理論ゼミ（前期） 2016 P3 08

理論ゼミ 第 8 章

藤井涼平

2016 年 5 月 17 日

1 _{核子のクォーク構造}

深非弾性散乱とスペクトロスコピーから得られた 情報を用いて,核子中のクォークの性質を明らかに する.

1.1 _クォーク

陽子と中性子の性質を説明するために2 つの クォークu, dが必要になる. 核子のスピンは1/2 だから,核子は奇数個,すなわち最低3つのクォーク から成ると考えられる.

クォーク 核子

u d p n

(uud) (udd) 電荷 z +2/3 -1/3 1 0 アイソスピン ^{I 1/2 1/2}

I3 +1/2 -1/2 +1/2 -1/2 スピン S 1/2 1/2 1/2 1/2

クォークの電荷の実験的検証は1.3節で説明す る. これまでに, +2eをもつ^∆++_{(uuu), −e}をもつ

∆−_{(ddd)が発見されている.}

uクォークとdクォークがアイソスピン2重項 をなすことが原因で,陽子と中性子もアイソスピン 2重項をなす.

1.2 バレンスクォークと海クォーク

核子は,核子の量子数を決定するバレンスクォー クと,グルーオンから仮想的に対生成され消滅する 海クォークからなる. 海クォークにはu, d以外の クォーク(c, s, t, b)も含まれる. クォークの種類を フレーバー（香り）と呼ぶ.

クォークはファミリー（世代）に分類できる：

(

u

d

)

,

(

c

s

)

,

(

t

b

)

上の行のクォークは zf^{ +}2/3,下の行のクォーク はzf^−1/3^をもつ.

多くの実験で実現可能なQ² の範囲ではc, b, t クォークは主要な役割を果たさないため,今後はこ れを無視する.

1.3 _{クォークの電荷の決定}

電子とニュートリノによる深非弾性散乱における 構造関数を比較することで,クォークの電荷を決定 する.

■電子による散乱 u, d, sクォークの電荷を+2/3, -1/3, +2/3と仮定する.

F₂

(

x

)

^x

^∑

f

z²_f

(

q_f

(

x

)

⁺ ¯q_f

(

x

))

_(7.16)

に,それぞれのクォーク・反クォークの運動量分布 と電荷を代入すると,陽子の構造関数は

F₂^e,px

[

₁

9

⁽

^d

p

v ^+ds^{+ ¯d}s

⁾

+⁴ 9

⁽

^u

p

v^+us^{+ ¯u}s

⁾

⁺¹

9

⁽

^ss+¯ss

⁾

]

(1) 中性子の構造関数は

F^e,p₂ ^x

[

₁

9

⁽

^d

nv^+ds^{+ ¯}ds

⁾

+ ⁴ 9

⁽

^u

vn^{+us+ ¯us}

⁾

⁺

1

9

⁽

^ss+¯ss

⁾

]

(2) 添字vはvalence quark, sはsea quarkを表す.こ こで,陽子と中性子の海クォークの分布は同じだと 仮定した.

アイソスピン対称性から,

u_v^pd_vⁿ (3)

d_v^puⁿ_v (4)

同じことが海クォークでも成り立つ：

us^ds (5)

¯u_s^d^¯s (6)

核子の構造関数は,平均を取ることで

F^{e, 核子} _≡ ^F

e,p 2 ^+F

e,n 2

2

 ^x 9

[

₁ 2

⁽

^d

p

v^+dv^n+2ds

⁾

^{+ ¯ds}

]

+^4x

9

[

₁

2

⁽

^u

p

v^+unv^+2us

⁾

^{+ ¯us}

]

+ ^x

9

⁽

^ss+¯ss

⁾

 ^x

9

⁽

^{qd+ ¯qd}

⁾

⁺ 4x

9

⁽

^{qu+ ¯qu}

⁾

⁺ x

9

⁽

^ss+¯ss

⁾

⁽⁷⁾ (3)(4)(5)(6)よりqd^qu, ¯qd^{ ¯q}u^だから,

(7)

 ⁵ 18^x

∑

fd,u

(

_qf⁺ ¯q_f

)

^+x

9

⁽

^ss+¯ss

⁾

≃ ₁₈^{5 x}

^∑

fd,u

(

_qf⁺ ¯q_f

)

₍₈₎

■ニュートリノによる散乱 ニュートリノには弱い 相互作用ははたらくが,電磁相互作用ははたらかな い. ニュートリノとの深非弾性散乱から,弱い相互 作用における構造関数が得られる. 弱荷はすべての クォークに共通だから,構造関数に因子z²_f が入ら ない.

