E in SMExam2016 ans 最近の更新履歴 物理学ノート E in SMExam2016 ans

全文

(1)

統計力学演習 (Wednesday February 8th 2017) 期末試験 解答例&解説 1

解答 1.

次の小問に答えよ。 (20)

1-1. ある系におけるミクロカノニカル分布の熱力学的 重率をW(U, δU)とする。系のエネルギー固有値 Ei に 属する固有状態i に与えられる確率 p(MC)i をW (U, δU) を用いて表わせ。

ミクロカノニカル分布では,許されるエネルギー固有 状態の全てに, 同じ確率を与えるので

p(MC)i = { 1

W (U, δ), U − δU < Ei ≤ U が成り立つとき

0, それ以外

(1) と書ける。

1-2. ある物理量 fˆに対して,統計力学で計算した期待 値⟨ ˆf ⟩とそのゆらぎσ[ ˆf ]との間にσ[ ˆf ] ≪ ˆf が成り立 つとき,⟨ ˆf ⟩についてどんなことが言えるか。

大数の法則より,期待値 fˆは,多数の試行を行ったと きの測定値の算術平均に一致する。1回の測定値は必ず しも期待値には一致せず,期待値の周りに分布する。こ の分布の広がりを定量的に表したのがゆらぎσ[ ˆf ]であ る。大雑把に言えば,各測定値は f ± σ[ ˆˆ f ]の範囲に入 ると期待される。

今,σ[ ˆf ] ≪ ˆf が成り立つならば,測定値の分布が極 めて狭いことを意味する。従って1回の測定値が,ほぼ 確実に fˆに一致すると期待される。理論値として,幅 を持たずシャープに fˆを予言することになる。

1-3. カノニカル分布の分配関数Z(β)から,エネルギー の期待値⟨ ˆH ⟩及びヘルムホルツの自由エネルギーF(β) を導くための関係式を書け。

それぞれ

⟨ ˆH ⟩ = −

∂ β log Z(β), (2) F(β) = −1

βlog Z(β). (3)

解答 2.

N 個の独立な調和振動子 (30) 系の全エネルギーは

E(M, N) = N

2ω + Mℏω (4)

と書ける。ここで量子数M は,非負整数(0, 1, 2, . . . )で ある。この系の熱力学的重率W(M, N)は

W(M, N) = (M + N − 1)! M! (N − 1)! と計算できる。以下,N ≫1とする。

2-1. 系のエントロピーS を求めよ。仮定が必要なら, 理由を述べた上で用いて良い。

ボルツマンの関係式より

S = k log W = k log (M + N − 1)!

M! (N − 1)! (5)

N ≫1, M ≫ 1とし,スターリングの公式を使えば

S ≃ klog(M + N)! M! N!

≃ k [

(M + N){log(M + N) − 1}

− M(log M − 1) − N(log N − 1) ]

≃ k[(M + N) log(M + N) − M log M − N log N]. (6) 問題よりN ≫ 1なので,(4)M がノンゼロの値とし て意味を持つのは M ∼ N のとき。そのため M ≫ 1と した。

2-2. 系の全エネルギーE を温度T の関数で求めよ。 SとE,T の関係より

1 T =

∂S

∂E =

∂ M

∂E

∂S

∂ M

= 1 ωk

[

log(M + N) + 1 − log M − 1 ]

(7) これより

ω

kT = βℏω = log M + N M = log

( 1 + N

M )

eβℏω = 1 + N M

M = N

eβℏω− 1

ここで逆温度 βを用いた。これを(4)に代入すれば

E(T, N) = Nℏω[ 1 2 +

1 eβℏω− 1

]

(8)

= Nℏω 2 coth

βℏω

2 (9)

と求まる。最後の変形で双曲線関数の公式

coth x 2 =

ex/2+ e−x/2 ex/2− e−x/2 = 1 +

2e−x/2 ex/2− e−x/2

= 1 + 2

ex− 1 (10)

を用いた。(8)と(9)は,表記の違いに過ぎない。 グラフの概形を知るため,低温・高温におけるU の 振る舞いを調べる。低温 βℏω ≫ 1で,eβℏω ≫ 1なの で(8)より

E ≃Nℏω[ 1 2 + e

−βℏω

]

−−−−→

T →0

N

2ω. (11) これはゼロ点振動のエネルギーに対応し,量子効果を反 映している。(8)はゼロ点振動のエネルギーを見やすい 形にした式と言っても良い。

(2)

統計力学演習 (Wednesday February 8th 2017) 期末試験 解答例&解説 2

一方,高温βℏω ≪ 1では,coth x ≃ 1x + x3 + O(x3) (9)より

E ≃ Nℏω 2

[ 2 βℏω +

βℏω 6

]

N β [

1 + (βℏω)

2

12

] −−−−→

T →∞ N kT (12)

と な り ,古 典 論 の 結 果 に 一 致 す る 。高 温 で は 量 子 効 果 N2ω が 隠 さ れ ,高 温 か ら 温 度 0 に 外 挿 し て も 切 片 の 存 在 は 分 か ら な い 。グ ラ フ は 下 の 通 り*1

