2009年度
ミクロ経済学 宿題２ ( 解答 )†
問題1 (a)
短期費用関数Cを考える。生産関数のx= 10L12K12 よりL= 1001 x2K−1であるので、 C= 100L + 400K
= x2K−1+ 400K.
ここでK= 2を代入し、この状況下での費用は1
2x 2+ 800
である。限界費用と価格が等しくなるのはx= 24 であり、企業の利潤最大化となっている。1
(b)
上より、C=12x2+ 800である。 (c)
Kが可変であるので、上の費用CをKに関して最小化する。一階条件として−x2K−2+ 400 = 0。ここ でx= 40を代入してK= 2を得る。
(d)
上より、生産量xに対して最適な資本設備Kの量は 1
20xで与えられることがわかった。これを費用Cに 代入することで長期の費用関数40xを得る。
問題2 (a)
限界費用は3x2− 12x + 15である。完全競争市場における価格15と等しくなるため、生産量はx= 4で ある。2
(b)
販売価格から従量税を差し引いた6が限界費用と等しくなるように定めることを考える。これを満たすのは x= 1, 3。利潤が高いのは生産量3である。もしくは生産量を0に定める選択肢も同じ利潤-10となる。よっ
て0もしくは3となる。 (c)
この場合に支払う税額は企業が選ぶ生産量に依存しない。3よって実質的に企業の選択問題は(a)での状況と 同じであり、生産量は変化せず4である。
†2(b)
の解答が間違っていたため、訂正しました。(12/11) 3(c)の解答で数値が違っていたため訂正しました。(1/16) 質問や間 違いがありましたら、micro09komaba(at)gmail.com までご連絡ください。
1
ここで利潤は24x −
1 2x
2
− 800 となり、これをx に関して最大化している。
2x= 0も同様に条件を満たすが、これは利潤最大化の解にはならない。
3
生産量0でも定額税を払う必要がある。
1
問題3 (a)
万を1単位として記すことにする。貯蓄額をSとすると、効用は(100 − S)(1.05S)となっている。これを 最大化するSは、一階条件よりS= 50である。
(b)
この場合の効用は(100 − S)(1.045S)とあらわされる。上と同様に、この最大化はS= 50で与えられる。4 (c)
課 税 前 に 得 て い た 効 用 は2625で あ っ た 。税 制 の も と で 以 前 の 効 用 を 保 証 す る 、つ ま り C1C2 = 2625 を 満 た す た め に 必 要 な 所 得 を 考 え る 。こ れ はC1+ 1.045C2 と あ ら わ さ れ る 。C2を 消 去 す る と 、必 要 所 得 は C1+ 1.045C2625
1。こ れ をC1に つ い て 最 小 化 す る た め 、C1 =√1.0452625 ∼= 50.12を 得 る 。つ ま り 、代 替 効 果 は
√2625
1.045− 50、所得効果は50 −
√2625
1.045 である。
(d)
貯蓄と今期消費との関係はS = 100 − 1.1C1、来期消費との関係は1.1C2= 1.05Sとなっている。つまり 彼の効用は
(100−S)(1.05S)
(1.1)2 と表わされる。上と同様に、S= 50となる。
4
この問題における効用関数はコブ・ダグラス型とよばれ、財の価格比(ここでは利子率)に関係なく所得の一定割合を財ごとにふり わけるような需要パターンが導かれる。したがって貯蓄額は変化しなかった。
2
