記述統計 経済統計 鹿野研究室

2014 年度前期

はじめに

前回の復習

 度数分布表、ヒストグラムによる記述統計。

 位置の尺度（平均・メディアン・モード）、散らばりの尺度（分散・標準偏差）による記 述統計。

今回学ぶこと

 二次元データ（二変数）の散布図。

 共分散と相関係数。

 テキスト該当箇所：₃章。

1 ^{二次元データと散布図}

1.1

二次元データから分かること

 例：生徒₆名の、数学と英語のデータ（サンプル数_{n = 6}）。

番号_i 数学_Xi 英語_Yi

1 85 65

2 90 80

3 45 75

4 70 55

5 60 55

6 40 30

平均 _{X =65.00}¯ _{Y =60.00}¯ 標準偏差 _{sX =18.71 sY =16.33}

⊲ 各個体につき英語と数学、二つの変数。∴コレは データ（講義ノート_#01）。

 二次元データの数学的表現：変数をそれぞれ_{X1,X2, . . . ,Xn}、_{Y1,Y2, . . . ,Yn}と表記。

⊲ X_i^{の平均と標準偏差を}X^¯、s_X^と置く。

⊲ Y_i^{の平均と標準偏差を}Y^¯、s_Y^と置く。 1

20 40 60 80 100

20406080100

Xi

Yi

図_1:数学（_Xi）と英語（_Yi）の散布図

⊲ _i番目の変数のペアを、ベクトル風に_(Xi,_Yi)と表記。

⊲ 例：数学と英語の成績データ

(85, 65), (90, 80), (45, 75), (70, 55), (60, 55), (40, 30). (1)

 _Remark：多次元データ（二次元以上のデータ）を分析⇒変数の間の が分

かる。

⊲ 例：数学と英語の成績の間には、どんな関係（法則）がある？

⊲ ^{関係性を、 で表す。⇒散布図。}

⊲ ^{関係性を、 （数値）で測る。⇒共分散と相関係数。}

1.2

^散布図

 散布図：横軸に変数_Xi、縦軸に変数_Yiの値をとり、二次元データ_(Xi,Yi)を図示したもの

を と呼ぶ。

⊲ ^{各個体の変数ペア}(Xi^,Yi)^をX − Y平面上の座標と考え、図に打ち込んで行けば良い。

⊲ ^{右上がり⇒「}Xi^とYi^{に 相関がある」と言う。}

⊲ ^{右下がり⇒「}Xi^とYi^{に 相関がある」と言う。}

⊲ ^{判別がつかない⇒「}Xi^とYiに相関が見られない（無相関）」と言う。

 例：数学と英語の成績データ（図₁）。横軸＝数学_Xi、縦軸＝英語_Yi。

⊲ ^{右上がりの関係⇒}Xi^{が大きいほど}Yi^{も大きい傾向。∴}数学で良い成績の生徒ほど、 英語でも良い成績。

⊲ 個別に生徒の成績を眺めていたら、得られなかった発見！

 _Remark：_(Xi,Yi)に直線の関係_{Yi = a + bXi}がハッキリ現れれば「 相関」、ぼん やり現れれば「 相関」。

⊲ ^図2A^{：弱い正の相関。}

⊲ ^図2B^{：強い負の相関。}

⊲ ^図2C^{：相関が見られない。}

0 2 4 6

0246

Xi

Yi

0 2 4 6

0246

Xi

Yi

0 2 4 6

0246

Xi

Yi

図_2:さまざまな散布図

2 ^{共分散と相関係数}

2.1

^共分散

 共分散：個体_i毎に「_Xiの平均値_X¯からのズレ」_(Xi− ¯_X)と「_Yiの平均値からのズレ」_(Yi− ¯_Y) を掛け合わせて_(Xi− ¯_X)(Yi− ¯_Y)を求め、その平均をとった値

sXY = ¹ n

(X1^{− ¯}X)(Y1^{− ¯}Y) + (X2^{− ¯}X)(Y2^{− ¯}Y) + · · · + (Xn^{− ¯}X)(Yn^{− ¯}Y)^

= ¹ n

n



i=1

(X_i^{− ¯}X)(Y_i^{− ¯}Y) (2)

を、 と呼ぶ。分散_s²（講義ノート_#02）と異なり、共分散_sXY は正にも負にも

（ゼロにも）なり得る。データ次第。

⊲ s_XY >0 ⇔^「X_i^とY_i^{は 相関」。}

⊲ sXY ^<0 ⇔^「Xi^とYi^{は 相関」。}

⊲ sXY = 0 ⇔^「Xi^とYi^{は無相関」。}

 _Remark：なぜ共分散_sXYで「変数間の関係」が測れるの？⇒データから計算した際に、

(Xi^{− ¯}X)^、(Yi^{− ¯}Y)^、(Xi^{− ¯}X)(Yi^{− ¯}Y)がとり得る符号を整理すると、下表の通り。

(Xi^{− ¯}X) (Yi^{− ¯}Y) (Xi^{− ¯}X)(Yi^{− ¯}Y)

