発表ファイル 数理物理・物性基礎論セミナー ori

W

自己紹 W

  ^～1994^{８故郷＆千葉県我孫子 ＇W}

◦  ^{形 興味}

サ 子供 模様 


W

  ^～1998^{８東 大学 理物W}

◦  ^{番組 蛍 集団発 出会う}

W

  ^～2003^{８京都大学院 理物W}

◦  ^{師匠＆蔵本 紀＇ 出会うW}

◦  ^{振動子集団 時空間}

W

  ^～2006^{８ ン 奨励研究員 ン W}

◦  ^{研究所＆表面 学 研究所＇}

◦  ^{BPO 観測 毎 励}

  ^〜2008^{８ 大 数学}COE^研究員W

◦  ^{美 い ン 人}

2012

ン ８ 

振動子集団 同期現象い い W

W

 

circa = about ^概

 

dian = daily ^一日

W

Circadian rhythm ^{概日 W}

light^W light^W

1^〜7^日目８

12h 12h ^{暗 え}

24^{時間 観察 ，}

＆※ 夜行性＇

8^{日目以降８} 真 暗，

暗闇 飼い＊あ ン 強い え ，W

リズムの基本性質

▼

0 ¹² 24

時間

44

30

16

日

-2 -1 0 1

0 6 12 18 24

位相の変化量 ( 時間 )

光照射を受けたときの体内時刻

(a) ^(b)

図 ^{マウスの 活動リズムと 位相応答曲線．} 暗室にいるネズミに， 日

目の 分頃 白抜きの矢印 に 分の強い光を与えた結果，次の日以降

の活動時間帯が 時間ほど遅れている． 位相応答曲線．本間さと氏の提

供による．

動物の概日リズムの位相応答曲線の測定について説明する．体内時刻 位相

は，ある日の活動の開始時刻と次の日の活動の開始時刻を 時間で等分割し

て定義する．慣習として，ネズミのような夜行性の動物に対しては，行動の開

始時刻を体内時刻の 時と定義する．図 はマウスの行動リズムで図

の実験の続きである． 日目の矢印で記した時間に， 分間，強い光をネズ

ミに照射している．すると， 目以降の活動時間帯が遅れており，最終的には

時間程度の位相変化が生じている．位相の変化量は，光を照射されたとき

のマウスの体内時刻に依存する．図 の場合では， 日目に刺激を与え

ているが，その時刻は行動開始から約 時間ほど後なので，体内時刻の 時

に刺激を与えていることに相当する．図 の横軸は光刺激を与えたとき

のマウスの体内時刻で，縦軸は体内時刻の変化量である．これが概日リズムの

位相応答曲線である．

マウスの位相応答曲線は，夜に活動時間を合わせるのに適している．たとえ

ばマウスが活動を開始する時刻，つまり，体内時刻の 時付近で，まだ日が

出ているとしよう．するとマウスは光を浴び，このときの位相シフトは負であ

るので，マウスの体内時計は遅れ，次の日以降の活動時刻はその分だけ遅く

なる．活動の終了時刻である体内時刻の 時付近に光を浴びれば体内時計が進

W

体内時計 本体＆視交叉 核＇W

 

^{前半８決定論的 中心}

◦  ^{ワ 構造}

◦  ^共通

 

^{後半８ ン ゆ 話 中心W}

あ W

W

相振動子 W

 

^{実験観測量 構築可能＆ 発生原理 わ いい＇}

 

制限８相互作用や外部入力 い ＆弱結合＇ 仮定

d φ

dt ^{= ω}

^{+ κ Z( φ}

^{) p( φ}

⁾

d _φ

dt ^{= ω}

^{+ κ Z( φ}

^{) p( φ}

⁾

A. Winfree (1967) Y. Kuramoto (1984)^W

相振動子 作 方W

φ ^p(t)

