Shigemori toyolab

(1)

卒業論文

マルコフチェーンを用いたラグビー戦略最適化

早稲田大学

基幹理工学部応用数理学科

学籍番号 1W110238-2

重森圭太

(2)

1 _はじめに

この研究では、世界の強豪チームである_NZ（ニュージーランド）と_SA（南アフリカ）の試合から戦術選択確率やボールの保持率といった必要なデータを取り、そのデータを₂₂状態のマルコフチェーンを用いた理論に当てはめ、ラグビーの戦略がトライ確率にどう影響するかを明らかにしていく。現代の世界基準のラグビーの戦略では、キックを使い陣地を取るのが主流となっている。特に、自陣２２_mより手前では、ボールを保持している場合キックを蹴ることがセオリーとなっている（文献_[4]参照）。過去の類似の研究として、文献_[1]では、架空のラグビーチームを使い自分で確率を設定して、少ない状態でトライ確率を求めラグビーの戦術の評価をしている。文献_[6]では、サッカーの試合を吸収マルコフ連鎖によってモデル化し、実際の試合のデータをもとにサッカーのフォーメーションを評価している。また、状態をボール保持と得点という２つのパターンで表している。上記の論文の欠点として、文献_[1]では、架空のチームを自分で設定し少ない状態を使っているので現実と乖離している恐れがある。文献_[6]では、状態数が少ないことが挙げられる。それに対して、本研究ではグランドを₂₂状態という細かな状態に分けて、実際の試合で収集したデータをもとに導きだした確率を使用しラグビーの戦術面での評価をし戦略最適化を目指す。

2 マルコフチェーンを用いた戦略分析方法

2.1 分析方法

ラグビーグランドを進行方向ごとにそれぞれ１１等分する₍図₁参照₎。これは、トライゾーンを除いたグランドの₁₀等分がラグビーの戦術決定においておおよそ指標となる分け方だからである。ボールの位置をマルコフチェーンの状態として考える。_NZがボールを保持している状態と、_SAがボールを保持している状態のマルコフチェーンを考え戦略を分析していく。

マルコフチェーンとは、未来の状態は現在の状態にのみ依存するという理論の確率手法である₍文献_[5]参照₎。この理論を用いた文献_[1]では、架空のチームを少ない状態で分析した。利点として、全ての確率を自分で設定することが出来るので、多種多様なチームを比較することが出来る。しかし、欠点として自分で確率を設定し、少ない状態を用いているので現実のラグビーとは乖離している可能性がある。本研究では、その欠点を解消するために、実際の試合からの確率を用い₂₂状態という多くの状態を用いて分析していく。

Xt:^時刻tのボールの位置（状態）とする₍離散₎。

Xt=











0 SA^{のトライ状態} ...

21 N Z^{のトライ状態}

(1)

(3)

図₁ １１等分したラグビーグランド₍文献_[1]より引用₎

次に、考える戦術について述べる。戦術はボールを保持しているチームが選択することができる。戦術は Attack,High Punt,No Touch Kich(Kick Pass^を含む),Long Kick(Touch Kick)の４つとする。この４つの戦術はラグビーの一般的な戦略であり、戦略の解説は表１を参照する。

表₁ ラグビー戦術解説

戦術解説

Attack パスやランを使ってデフェンスを突破する戦略

High Punt ボールを高く蹴り上げ、相手と競り合うことによりボールを前に運ぶ戦略

No Touch Kick ボールを外に直接出せない状況（自陣_22mより前）でのキックにより陣地を回復する戦略

Long Kick ^自陣22mより後ろの状態で直接キックによってボールを外に出し陣地を回復する戦術

４つの戦術がそれぞれ、全ての戦術のうちどれだけ選択されるかを表したものを戦術選択確率とする。また、_X_t_{= d}における両チームの戦術選択確率の変数を表₂のように定める。なので、

λAd+ λHd+ λN d+ λLd= 1 (2)

µAd+ µHd+ µN d+ µLd= 1 (3)

である。

さらに、４つの戦術において、それぞれ戦術を選択したチームが、ボールをどれだけ保持できるかのボール保持率を考える。また、_X_t_{= d}における両チームのボール保持率の変数、各戦術の進める地域数を表₂のように定める。

(4)

表_{2 NZ,SA}の戦術選択確率とボール保持率の_Xt= d^{における変数}

戦術進める地域 _NZの戦術選択確率 _SAの戦術選択確率 _NZボール保持率 _SAボール保持率

Attack 1 λAd µAd pAd kAd

High Punt 1 λHd µHd pHd kHd

No Touch Kick 2 λN d µN d pN d kN d

Long Kick 3 λLd µLd pLd kLd

4^{つの戦術の中でも、}Attack^はKick^の3戦術とは違い、デフェンスを突破し前進する、デフェンスを突破できず留まる、相手のデフェンスに押し戻される３パターンが考えられる。その３パターンを_Gain（状態が１つ前に進む）、_Stay（同じ状態に留まる）、_Back（１つ後ろの状態に戻される）とする。_Attackの戦術を選択したとき、Gain,Stay,Backになるそれぞれ３つの確率を考える。

