H23 コマの物理から素粒子のスピン

微分・積分

微分の例：速度の場合

10 km を　2時間　かけて移動

10 km

速度　10 km / 2 h = 5 km/h

「平均のはやさ」 ^{平均の速さ　＝}

移動距離 時間

時間の単位

時 = hour 分 = minute 秒 = second

時間の単位

時 = hour 分 = minute 秒 = second

単位時間あたりの平均移動距離

位置と時間：　時間の関数としての位置

t

x

t

x

t

x

t

x

...

時刻 t の時の位置 x

...

x _(t)

0 t

x

=x (t

)

x

=x (t

)

x

=x (t

)

位置-時刻図 x-t 図

平均速度と位置

x _(t)

0 t

t

−t

x

−x

平均速度＝「勾配」

2点をつなぐ直線の傾き

̄

v = ^d

t ⁼

x ₂ −x ₁

t ₂ −t ₁

x

=x (t

)

微少時間内の平均速度

x (t)

0 t

Δ t=t

−t

Δ x=x

−x

̄

v = ^{x 2 −x 1}

t ₂ −t ₁ ⁼

Δ x

Δ t

Δ t → 0

Δ t=t

−t

時刻 t での速度：　位置の時間微分

x

x (t) t

x x t

v t = lim

 t 0

x t t− x t

 t

Δt→0 での速度

→　_t での接線の傾き

v (t ) = ^dx

dt

微分(導関数)の表記方法

˙x (t )= ^{dx (t)}

dt

¨x  t= ^d

2

x t

dt

時間の１階微分

時間の２階微分

y ' = ^dy

dx ^{y ' ' =}

d

y

dx

⁼

d

dx

^{y y}

n

= ^d

n

dx

^y

と書く場合もある 力学では

と書く場合もある

例：　速度、加速度

v t= ˙xt 

a t = ˙v t= ¨xt 

m _{¨x =F}

dy

dx ^{≝ lim}

Δ y

Δ x

微分の意味：　再考

少しだけ x 変化させた時(Δx)、どれくらい y が変わるか(Δy)?

→　その割合が『微分』 である事に注目

少しだけ x 変化させた時(Δx)、どれくらい y が変わるか(Δy)?

→　その割合が『微分』 である事に注目

外周の『面積』

半径 r の円の面積

S (r )=π r

r

Δ r

半径 r+Δr の円の面積

S (r+ Δ r )=π(r+ Δ r )

S (r+Δ r) =π(r

+2 r Δ r +Δ r

)

面積の増加分

S (r+ Δ r )−S (r )=π(r

+2 r Δ r )−π r

半径の増加に対する、面積の増加割合

r ^{L =2 π r}

これはなに?

dS

dr ^{=2 π r}

半径を少し広げると、

面積が『円周』×『厚さ』少し拡大する

S (r+ Δ r )−S (r )=2 π r Δ r

Δ r

円の面積と円周

dS

dr ^{=2 π r =L}

円の場合、

半径増加に対する面積増加の割合は、 その『周長』に等しい

円の面積の微分　→　円周

半径 r の球の表面積

半径を少し大きくすると、『面積』が『周長』分少し拡大する

半径を少し大きくすると、『体積』が『表面積』分少し拡大する

球の体積は

V = ⁴

3 ^{π r}

3 面積は?

積分の例：　速度　→　位置

ある物体が速度 10 m/s で移動している。 今、その物体が位置 x=1 m にあるとして、 10秒後には何m先に移動しているか？

̄v= ^{10 m/s}

1 m

t =0 s

?

t =10 s

『変位』は『速度』_×『時間』なので 10 m/s × 10 s = 100 m

x-t 図であらわすと

1 s

10 m

x

1 m t

10 s

100 m

101 m

10 m/s

時間とともに、速度が変化する場合は?

x

t

t

x (t)

時刻 t での物体の位置 x(t) 時刻 t での物体の速度 v(t)

t

x

x

時刻 t_a に x_a^{にある物体が} 時刻 t_b にはどこへ移動する？

千里の道も一歩から

v (t

) _{= ˙x(t}

)

Δ t

Δ x=v(t₁)Δ t

Δ x=v(t₂)Δt

Δ x=v(t₃)Δ t

Δ x=v(t₄)Δ t

Δ t

Δ x= v (t) Δ t

v (t)

∫

a

t_b

v _(t)dt

t

t

∑

v (t

) Δ t

Δ t → 0

積分の表記

∫ _t

a

t _b

v _(t)dt

関数 v(t) を　

時刻 t_a から t_b まで積分する

関数 v(t) の　『積分』　とは?