Z ^{( φ ) :}

φ

0 ^W

Winfree model: ^{d φ}

dt ^{= ω + κ Z( φ ) p(t)}

相 応曲線＝ 相感 関数 _× 激 強

相 応曲線 実験的 いW

相感 関数W

W

蛍 例 相 現象論的 出W

仮想実験８ 瞬間的 照射 次

ン う 変 観測 W

＆ 時計 戻 ＇W

蛍 時計 W _W

激 相 変

＆ 相 応曲線_{, PRC}＇W

0 ^W

φ

Δ φ

蛍 相 W

Z ^{( φ )}

φ

0 ^W

８ 相感 関数W

(A. Winfree 1967)^W

＆ 時計 戻 ＇W

＆ 時計 ＇W

蛍 時計 W _W

φ

d φ

dt ^{= ω + Z( φ ) p(t)}

激W

p(t)

0 ^W t

2 ^π

0 ^W

limit-cycle oscillator: ^dW

dt ^{= F(W )}

phase: φ(W) s.t. ^dφ

dt = ω (=const.)

external force (only to x-direction): ^dW

dt = F(W ) + κ

p(t) 0



⎛

⎝

⎜⎜

⎜

⎞

⎠

⎟⎟

⎟

∂φ

∂x ⁼

∂φ

∂x

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟on the limit-cycle

+ O(κ ) ≡ Z(φ) + O(κ )

corresponding phase dynamics: ^dφ dt ⁼

∂φ

∂W ^⋅ dW

dt ⁼

∂φ

∂W ^{⋅ F(W ) +κ}

p(t) 0



⎛

⎝

⎜⎜

⎜

⎞

⎠

⎟⎟

⎟

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪

⎪

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪

⎪

= ω + ^∂φ

∂x^{κ p(t)}

Winfree model: ^dφ

dt = ω + κ Z(φ) p(t) + O(κ²⁾

W ₌ x y



⎛

⎝

⎜⎜

⎜

⎞

⎠

⎟⎟

⎟

W

d_φ

dt ⁼

∂φ

∂W ^⋅ dW

dt ⁼

∂φ

∂W ^{⋅ F(W ) ∴}

∂φ

∂W ⋅ F(W ) = ω

詳 郡宏 森 善久

蛍二匹 相 W

Firefly I: ^{d φ}

dt ^{= ω}

^{+ κ Z( φ}

^{) p( φ}

⁾

Firefly II: ^{d φ}

dt ^{= ω}

^{+ κ Z( φ}

^{) p( φ}

⁾

p( ^{φ )}

φ

放出

0 ^W

2 ^{π 4 π}

W

d φ

dt ^{= ω}

^{+ κ Z( φ}

^{) p( φ}

⁾

d φ

dt ^{= ω}

^{+ κ Z( φ}

^{) p( φ}

⁾

d φ

dt ^{= ω}

^{+ κ f ( φ}

^{− φ}

⁾

f ( _φ

− φ

_{) =} ¹

2 _π

^{Z( φ}

^{+ θ )}

2π

∫ ^{p( φ}

^{+ θ )d θ}

相差 固定 結合項 均 W

d _φ

dt ^{= ω}

^{+ κ f ( φ}

^{− φ}

⁾

弱結合 仮定８

＊一周期 間 振動子 相差

変わ いW

^{κ  1}

Z(φ₁₊θ_{) =}

_∑

_∑

一郎W

二郎W

dφ

dt ^{= ω + f (φ}

^{− φ}

⁾

dφ

dt ^{= ω + f (φ}

^{− φ}

⁾

一郎W

f (x)

f (x) = − sin x

0

x

二郎W

ω

φ

^{= φ}

^{= ω t}

安定 同期状態８W

W

)

解 存在 相差 ，

振動数同期 起 W

k

振動数同期W

φ 

_{= ω}

_{+ κ f (φ}

− φ

)

φ 

_{= ω}

_{+ κ f (φ}

− φ

)

