統計学 I 演習 , 小テスト 2
菅原慎矢
June 23
1. 正規分布
最終ページの標準正規分布表を用いて、以下を近似的に求めよ。この問題では、小数 は分数にせず、小数のままで答えよ
1. Z ∼ N (0, 1)の時 P (Z ≤ 1.23) (1 点) 2. Z ∼ N (0, 1)の時 P (−1 ≤ Z ≤ 1) (1 点)
3. X ∼ N (1, 9)の時 P (X ≤ x) = 0.95 となる x はなにか (途中計算で、ある値が二 つの値の間にあることがいえるので、これらの平均をとってその値の近似値とし、 計算を遂行せよ) (1 点)
2. : この設問では、分数は通分すること。分数を小数にする必要なはい
以下の確率密度関数が与えられているとする
f (x) =
0 if x ≤ 0
3x2
8 if 0 < x < 2 0 if x ≥ 2
(1)
次を求めよ 1. F (1) (1点)
2. E(X), E(X2) (両方出来て 1 点) 3. V (−X) (1点)
3. この設問では、分数・小数どちらを用いても正解とするが、どちらかというと分
数で書いてほしい。
独立な確率変数 X, Y が、それぞれ確率 1/2 で 0, 確率 1/2 で 1 を取るとする。また、 W = |X + Y |, Z = |X − Y |とする
1. 周辺確率関数 pW(w), pZ(z)を求めよ (1 点)
pX(x) =
1/2 if x = 1 1/2 if x = 0 0 if x ̸= 1, 0
(2)
X, Y の同時確率関数は
pX,Y(x, y) =
1/4 if x = 1, y = 1 1/4 if x = 0, y = 1 1/4 if x = 1, y = 0 1/4 if x = 0, y = 0
0 if (x, y) ̸= (1, 1), (0, 1), (1, 0), (0, 0)
(3)
• 1.3: 5.935 (Score:1)
• 2.1: 1/8 (Score:1)
• 2.2: E(X) = 3/2, E(X2) = 12/5 (Score: 1 if both are correct)
• 2.3: 3/20 (Score:1)
• 3.1: (Score: 1 if both are correct)
pW(w) =
1/4 if w = 0 1/2 if w = 1 1/4 if w = 2
0 if w ̸= 0, 1, 2
(1)
pZ(z) =
1/2 if z = 0 1/2 if z = 1 0 if z ̸= 0, 1
(2)
(1/4 and 1/2 can be 0.25 and 0.5, respectively )
Note: Different notations are allowed if it is mathematically correct, such as
pW(w) =
1/4 if w = 0, or w = 2
1/2 if w = 1
0 otherwise
(3)
Note: 0 if w ̸= 0, 1, 2 and 0 if z ̸= 0, 1 are required. If they are missing, no score is given.
• 3.2: E(W ) = 1, E(Z) = 1/2 (or 0.5) (Score: 1 if both are correct)
• 3.3: Score: 1
pW,Z(w, z) =
1/4 if w = 0, z = 0 1/2 if w = 1, z = 1 1/4 if w = 2, z = 0
0 if (w, z) ̸= (2, 0), (1, 1), (0, 0)
(4)
(1/4 and 1/2 can be 0.25 and 0.5, respectively )
2 解答詳細
1
1.1. 標準正規分布表より 1.2.
P (−1 ≤ Z ≤ 1) = P (Z ≤ 1)−[1−P (Z ≤ 1)] = 2P (Z ≤ 1)−1 = 2×0.8413−1 = 0.6826 (1) 1.3. Z ∼ N (0, 1)とする。t を P (Z ≤ t) = 0.95 となる実数とする。正規分布表より t は 1.64 と 1.65 の間にあるため、問題の指示に従って t ≃ 1.645 とする。X ∼ N(1, 9) よ り、µ = 1, σ = 3 として
0.95 = P (Z ≤ t) (2)
= P(X − µ σ ≤ t
) (3)
= P (X ≤ σt + µ) (4)
≃ P (X ≤ 3 × 1.645 + 1) (5)
= P (X ≤ 5.935) (6)
この右辺が P (X ≤ x) となるので、x = 5.935 2
2.1
F (1) =
∫ 1
0
(3x2/8)dx (7)
= (1/8)[x3]10 (8)
= 1/8 (9)
2.2
E(X) =
∫ 2
0
x(3x2/8)dx (10)
= (3/8)[x4/4]20 (11)
= (3/8) × (16/4) = 3/2 (12) E(X2) =
∫ 2
0
x2(3x2/8)dx (13)
= (3/8)[x5/5]20 (14)
= (3/8) × (32/5) = 12/5 (15)
X Y 確率 W Z 0 0 1/4 0 0 0 1 1/4 1 1 1 0 1/4 1 1 1 1 1/4 2 0
Table 1: 3.1. Table 1を利用し
pW(w) =
1/4 if w = 0 1/2 if w = 1 1/4 if w = 2
0 if w ̸= 0, 1, 2
(17)
pZ(z) =
1/2 if z = 0 1/2 if z = 1 0 if z ̸= 0, 1
(18)
3.2. 周辺確率関数を用いて計算し
E(W ) = 0 × (1/4) + 1 × (1/2) + 2 × 1/4 = 1 (19) E(Z) = 0 × (1/2) + 1 × (1/2) = 1/2 (20) 3.3. Table 1を利用し
pW,Z(w, z) =
1/4 if w = 0, z = 0 1/2 if w = 1, z = 1 1/4 if w = 2, z = 0
0 if (w, z) ̸= (2, 0), (1, 1), (0, 0)
(21)
3.4. 同時確率関数を用いて計算する。(w, z) ̸= (2, 0), (1, 1), (0, 0) の時 pW,Z(w, z) = 0 となることに注意して
E(W Z) =
2
∑
1
∑wzpW,Z(w, z) (22)
よって
Cov(W, Z) = E(W Z) − E(W )E(Z) = (1/2) − 1 × (1/2) = 0 (25) ちなみにこれは、独立ではないが無相関である (直線的関係がない) 例となっている.
