1
4. ⺟数の点推定と区間推定をする
入門編
主 キ ワ ド
推測統計，標本，標本化，無作 標本化，母集団，推定値，母数 不偏推定値， 標本サイズ，誤差，標準誤差，確率関数， 推定，区間推定，信頼区間，予測区間
推測統計
章 ，推測統計 inferential statistics い 。第2章 ， 分布 規定 い ，母数 あ ， いう う 書 。実 ， い い
場合， 母数 未知 。得 観測 い ， 未知
母数 推測 方法 推測統計 。
推測統計 方法 ，一般的 ，母数 推定 point estimation ，区間推定 interval estimation ， ，統計的仮説検定 statistical hypothesis testing 3 分類
。 章 ，母数 推定 区間推定 い 解 い 。
母集団 標本
， ，わ ，集団や プ い ，わ
興味 集団 成員全員 全 含 い 限 。 え ，日
本人英語学習者 い ， 知 い ，日本人英語学習者全員 実験 参加
，調査票 回答 わけ あ 。日本人英語学習
者 い ，わ 関心 集団 母集団 population いい 。
母集団全体 い 情報 得 困難 場合，母集団 一部 対象
研究 う あ 。実際 集 分析 対象 母集団 一部 集
団 ，標本 sample ， ，カ カナ サンプ いい 。 ，あ 母集団
標本 得 ，標本化 sampling ，標本抽出，サンプ ング いい 。
，標本 標本化 いう い 。標本 ，母集団 部分集合 いえ
。例1 見 イ い 。
例 1
母集団 標本
2
一方，母集団 全 い ， 全数調査 い ，
推測統計 分析 必要 あ 。 ，母集団 特性 推
測 標本 得 ，全数調査 ，標本 い いえ 。外国語教
育研究 ，全数調査 あ 研究事例 ，あ 多 あ ，教科書分析や調査 資料 分析 ，一般的 ，全数調査 あ 多い 。い ，あ 調査
全数調査 あ 場合，研究者 論文 ， 明示 べ 。
標本化 あ ，標本 偏 sampling bias い う け
。 え ，日本人英語学習者 母集団 考え ，標本 女性
， 標本 偏 あ いえ 。 ，女性 特有 傾向 ，
標本 強 う い 。 う 標本 偏
，無作 標本化 random sampling 。無作 標本化 ， 通
，無作 ，母集団 標本 選 出 方法 。無作 ，人 的 制約 い，
いう ， 引 確率的 方法 使う いい う。 ，外国語
教育研究 ，無作 標本化 常 限 。無作 標本化 ，推測統計
根幹 概念 ，現実的 ，け 容易 い ，し し 標本
偏 い 目 ぶ いう 実情 。 ， 実情 好 い いう わけ あ 。少 ，標本 偏 い ， 可能性 十分 吟味
， 要 いえ 。
， 要素 数 n いう記号 ，手持 ，母集
団全体 標本 ，標本サイズ sample size あ わ 。標本 イ
，標本 大 ， いう い 。やや い ，標本 イ ， 標本数 異 。標本数 ，標本自体 い あ あ わ 。
， 場合，母集団 大 未知 ，大文 N ，母集団
サイズ population size あ わ い ，小文 n 標本 イ あ わ ， い
う う 使いわけ 場合 あ 。 ，心理学や外国語教育研究 ，大文 N 標本全体 大 ，小文 n 標本 標本 一部 集団 大 あ わ 場
合 。
統計量 母数 不偏推定値
母集団 数値 母数 ，標本 数値 統計 ，基本的 似通 値 考え 。いい方 変え ，あ 要素 集合 ，偏 部 分集合 得 ， 部分集合 特性 ，全体 集合 特性 近似 。
え ， 以 値 あ ， 母集団 う。
10, 9, 12, 7, 8, 12, 10, 12, 12, 9
3
母集団 平均値 ，10.10 。 母数 いえ 。母集団 平均 ，
