経済学C 数学準備pdf 最近の更新履歴 Katsuyuki Naito

(1)

経済学 ^C

数学準備

(2)

1 _準備

1.1 _基礎概念

• 2^{個の実数の組}^x ^{= (x}¹^{, x}²⁾^を²^次元 ⁽^実⁾ ^{ベクトルという}^.

• 2^{次元ベクトルの集合を}²^次元^Euclid^{空間といい}^{, R}²^で表す^. R² _{≡ {(x}1, x2_{) | x}_i ∈ R i = 1, 2}

• x = (x¹^{, x}²) ∈ R²^と^y ^{= (y}¹^{, y}²) ∈ R²^の内積^x · y^{を次のように定義}

する.

x _{· y ≡}

2

∑

i=1

x_iy_i = x1y1 + x2y2 (1.1)

• x, y ∈ R²^に対して^,

x _{· y = 0}

が成り立つとき, xと^yは直交するという. 1

(3)

• x = (x¹^{, x}²) ∈ R²^{, y = (y}¹^{, y}²) ∈ R²^に関して^, ^{以下のような表記を}

用いる.

x _{= y} _{⇔ x}_i _{= y}_i _{i = 1, 2} x _{≥ y} _{⇔ x}_i _{≥ y}_i i = 1, 2 x > y _{⇔ x ≥ y,} x _{̸= y} x _{≫ y ⇔ x}_i > y_i i = 1, 2

2

(4)

• よく用いられる集合として, 以下のものを用意しておく (図1を参照).^*1 R²₊ _{= {x ∈ R}² _{| x ≥ 0}}

R²₊₊ _{= {x ∈ R}² _{| x ≫ 0}}

0 ^x¹ 0

x2

x1

x2

R²₊ R²₊₊

図1 ^R₊² と^R²++の図解

*1 ₀ _{= (0, 0)}_{はゼロベクトルである}_.

3

(5)

1.2 _開集合

• x ∈ R²^のノルム||x||^{を次のように定める}^.

||x|| ≡ v u u t

2

∑

i=1

x²_i (1.2)

• x = (x¹^{, x}²) ∈ R²^{, y = (y}¹^{, y}²) ∈ R²^の ^(Euclid) ^距離^{d(x, y)}^を次の

ように定める.

d(x, y) ≡ ||x − y|| = v u u t

2

∑

i=1

(x_i _{− y}_i)² (1.3)

4

(6)

• ^ある正数^{ϵ > 0}^をとり^{, ¯}^x ∈ R² ^の^ϵ–^開球^B^{( ¯}^{x, ϵ)}^{を次のように定める}^. B( ¯x, ϵ) ≡ {x ∈ R² | d(x, ¯^x) < ϵ} ^(1.4)

• X ⊂ R²^とする^.

任意の^x _{∈ X} に対してある正数ϵ > 0が存在し, B(x, ϵ) ⊂ X ^が成り立

つとき, X は開であるという.^*2

• ^例えば^,

– R₊₊² _{は開集合である}_. – R₊² _{は開集合でない}_.

• ^補集合^X^C ^{が開であるとき}^{, X} ^{は閉であるという}^.^*3

*2 _{大まかにいうと}_, 開集合とは「境界を含まない集合」のことである^.

*3 _{大まかにいうと}_, 閉集合とは「境界を含む集合」のことである^.

5

(7)

1.3 _凸集合

• ^集合^X ⊂ R² ^を考える^.

任意の^x_{, y ∈ X} と任意の_{λ ∈ (0, 1)}に対して, λx + (1 − λ)y ∈ X

が成り立つとき, X は凸であるという.^*4

• ^例えば^{, R}²⁺^と^R²⁺⁺^{はともに凸集合である}^.

• 1^{点集合は凸集合である}^.

また, 空集合^∅は凸集合であるとする.

*4 _{大まかにいうと}_, 凸集合とは「凹んでいない集合」のことである^.

6

(8)

1.4 _{関数の連続性}

• X ⊂ R²^とする^.

各々の2次元ベクトル^x _{∈ X} に対して実数_{y ∈ R}を一意に対応付ける規則を2変数関数といい,

f : X → R, ^{y = f (x)}

などで表す.