ケース_I ⊕ ⊕ ⇒

ケース_II ⊖ ⊕ ⇒

ケース_III ⊖ ⊖ ⇒

ケース_IV ⊕ ⊖ ⇒

⊲ ^ケースI^・III^：平均値( ¯X, ¯Y)^を軸に、X_i^とY_i^{が ！⇒}(X_i^{− ¯}X)(Y_i^{− ¯}Y) > 0^。

⊲ ケース_II・_IV：平均値_{( ¯X, ¯Y)}を軸に、_Xiと_Yiが ！⇒_(Xi− ¯_X)(Yi− ¯_{Y) < 0}。

⊲ 個体を個別に見ると、同調する個体、反発する個体あり。平均的に、どちらの勢力 が強い？⇒共分散_sXY で評価。

0 X ^Xi

0YYi

(^X_i− X)(^Y_i− Y)> 0

(^X_i− X)(^Y_i− Y)< 0

(^Xi− X)(^Yi− Y)> 0 (^Xi− X)(^Yi− Y)< 0

I I I

I I I I V

図_3:共分散_sXYと散布図の対応関係

 _Remark：共分散_sXYと散布図の対応関係は？⇒平均値_{( ¯X, ¯Y)}で散布図を₄つの領域に分 割（図₃）。領域_I∼IVはそれぞれ、上表のケース_I∼IVに対応。

⊲ ^{正の相関：領域}I^・III^{にデータが集まる⇒散布図に の傾向。一方共分} 散を求めると_{sXY >0}。

⊲ ^{負の相関：領域}II^・IV^{にデータが集まる⇒散布図に の傾向。一方共} 分散を求めると_{sXY <0}。

2.2

^相関係数

 相関係数：共分散_sXY を、_Xiの標準偏差_sXと_Yiの標準偏差_sYの積で割った値 r_{XY =} ^sXY

sXsY

, ⁻1 ≤ r_XY ^≤1. (3)

を、 と呼ぶ。共分散_sXYと異なり、相関係数_rXYは下限（−₁）と上限（₊₁） あり。

⊲ ^{標準偏差の符号は}s_X >0^、s_Y >0^{（講義ノート}#02^）。∴r_XY^{の符号は、} で決まる。

 _Remark：共分散_sXY（上限・下限不明）を相関係数_rXY（上限・下限あり）に直しては

じめて、相関の を評価できる。

⊲ r_XY ^が₊₁^{に近い⇔ の相関。}

⊲ r_XY ^が−1^{に近い⇔ の相関。}

⊲ ^共分散s_XY ^{の大きさは、変数}X_i^とY_i^{の測定単位に依存。∴}相関の「強弱」を議論で きない。⇒ _sXY から判明するのは、相関の だけ。

⊲ ^どんなY_i^なら、X_i^{と完璧に同調する？⇒「}Y_{i = Xi}^{」のとき。このとき}s_{Y = sX}^。ま た共分散₍₂₎式に_{Yi= Xi}を代入すれば

sXY = ¹ n

n

i=1

(Xi^{− ¯}X)(Xi^{− ¯}X) = ^{. (4)}

∴_{rXY =} ^s

2 X

sXsX ^{= 1}

。

⊲ ^どんなYi^なら、Xi^{と完璧に反発する？⇒「}Yi = −Xi^{」のとき。このとき}sY = sX^（注：

符号が逆転しても標準偏差は同じ）。また₍₂₎式に_{Yi= −Xi}を代入すれば

sXY = ¹ n

n

i=1

−_(Xi− ¯_X)(Xi− ¯_{X) = −}¹ n

n

i=1

(Xi^{− ¯}X)(Xi^{− ¯}X) = ^{. (5)}

∴_{rXY =} ^−s

2 X

sXsX ^{= −1。}

⊲ ^よってrXY ^{がとり得る範囲は−}1 ≤ rXY ^≤1^。

 例：数学（_Xi）と英語（_Yi）の二次元データ。（再掲）

i Xi Yi (Xi^{− ¯}X) (Yi^{− ¯}Y) (Xi^{− ¯}X)(Yi^{− ¯}Y)

1 85 65 20 5 100

2 90 80 25 20 500

3 45 75 ⁻20 15 ⁻300

4 70 55 5 ⁻5 ⁻25

5 60 55 ⁻5 ⁻5 25

6 40 30 ⁻25 ⁻30 750

平均 _{65.00 60.00}

標準偏差 _{18.71 16.33}

⊲ ^共分散は

s_{XY =} ¹

6(100 + 500 + · · · + 750) = ^{. (6)}

⊲ ^標準偏差s_{X = 18.71}^、s_{Y = 16.33}と上式の計算結果から、相関係数は rXY = ¹⁷⁵

18.71 · 16.33 ^{≈ . (7)}

まとめと復習問題

今回のまとめ

 二次元データ_(Xi,Yi)の散布図。

 共分散と相関係数。

復習問題

出席確認用紙に解答し（用紙裏面を用いても良い）、退出時に提出せよ。

1. ^次の2^{次元データ}(X_i,Y_i)^の共分散s_XY ^{と相関係数}r_XY を求める。まず表の空欄を埋め、 それを材料に計算してゆく。（表は解答に書き込まなくとも良い。）なお、_Xiは平均_{X =}¯

1

n^{ Xi = 3、分散s2}X ⁼ 1

n^{(Xi− ¯X)2= 1、標準偏差sX =}



s²_X = 1^である。

i Xi Yi (Xi^{− ¯}X) (Yi^{− ¯}Y) (Xi^{− ¯}X)² (Yi^{− ¯}Y)² (Xi^{− ¯}X)(Xi^{− ¯}X)

1 2 8 ⁻1 5 1 25 ⁻5

2 4 2 1 1

3 4 2 1 1

4 2 0 ⁻1 1

(a) Yi^は平均Y =^{¯ 1}_n^{ Y}i =^{＿＿、分散}s_Y² = ¹_n(Yi^{− ¯}Y)²=^{＿＿、標準偏差}sY=

 s²_Y =^＿

＿。

(b) ^共分散はsXY = ¹_n^(Xi^{− ¯}X)(Yi^{− ¯}Y) =^＿＿。 (c) ^{以上から、相関係数は}r_{XY = s}^sXY

XsY ⁼

＿＿。