F^ν,核子

_x

∑

fd,u,s

(

_qf⁺ ¯q_f

)

≃ x

^∑

fd,u

(

q_f⁺ ¯q_f

)

(9)

■実験結果 電子との深非弾性散乱から得られた 構造関数を18/5倍するとニュートリノとの深非弾 性散乱から得られた構造関数と一致する（図8.1）. 従って,実験結果は因子 5/18が正しい, すなわち u,dの電荷が2/3, -1/3であることを示している.

1.4 _{クォークの運動量分布}

■グルーオンの存在 核子が運動量Pをもつとき, その中のクォークは運動量xPを持つ（→p.91）. 構造関数をxについて積分することで, xの平均値, すなわち核子の運動量のうちクォークが占める運動 量の割合がわかる.実験結果は

∫

₁

0

F₂^ν,核子_{dx ≃ 0.5} (10) となった. つまり,核子中には電磁相互作用も弱い 相互作用も働かない粒子があると考えられる. これ をグルーオンとよぶ.

■陽子・中性子中のクォークの運動量 次に,陽子 の構造関数と中性子の構造関数の比をとってみる

（図8.2）_{. x → 0}のとき1になっていることから, この領域では海クォークが主な役割を果たしている ことがわかる. 一方_{, x → 1}では海クォークがほと んど役割を果たしていないことがわかる. (1) (2)の 比を取り,

⁽

海クォークの運動量分布/d^p_v

)

を0にし た極限を計算すると,

Fⁿ₂ F^p₂ ^→

1 9

u^pv d^pv

+⁴

9 1 9 ⁺⁴9

u^pv dv^p

(11)

となる. 陽子中のuクォーク, dクォークが1つ あたり同じ運動量を持つならば, u^p_v^/d^p_{v → 2}より

(

₁₁

)

_{→ 2/3}となるはずだが,実験結果は約1/4と なっている. つまり, u^p_v/d_v^p_{≫ 1}であることがわか る. 同様にして, dⁿ_v/uⁿ_{v ≫ 1}もわかる. これは,陽 子の中で大きな運動量をもつクォークの大部分はu クォーク,中性子の中で大きな運動量をもつクォー クの大部分はdクォークが占めていることを示し ている.

1.5 _{構成子クォーク}

深非弾性散乱では海クォークやグルーオンの存在 を確認することができるが,スペクトロスコピーで はできない.そこで,これらの質量をバレンスクォー クに取り込み, 3つのバレンスクォークのみが存在 し, これらの質量が増えたとみなすことができる. この実効的なバレンスクォークを構成子クォーク とよぶ. 逆に,裸のクォークはカレントクォークと

よぶ.

クォーク 質量[MeV/c²]

カレント ^{u 1.5-5}

d 3-9

構成子 ^{u ≃ 300}

d _{≃ 300}

陽子の方が中性子よりも大きなクーロンエネル ギーを持つにもかかわらず,陽子の質量は中性子の 質量よりも小さい. 従って, dクォークのほうがu クォークよりも重いと考えられる.

2 _{ハドロン中のクォーク}

2.1 _{ハドロンの分類}

核子以外にも多数のハドロンが存在し,それらは 2つのグループに分類できる.

■バリオン バリオンはqqqで構成される.バリオ ンは半整数スピンをもつ.

バリオン数Bという新たな量子数を導入する. バ リオンはバリオン数B  1をもち,反バリオンは B  −1^{をもつ. クォークは B  1/3をもち, 反} クォークは_{B  −1/3}をもつ. これら以外の物質は

B  0とする. バリオン数は今までに見つかってい

るすべての反応で保存する.