7

(9)

• ^ある^x^¯ ∈ R²^とあるy ∈ R^¯ ^を考える^.^*5

任意の正数ϵ > 0に対してある正数δ > 0が存在し,

0 < d(x, ¯x) < δ, x _{∈ X} _⇒ d(f (x), ¯y) < ϵ (1.5)

が成り立つとき_{, x → ¯}^xのときにf はy¯に収束するといい, 次のように表す.

xlim_{→ ¯}x ^{f (x) = ¯}^y

また, ¯yのことを_{, x → ¯}^xのときのf の極限という.

*5 _{x ∈ X}_¯ _{である必要はない}_.

8

(10)

• ^ある^x^¯ ∈ X ^を考える^.

任意の正数ϵ > 0に対してある正数δ > 0が存在し,

d(x, ¯x) < δ, x _{∈ X} _⇒ d(f (x), f ( ¯x)) < ϵ (1.6)

が成り立つとき, すなわち,

xlim_{→ ¯}x f (x) = f ( ¯x)

が成り立つとき, f は^x = ¯x_{で連続であるという}.

9

(11)

2 _{偏微分と全微分}

2.1 _偏微分

• X ⊂ R²^{を定義域とする関数}f : X → R^を考える^.

• D ⊂ X ^{を開集合として}^, ^ある^x^¯ ^{= (¯}^x¹^{, ¯}^x²) ∈ D^を考える^.

• x = ¯^x^{の状態から}^x¹^のみが^∆x¹ ^{だけ変化したときの}^y^{の変化分は次の}

ように表される.

∆y = f (¯x1 + ∆x1, ¯x2_{) − f(¯x}1, ¯x2)

10

(12)

• ∆x¹ → 0^のときの ∆^∆_x^y₁ ^の極限

∆lim_x₁_→0

∆y

∆x1

= lim

∆_x₁_→0

f (¯x1 + ∆x1, ¯x2_{) − f(¯x}1, ¯x2)

∆x1

(1.7)

が存在するとき, f は^x = ¯x_でx1に関して偏微分可能という.

また, 上式で表される極限のことを, x = ¯x_でのf のx1に関する偏微分係数といい,

∂f

∂x1

( ¯x), f1( ¯x)

などで表す.

11

(13)

• ^同様に^,

∆lim_x₂_→0

∆y

∆x2

= lim

∆_x₂_→0

f (¯x1, ¯x2 + ∆x2_{) − f(¯x}1, ¯x2)

∆x2

(1.8)

という極限が存在するとき, f は^x = ¯x_でx2 に関して偏微分可能という.

また, 上式で表される極限のことを, x = ¯x_でのf のx2に関する偏微分係数といい,

∂f

∂x2

( ¯x), f2( ¯x)

などで表す.

12

(14)

• ^任意の^x ∈ D^で^f ^が^xⁱ に関して偏微分可能であるとき, f は^Dでx_iに関して偏微分可能であるという.

• x = ¯^x^で^f ^が全ての^x¹^{, x}²に関して偏微分可能であるとき, f は^x = ¯x

で偏微分可能であるという.

• ^任意の^x ∈ D^で^f が偏微分可能であるとき, f は^Dで偏微分可能であるという.

• x = ¯^x^での関数^f ^{の偏微分係数の組を}^{, x = ¯}^x^での^f ^{の勾配ベクトルと}

いい,

∇f(¯^{x) =} ^{( ∂f}

∂x1

( ¯x), ^∂f

∂x2

( ¯x) )

∈ R² ^(1.9)

で表す.

13

(15)

• 偏微分係数の直観的な解釈

– x _{= ¯}x_{の状態から}_x_i_のみが_∆x_i_{だけ変化すると}, y = f (x)が

∆y = ^∂f

∂x_i ^{( ¯}^x^)∆xⁱ

だけ近似的に変化する (高位の無限小の部分を無視している). – _特に_{, ∆x}_i _{= 1}_とすると_,

∆y = ^∂f

∂x_i ^{( ¯}^x)

となるから, _∂x^∂f

i ^{( ¯}^x)^は「^x ^{= ¯}^x^{の状態から}^xⁱ^のみが^∆xⁱ ^{= 1}^だけ増

加するとy = f (x)がどれだけ変化するか」を近似的に表している.