^{Δ  φ = Δ ω + κ g( Δ φ )}

ω

ω

一郎W

同一振動子集団 大域結合系W

d φ

dt ^{= ω +}

κ

N

^{f ( φ}

^{− φ}

⁾

N

∑

f ( _{φ) =} a

^cos( l _{φ) + b}

^sin( lφ)

l =1

∑

For example: b

_{> 0, b}

_{> 0,} ^b

_{< 0} , b

l ≥4

^{> 0}

W

K. Okuda (1993) ^W

slow switching state

(On the co-moving frame)

2 1^ψ

ψ ψ3ψ4

A Δ

_B

2 1^ψ

ψ

4 3ψ ψ Δ

B

2 1^ψ

4 ψ

3ψ ψ

Δ A

B

4^振動子系Heteroclinic loop ^構造W

2

1

^ψ

ψ ₌

4 3 ⁼

=_{ψ ψ ψ}

ψ1 2 ^and

4

3

ψ

ψ ₌

１次元状態空間W

W

近接結合系W

d φ

dt ^{= ω +}

κ

N

^{sin( φ}

^{− φ}

^{+ α )}

N

∑

•  ^ン

•  ^ンW

W

相 状況 合え 現実的

64 ^{個 電気 学振動子}

複数 集団 わ W

相互作用 同期 い

集団 W

W

米国 学実験 W

研究話題 ₁ ８ 

環境 同期 

共同研究者８ 

永井健＆東京大学＇ 

Physical Review E (R) (2010) ^W

W

竹 開花＆数十 ₁ 度程度＇ い

生８ 竹林 ＊山 咲 ＊全国的 ＊

世界中 同時 咲 あ ，

８ ＊信 い！

生８ 少 ＊ ₁₉₆₀ 〜 ₇₀ 代 真竹 ＊

2005 ^〜 2009 ^{ン いう}

竹 世界同時開花 確認 い ， 

※

朝 朝日新聞 (2012/5/26)


DO ^{学 W}

植物 一斉開花W

簔口_{, 1995} 個体群生態学会報 ，

＆巌佐庸 生命 数理 引用＇W

7 ^W 7 ^W

1915-1934 ^W

1965-1984 ^W

8 ^W 3 ^W 5 ^W

特徴

  ^{数 ／度＊一斉開花，}

  ^{周期 い い ，}

  ^{数県 わ 範 同調，}

同調 原因

  ^{花粉 樹木間 相互作用？}

  ^{共通 環境変動＆ ン効果＇？}

(Satake & Iwasa, 2000, 2002)

８あ 地域 ン 豊凶記録，W

や温度W

W

 

^{ン 環境変動}

同期 阻害 ？

研究 問い い W

温度 ？？W

相互作用 同期８蔵本 W

dφ_i

dt ^{= ωi +} K

N ^{sin(φj − φi)}

j₌₁ N

∑ ^{i =} 1…N

Kuramoto (1975) ^{８固 異 振動子集団W}

Sync ( ^著) ^引用W

φ_i ωi

相互作用 _→ 大W

８重心 長 表 W

0 ^W

A

Kcr

秩序度W

結合強度W

( N → ∞)

秩序度_:矢印 長 ０乗

蔵本転移W

W

distribution of ω_i is given by f_freq(ω )

Ae^iΦ ₌ ¹

N ^e

iφ_j j=1

N

∑

蔵本 ン ₍ ^{島伸一郎作} ₎ ^W

dφ_i

dt ^{= ωi +} K

N ^{sin(φj − φi)}

j₌₁ N

∑

π

1

(ω − ω₀)² _{+ 1}^{, K > Kcr = 2}

環境 同期＆ 行研究＇W

d_φ

1

dt = ω + D sinφ₁^ξ(t) d_φ

2

dt = ω + D sinφ₂^ξ(t)

同一 性質 持 振動子集団）共通

( ^相互作用 )