バリオンの共鳴（励起）状態のエネルギー差は核 子の質量そのものに匹敵するほど大きいため,それ を独立した粒子として扱う.

■メソン（中間子） メソンはq ¯qで構成され,整数 スピンをもつ. メソンはレプトンや光子に崩壊し得 るので“メソン数”は保存しない.これは,メソンの クォーク数が0であることから説明がつく.

最も軽いメソンはπ中間子である.

|π⁺⟩  |u ¯d⟩ ,

|π⁰⟩  √¹

2[|u ¯u⟩ − |d ¯d⟩] , ⁽¹²⁾

|π⁺⟩  | ¯ud⟩

3 クォークとグルーオンの相互作用

■色 “色"という新たな性質を導入しなければ,パ ウリ原理に矛盾が生じる.その例を以下に示す.

∆⁺⁺_{はuuuから成り,角運動量は J  3/2,軌道} 角運動量はl  0,スピン角運動量S  3/2である. l  0より空間波動関数は対称である. S  3/2よ り, 3つのuクォークのスピンは平行だから,スピン 波動関数も対称である. フェルミオンの波動関数は 反対称でなければならないため,これはパウリ原理 に矛盾する.新たな“色”という概念を導入し,色の 波動関数を反対称にすれば,パウリ原理に矛盾しな いようにできる.

色にはr, g, b,¯r, ¯g, ¯bの6種類がある. これらは, それぞれ

*.

,

1 0 0

+/

-

,

_*.

,

0 1 0

+/

-

,

_*.

,

0 0 1

+/

-

,

(

1 0 0

⁾

,

⁽

0 1 0

⁾

,

⁽

0 0 1

⁾

(13)

と表される.

■グルーオン⁸重項 強い相互作用は J^{P }1⁻で 質量が0のベクトルボソンであるグルーオンに媒介 される. グルーオンは色に結合する. グルーオンは 1つの色, 1つの反色をもつ（レジュメ図2参照）. 3 ⊗ ¯3^{の組み合わせは8重項と1重項に分解できる.} 8 重 項 へ の 分 解 に つ い て 考 え る. SU

⁽

3

⁾

^ {U|UU^{†  U†}U  1 ∩ det U  1}^{を満たす行} 列Uは, tr H  0を満たすエルミート行列Hを用 いてexp iHと表せる. H の基底はGell-Mann行 列と呼ばれ, 8つある.これはSU(2)におけるPauli

行列に対応する.

λ₁^

_*.

,

0 1 0 1 0 0 0 0 0

+/

-

, λ₂^

_*.

,

0 −i 0

i 0 0

0 0 0

+/

-

,

λ₃^

_*.

,

1 0 0

0 −1 0

0 0 0

+/

-

, λ₄^

_*.

,

0 0 1 0 0 0 1 0 0

+/

-

,

λ₅^

_*.

,

0 0 −i

0 0 0

i 0 0

+/

-

, λ₆^

_*.

,

0 0 0 0 0 1 0 1 0

+/

-

, ₍₁₄₎

λ₇^

_*.

,

0 0 0

0 0 −i

0 i 0

+/

-

,

λ₈^ _√¹ 3

^*. _,

1 0 0

0 1 0

0 0 −2

+/

-

ところで, r¯rを行列表示すると以下のようになる.

r¯r 

*.

,

1 0 0

+/

-

(

1 0 0

⁾

^

*.

,

1 0 0 0 0 0 0 0 0

+/

-

(15)

同様の計算から, Gell-Mann行列の要素とグルーオ ンの色は以下の対応を持つことがわかる.

*.

,

r¯r r ¯g r ¯b g¯r g ¯g g ¯b b¯r b ¯g b ¯b

+/

-

(16)

Gell-Mann行列を組み合わせることで,グルーオ

ンの8重項

r ¯g, r ¯b, g ¯b, g¯r, b¯r, b ¯g,

√1 2

(

_{r¯r − g¯g}

)

,_√¹

6

⁽

r¯r + g ¯g − 2b¯b

⁾

⁽¹⁷⁾ を作ることができる.一方, 1重項は

√1

3

⁽

r¯r + g ¯g + b ¯b

⁾

(18) で表される. これは特定の色に作用せず,色電荷の 間では交換されない.