14

(16)

• f ^が^D^で^xⁱに関して偏微分可能であるとき, 任意の^x _{∈ D}に対して

∂f

∂xi ^(x)^{が一意に定まる}^.

x_に対して _∂x^∂f

i ^(x)^{を対応させる関数を}^{, f} ^の^xⁱに関する偏導関数といい,

∂f

∂x_i ^, ^fⁱ

などで表す.

• ^{大まかにいうと}^{, f} ^の^xⁱ^{に関する偏導関数} _∂x^∂f_i ^{を導出する際には}^{, x}ⁱ^以

外の独立変数を定数とみなしてf をx_iで微分すればよい.

• f ^が^x ^{= ¯}^x^{で偏微分可能であり}^, ^かつ^f ^{の偏導関数} _∂x^∂f₁ ^, _∂x^∂f₂ ^{が全て連続}

であるとき, f は^x = ¯xで連続微分可能であるという.

• ^任意の^x ∈ D^で^f が連続微分可能であるとき, f は^Dで連続微分可能であるという.

15

(17)

例 ^1.

(A) 以下のように定められる2変数関数f : R² _{→ R}を考える. f (x) = x⁵₁x¹⁰₂

f のx1 とx2に関する偏導関数はそれぞれ次のとおりである.

∂f

∂x1

(x) = 5x⁴₁x¹⁰₂

∂f

∂x2

(x) = 10x⁵₁x⁹₂

16

(18)

(B) 以下のように定められる2変数関数f : R²₊₊ _{→ R}を考える. f (x) = x₁²¹ x₂¹² + x₁⁻²¹ x⁻₂ ¹²

f のx1 とx2に関する偏導関数はそれぞれ次のとおりである.

∂f

∂x1

(x) = ¹ 2^x

−¹₂ 1 ^x

1 2

2 ₋

1 2^x

−³₂ 1 ^x

−¹₂ 2

∂f

∂x2

(x) = ¹ 2^x

1 2

1 ^x

−¹₂

2 ₋

1 2^x

−¹₂ 1 ^x

−³₂ 2

17

(19)

2.2 _全微分

• x = ¯^x ^{= (¯}^x¹^{, ¯}^x²) ∈ D^{の状態から各々の}^xⁱ^が^∆xⁱ^{だけ変化したときの} y = f (x)の変化分は

∆y = f (¯x1 + ∆x1, ¯x2 + ∆x2_{) − f(¯x}1, ¯x2)

で表される.

• x^{の変化分のベクトルを}^{∆x = (∆x}¹^{, ∆x}²⁾^で表す^.

18

(20)

• y^{の変化に関して}^,

∆y =

2

∑

i=1

A_i∆x_i + o(||∆x||) ^(1.10)

となるような定数A1, A2 _{∈ R}を定めることができるとき, f は^x = ¯^x

で全微分可能であるという.

ただし_{, o(·)}は高位の無限小である.

∆xlim_→0

o(||∆x||)

||∆x|| ^{= 0}

• ^任意の^x ∈ D^で^f が全微分可能であるとき, f は^Dで全微分可能であるという.

19

(21)

✓ ✏

命題 ^{1. X} _{⊂ R}²を定義域とする関数_{f : X → R}を考える. また, D _{⊂ X} _{は開集合とする}.

• f ^が^x ^{= ¯}^x ∈ D^{で全微分可能であれば}^{, f} ^は^x ^{= ¯}^x^{で連続である}^.

さらに, f は^x = ¯x_{で偏微分可能であり}, A_i = ^∂f

∂xi

( ¯x) i = 1, 2

が成り立つ.

• f ^が^x ^{= ¯}^x ∈ Dで連続微分可能であるならば, f は^x = ¯x_で全微分

可能である.

✒ ✑

20

(22)

• ^{上述の命題より}^{, f} ^が^x ^{= ¯}^xで連続微分可能であるとき (したがって, 全微分可能であるとき),

∆y =

2

∑

i=1

∂f

∂x_i ^{( ¯}^x^)∆xⁱ + o(||∆x||)

= ∇f(¯^x) · ∆x + o(||∆x||)

(1.11)

• ^{上式において}^, 高位の無限小を無視すると,

∆y = ∇f(¯^x) · ∆x ^(1.12)

となり, これを^x = ¯x_でのf の全微分という.