1 2

0.5 1 2 E Nhω

kT hω 量子数nに上限が無いことに対応して,Eにも上限は 無い。

【補足】(8)から高温極限(βℏω ≪ 1)を考える場合, E ≃ Nℏω [ 1

2 +

1 1 + βℏω − 1

]

= Nℏω[ 1 2 +

1

βℏω + . . . ]

(13) とするのは不正確。通常このように書くのは,. . . 以下 が前の2項より明らかに小さい場合である。しかし今,

βℏω ≪ 1 なので第1項より第2項がはるかに大きい。

そのため,上で . . . と記したテイラー展開の高次の項 に第 1項と同程度の大きさの項が現れる可能性がある。 実際この例では次に 12 が現れ,第1項と相殺する。2 つの項の大きさのアンバランスさと,展開の変数 βℏω の逆数が現れたことに注意して欲しい。

2-3. 熱容量C(T ) = ∂E(T, N )∂T を計算せよ。 (8)および ∂T = −k β2 ∂∂β より

C(T ) = ∂E

∂T = −k β

2∂E

∂ β

= −k β2Nℏω −ℏωe

βℏω

(eβℏω− 1)2

= N k(βℏω)2eβℏω

[ 1

eβℏω − 1 ]2

= N keβℏω

[ βℏω eβℏω− 1

]2

(14)

= N k(βℏω)2 [

2 sinh βℏω 2

]−2

. (15)

低 温 と 高 温 で の 振 る 舞 い を 調 べ る 。低 温 kTω ≪ 1

(βℏω ≫ 1)のとき,eβℏω ≫ 1なので(14)より C(T ) ≃N k(βℏω)2e−βℏω −−−−→

T →0 0 (16)

となり,急激に0に近づく。これは量子効果を表してい る。エネルギーはω単位でやり取りをし,それより小 さな量の移動は出来ない。そのため温度が下がり kT が ℏω よりも小さくなると,熱の形によるエネルギーの移 動が出来なくなり,熱容量が急に小さくなる。

一方,高温 kTω ≫ 1 (βℏω ≪ 1)では

C(T ) ≃N k [

1 − (βℏω)

2

12 ]

−−−−→

T →∞ N k (17)

となり,温度に依らずN k に漸近する。有限系と違い減 衰しない。エネルギー準位に上限がないことを表してい る。これは,U(T )のグラフが高温で有限の傾きを持っ た直線に漸近することからも分かる。

1 2

kT hω 3 Nk

C

解答 3.

一様な磁場H の中に置かれた互いに独立なN 個のスピン系のエネルギーは (40)

E12,...,σN) =

N

j=1

(−µHσj) (18)

と書ける。ここで µは磁気モーメント。σj は j 番目の スピン変数 σˆj の固有値で,上向きなら+1を,下向き なら−1 を取る。また各スピンは固定されているので, スピン同士の入れ換えは考えなくて良い。

3-1. 上の式から分かるように,この系ではスピン1つ あたり−µHσ のエネルギーを持つ。1 つのスピンから なる系の分配関数Z(β, H,1)を求めよ。

分配関数の定義より

Z(β, H,1) =

σ=↑,↓

e−βEσ = eβµH + e−βµH

= 2 cosh(β µH). (19)

3-2. スピン1つの期待値⟨ ˆσ⟩を計算せよ。

*1以下の図は全てMathematicaを使って書いた。

(3)

統計力学演習 (Wednesday February 8th 2017) 期末試験 解答例&解説 3

期待値の定義より⟨ ˆσ⟩は

⟨ ˆσ⟩β, H = 1 Z(β, H,1)

↑, ↓

σie−βEi

= (+1)e

βµH + (−1)e−βµH eβµH + e−βµH

= tanh(β µH) (20)

と計算できる。

3-3. 互いに独立な N個のスピンからなる系の分配関数 Z(β, H, N)を計算せよ。

各スピン系は互いに独立,かつ全て等しいので

Z(β, H, N) = [Z(β, H, 1)]N

= 2NcoshN(βµH). (21)

3-4. 磁化mˆ := N1 Nj=1µ ˆσj の期待値⟨ ˆm⟩を計算し,グ ラフで表せ。

期待値の定義より

⟨ ˆm⟩ =

⟨ 1 N

N

j=1

µ0σˆj

= µ0 N

N

j=1

⟨ ˆσj

= µ0

N Ntanh(βµH)

= µ0tanh(βµH) (22)

である。1行目の変形では,期待値の線形性を用いた。 また,磁化の定義と(18)を比べるとm = −ˆ N H1 Hˆ

成り立つことがわかる。よって期待値の線形性より

⟨ ˆm⟩ = − 1

N H ⟨ ˆH ⟩ = + 1 N H

∂ β log{2

NcoshN(βµH)}

= µ tanh(β µH) (23)

と求めても良い。 グラフにすると

3-5. 磁化率 χ(β) := ∂ ⟨ ˆ∂Hm⟩ H =0

を計算せよ。磁化し易い のは,低温と高温のどちらか?

定義より

χ(β) =

∂Hµ tanh(βµH) H =0

= β µ2 1 cosh(βµH)

H =0

= β µ2= µ

2

k T

−1. (24)

χ(β)はT に反比例するので(Curie’s law),低温ほど磁 化し易い。

Updating...

参照

Updating...

Scan and read on 1LIB APP