微分と積分の関係

v (t)= ^dx

dt

v _{(t)dt =dx}

∫ ^{v (t)dt =} ∫ ^{1 dx}

∫ ^{v (t)dt =x}

∫ ^{v (t)dt =x +C}

両辺を微分すると、 最初に戻る。

定数は微分したら 0

→　_{C: 積分定数} 左辺に移動

両辺積分

1を x の区間だけ足す

微分と積分の関係

( ^x

) ^{' =n x}

_∫ ^{n x}

^{dx = x}

^+C

( ^{sin x} ) ^{' =cos x} _∫ ^{cos x dx =sin x+C}

( ^{cos x} ) ^{' =−sin x} _∫ ^{sin x dx =−cos x+C}

( ^{tan x} ) ^' = ¹

cos

x ^∫

1

cos

x ^{dx=tan x+C}

( ^{f ( x)} ) ^{' =g ( x)} _∫ ^g ( x) dx= f ( x)+C

( ^e

) ^{' =e}

_∫ ^e

^{dx =e}

^+C

( ) ¹ _∫ ¹

定積分

∫

^{g ( x)dx}

f ' ( x)=g ( x)

∫

^{g ( x)dx=} ∫

^{f ' ( x)dx}

∫

^{g ( x)dx= [ f ( x) ]}

の計算

∫

^g ( x)dx= f (a)− f (b)

速度の時間積分

x

_=x

_{+ ∫}

t_b

v _(t)dt

x

=x

+ _∑

i=0 n−1

v (t

+i Δt )Δt

Δ t → 0 n→∞

v

t

... ...

Δ t

v (t

+i Δt)

t

t

微少長方形の面積

積分再考

x _{= ∫} v _(t)dt

v

t

... ...

Δ t

t_a t_b

dx _{=v (t) dt}

ただし積分は物体の

『位置の変化』に添って行う

= _∫

C

^dx

x

t dt

t t

dx

ただし積分は物体の

『位置の変化』に添って行う

x _{= ∫}

C

^{dx x}

t

dx

x

x

x _{= ∫} v _{(t)dt = ∫}

C

^dx

m/s _⋅s

→ m

m m

この場合の積分は、

『長さの次元をもつ微少量（微少変位）を積算』 して、変位の和を計算しましょう、　ということ。

微分の場合も

v = ^dx

dt

m

s m/s

『微分』という手段と考えるよりは、

微少変位dx を 微少時間 dt で割ったもの

→　その瞬間の平均速度 ととらえる

x _{= ∫} v _{(t)dt = ∫}

C

^dx

速度 v(t) で微少時間 dt の間に進む微少距離を 指定された時間区間で足し上げる

→　全体の移動距離

微分の例：

x t=t ^x t t −x t =t t−t= t

x t t −x t =t t ²−t²=t²2 t  t   t ²−t²=t²2t  t −t²=2 t  t

「微小量の₂乗は無視できる」

  t² 0

x t=t²

x t=t^{3 x} t t −x t =t t³−t³=t tt²2 t  t−t³=t³3 t² t −t³=3 t² t

x t=t^{4 x} t t −x t =t t⁴−t⁴=t tt³3t² t −t⁴= t⁴4 t³ t −t³=4 t³ t

x t=t^{n x} t t −x t =t tⁿ−tⁿ=t t tⁿ⁻¹n tⁿ⁻² t−tⁿ=tⁿn tⁿ⁻¹ t−tⁿ=n tⁿ⁻¹ t x t=a f t  x t t −x t =af t t −af t =a f t t − f  t