21

(23)

• ^{全微分の直観的な解釈}

– x _{= ¯}x_{の状態からある}_x_i_のみが_∆x_i_{だけ変化すると}, y = f (x)が

∂f

∂xi ^{( ¯}^x)∆xⁱ^{だけ近似的に変化する}^.

– _x _{= ¯}_x_{の状態から全ての}_x_i_{がそれぞれ}_∆x_i_{だけ同時に変化すると}_, y = f (x)が

∆y =

2

∑

i=1

∂f

∂x_i ^{( ¯}^x^)∆xⁱ ^{= ∇f(¯}^x^{) · ∆x}

だけ近似的に変化する.

22

(24)

例 ^2.

(A) f (x) = x²₁ + x³₂の^x = ¯xでの全微分は次のとおりである.

∆y = ^∂f

∂x1

(x)∆x1 + ^∂f

∂x2

( ¯^x)∆x2 = 2¯x1∆x1 + 3¯x²₂∆x2

(B) f (x) = log x1 + log x2 の^x = ¯xでの全微分は次のとおりである.

∆y = ^∂f

∂x1

(x)∆x1 + ^∂f

∂x2

( ¯^x)∆x2 = ¹

¯ x1

∆x1 + ¹

¯ x2

∆x2

23

(25)

2.3 _{勾配ベクトルの意味}

• ^定数k ∈ R^において^,

f (x) = k

を満たす^xの集合を表すグラフを, y = kの関数f の等高曲面という.

24

(26)

• ^例として^,

f (x) = x

1 3

1 ^x

1 3

2

で定められる関数f : R²₊ _{→ R}を考える. – _x

1 3

1 ^x

1 3

2 ^{= 1}^{という方程式を解くと}^,

x₁¹³ x₂¹³ = 1 _⇔ x2 = ¹ x2

= x⁻¹₂

となるから, y = 1のf の等高曲面はx2 = x⁻¹₁ のグラフで表される. – _x

1 3

1 ^x

1 3

2 ^{= 2}^{という方程式を解くと}^,

x₁¹³ x₂¹³ = 2 _⇔ x2 = ⁸ x1

= 8x⁻¹₁

となるから, y = 2のf の等高曲面はx2 = 8x⁻¹₁ のグラフで表される.

25

(27)

• x = ¯^x^での^f ^{の等高曲面を考える} ⁽^図²^を参照^).

ノルムが1で, x = ¯^xでのf の等高曲面の接ベクトルをdx = (dx1, dx2)

で表す.

• f ^が^x ^{= ¯}^xで全微分可能であるとき,

∆y =

n

∑

i=1

∂f

∂x_i ^{( ¯}^x)∆xⁱ + o(||∆x||)

であり, 等高曲面上では∆y = 0だから,

2

∑

i=1

∂f

∂x_i ^{( ¯}^x)∆xⁱ + o(||∆x||) = 0

となる.

26

(28)

• ^上式を||∆x||^で割ると^,

2

∑

i=1

∂f

∂x_i ^{( ¯}^x)

∆x_i

||∆x|| ⁺

o(||∆x||)

||∆x||

• ^ここで^,

∆x

||∆x|| ⁼

( ∆x1

||∆x||^,

∆x2

||∆x|| )

で定められるベクトルは_{, ∆x → 0}のときにdxに収束するから,

∆xlim_→0

( ₂

∑

i=1

∂f

∂x_i ^{( ¯}^x)

∆x_i

||∆x|| ⁺

o(||∆x||)

||∆x||

)

= 0

⇒

2

∑

i=1

∂f

∂x_i ^{( ¯}^x^)dxⁱ ^{= 0} ^すなわち ^∇f(¯^x^{) · dx = 0}

(1.13)

となる.

27

(29)

• (1.13)^は「^x ^{= ¯}^x^において^, ^{勾配ベクトル}∇f(¯^x)^{と接ベクトル}^dx^が直

交する」ことを意味している.