Gain,Stay,Backした時に、それぞれどれだけボールを保持できたかをGain,Stay,Back^{のボール保持率とす}

る。表_3,4では、_X_t_{= d}での両チームのGain,Stay,Backの確率とボール保持率の変数を定める。

nGd+ nSd+ nBd= 1 (4)

sGd+ sSd+ sBd= 1 (5)

である₍表_3,4参照₎。

表_{3 NZ}のGain,Stay,Back^{の確率とボール保持率} の_Xt= d^{における変数}

NZ ^確率 ^{ボール保持率} Gain nGd hGd

Stay nSd hSd

Back nBd hBd

表_{4 SA}のGain,Stay,Back^{の確率とボール保持率} の_Xt= d^{における変数}

SA ^確率 ^{ボール保持率} Gain sGd qGd

Stay sSd qSd

Back sBd qBd

表₂で定めた各戦術の進める地域数、戦術選択確率、ボール保持率、表_3,4で定めた確率とボール保持率を用いて起こりうる全遷移を考える。_X_t_{= d(NZ}ボール₎への全遷移は図₂となる。

(5)

図_{2 X}t= d^への遷移

図₂の矢印で表した、各状態から_X_t_{= d}へ遷移する条件を表₅で説明する。

表₅ 状態_dへ遷移する条件

状態_dへの遷移条件

d-6→d NZ^がLong Kick^{を選択しボールを保持}

d-4→d NZ^がNo Touch Kick^{を選択しボールを保持}

d-3→d SA^がAttack^{を選択し、}Back^{になりボールを不保持}

d-2→d NZ^がAttack^{を選択し、}Gain^{になりボールを保持}orNZ^がHigh Punt^{を選択しボール保持}

d-1→d SA^がAttack^{を選択し、}Stay^{になりボールを不保持}

d→d NZ^がAttack^{を選択し、}Stay^{になりボールを保持}

d+1→d SA^がAttack^{を選択し、}Gain^{になりボールを不保持}orSA^がHigh Punt^{を選択しボール不保持}

d+2→d NZ^がAttack^{を選択し、}Back^{になりボールを保持}

d+3→d SA^がNo Touch Kickを選択しボールを不保持

d+5→d SA^がLong Kickを選択しボールを不保持

(6)

図₂の遷移確率を表_2,3,4の_X_t_{= d}における変数を用いて、式に表すと式₍₆₎の通りになる。 Pd,d−6 = λLd−6pLd−6

Pd,d−4 = λN d−4pN d−4

Pd,d−3 = µAd−3sBd−3(1 − qBd−3)

Pd,d−2 = λHd−2pHd−2+ λAd−2nGd−2hGd−2

Pd,d−1 = µAd−1sSd−1(1 − qSd−1) Pd,d= λAdnSdhSd

Pd,d+1= µHd+1(1 − kHd+1) + µAd+1sGd+1(1 − qGd+1) Pd,d+2= λAd+2nBd+2hBd+2

Pd,d+3= µN d+3(1 − kN d+3) Pd,d+5= µLd+5(1 − kLd+5)

(6)

これらの確率、式を次の章で用いて推移確率行列を求めていく。

2.2 データ収集方法

この節ではデータの収集方法について述べる。₂₀₁₄年Rugby Championship^のNZ^対SA^{の２試合の全プ} レーの戦術を、Attack,High Punt,No Touch Kick,Long Kickの４つの戦術に分類した。４つの戦術それぞれが、全戦術からどれほど選択されたかを表す戦術選択確率と、４つの戦術を選択した時ボールをどれだけ保持できたかを表すボール保持率を収集する。その結果を表₆にまとめる。

表_{6 NZ,SA}の戦術選択確率とボール保持率の実際の数値

戦術進める地域 _NZの戦術選択確率 _SAの戦術選択確率 _NZボール保持率 _SAボール保持率

Attack 1 18/23 68/89 64/81 54/89

High Punt 1 8/207 6/89 1/8 0

No Touch Kick 2 3/23 23/178 7/27 3/23

Long Kick 3 10/207 7/178 0 0

表₆が示すように両チームの_{Long Kick}のボール保持率は₀であることがわかる。

次に、ボールを保持しているチームが_Attackの戦術を選択した時、_Gain（状態が１つ前に進む）、_Stay（同じ状態に留まる）、_Back（１つ後ろの状態に戻される）になる確率と、Gain,Stay,Backになった時どれだけボールを保持できたかのボール保持率を試合から収集する。その結果を表_7,8にまとめる。

