)の密度関数とする． (i)
x→+∞lim
P (X1> x) x−1φ(x) = 1 を示せ．
(ii)
lim sup
n
(Xn/√2 log n) = 1 a.s.
を示せ．ヒント：Resnick, A Probability Path, Example 4.5.2. 3.–7. Durrett 2.5.1, 2.5.2, 2.5.9, 2.5.10, 2.5.11.
1
宿題
10
提出期限：7/7の講義開始時．
問題
1.–5. Durrett 3.2.1, 3.2.6, 3.2.9, 3.2.10, 3.2.11.
6. U1, U2, · · · ∼ U(0, c) i.i.d.とする．ただし，c >0であり，U(0, c)は(0, c)上の一様分布を 表すものとする．いま，Mn =∑
n k=1
∏k
i=1Ui, Wn=
∑n
k=1
∏n
i=kUiとおく．
(i) Mnはnに関して単調非減少なので，M∞= limn→∞Mnは[0, ∞]の範囲で存在する．
このとき，M∞< ∞a.s.となるための必要十分条件はc < eであることを示せ． (ii) c < eのとき，Wn
d
→M∞であるが，Wnはa.s.収束しないことを示せ．
1
提出期限：7/14の講義開始時．
問題
1.–4. Durrett 3.4.2, 3.4.3, 3.4.9, 3.4.12.
5. Lindeberg条件はみたすが，Lyapunov条件(Durrett 3.4.12の条件)をみたさないような r.v.’sの例を一つ与えよ．
6. 以下の2問は講義ノートThm. 11.1の記号を用いるものとする．講義ノートThm. 11.3の 議論を修正して，次のバウンドを導出せよ：∀h ∈ C3(R) s.t. ∥h′′∥∞∨ ∥h′′′∥∞< ∞,
|E[h(Sn)] − E[h(Z)]| ≤ 2∥h
′′′∥∞
3
n
∑
m=1
E[|Xm,n|3]. (∗)
7. (i) Rから[0, 1]へのC3級関数gであって，
g(x) =
1, if x ≤ 0, 0, if x ≥ 1 をみたすものを一つ与えよ(具体的に！)．
(ii) 与えられたx ∈ R, ϵ > 0に対して，hx,ϵ(y) = g((y − x)/ϵ), y ∈ Rとおく．このhx,ϵ
に(∗)を適用して，次のバウンドを導出せよ： sup
x∈R
|P (Sn ≤ x) − P (Z ≤ x)| ≤ A(∑nm=1E[|Xm,n|3])1/4.
ただし，A > 0は絶対定数である(Aの値を具体的に求める必要はない)．
8. ϵn, n = 1, 2, . . . をi.i.d. r.v.’sとし，その共通分布は
P (ϵ1= 1) = P (ϵ1= −1) = 1 2
とする．このとき，∑∞n=1n−αϵnがa.s.に収束するための必要十分条件はα > 1/2である ことを示せ．
1
宿題
12
提出期限：7/21の講義開始時．
問題
1.–9. Durrett 3.3.1, 3.3.2 (i), 3.3.5–3.3.7, 3.3.11–3.3.13, 3.3.16.
10. 2 つの ch.f.’s ϕ1, ϕ2 が原点を内点として含むある区間上で一致していたら，ϕ1(t) =
ϕ2(t), ∀t ∈ Rとなるか．なると思うなら証明を，そうでない場合は反例を与えよ．
ヒント：Polyaの定理(Durrett Thm. 3.3.10)を使う．
1
提出期限：要相談(7/22 or 7/28).
問題
1.–3. Durrett 3.8.1–3.8.3.
4. µnを(R, B)上の無限分解可能分布とし，µn
→ µw とする．このとき，µも無限分解可能で あることを示せ．
5. Durrett 3.7.5. 6. f ∈ Cc(R
p)とする．η ∈ C∞
c (Rp)をη ≥ 0, ∫η(x)dx = 1をみたす関数とする．ηϵ(x) = ϵ−pη(ϵ−1x), ϵ > 0, fϵ(x) = ∫ηϵ(x − y)f (y)dyと定義する．(i) η の例を挙げよ．(ii) fϵ ∈ Cc∞(Rp)を示せ．(iii) ∥fϵ− f ∥∞ → 0, ϵ ↓ 0を示せ．
祝 100 問達成 ! \( ≧ ∇ ≦ )/
1