• ^また^{, x = ¯}^x^での^f の等高曲面の接線の傾きは次のように表される.

∂f

∂x1

( ¯^x)dx1 + ^∂f

∂x2

( ¯^x)dx2 = 0 _⇔ ^dx²

dx1 ^{= −}

∂f

∂x₁ ^{( ¯}^x⁾

∂f

∂x₂ ^{( ¯}^x)

(1.14)

0 ^x¹

x2

f (x1, x2) = f (¯x1, ¯x2)

勾配ベクトル_∇f(¯x_{) =} ⁽_∂x^∂f

1^{( ¯}^x^,

∂f

∂x2^{( ¯}^x⁾⁾

)

接ベクトルdx = (dx1, dx2)

∆x

||∆x|| ⁼

( ∆_x₁

||∆x||^,

∆_x₂

||∆x||

)

図² 勾配ベクトル

28

(30)

例 ^3.

• f(x) = 2x¹¹² ^x²¹² ^{で定められる関数}^{f : R}²⁺ → R^を考える^.

• f の勾配ベクトルは次のとおりである.

∇f(x) = ^{( ∂f}

∂x1

(x), ^∂f

∂x2

(x) )

= ⁽x⁻₁ ¹² x₂²¹ , x₁¹² x⁻₂ ¹² ⁾

29

(31)

• x = (1, 4)^{の状況を考える} ⁽^図³^を参照^). – _f _{の勾配ベクトルは}

∇f(1, 4) = ^{( ∂f}

∂x1

(1, 4), ^∂f

∂x2

(1, 4) )

= (

2, ¹ 2

)

– _{等高線の接線の傾きは} dx2

dx1 ^{= −}

∂f

∂x₁ ^{(1, 4)}

∂f

∂x₂ ^{(1, 4)}

= − ²1 2

= −4

30

(32)

• x = (4, 1)^{の状況を考える} ⁽^図³^を参照^). – _f _{の勾配ベクトルは}

∇f(4, 1) = ^{( ∂f}

∂x1

(4, 1), ^∂f

∂x2

(4, 1) )

= ^{( 1} 2^{, 2}

)

– _{等高線の接線の傾きは} dx2

dx1 ^{= −}

∂f

∂x₁ ^{(4, 1)}

∂f

∂x₂ ^{(4, 1)}

= −

1 2

2 ^{= −} 1 4

31

(33)

0 ^x¹ x2

等高線

∇f(1, 4) = ^(2, ¹2

)

−4

1 4

∇f(4, 1) = ⁽¹2^{, 2}

)

−¹4

図³ 勾配ベクトルの例

32

(34)

2.4 _{合成関数の偏微分}

• ^{独立変数を}^u¹^{, u}²^, ^{従属変数を}^y^とする²^変数関数^{y = f (u)}^を考える (ただし, u = (u1, u2)).

• ^また^, ^各々の^u^k ^は^x¹^{, x}²^の関数^u^k^(x)として表されるものとする (ただし, k = 1, 2, x = (x1, x2)).

• u(x) = (u¹^{(x), u}²^(x))^として^{, f, u}¹^{, u}²^{の合成関数を考える}^. y = f (u(x)) = f (u1(x1, x2), u2(x1, x2))

この合成関数は, 独立変数がx1, x2 で従属変数がyの関数である.

33

(35)

✓ ✏

命題 ^2. f が連続微分可能であり, u1, u2が偏微分可能であるとき, 合成関数y = f (u(x))は偏微分可能であり,

∂f

∂x_i ^{(u(x)) =}

2

∑

k=1

∂f

∂u_k ^(u(x))

∂u_k

∂x_i ^(x) ^{i = 1, 2} ^(1.15)

すなわち,

∂y

∂x_i ⁼

2

∑

k=1

∂y

∂u_k

∂x_i ^{i = 1, 2}

が成り立つ.

✒ ✑

34

(36)

例 ^4.