Teramae & Tanaka (2004)

W

時間W

ξ(^{t) : 白色 W}

時間 経過 ＊同 

相 持 状態 束， 

＆ 指数 負 

解析的 示 ，＇W

W

相互作用）環境 W

d φ

dt ^{= ω}

⁺

K

N

^{sin( φ}

^{− φ}

⁾

N

∑ ^{+ D sin φ}

^{ξ (t)}

８ 

均一 性質）相互作用）共通 W

K

D

K

^{( D) = K}

^{(0) − D}

秩序度分 極大点W

結合強度W

手計算 流

(1)  N→∞ ^連続近似 (2)  Ott-Antonsen ansatz (3)  秩序度 従うFokker-


Planck^{方程式 出} (4)  ^{均 近似}

(5)  秩序度分 ^{極大点 求}

r = ¹

N _{i =1}^{exp iθ}

^{( )}

∑

^{( )}

∫

−∞

∫

f₍ω_,θ_,t): phase distribution function for the oscillators with natural frequency ^ω.

r(t) is the order parameter given by^W

θ 

i

= ^ω

+ ^K

N ^sin(

θ

^{− θ}

^{+ β )}

N

∑ ^{+ sin( θ}

^{) p(t)}

Model: Kuramoto model + common noise (white Gaussian, strength D)^W

Continuum limit (N→∞)^W

∂f

∂t ⁺

∂

∂θ

⁽

re^{−i(θ −β)} − r^∗e^{i(θ −β)}

2i ⁺

e^iθ − e^−iθ 2i ^p

⁾

⎧⎨

⎩⎪

⎫⎬

⎭⎪^{= 0}

f ω

(

)

2π ^{1 + α ω,t}

^{( )}

(

)

(

⁽

⁾

)

⎡⎣ ^⎤⎦

n =1

∑

⎧⎨

⎩

⎫⎬

⎭ We assume [Ott-Antonsen Ansatz, 2008]^W

Analysis ^W

W

∂Q A,t( )

∂t ^{= −}

∂

∂A D

2 ^{+ K cos( β − 2 − D)A− K cosβ −} D

2

⎛

⎝⎜ ^⎞⎠⎟ ^A

⎛ 2

⎝⎜

⎞

⎠⎟^Q

⎧⎨

⎩

⎫⎬

⎭⁺

∂²

∂A² D

2 ^{A(1− A)}

2Q

⎧⎨

⎩

⎫⎬

⎭

Q_∞(A) = C exp ² D ⁻

2A

1− A ^{− (K cos}β + D)log(1− A)

⎧⎨

⎩

⎫⎬

⎭

⎡

⎣⎢ ^⎤_⎦⎥

0 (K cosβ + D < 2)

⎧⎪

r = Ae

The stationary distribution Q

(A) and its maximum A

are found as

T

We put and derive Fokker-Planck equation for the distribution Q(A):^W

(non-resonant terms are dropped here)^W

＆ ₂ 次元 _attracting 多様体 

運動方程式＇W

Results ^W

N _{= 10000,} ω

_{= 100}

snapshot^W

K = 1.99

K = 1.96

K = 1.99

K = 2.1

均振動数W

W

秩序度分 極大点W

結合強度W

数値計算８W

 

^{非線形振動子 大自 度結合系 対 環境}

効果 解析的 扱え ，環境

同期 ，

 

^{理論 閾値 強度 調減少}

＊本来 ＊ 強 ＊逆 秩序

いい

◦  c.f. Sakaguchi, J. Korean Phys. 2008

◦  ^{均 ＆弱 妥当，} nonresonat term

落 ＇ 原因 う， 均 い

話題／ 課題W

話題 ₂ ８ 

ワ ワ

相振動子集団 

同期 転移 W

共同研究者８

Ralf Toenjes ^{＆ 大＇} 


増 直紀＆東大 情報理工＇

W

Toenjes, Masuda, HK: Chaos 2010

W

 