光子が電子・陽電子対を生成できるように, グ ルーオンはクォーク・反クォーク対を生成したり, グルーオンを放出・吸収したりできる.

■無色の物体としてのハドロン 色のみが違いそ れ以外の性質が同じハドロンが存在しそうだが,現 在のところ,無色のハドロンしか見つかっていない

（クォークの閉じ込め）. よって,無色の物質のみ自 由粒子として存在するという条件を課す.無色とは, 色をベクトル表示した時にクォークの色のベクトル の和が零ベクトルになるもののことである.

例として, π中間子をあげれば,

|π⁺⟩ 

^ _



|ur¯d¯r⟩

|ub¯d_¯b⟩

|ug¯d¯g⟩

(19)

の状態が絶え間なく移り変わっている（レジュメ図 3参照）.

■強い相互作用の結合定数^αs ^{強い相互作用の結}

合定数はQ²に強く依存する（図8.4）.色xをもつ クォークが出したグルーオンがクォークを対生成す るとき,色¯xを持つクォークの方が元のクォークの 近くに生成されやすい（レジュメ図1参照）. その 結果遮蔽がおこり,結合定数が小さくなる.

一方,グルーオン同士が結合すると,理論計算から 色xをもつクォークの周りに色xをもつグルーオ ンが集まる. その結果反遮蔽が起こり,結合定数が 大きくなる. グルーオンの場合,反遮蔽の効果のほ うがはるかに大きい.

以上の理由から,非常に近距離（Q² _{→ ∞}）では クォーク間の結合は弱くなり,自由なクォークとみ なせる（漸近的自由）.逆に,距離が離れるとクォー ク間の結合が強くなるため,クォークはハドロンか ら抜け出せない.

QCDの摂動計算により,結合定数の第1項は

α_s

(

_Q²

)

^{ 12π}

(

_{33 − 2nf}

)

_ln

(

_Q²/Λ²

)

⁽²⁰⁾ と求められる. nfは関与するクォークの種類の数 で,これはQ²に依存する. Λは自由なパラメータ で,実験結果との比較によって決定される.

4 構造関数のスケーリングの破れ

■自己同一性 7.2節ではF₂

(

x

)

はQ²に陽に依存 しない（図7.4）＝核子は点状粒子から成る（図5.6）

と結論づけたが,実際にはF2

⁽

x

⁾

はQ²に依存する

（図8.5, 8.6）. これは構造関数のスケーリングの破 れと呼ばれる.

図8.6を見れば, Q² が大きくなると大きな運動 量を持つクォークが減少し, 小さな運動量を持つ クォークの数が増えることがわかる. これは,分解 能が

^ℏ

/

^√

_Q² であることによる. Q² が小さい時は クォークとグルーオンが一体のものとして観測され るため,大きな運動量を持つクォークの数が多く,小 さな運動量を持つクォークの数が少なく見える. Q² が大きくなるとクォークとグルーオンを分離できる ため,大きな運動量を持つクォークは少なく,小さな 運動量を持つクォークの数が多く見える.

Q² を上げていくと,クォークとグルーオンが分 離され,さらにQ² を上げていくとそのクォークと グルーオンがさらにクォークとグルーオンに分離さ れる……というように,強い相互作用をする粒子は 自己同一性をもっている.

クォーク分布のQ²依存性は強い相互作用の結合 定数α_sに比例する.

図1 左：反遮蔽 右：遮蔽

参考文献

[1] クォークとレプトン ―現代素粒子物理学入門― F.ハルツェン, A.D.マーチン 培風館1999 [2] 量子色力学とは何か 原 康夫 丸善株式会社1991 [3] 連続群とその表現 島 和久 岩波書店1981 [4] University of California, Riverside

http://math.ucr.edu/home/baez/ physics/ParticleAndNuclear/gluons. html

[5] 近藤くんからのアドバイス

図2 グルーオンによる色の交換

図3 ハドロン中のクォークの色の交換