• 以下のように定められる2変数関数f : R²₊ _{→ R}を考える. y = f (x) = (x²₁ + x²₂⁾

1 2

• u = x²¹ ^{+ x}²²^とすると^,

y = u¹²

と表されるから,

∂f

∂x1

(x) = ^dy du

∂u

∂x1

= ¹ 2^u

−¹₂

× 2x¹ ⁼ ^x¹

(x²₁ + x²₂)¹²

∂f

∂x2

(x) = ^dy du

∂u

∂x2

= ¹ 2^u

−¹₂

× 2x² ⁼ ^x²

(x²₁ + x²₂)¹²

35

(37)

例 ^5.

• 以下のように定められる2変数関数f : R²₊₊ _{→ R}を考える. y = f (x) = log(x1 + x2) + log (x²₁ + x²₂⁾

• u¹ ^{= x}¹ ^{+ x}²^{, u}² ^{= x}²¹ ^{+ x}²² ^とすると^,

y = log u1 + log u2

と表されるから,

∂f

∂x1

(x) = ^∂y

∂u1

∂x1

+ ^∂y

∂u2

∂x1

= ¹

u1 ^×1+

1

u2 ^×2x

1 = ¹

x1 + x2

+ ^2x¹ x²₁ + x²₂

∂f

∂x2

(x) = ^∂y

∂u1

∂x2

+ ^∂y

∂u2

∂x2

= ¹

u1 ^×1+

1

u2 ^×2x

2 = ¹

x1 + x2

+ ^2x² x²₁ + x²₂

36

(38)

3 _{重要な関数}

3.1 _同次関数

• ^定義域を^X ⊂ Rⁿ ^{とする関数}f : X → R^を考える ⁽ⁿ^は自然数^).

• ^任意の^x ∈ X ^{と任意の正数}^{λ > 0}^に対して^,

f (λx) = λ^kf (x) (1.16)

が成り立つとき, f はk次同次関数であるという.

37

(39)

例 ^6.

(A) 以下のように定められる1変数関数f : R+ _{→ R}を考える. f (x) = x¹³

正数λ > 0に対して,

f (λx) = (λx)¹³ = λ¹³ x¹³ = λ¹³ f (x)

となるから, f は ¹₃ 次同次関数である.

38

(40)

(B) 以下のように定められる2変数関数f : R²₊ _{→ R}を考える. f (x) = x₁¹³ x₂¹³

正数λ > 0に対して,

f (λx) = (λx1)¹³ (λx2)¹³ = λ³² x₁¹³x₂¹³ = λ²³ f (x)

となるから, f は ²₃ 次同次関数である.

39

(41)

3.2 _{凹関数と凸関数}

• X ⊂ Rⁿ ^{を凸集合として}^, ^関数f : X → R^を考える^.

• ^任意の^{x, x}^′ ∈ X ^と任意のλ ∈ (0, 1)^に対して^,

f (λx + (1 − λ)x^′) ≥ λf(x) + (1 − λ)f(x^′⁾ ^(1.17)

が成り立つとき, f は凹関数であるという.

• ^{相異なる任意の}^{x, x}^′ ∈ X ^と任意のλ ∈ (0, 1)^に対して^,

f (λx + (1 − λ)x^′) > λf (x) + (1 − λ)f(x^′⁾ ^(1.18)

が成り立つとき, f は厳密な (狭義の) 凹関数であるという (図4を参照).

40

(42)

0 ^x y

f (x)

x x^′

f (x) f (x^′)

λx + (1 − λ)x^′ f (λx + (1 − λ)x^′⁾

λf (x) + (1 − λ)f(x^′⁾

図⁴ 厳密な凹関数

41

(43)

f (λx + (1 − λ)x^′) ≤ λf(x) + (1 − λ)f(x^′⁾ ^(1.19)

が成り立つとき, f は凸関数であるという.

• ^{相異なる任意の}^{x, x}^′ ∈ X ^と任意のλ ∈ (0, 1)^に対して^,

f (λx + (1 − λ)x^′) < λf (x) + (1 − λ)f(x^′⁾ ^(1.20)

が成り立つとき, f は厳密な (狭義の) 凸関数であるという (図5を参照).