^{多 数学 物理学 研究対象} 


格子 ワ 構造

 

^{生命現象 複雑 ワ 一般的}

◦  個体間＊細胞間＊臓器間＊ _etc…

◦  ^{細胞内 代謝経路や遺伝子制御 ワ}

 

^{ワ 特徴 様々}

◦  ^{＊ ワ ＊ ＊}

 

^{ワ 構造 変}

◦  ^{個体間＆人間関 ＊ ＊＇}

◦  ^{神経細胞 ワ}

ワ 系 い W

Motivation ^W

ッ ワーク構造 動的パ ーン 関係性？

W

Model (dynamics) ^W

φ 

⁼ ω ⁺ A

_{ sin( φ

− φ

− α ) + sin α _}

j=1 N

∑

運動方程式

ω : _{固有振動数 任意}

α : _{結合関数 パラ}

A : _隣接行列

※ α 結合 引力 斥力 を決 け

パ ーン形成 い 決定的 役割を果 パラ

え 2と格子 場合  α≠ 0 み

− ^π

2 ^<

α _< ^π

2

引力 がろn‒pれasら coup.き

こ を仮定

otherwise 斥力 がantろ‒pれasら coup.き

Model (network) ^W

有向 ール・ワール  nらt

•   1と rろnる  最近接 一方向 結合

•   _{有向 ラン ・ショー ッ}

　 ショー ッ 密度 σ   

•   入力 強さを1 規格化

各 ー 総結合強度 一定

※ 無向 ッ や規格化 場合

以後 結果 類似

N

_{= 32,} σ _{= 0.25}

# of shotcuts: N ^σ _{= 8}

φ

_{

φ

φ

α

α _}

j=1 N

∑

W

Synchronized state ^W

 

^{完全同期解＆常 存在＇}

 

^{完全同期解 線形安定性}

常 安定 α 大 い 安定性 いW

φ 

= A

_{ sin(φ

− φ

− α ) + sinα _}

j=1 N

∑

φ

= 0 (for all i)

eigenvalues ∝ − cosα

Phase diagram ^W

 

^{相 初期条件８ ン W}

N = 800, ensenble average over 10 different networks

同期状態 常 局所安定． ，ラン 初期条件

大 い α 小さい σ  同期 い！

r ₌ ¹

N ^e

iφ_j j₌₁

N

∑

R _{= r(t)}

trials, time

W

α _{= 0.3,} ρ _{= 0.40}

α = 0.3, ρ = 0.25

W

Bifurcation scenario ^W

 

^{大自 度 複雑 転移 特徴付 い}

 

^{分岐 捉え い ？W}

制御 手法を使 分岐図を作 み

r = f (r,η(t)) 

仮定： ー ーパラ 1次元 イ ク 記述

ショー ッ 密度 低い こ 非自明 仮定

α _{を う 操作} 不安定ブラン を安定化させ 制御

r : target order parameter

Bifurcation diagram I ^W

部分同期

完全同期

非同期

W

Bifurcation diagram II ^W

Message ^W

 

^{い 密度}

◦  ^{摂動 強 効}

 

^{大 い α}

◦  ^摂動

活動状態 入 や い



_{詳細 分岐 未解明}

ゆ 統計性 詳細 効い い

ー ーパラ イ ク を

導出 最高 難 い

W

Theory ^W

 

Directed percolation ^使うW

θ

= 0 for all j

摂動：振動子 けactろvら 回転

1 2 し

i

φ_i = A_ij

_{

_}

j=1 N

∑

= ¹

1+σ ^{sin(φ1−φi −α) +} σ

1+σ ^{sin(0−φi −α) + sinα} φ2 _{= 0}

φ3 _{= 0}

φ_{1 = Ωt}

inward degree: k ≡ 1 +^σ

臨界   　 遅い^φi 平均化 う

φ_{i = 0}

　　　 解 け 振動子 i 運動を

そ 連鎖 活動 続

Directed percolation transition ^W

Mらan ダらlよ unろvらrsalろtオ class

話題０ 課題W

 

