統計力学演習 (Wednesday February 8th 2017) 期末試験 解答例&解説 1
解答 1.次の小問に答えよ。 (20点)
1-1. ある系におけるミクロカノニカル分布の熱力学的 重率をW(U, δU)とする。系のエネルギー固有値 Ei に 属する固有状態i に与えられる確率 p(MC)i をW (U, δU) を用いて表わせ。
ミクロカノニカル分布では，許されるエネルギー固有 状態の全てに， 同じ確率を与えるので
p(MC)i = { 1
W (U, δ), U − δU < Ei ≤ U が成り立つとき
0, それ以外
(1) と書ける。
1-2. ある物理量 fˆに対して，統計力学で計算した期待 値⟨ ˆf ⟩とそのゆらぎσ[ ˆf ]との間にσ[ ˆf ] ≪ ˆf が成り立 つとき，⟨ ˆf ⟩についてどんなことが言えるか。
大数の法則より，期待値 fˆは，多数の試行を行ったと きの測定値の算術平均に一致する。1回の測定値は必ず しも期待値には一致せず，期待値の周りに分布する。こ の分布の広がりを定量的に表したのがゆらぎσ[ ˆf ]であ る。大雑把に言えば，各測定値は f ± σ[ ˆˆ f ]の範囲に入 ると期待される。
今，σ[ ˆf ] ≪ ˆf が成り立つならば，測定値の分布が極 めて狭いことを意味する。従って1回の測定値が，ほぼ 確実に fˆに一致すると期待される。理論値として，幅 を持たずシャープに fˆを予言することになる。
1-3. カノニカル分布の分配関数Z(β)から，エネルギー の期待値⟨ ˆH ⟩及びヘルムホルツの自由エネルギーF(β) を導くための関係式を書け。
それぞれ
⟨ ˆH ⟩ = − ∂
∂ β log Z(β), (2) F(β) = −1
βlog Z(β). (3)
解答 2. N 個の独立な調和振動子 (30点) 系の全エネルギーは
E(M, N) = N
2ℏω + Mℏω (4)
と書ける。ここで量子数M は，非負整数(0, 1, 2, . . . )で ある。この系の熱力学的重率W(M, N)は
W(M, N) = (M + N − 1)! M! (N − 1)! と計算できる。以下，N ≫1とする。
2-1. 系のエントロピーS を求めよ。仮定が必要なら， 理由を述べた上で用いて良い。
ボルツマンの関係式より
S = k log W = k log (M + N − 1)!
M! (N − 1)! (5)
N ≫1, M ≫ 1とし，スターリングの公式を使えば
S ≃ klog(M + N)! M! N!
≃ k [
(M + N){log(M + N) − 1}
− M(log M − 1) − N(log N − 1) ]
≃ k[(M + N) log(M + N) − M log M − N log N]. (6) 問題よりN ≫ 1なので，(4)でM がノンゼロの値とし て意味を持つのは M ∼ N のとき。そのため M ≫ 1と した。
2-2. 系の全エネルギーE を温度T の関数で求めよ。 SとE，T の関係より
1 T =
∂S
∂E =
∂ M
∂E
∂S
∂ M
= ℏ1 ωk
[
log(M + N) + 1 − log M − 1 ]
(7) これより
ℏω
kT = βℏω = log M + N M = log
( 1 + N
M )
eβℏω = 1 + N M
∴ M = N
eβℏω− 1
ここで逆温度 βを用いた。これを(4)に代入すれば
E(T, N) = Nℏω[ 1 2 +
1 eβℏω− 1
]
(8)
= Nℏω 2 coth
βℏω
2 (9)
と求まる。最後の変形で双曲線関数の公式
coth x 2 =
ex/2+ e−x/2 ex/2− e−x/2 = 1 +
2e−x/2 ex/2− e−x/2
= 1 + 2
ex− 1 (10)
を用いた。(8)と(9)は，表記の違いに過ぎない。 グラフの概形を知るため，低温・高温におけるU の 振る舞いを調べる。低温 βℏω ≫ 1で，eβℏω ≫ 1なの で(8)より
E ≃Nℏω[ 1 2 + e
−βℏω
]
−−−−→
T →0
N
2ℏω. (11) これはゼロ点振動のエネルギーに対応し，量子効果を反 映している。(8)はゼロ点振動のエネルギーを見やすい 形にした式と言っても良い。
統計力学演習 (Wednesday February 8th 2017) 期末試験 解答例&解説 2
一方，高温βℏω ≪ 1では，coth x ≃ 1x + x3 + O(x3)と (9)より
E ≃ Nℏω 2
[ 2 βℏω +
βℏω 6
]
≃ N β [
1 + (βℏω)
2
12
] −−−−→
T →∞ N kT (12)
と な り ，古 典 論 の 結 果 に 一 致 す る 。高 温 で は 量 子 効 果 N2ℏω が 隠 さ れ ，高 温 か ら 温 度 0 に 外 挿 し て も 切 片 の 存 在 は 分 か ら な い 。グ ラ フ は 下 の 通 り*1。
1 2
0.5 1 2 E Nhω