(7)

表_{7 NZ}のGain,Stay,Back^{の確率とボール保持率} の実際の数値

NZ ^確率 ^{ボール保持率} Gain 17/54 41/51 Stay 101/162 85/101

Back 5/81 7/10

表_{8 SA}のGain,Stay,Back^{の確率とボール保持率} の実際の数値

SA ^確率 ^{ボール保持率} Gain 13/68 21/26 Stay 25/34 17/20 Back 5/68 7/10

表_7,8が示すように、_NZと_SAの_Gainの確率に少し差がある以外は似た数値になっていることがわかる。

2.3 マルコフチェーンを用いたトライ確率の計算

トライの状態_0,21以外の遷移を表した推移確率行列_Qと、全状態からトライ状態_0,21への遷移を表した推移確率行列_Tを求めていく。

X(t)^は時刻tでのマルコフチェーンの状態である。状態_iにいる確率は、

Pi(t) = P [X(t) = i] (7)

時刻_tにおける状態をベクトルで表すと

πt=⁽ P1(t) . . . P20(t) ⁾ (8)

この時、トライの状態からは移動しないので、トライの状態である_0,21を除く状態_iから状態_jへ移る確率を

Pij= P [X(t) = j|X(t − 1) = i] (9)

と書ける。そして、₂₀行₂₀列の推移確率行列_Qは以下のようになる。

Q =







P1,1 . . . P1,20

... . .. ^... P20_,1 . . . P20_,20





 ⁽¹⁰⁾

全ての状態からのトライの状態への₂₀行₂列の推移確率行列_Tは、

T =







P1_,0 P1_,21

... ^... P20_,0 P20_,21





 ⁽¹¹⁾

時刻_tのトライとなる確率を_Zとすると、

Z = πtT = π0Q^tT (12)

(8)

よって_NZと_SAの確率は以下の式によって求められる₍文献_[1]より引用₎。_(I-Q)が逆行列を持つとき、

Z =

∞

∑

t=0

πtQT =

∞

∑

t=0

π0Q^tT = π0(

∞

∑

n=0

Q^t)T = π0(I − Q)⁻¹T (13)

I^{は単位行列である。}

3 _結果

3.1 Attack のみでのトライ確率

では、実際に_NZと_SAのトライ確率を求めていく。_Attackのみのトライ確率を求めることで_Kickがラグビーの戦術においてどれほど重要か認識できる。なので、ここでは_Kickを考慮したモデルの前に、戦術が Attack^{のみの場合の}NZ^とSAのトライ確率を計算していく。

実際の試合から求めた確率（表_7,表₈参照）と式₍₆₎を用いて、₂₀行₂₀列の推移確率行列_Qの各成分を求める。今回は_Attackのみなので、式₍₆₎に、_λ_Ad _{= 1,µ}_Ad= 1,Gain,Stay,Backの確率とボール保持率は表 3,4の実際の数値を代入する。_Kickは考慮しないのでその他の確率は₀である。ルールにより自分で自陣のトライゾーンの持ち込んだ場合は、トライゾーンの１つ前の状態の相手ボールとなる。つまり、状態₁から状態₂、状態₂₀から状態₁₉へ遷移する。

求めた各成分を表にしたものが表₉である₍有効数字３桁₎。

表₉ 行列_Qの各成分

0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0.0368 0.625 0.11 0.0515 0.0221 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0.0432 0.0988 0.525 0.0617 0.253 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0.154 0.0368 0.625 0.11 0.0515 0.0221 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0.0185 0.0432 0.0988 0.525 0.0617 0.253 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0.154 0.0368 0.625 0.11 0.0515 0.0221 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0.0185 0.0432 0.0988 0.525 0.0617 0.253 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0.154 0.0368 0.625 0.11 0.0515 0.0221 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0.0185 0.0432 0.0988 0.525 0.0617 0.253 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0.154 0.0368 0.625 0.11 0.0515 0.0221 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0.0185 0.0432 0.0988 0.525 0.0617 0.253 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.154 0.0368 0.625 0.11 0.0515 0.0221 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0185 0.0432 0.0988 0.525 0.0617 0.253 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.154 0.0368 0.625 0.11 0.0515 0.0221 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0185 0.0432 0.0988 0.525 0.0617 0.253 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.154 0.0368 0.625 0.11 0.0515 0.0221 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0185 0.0432 0.0988 0.525 0.0617 0.253 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.154 0.0368 0.625 0.11 0.0515

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0185 0.0432 0.0988 0.525 0.0617

