宿題４解答
1問題 (復習問題)
(1) ッシ 均衡 定義を け (数学的及び言語的定義両方書くこ ) 答え
数学的定義： � =< �, { }∈�, {� }�> い 考え し � = { , , … , �}
プ イ 集合 プ イ 純粋戦略 全体 � プ イ 利得関数 す
こ 戦略 組�∗= � , … , �� ∈ Π∈� 以 条件を満 す ッシ 均衡 あ 呼ぶ：
∀ ∈ �, ∀� ∈ , � �∗ ≥ � � , �−∗
言語的定義： ッシ 均衡 相手 戦略を正しく 想し 互い 最適反応 い 戦略プ ファイ こ あ
(2)
(表 ) 各プ イ 戦略 あ 利得表
�
� , ,
, ,
記表 う 利得表 を考え 今 戦略 組 �, � ッシ 均衡 あ 状 況を考え こ , , , = , う 仮定 必要 あ う ッシ 均衡 定義 考え
答え：
(1) 定義 ≥ 及び ≥ いう仮定 必要 あ
(3) 再び表 を考え 今 戦略 � 優位戦略 あ 状況を考え こ , , , = , う 仮定 必要 あ う 優位戦略 定義 考え 答え
優位戦略： ≥ ≥ あ さ 一 少 く 強い不等号 あ
( > > を満 す) いう仮定 必要 あ 弱い意味 優位戦略： ≥ ≥ いう仮定 必要 あ 強い意味 優位戦略： > > いう仮定 必要 あ
1 TA 笠松怜史([email protected]) 作成.
問題 (差別化さ ク ノ 寡占市場)
以 う ク ノ 寡 占 市 場 を 考 え 企 業 = , , … � 逆 需 要 関 数 = −
− � ∑ ≠ 市場 生産 ス = を独立 同時 供給し い す
し , , > あ 点解を保証す す .
(1) こ プ イ 集合 各プ イ (純粋)戦略 集合 利潤関数(いわゆ 種 神器)を答え
答え
プ イ 集合: 企業 集合� = { , , … , �}
プ イ 純粋戦略 集合: 企業 供給量 全体 = [ . ∞
プ イ 利 得 関 数: 企 業 利 潤 関 数 � = − = ( − − � ∑ ≠ − )
(2) 企業 最適反応曲線を求 (Hint: 授業 � = (完全代替 ) = =
= � = (複占市場)を仮定し 同様 方針 解くこ ) 答え
最適反応曲線を求 以 問題を解くこ
相手企業 供給量 ≠ を固定し 時
− = argmax
�� �
今 企業 利潤関数 � 自社 供給量 い 関数 あ 1 階微分
等しい 最適反応 2
��
� = − − � ∑≠ − − =
⇔ − = − � ∑≠ −
(3) こ ッシ 均衡を求 (Hint: 各企業 対称的 あ こ を用い 簡
単 解くこ )
答え
今 企業 利潤関数を パ タ 関し 対称的 あ こ わ 故 均衡
∗ = ∗= ∗ ≠ あ 以 式を解け い
∗= − � � − ∗− ⇔ ∗ = −
{ + � � − } 故 こ け ッシ 均衡戦略 ∗, … , ∗ あ
2 詳しく 尾山 安田編 経済学 数学 を参照 こ
(4) � = を仮定す 状況を考え こ こ 市場 企業 増え 場合 各企業
ッシ 均衡 生産量 価格及び利潤 う 答え
答え
(3) 求 ∗ � = を代入す こ 状況 均衡生産量 手 入 こ を需要関
数及び利潤関数 代入す ッシ 均衡 価格及び利潤 以 う 手 入
こ (各企業 ッシ 均衡 対称 あ 添え字 省略す )
∗ = −
� +
∗= + �
� + = + �
⁄ + �⁄
�∗= (� + )− −
す 各企業 生産量及び利潤 企業数 � 増加す 減少す 均衡価格 企業数 � 増加す 限界費用 近 く 市場全体 生産量 企業数 � 増加す 増加
し − ⁄ 近 くこ 完全競 市場 結果 近 くこ 分
問題3 (ス イ 公共 自発的供給 )
� ≥ 人 プ イ 各々同質 公共 ∈ [ , ∞ を生産す 生産費用 あ
各プ イ 供給さ 公共 総量 利益∑�= を得 各プ イ 利
得 ∑�= − あ
(1) 純粋戦略 ッシ 均衡を全 求 パ 最適 総供給量を 比較し論
評せ (Hint : パ 最適 状況 総余剰 最大 う 状況 あ ) 答え
プ イ 利得を � く
� = ∑
�
=
− = − + ∑
≠
あ 任意 対し
��
� = ⇔ = .
成 立 各プ イ 最適反応 = . あ 全員 公共 を . 生産す
こ ッシ 均衡 一方 全員 利得 和を� く
� = ∑ ∑
�
=
−
�
=
= � − + � ∑
≠
− ∑
≠
あ 任意 対し
��
� = ⇔ =
�
成 立 全員 公共 を �⁄ 生産す 総余剰 最大 こ 総
生産量 � ⁄ あ
金銭移転を考慮す こ パ 最適 こ 各プ イ
生産量 増え 他 プ イ 利得 増え 各個人 自分 利得 最大化
を考え 全体 最適 供給量 比べ 少 い供給量 ッシ 均衡 こ
う 個人 利害 全体 利害 一致し い場合 ッシ 均衡 パ 最適 いこ あ
問題4 (ス イ パ ン プ 問題)
企業 パ ン イ ンスを ∈ [ , ∞ 企業 2 パ ン イ ンスを 2
∈ [ , ∞ 販売す 二 イ ンス 完全補完 あ 需要者 両方買う 買わ い を選択す 各 イ ンス 対す 総需要 � = − − 場合 置 換え 各企業 ∈ { , } − − 単位を売却し 利潤 − − を獲得す
(1) ッシ 均衡を 答え
企業 利潤を � く 最適反応
��
� = ⇔ =
−
あ 企業 最適反応 同様
= −
求 記2式を連立し ッシ 均衡
∗= ∗=
を得
次 両企業 カ パ ン プ を形成し 両企業 利潤 和 最大
う を決定す し う
(2) こ 時 + を求 答え
≡ + く 両企業 利潤 和 � � = −
��
� = ⇔ =
こ 価格 和 + . あ こ わ
(3) パ ン プ あ 時 い時 需要者 び両企業
ッ あ
パ ン プ こ 両企業 利潤 和
( − ) × =
こ パ ン プ い場合
× ( − ) × =
大 い 一方 パ ン プ あ 場合 消費者余剰
∫ ( − � − ) � =
こ パ ン プ い場合
∫ ( − � − ) � =
大 い 以 パ ン プ あ ほう 消費者及び両企業 得 あ
こ 分
(4) パ ン プ を巡 こ 節 ク ノ 複占 を比較し 論評せ 答え
ク ノ 複占 い 企業 合併し ほう 価格 高く 消費者 損を
す 一方 こ パ ン プ 企業 合併す ほう 価格 消費
者 得をす け く 各企業 得をす いう違い あ