母平均 population mean いい 。 ，偏 ， ン ，5
標本化 。 結果，以 5 得 う。
10, 9, 10, 12, 12
標本a う。標本a 平均値 ，10.60 。 値 ，母数
あ 10.10 0.50 差 あ ， 大 差 いえ う 。
，標本a 平均 ，標本平均 sample mean いい 。 う ，標本平均 ，
母平均 完全 一致 あ あ ，比較的母数 近い値 。
，あ 程度 測定精度 得 ，母集団全体 直接対象 ，標本
あ 程度，母数 推測 わけ 。 ，平均 限 あ 。
う ，あ 集合 抽出 部分集合 ，抽出 偏 い場合，元 集合 近 似 ， いう性質 広 利用 推測統計 。
， ，特 わ ，平均 示 ，µ いう記号 使
。 ， あ あ 。µ ，基本的 母平均 指 ，標本平均 指
，通常，M m 書 。母平均 標本平均 ，基本的 等値 い
， 後，場合 応 書 分け い い い 。 ，本来，統計 いう ，標本 値 あ ，母数 統計 あ 。
う ，標本 標準偏差，分散 ，正 ，標本標準偏差 sample standard
deviation ，標本分散 sample variance べ 。 対応 う
，母集団 値 母数 ，厳密 ，母標準偏差 population standard deviation ，
母分散 population variance べ 。1
母集団 値 ，基本的 未知 ，統計 母数 推測 。手元
標本 ，母集団 値 推測 ，推定値 estimate ，推定量
， 関数 あ わ ，推定関数 estimator いい 。やや い
，統計 ，推定値， 母数 厳密 区別 け 。平均
い ， 統計 ，推定値，母数 いう3 種類 平均 あ 。 平均 場合，通常，母平均 未知 あ ，標本 推定値 。母平均
推定値 ，標本平均 値 使う 。 ，統計 ，推定値
， 母数 数式 。 ，以 う 。
2
1
後述 ，標本標準偏差 母標準偏差 不偏推定値 一 教え キ あ う
。 資料 ，標本標準偏差 ，母標準偏差 一 式 ，標本自体 標準偏差
あ い 。分散 い 様 。
2
値 推定値 あ わ ，記号 ^ け あ 。 ，統計 ，推定値 あ
，標本平均 ，母平均 推定値 あ ， キ あ 。 ， ，
標本自体 中心傾向 あ わ 標本平均 便宜的 。
4
母数 母平均：基本的 未知 μ =
1
推定値 母平均 推定値 μ =
1
統計量 標本平均 =
1
，通常，母平均 標本平均 一致 い ，母平均 母平均 推定値 一
致 限 。母数 推定値 差 ，一般的 誤差 error いい 。
，誤差 大 け ，母数 推測 成 立 。 ，母数 未知 ，正
い誤差 ，基本的 わ い 。誤差 う 管理 い ，
次 節 述べ 。
誤差 大 け ，母数 推測 成 立 ，一般的 推定値 ，誤差 小
け 小 い い 。 ， 理 ，推定値 母数 対
偏 場合，推定 偏 estimation bias あ いい 。 対 ，偏 い推定値 ，不偏推定値 unbiased estimate/estimator いい 。
平均 場合，標本平均 推定値 偏 。 ，標本平均 不偏推 定値 あ いえ 。 ，残念 ，標準偏差 い ，標本標準偏差 不 偏推定値 い 。一般的 ，母標準偏差 不偏推定値 σ ，以 式
。 推定値 不偏標準偏差 。
σ = − 11 − μ
標準偏差 ，紹 ，
σ = 1 − μ
， ，左項 分母 n n-1 変え け 。
，通常 標準偏差 ，母標準偏差 不偏推定値 ，n-1 n 代わ 使
う う 。統計学的 厳密 い ，以 う 考え ， 組
納得 う。結論 いえ ，標本 標準偏差 ，母集団 標準偏差 値 小 傾向 あ 。 ，標本標準偏差 ，不偏推定値 え い