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

この行列_Qの数値の大小を濃淡に対応させることによって表すと図３となる。図₃から、行列の対角線上の数値が大きくなっているこる。つまり、_Attackのみでは他の状態に遷移しにくいことがわかる。

(9)

図₃ 行列_Qの数値を濃淡で表した図

次に、₂₀行₂列の推移確率行列_Tを求める。_Attackのみを考えるのでトライの状態に移ることができる状態は、_NZのトライの状態を_dとすると、_d-2,d-3の２つの状態のみである₍図₂参照₎。_(SAの場合_d+2,d+3 となる。₎行列_Qと同じ数値を式₍₆₎に代入すると行列_Tは式₍₁₄₎となる。

(10)

T =







0 0

21/136 0 1/54 0

0 0

0 3/136 0 41/162

0 0







(14)

Kick Offはコイントスによって決まるので確率は_1/2ずつである。よって_π₀は、

π0=⁽ 0 0 . . . 1/2 1/2 . . . 0 0 ⁾ (15)

この_Q,T,π₀用いて下記の式に代入し_NZ,SAの_Attackのみでの確率を求めると、_SAのトライ確率_Z_SA_,NZ のトライ確率_Z_{N Z}は、

Z =

∞

∑

n=0

πnQT =

∞

∑

n=0

π0QⁿT = π0(

∞

∑

n=0

Qⁿ)T = π0(I − Q)⁻¹T (16)

= (ZSA, ZN Z) (17)

= (0.1763798983, 0.82362010169) (18)

Attackのみでのトライ確率は、_NZが約₈₂％、_SAが約₁₈％という結果になった。この結果の要因として２つ考えられる。１つ目の要因は、_NZの_Attackにおける_Gainの確率高さがこの結果になったと考えることができる。２つ目は、２０状態という多くの状態を用いたことにより僅かな差が徐々に広がったのではないかと考えることができる。実際に、４状態での確率を比較した場合では、計算過程は同じなので省略するが、_NZ のトライ確率_Z_{N Z}は約₅₉％、_SAのトライ確率_Z_SAは約₄₁％という結果になった。

しかしながら、実際に私がデータを収集した試合の結果は１勝１敗のイーブンであり、どちらも５点差以内で

(11)

3.2 Kick を考慮したモデル

前節の結果により_Kickが実際の試合においてトライに大きな影響を与えていることがわかった。したがって、この節では_Kickを考慮したモデルにより_Kickの選択確率がトライにどのような影響を及ぼすのかを考えていく。特に、自陣_22m内での_Kickについて検証していく。まず、_NZの自陣_22m内のみで_Kickを選択できる状態とすることにより、自陣_22m内では_Kickを選択するというセオリーが正しいのかを検証する。 NZ^とSA^のAttack^{のサイン選択確率}λAd, µAdを以下のように定める。_NZの自陣_22m内の状態は_3,5である₍図１参照₎。状態_3,5の_Attackの選択確率_λ_Adを_xとおき、その他の状態の_Attackの選択確率_λ_Ad_{, µ}_Ad は₁とする。表_10,11にまとめる。

表_{10 NZ}の各状態の_Attack選択確率_λAd

NZ Attack^選択確率λAd

λA3 x

λA5 x

λA7 1

λA9 1

... ^...

λA19 1

表_{11 SA}の各状態の_Attack選択確率_µ_Ad SA Attack^選択確率µAd

µA2 1

µA4 1

µA6 1

µA8 1

... ^...

µA18 1

ここで、_Kickの選択確率_λ_Ld_{+ Attack}の選択確率_λ_Ad_{= 1}である。_Attackの選択確率_λ_Adの変数_xは、 0 ≤ x ≤ 1^とする。

Kick^はLong Kick^{を選択し、}Kickのボール保持率は０とする。

実際の試合から求めた確率（表_7,表₈参照）と式₍₆₎を用いて、₂₀行₂₀列の推移確率行列_Qの各成分を求める。状態_3,5以外は、前節の_Attackのみの各成分と同じである。状態_3,5は、式₍₆₎に_λ_Ad _{= x, λ}_Ld ₌ 1 − x,Gain,Stay,Backの確率とボール保持率は表_7,8の実際の数値を代入する。求めた行列_Qの各成分を表にしたものが表₁₂である₍有効数字３桁₎。

(12)

表₁₂ 行列_Qの各成分

0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0.0368 0.625 0.11 0.0515 0.0221 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0.0432x 0.0988x 0.525x 0.0617x 0.253x 0 0 1-x 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0.154 0.0368 0.625 0.11 0.0515 0.0221 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0.0185x 0.0432x 0.0988x 0.525x 0.0617x 0.253x 0 0 1-x 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0