対数の微分





 x 0

log_a x x−log_a x

 x

= lim

 x  0

1

 x ^loga

x x x

= lim

 x  0

1 x

x

 x ^loga

_

 x x

_

=¹

x ^limk 0

log_a1k 

1 k k=^{ x}

x

e ≡lim

k 0

^{1k }

=¹

x ^{loga e}

= ¹

x log a

指数関数の微分

y=a^x log_a y=x

両辺を微分して ¹

y log a^{⋅y ' =1}

log_a x'= ¹ x log a

y '

y ^{=log a}

y '= y log a=a^xlog a

y=e^x y '=e^x log e=e^x= y

特別な場合 両辺の対数をとる

y=e^ax y '=a e^ax

少し複雑な例

x t t =^dx

dt  t x t 

dx

dt ^{= lim} t  0

x t t −x t

 t

x t= f t g t x t t −x  t = f t t  g t t 

=

_

dt  t f t 

_

dt ^{ tg t}

_

=

_

dg

dt ^{ t}

2^df

dt ^gt  t f t ^dg

dt  t f t  g t 

_

=

_

dt ^gt  f t^dg dt

_

x t= f  g t ^x t t −x  t = f  g t  t− f  g t

= f  g t ^dg

dt ^{ t}− f  g t 

= f  g  g− f  g 

= ^df

dg ^{ g} f  g − f  g 

= ^{df dg}  t

f(t), g(t)の微分（導関数）は既知のものとする

微分の応用

x t= ¹ g t 

xt = ^{f t } g t

x t= g t ⁻¹ _{˙x t =}^dx

dg dg

dt ^=−g

−2 ^dg

dt ⁼⁻ 1

g t^{2 ˙g t }

xt = f t⋅ ¹

gt  ˙x t = ˙f t⋅ ¹

gt ^{ f t }

_

g t^{2 ˙g t }

_

˙x t = ˙f t g t− f t  ˙gt  gt ²

（半径１の）円周とラジアン

1

−1 1

−1 0

半径１の円の円周 _2π

角度θの扇型の弧 2π× θ

2π ^=θ 2π× θ

2π θ

θ

角度θの扇形の弦 l

l<θ

θ → 0 ^{に近づくと} l →θ

半径 r の円の円周で、微小角度 dθ で切り取られる部分 dl は

dl = r dθ

半径 r の円の円周

d _θ

r

dl _{∼r sin} d _θ

dl _∼r d _θ

θ

L= _∫

0

2 π

r d θ

L=r _∫

0

2 π

1 d θ

L _{=r [ θ ] 0} ^{2 π}

L=r ₍ 2 π−0 ₎

L=2 π r

微小距離 _{dl を1周分足す}

→　円周

1周： 0 ≤ θ < 2π

L= _∫

C ^dl

dl

三角関数の微分再考

(sin θ)' =cos θ

(cos θ)' =−sin θ

ある高校の教科書では・・・

『微分の意味』を考えながら

もう少し違った見方をしてみると・・・

三角関数の微分

x y

 x , y=cos  ,sin 

 0 1

1

 

Δ x =Δθ ⋅cos( π

2 ^−θ)

=−Δ θ sin θ



2 ^−

Δ y=Δθ⋅sin( π

2^−θ)

=Δ θcosθ





 y=sin0 ~ 

(x = 0 ^近傍では y = sinx ~ x)

 

 

 x

Δ y ^{円周上の点が、}

微少角度 dθ の変化で

どれだけ位置を変えるか？

積分と円・球

*** ^周長 = (微小角に対する微小変位₎を足しあげたもの

*** ^面積 = ^（周長 × 微小の厚み）を足しあげたもの

*** ^表面積 = (^周長 × 微小変位）を足しあげたもの

*** ^体積 = ^（表面積 × 微小の厚み）を足しあげたもの ^{V r =∫0}

r

S ' r '  dr ' S r =_∫

0 r

Lr '  dr ' Lr =_∫

0 2

r d

r

r d

d 

S ' r =_∫

0 r

L ' d 

r

r d 

d 