5
。 え ，偏差 非常 大 い 集団 入 入 ，標準偏差 値
大 。 ，正規分布 う 場合，偏差 大 い 確率
論的 稀 ， う ，標本化 可能性 。 ，
標本 母集団 部分集合 あ ，母標準偏差 ，標本 標準偏差 大 い可能性 高い 考え 。 ，母標準偏差 不偏推定値 ，標本標準偏差 大 い う 優 い いえ 。n 代わ n-1 分母 ，全体 値 大
， 要件 満 。
，次節 明 ，一般 標本サイズ 大 く ほ ，誤差 小 さく ，そし 標本標準偏差 母標準偏差 不偏推定値 近く い ま 。標本
イ 十分 大 い ， 件 い 気 ，標準偏差 推定
実務 ， 問題 い場合 あ 。
，分散 標準偏差 様 ，母分散 不偏推定値 以 う 。
不偏分散 。
= − 11 − μ
標準偏差 け ，母数，推定値，統計 以 う 。場合
，標本標準偏差 ，母標準偏差 不偏推定値 う 扱 い 文献 あ
。 ，一部 表計算ソフ ，標準偏差 関数 ， 母集団 標準 偏差 いう う 書 い あ 。母集団 標準偏差 ，基本的 未知
，母集団 標準偏差 推定値 思 う ，
全数調査 想定 い ，母標準偏差 式 適用 い ，推定値
わけ あ 。い ， 値 母数自体 あ ，推定値 あ
，そし 標本自体 統計量 あ い ，慎重 け ま 。
母数 母標準偏差:基本的 未知
σ = 1 − μ
推定値 母標準偏差 不偏推定値
σ = − 11 −
統計量 標本標準偏差
= 1 −
6 標準誤差
誤差 ，母数 推定値 統計 ，誤差 大 さ あ 程度，人 的 管理 こ ま 。 誤差 管理， いう ，研究 質 高
直接的 あ ，わ 研究 科学性 支え い
要 柱 。
3
，誤差 管理 ， いう ，一体 ういう う 。
基本的 ，母数 未知 ，本当 誤差 知 。 ，
誤差 う 分布 起 ， わ 。誤差 ，母数 中心 し 正規分布
従う い 。 ，大 値 誤差 発生 ，小 値 誤
差 発生 や ， ，誤差 分布 母数 中心 左右対称 。
，以 う ュ ョン実験 わ 。仮 ，正
規分布 う100,000個 あ 。 ， 母
集団 。 ， ン 100個 ，1,000組 わけ 。
1,000組 100個 平均値 ， 度数分布 作 う。
実際 ，例2 ， a 100,000個 度数分布， b 1,000組 平均値 度数分布
ヒ あ わ 。 ， 母平均 50，母標準偏差 10 設 定 い 。
例2
3
科学性 ，大雑把 え方 ，斉一性，再現可能性，反証可能性 い 性 質 兼 備え い 程度 あ 考え 。誤差 含 観測値自体 ，基本的 再現可能性 あ
， ， 観測値 知見 斉一性 あ 。 ，誤差 考慮 ，
あ 知見 誤差 産物 い いう， 証可能性 確保 あ 。
(a)
Frequency
0 20 40 60 80 100
05000100001500020000
(b)
Frequency
46 48 50 52 54
050100150200
7
b 分布 ，見 わ ， 100,000 個 平均値 母平均 中心
正規分布 い 。 う ，統計 従う分布 標本分布 sample distribution
いい 。 前 紛 わ い ，標本分布 ，標本 度数分布 い 十分 注意 い。
，一般 ，標本平均 ，標本 イ 大 母数 近 。
大数 法則 law of large numbers いい 。 ，標本 イ 十分 大
い場合，母集団 分布 あ ，誤差 正規分布 従い 。 ，中心極
限定理 central limit theorem 知 。
平均 標本分布 ，母平均 中心 い ，誤差 分布 中心 0 考え
。 ，誤差 幅 ，標準偏差 標本 イ 関係 決 。 体 的 いえ ，誤差 ，
N 0, σ
√ !
