資料アップローダ 数学勉強会＠札幌 permutation

軌道の要素を不定元と見た基本対称式の

性質

H.Hiro(Maraigue)

2011.4.22

テキスト p.66–67 より．

定義

定義 1.

f = f (x₁, x₂, . . . , xn)を，不定元 x1^{, x}2, . . . , xnについての有理式とす る．このとき，f に n 次の対称群 Snを作用させて得られる有理式の集合 {f₁^{, f}₂, . . . , f_{m}を，f の（Sn}のもとでの）軌道という．

問題

命題 2.

f₁, f₂, . . . , f_{m を，f(x1}, x₂, . . . , x_{n)の Sn}のもとでの軌道とする．この とき

(y − f₁)(y − f₂) . . . (y − fm) = y^m− g₁^ym−1+ g₂^ym−2− · · · + (−1)^mgm

とおくと，g₁, g₂, . . . , gmはいずれも，x₁, x₂, . . . , xnの基本対称式を組み 合わせた有理式で書ける．

ここで，テキストでは

g₁, g₂, . . . , gmは f1^{, f}2, . . . , fmを不定元とする基本対称式であ る．g₁^{, g}₂, . . . , g_{mは，それぞれ Sn}のすべての元で不変だから， x₁, x₂, . . . , xnを不定元とする基本対称式 e1^{, e}2, . . . , enの有理 式として表示できる．

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と記載されているものの，「g1^{, g}2, . . . , gmは，それぞれ Snのすべての元で 不変」というのは自明ではない．これを証明することを考える．

証明

g₁, g₂, . . . , gmはすべて f1^{, f}2, . . . , fmを不定元とする基本対称式なので， f₁, f₂, . . . , fmを置換することに対して不変なのは明らかである．

よって，もし「Snの元を適用することで，x₁^{, x}₂, . . . , x_{nを置換した」} 場合に，f1^{, f}2, . . . , fm が必ずそれらの中で置換の関係になっていれば， g₁, g₂, . . . , gmもまた Snの元を適用することで不変であることが示される． 補題 3.

f₁, f₂, . . . , fm を，f(x1^{, x}2, . . . , xn)の Snのもとでの軌道とする．この とき任意の σ ∈ Snについて，f₁^σ, f₂^σ, . . . , f_m^σ は f₁, f₂, . . . , fmを置換した ものとなる．ただし fi^σの σ は，x₁^{, x}₂, . . . , x_nを並び替える作用とする． 証明.

これを示すには，以下のことを示せば十分である． 1. f_i^σは f1^{, f}2, . . . , fmのいずれかに一致する． 2. i 6= jならば，f_i^σ 6= f_j^σである．

1の証明：

軌道の定義より，fiはある置換 τ を用いて fi = f^τ と書ける．ここで f_i^σ = f^{τ σ} となり，f_i^σもまた f に何らかの置換を施したものであるから， 軌道の定義より f₁^{, f}₂, . . . , f_mのいずれかに必ず一致する．

2の証明：

背理法により証明する．f_i^σ = f_j^σと仮定する．この両辺に置換 σ⁻¹を施 すと fi = fjとなる．しかし上記の軌道の定義に従えば，fiと fjは（i 6= j ならば）必ず異なるので，これは矛盾である．

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