^{ワ 相振動子 解}

析

 

^{完全同期 常 局所安定 あ ン}

初期条件 そ 着 状態

 

^{制御 手法 使 ＆} mean field ^{＇ 分岐}

得 

均場近似 効 そう 系 実際 自 度

attracting ^存在？

 

Mean field ^{従う運動方程式 近似理論 作 い ？} 


 

Directed percolation mean field class


( ^あ mean field ^自然 )

 

Directed percolation ^{使 転移 説明}

後半 

- 


- ^{ゆ W}

W

話題１８ 

振動子集団協同 

ン W

Kori, et al. PRE (2009) ^W

暗闇 飼い＊あ ン 強い え ，W

リズムの基本性質

▼

0 12 24

時間

44

30

16

日

-2 -1 0 1

0 6 12 18 24

位相の変化量 ( 時間 )

光照射を受けたときの体内時刻

(a) ^(b)

図 ^{マウスの 活動リズムと 位相応答曲線．} 暗室にいるネズミに， 日

目の 分頃 白抜きの矢印 に 分の強い光を与えた結果，次の日以降

の活動時間帯が 時間ほど遅れている． 位相応答曲線．本間さと氏の提

供による．

動物の概日リズムの位相応答曲線の測定について説明する．体内時刻 位相

は，ある日の活動の開始時刻と次の日の活動の開始時刻を 時間で等分割し

て定義する．慣習として，ネズミのような夜行性の動物に対しては，行動の開

始時刻を体内時刻の 時と定義する．図 はマウスの行動リズムで図

の実験の続きである． 日目の矢印で記した時間に， 分間，強い光をネズ

ミに照射している．すると， 目以降の活動時間帯が遅れており，最終的には

時間程度の位相変化が生じている．位相の変化量は，光を照射されたとき

のマウスの体内時刻に依存する．図 の場合では， 日目に刺激を与え

ているが，その時刻は行動開始から約 時間ほど後なので，体内時刻の 時

に刺激を与えていることに相当する．図 の横軸は光刺激を与えたとき

のマウスの体内時刻で，縦軸は体内時刻の変化量である．これが概日リズムの

位相応答曲線である．

マウスの位相応答曲線は，夜に活動時間を合わせるのに適している．たとえ

ばマウスが活動を開始する時刻，つまり，体内時刻の 時付近で，まだ日が

出ているとしよう．するとマウスは光を浴び，このときの位相シフトは負であ

るので，マウスの体内時計は遅れ，次の日以降の活動時刻はその分だけ遅く

なる．活動の終了時刻である体内時刻の 時付近に光を浴びれば体内時計が進

By H. Ukai, et al.^W

Single cell ^W

行動 得 _PRC W

細胞 細胞集団 動的性質 う 関 い ？W

研究 概略W

φ 

₌ ω

₊ f

( φ

− φ

)

j=1 N

∑ ^{+ Z( φ}

^{) ξ (t)}

Coupling Function


(any connectivity) Intrinsic


frequency

Phase sensitivity function


(Cell’s phase response curve)

External forcing
 (light stimuli)

^{Θ = Ω +  εζ (Θ) ξ (t)}

Microscopic (or, cell-level) description

Collective (or, system-level) description

Θ

ζ ( _{Θ) =} ^v

^Z ( φ

)

i₌₁ N

∑

Basic assumptions

•  full phase locking without forcing ,

•  weak external forcing,

φ_i = Ω for all i ^{  1}

^{( = 0)}

φ 

₌ ω

₊ Γ

( φ

− φ

_{) +} ε Z( φ

) ξ

(t)

j₌₁ N

∑

Θ

MODEL^W

φ 

_{= Ω + (L} ψ )