正規分布 従う いう わ い 。 ，例 2 a b 標準偏差 比較 ，
1: 1
√
い わ 。
う あ え 誤差 幅 ，標準誤差 standard error いい 。論文
略 ，SE 書 あ 。特 ，母平均 標準誤差 SEM standard error
of mean 書 う ， 略号 測定 標準誤差や，構造方程式 ン
使い ，注意 必要 。
標準誤差 値 解釈 い ， ，標準誤差 本当 誤差 値 い， いう 考え け 。何回 述べ い う ，母数 未知
，誤差 値 未知 。標準誤差 あ わ ， う ，こ 標準偏差 現象 ，こ 標本サイズ 観測し 場合， ほ 精度 母数 推測
あ わし い ， 考え ほう 賢明 。 ，後 節 述べ 区間推定
。
，前 誤差 管理 い ，実 ，誤差 分布 標準偏差 標本 イ 対応 関数 あ 。 え ，例 3 見 い。
，n = 1 100 場合 標準誤差 値 示 い 。 ，赤 母標準偏差
1，緑 5 い 。
8 例3
標準誤差 ，
# = σ
√
， 式 n い 解 。
# = σ
√
# = σ
∙ # = σ
= %#
，σ 母分散 ，基本的 未知 。 ，母分散 値
検討 推定 ， 値 目安 ，任意 誤差 対応
標本 イ 。標本 イ ，基本的 研究者 自分 決
， ，任意 誤差， ま 任意 精度 母数 推測
こ うこ 。
0 20 40 60 80 100
0.20.40.60.81.0
n
SE
9 え ，母分散 1.00 いう目 い い ，母平均 標準誤差 0.10
抑え い 。 ， n い 式 代入 ，
= 0.10 = 1001
いう う 計算 。 う 手続 ，母分散既知 標本サイズ設計 い
い 。 場合，n = 100程度 実験 調査 イン ， 狙 標準誤差
得 考え 。 ， 統計 計算 あ ，外国語教育
研究 ，標本サイズ い 自由 決 こ い， いう 実情 。
母数 推定 区間推定
推定 ，母数 ひ 数字 推測 こ 。 ， 母数
あ え う 値 。 値 推定 いい，
値 推定値 いい 。 う，推定 いう ， 推定 。
母平均 推定値 ，前 述べ う ，標本平均 推定値 。
，母標準偏差 推定値 不偏標準偏差，母分散 推定値 不偏分散 ，
わ い 。
一方，区間推定 ，母数 く，値 区間 推測 こ 。一般 ，外国 語教育研究 人文社会系 学問 ， 分 測定 誤差 大 ， 推 定 ，十分 推測結果 得 い場合 多い 。 ，誤差 範囲 考慮
推定方法 ， 望 い い 。
区間推定 ，区間 推定 う ， ， 区間 限 限 考
え 。通常， 限 L， 限 U いう う 記 。 ，あ 母数 θ い
，
4
' ( < * < +
確率 ，信頼水準 confidence level ， α 記 。5 ，θ
L 大 ，U 小 い確率 。
信頼水準 ，任意 値 x , 満 U L 差 ，x% 信頼区間
confidence interval ，縮 CI いい 。 ， U L ，
信頼区間 限値， 限値 ，信頼水準 ，95% CI [L, U] いう う 書
。信頼水準 通常，90%，95%，99% い 。外国語教育研究 ，95%
4
特定 種類 ，一般的 意味 母数 示 記号 い 。 。
5
一般的 ，P(x) x 確率， いう う 替え 。P probability い 。
10 一般的 使わ い 。
信頼区間 ，厳密 いえ ，母数 L U あい あ 本当 確率 あ 。 母数 未知 ， 定数 ，0% 100% 。信頼区間 幅 ，標本
推定 過 ，信頼区間 限 限 ，誤差 い 。
，あ ， 標本 推定 ，信頼水準x% 信頼区間 y ， いう う ，勇 足 解釈 わ い う い 。実務的 ， こ 標本 推定さ ，確率論的 整合的 母数 こ あ う いう う 解釈
い う。確率論的 整合的 あ ， いう ，単純 ， 標本 母数 あ ああ 得 う ， いう 。 え ，100人 標本 平均 3
，母標準偏差 100，母平均 500 いう ， 整合的 いえ 。 信頼区間 ，母集団 値 あ ，原理的 あ あ 種類 い
。 資料，特 応用編 ， 値 信頼区間 い 触
， ，母平均 信頼区間 い 見 う。
母平均 信頼区間 ，平均値，不偏標準偏差，標本 イ 。 ，
信頼区間 限界 あ U L 。 ，信頼水準 95% 。
信頼水準や， 限 限確率 ，U や L 添え 使う あ
。信頼区間 計算 正規分布 い 場合，平均 標本分布 ，
N μ, σ
√ !