kT hω 量子数nに上限が無いことに対応して，Eにも上限は 無い。
【補足】(8)から高温極限(βℏω ≪ 1)を考える場合， E ≃ Nℏω [ 1
2 +
1 1 + βℏω − 1
]
= Nℏω[ 1 2 +
1
βℏω + . . . ]
(13) とするのは不正確。通常このように書くのは，. . . 以下 が前の2項より明らかに小さい場合である。しかし今，
βℏω ≪ 1 なので第1項より第2項がはるかに大きい。
そのため，上で . . . と記したテイラー展開の高次の項 に第 1項と同程度の大きさの項が現れる可能性がある。 実際この例では次に −12 が現れ，第1項と相殺する。2 つの項の大きさのアンバランスさと，展開の変数 βℏω の逆数が現れたことに注意して欲しい。
2-3. 熱容量C(T ) = ∂E(T, N )∂T を計算せよ。 (8)および ∂T∂ = −k β2 ∂∂β より
C(T ) = ∂E
∂T = −k β
2∂E
∂ β
= −k β2Nℏω −ℏωe
βℏω
(eβℏω− 1)2
= N k(βℏω)2eβℏω
[ 1
eβℏω − 1 ]2
= N keβℏω
[ βℏω eβℏω− 1
]2
(14)
= N k(βℏω)2 [
2 sinh βℏω 2
]−2
. (15)
低 温 と 高 温 で の 振 る 舞 い を 調 べ る 。低 温 kTℏω ≪ 1
(βℏω ≫ 1)のとき，eβℏω ≫ 1なので(14)より C(T ) ≃N k(βℏω)2e−βℏω −−−−→
T →0 0 (16)
となり，急激に0に近づく。これは量子効果を表してい る。エネルギーはℏω単位でやり取りをし，それより小 さな量の移動は出来ない。そのため温度が下がり kT が ℏω よりも小さくなると，熱の形によるエネルギーの移 動が出来なくなり，熱容量が急に小さくなる。
一方，高温 ℏkTω ≫ 1 (βℏω ≪ 1)では
C(T ) ≃N k [
1 − (βℏω)
2
12 ]
−−−−→
T →∞ N k (17)
となり，温度に依らずN k に漸近する。有限系と違い減 衰しない。エネルギー準位に上限がないことを表してい る。これは，U(T )のグラフが高温で有限の傾きを持っ た直線に漸近することからも分かる。
1 2
kT hω 3 Nk
C
解答 3. 一様な磁場H の中に置かれた互いに独立なN 個のスピン系のエネルギーは (40点)
E(σ1,σ2,...,σN) =
N
∑
j=1
(−µHσj) (18)
と書ける。ここで µは磁気モーメント。σj は j 番目の スピン変数 σˆj の固有値で，上向きなら+1を，下向き なら−1 を取る。また各スピンは固定されているので， スピン同士の入れ換えは考えなくて良い。
3-1. 上の式から分かるように，この系ではスピン1つ あたり−µHσ のエネルギーを持つ。1 つのスピンから なる系の分配関数Z(β, H,1)を求めよ。
分配関数の定義より
Z(β, H,1) = ∑
σ=↑,↓
e−βEσ = eβµH + e−βµH
= 2 cosh(β µH). (19)
3-2. スピン1つの期待値⟨ ˆσ⟩を計算せよ。
*1以下の図は全てMathematicaを使って書いた。
統計力学演習 (Wednesday February 8th 2017) 期末試験 解答例&解説 3
期待値の定義より⟨ ˆσ⟩は
⟨ ˆσ⟩β, H = 1 Z(β, H,1)
∑
↑, ↓
σie−βEi
= (+1)e
βµH + (−1)e−βµH eβµH + e−βµH
= tanh(β µH) (20)
と計算できる。
3-3. 互いに独立な N個のスピンからなる系の分配関数 Z(β, H, N)を計算せよ。
各スピン系は互いに独立，かつ全て等しいので
Z(β, H, N) = [Z(β, H, 1)]N
= 2NcoshN(βµH). (21)
3-4. 磁化mˆ := N1 ∑Nj=1µ ˆσj の期待値⟨ ˆm⟩を計算し，グ ラフで表せ。
期待値の定義より
⟨ ˆm⟩ =
⟨ 1 N
N
∑
j=1
µ0σˆj
⟩
= µ0 N
N
∑
j=1
⟨ ˆσj⟩
= µ0
N Ntanh(βµH)
= µ0tanh(βµH) (22)
である。1行目の変形では，期待値の線形性を用いた。 また，磁化の定義と(18)を比べるとm = −ˆ N H1 Hˆ が
成り立つことがわかる。よって期待値の線形性より
⟨ ˆm⟩ = − 1
N H ⟨ ˆH ⟩ = + 1 N H
∂
∂ β log{2
NcoshN(βµH)}
= µ tanh(β µH) (23)
と求めても良い。 グラフにすると
3-5. 磁化率 χ(β) := ∂ ⟨ ˆ∂Hm⟩ H =0
を計算せよ。磁化し易い のは，低温と高温のどちらか?
定義より
χ(β) = ∂
∂Hµ tanh(βµH) H =0
= β µ2 1 cosh(βµH)
H =0
= β µ2= µ
2
k T
−1. (24)
χ(β)はT に反比例するので（Curie’s law），低温ほど磁 化し易い。