₊ ε ^Z ( φ

) ξ

(t)

ε 最 次 近似８W

0 i

i

^t

φ _{= Ω +} φ

同期解８W

0 i

i

^t φ

φ _{= Ω + +} ψ

８W

L_{ij =}

−^∂Γij(φi

0_−φ j 0)

∂φ_j ^{for i≠ j}

∂Γ_ik(φ_i⁰−φ_k⁰)

∂φ_k ^{for i = j}

k≠i

∑

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎪

ンW

Right and left zero-eigenvector for L^W

L ^u = 0, vL = 0

=

1



1

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟

⎟

, v = ( v

^…

)

we urge the normalization condition

vu =

N

∑ = 1

W

Θ ≡ ^v

φ

i₌₁ N

∑ ^{+ const.}

集団 相＆中立 射影＇W

Θ =  ^v

φ 

i₌₁ N

∑ ^{= v}

^Ω

i₌₁ N

∑ ^{+ (vL ψ )}

^{+  v}

^{Z ( φ}

^{) ξ}

^(t)

i₌₁ N

∑

= Ω +  ^v

^{Z ( φ}

⁾

N

∑ ^ξ

^(t)

Θ

MODEL (lowest order in ε)^W

φ 

_{= Ω + (L} ψ )

₊ ε ^Z ( φ

) ξ

(t)

φ

_{= Θ +} φ

_{+ O() Θ = Ω + } ^{ v}

^{Z (} _{Θ +} φ

)

N

∑ ^ξ

^{(t) + O(}

⁾

代入W

Ideal case ^W

φ 

₌ ω ₊ A

f ( φ

− φ

)

j=1 N

∑

Identical natural frequency^W

Complex Network

Coupling function

f (0) = 0

φ

₌ ω ^t

Synchronized state:

Linearization:

_φ

_{= ω} ^t _{+ ψ}

 

ψ = L ^{ψ }

ψ 

_{= − f '(0)} A

( ψ

− ψ

)

j=1 N

∑

L_{ij =}

A_ij for j ≠ i

− _A

ij for j = i

j≠i

∑

⎧

⎨⎪

⎩⎪

Or, Laplacian matrix

defined for a directed, weighted network

W

V ^{直感的 意味W}

2^W 1^W

a

b

ψ

1^W

2^W

1^W

2^{W 1W 2W}

1

0

^v

 

ψ = L ^{ψ  L = −b}

b

a _−a

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

a b

( ) ^{⎛ −b} _{a −a} ^b

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ^{= ( 0 0 )}

問題W

W

^{v : v : v : v} = 2 : 4 : 3:1

L =

−2 0 ^{1 1}

1 _{−1 0} 0

0 1 _{−1 0}

0 1 1 ₋₂

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟

⎟ ⎟

2 4 3 1

( )

−2 0 ^{1 1}

1 _{−1 0} 0

0 1 _{−1 0}

0 1 1 ₋₂

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟

⎟ ⎟

= ₍ 0 0 0 0 ₎

Algebraic expression of ^{W U *}

det ( , )

i

^{L i i}

M _≡ where ( , ) is with the th row and column removed ^{L i i L i}

M

^M

^{… M}

( ) ^∝U

1

for any with 0,

N ij j

L L

=

∑ =

2 0 1 1

1 1 0 0

0 1 1 0

0 1 1 2

L

⎛− ⎞

⎜ ₋ ⎟

⎜ ⎟

= ⎜ − ⎟

⎜ ₋ ⎟

⎝ ⎠

1

2 0 1 1

1 1 0 0

det 2

0 1 1 0

0 1 1 2

M

⎛− ⎞

⎜ ₋ ⎟

⎜ ⎟

= _{⎜ ⎟}=

⎜ − ₋ ⎟

⎝ ⎠

* * * *

1

^: U

^: U

^:

2 : 4 : 3 :1

U U ₌

2

2 0 1 1

1 1 0 0

det 4

0 1 1 0

0 1 1 2

M

⎛− ⎞

⎜ ₋ ⎟

⎜ ⎟

= =

⎜ ₋ ⎟

⎜ ₋ ⎟

⎝ ⎠

3

2 0 1 1

1 1 0 0

det 3

0 1 1 0

0 1 1 2

M

⎛− ⎞

⎜ ₋ ⎟

⎜ ⎟

= _{⎜ ⎟}=

⎜ − ⎟

⎝ − ⎠

4

2 0 1 1

1 1 0 0

det 1

0 1 1 0

0 1 1 2

M

⎛− ⎞

⎜ ₋ ⎟

⎜ ⎟

= _{⎜ ⎟}=

⎜ − ⎟

⎝ − ⎠

W

x 

₌ A

(x

− x

)

j=1 N

∑

A: ^隣接行列 ( ^{向＊重 付 ＇}

L: ^{行列 固 値８ W}

^{0 = λ}

^{> Re λ}

^{≥ Re λ}

^{≥  ≥ Re λ}

複雑 ワ ＊

差分 結合 集団W

or, X =

x1

 xN

⎛

⎝

⎜⎜

⎜

⎞

⎠

⎟⎟

⎟

, _{X = LX}

x

誰 ＊ ？W

例８ Hindmarsh-Rose ^W

W

and G are given by

F_{! Xi"#}

_"

F_y

_#

_"

3x_i²_!xi³_$yi!+ 1!5xi

2!yi

^#

,

G_{! Xi ,Xj"#}

_"

G_y

#

"

#

The corresponding equation X^{˙ F} is called the Hindmarsh- are identical and all to all coupled:

d

dt^Xi! t "#F!Xi"$ ^K N

⁽

N

G_{! X}

i ^,Xj^".

周期的 発火 神経細胞

数理 結合W

０＋ W

／郎W

周期的 発火 神経細胞

数理 結合W

／郎W

０ W

ω

ω

Ω

膜電 W

細胞

相応答曲線W

０ 間 相差W

集団 相応答曲線W

Strong coupling

between oscillators

inside each group ^W

Weak coupling

beteween groups ^W

• K. Okuda, Y. Kuramoto (1991)

• E. Montbrio, J. Kurths, B. Blasius (2004)

• I. Z. Kiss, M. Quigg, S.-H. C. Chun, H. Kori, J.L. Hudson (2008)

• J. H. Sheeba, A. Stefanovska (2008)

• E. Ott, T. M. Antonsen (2008)

• E. Barreto, B.Hunt, E.Ott, P. So (2008). W

W

Strong coupling

between oscillators

inside each group ^W

Weak coupling

beteween groups ^W

Θ

Θ

Θ

ζ (Θ

)

ζ(_{Θ) =} ^v_i^Z(φ_i)

i₌₁ N

∑

collective phase sensitivity

Θ₁ = Ω + εζ (Θ₁^{) p(Θ}₂⁾ Θ_{2 = }

Θ_{3 = }

^p(Θ

⁾

depends on network structures and dynamical states in each group ^W

Group synchronization ^W

Θ _A = Ω + εζ (Θ_A^{) p(Θ}_B⁾ Θ _B = Ω + εζ (Θ_B^{) p(Θ}_A⁾

averaging^W

Θ _{A = Ω +}

εγ

εγ

B ^{− Θ}A⁾



Effective coupling function γ between the groups changes due to the modification in K,

even when the group interaction is unaltered.^W

Θ

^Θ

_p(Θ

A⁾

^p(ΘB)

K K

W

Modification in K ^W

Large K^W

1

Small K^W

1^W 3^W ₂

4 W

3^W 4^W 1^W

2^W

Θ

^Θ

_p(Θ

A⁾

^p(ΘB)

K K

Phase difference between group^sW

(We keep the group interaction unaltered)^W