， 母平均 母標準偏差 未知 ，標本平均 M 不偏標準偏差
SD 記 使い 。 ，L.95 ，
(.,-= −1.96
√
あ ，U.95 ，
+.,-= +1.96
√
。 1.96 ，標準正規分布 け 0.25% 97.25% 対応 確率
。90%，99% ， 値 変わ 。 ，U – L 値 母平均 95%信頼
区間 。
，前 節 ，
11
# = σ
√
あ 覚え 。 ，母平均 95%信頼区間 限 限 ， (.,-= − 1.96 #
+.,-= + 1.96 #
書 。
，母数 中心 標本分布 視覚的 イ わ や い
。例4 ，標準誤差 1 平均 標本分布 標準正規分布 ， 97.25%
0.25% 赤い線 示 。
例4
実 ， 母 平 均 信 頼 区 間 算 出 ， 正 規 分 布 ， 似 t 分 布
t-distribution いう 使う 多い 。 う ，統計学的 正確
，外国語教育研究 い 型的 規模 ，正規分布 ，一般
的 広い信頼区間 あ え 。t分布 い 信頼区間 推定 ，次章 書い い
，興味 い。
，母数 推測 ， 得 う 1 値 区間推定
あ 。 う 区間 予測区間 prediction interval
いい 。 信頼区間 推定 非常 似 う 方法 い 。 わ 理解
編 い。
-4 -2 0 2 4
0.00.10.20.30.4
Sample Mean
p
12 推測統計 心構え
現在，外国語教育研究 い ，信頼区間 重視し 統計分析 あ ， 望ましい方法 ひ さ いま 。推測統計 う際 ，推定 誤差，
信頼区間 検討 。 ，誤差 考慮
い 分析 ，実質的知見 歪 い 。
簡単 いえ ，推測統計 結果 いえ ，偶然 産物
い 。母集団 特性 ，手持 標本 推測 い い ，単
純 標本 誤差 う 偶然性 ，一生懸命，理論的 解釈 自体 労力 無駄 あ いえ ，最悪 場合， う 解釈 広 う可能性 あ
。 ，得 デ タ いえ こ ，偶然 産物 い 検証 こ 分析 要諦 。
入門編 ま
母集団 興味 あ 全員 標本 母集団 部分集合
標本 母集団 特性 推測 推測統計 統計 ，推定値，母数 違う
推測統計 不偏標準偏差 不偏分散 使う 誤差 母数 統計 差
誤差 標本 イ 依
誤差 母数 中心 正規分布 大数 法則，中心極限定理 誤差 管理
区間推定 誤差 含 推定
信頼水準 95% い 多い 信頼区間 限 限 差
更新履歴
2015/5/7 肥 指摘 うけ 2015/5/14 加藤 指摘 うけ