42

(44)

0 ^x

y f (x)

x x^′

f (x) f (x^′)

λx + (1 − λ)x^′ f (λx + (1 − λ)x^′⁾

λf (x) + (1 − λ)f(x^′⁾

図⁵ 厳密な凸関数

43

(45)

• X ⊂ Rⁿ ^{を定義域とする関数}f : X → R^に対して^{, f} ^{のハイポグラフ} H_f _{⊂ R}ⁿ⁺¹ _{とエピグラフ}E_f _{⊂ R}ⁿ⁺¹をそれぞれ次のように定義する

(図6を参照).^*6

H_f _≡ {(x, y) ∈ Rⁿ⁺¹ | y ≤ f(x), x ∈ X^} E_f _≡ {(x, y) ∈ Rⁿ⁺¹ | y ≥ f(x), x ∈ X^}

0 ^x

y

f (x)

H_f E_f

図6 ハイポグラフとサブグラフ

*6 _f のハイポグラフのことを, f のサブグラフと表記している文献もある^.

44

(46)

✓ ✏

命題 ^{3. X} _{⊂ R}ⁿ を凸集合として, 関数_{f : X → R}を考える.

• f が凹関数であるための必要十分条件は, f のハイポグラフ^Hf が凸集合であることである (図7(a)を参照).

• f が凸関数であるための必要十分条件は, f のエピグラフ^Ef が凸集合であることである (図7(b)を参照).

✒ ✑

0 ^x

y

f (x)

H_f

0 ^x

y _{f (x)}

E_f

(a) 凹関数 (b) 凸関数

図⁷ 凹関数と凸関数

45

(47)

Proof.

• 1^{つ目の性質のみを示す}^.

– _必要性

∗ f ^{は凹関数であるとする}^.

∗ (x, y), (x^′^{, y}^′) ∈ H^f ^{を任意にとると}^,

f (x) ≥ y, ^{f (x}^′) ≥ y^′

であり, またf の凹性より, 任意の_{λ ∈ (0, 1)}に対して,

f (λx + (1 − λ)x^′) ≥ λf(x^′) + (1 − λ)f(x^′) ≥ λy + (1 − λ)y^′

が成り立つから,

(λx + (1 − λ)x^′, λy + (1 − λ)y^′) ∈ H^f

したがって, H_f は凸集合である. 46

(48)

– _十分性

∗ H^f ^{は凸集合であるとする}

∗ ^任意の^{x, x}^′ ∈ X ^に対して^,

(x, f (x)) ∈ H^f ^, ^(x^′^{, f (x}^′)) ∈ H^f

∗ H^f ^{の凸性より}^, ^任意のλ ∈ (0, 1)^に対して^,

(λx + (1 − λ)x^′, λf (x) + (1 − λ)f(x^′)) ∈ H^f

すなわち,

f (λx + (1 − λ)x^′) ≥ λf(x) + (1 − λ)f(x^′⁾

したがって, f は凹関数である.

47

(49)

– _必要性

∗ f ^{は凸関数であるとする}^.

∗ (x, y), (x^′^{, y}^′) ∈ E^f ^{を任意にとると}^,

f (x) ≤ y, ^{f (x}^′) ≤ y^′

であり, またf の凸性より, 任意の_{λ ∈ (0, 1)}に対して,

f (λx + (1 − λ)x^′) ≤ λf(x^′) + (1 − λ)f(x^′) ≤ λy + (1 − λ)y^′

が成り立つから,

(λx + (1 − λ)x^′, λy + (1 − λ)y^′) ∈ E^f

したがって, H_f は凸集合である.

48

(50)

– _十分性

∗ E^f ^{は凸集合であるとする}

∗ ^任意の^{x, x}^′ ∈ X ^に対して^,

(x, f (x)) ∈ E^f ^, ^(x^′^{, f (x}^′)) ∈ E^f

∗ E^f ^{の凸性より}^, ^任意のλ ∈ (0, 1)^に対して^,

(λx + (1 − λ)x^′, λf (x) + (1 − λ)f(x^′)) ∈ E^f

すなわち,

f (λx + (1 − λ)x^′) ≤ λf(x) + (1 − λ)f(x^′⁾

したがって, f は凹関数である.

49

(51)

3.3 _{準凹関数と準凸関数}

• X ⊂ Rⁿ ^{を凸集合として}^, ^関数f : X → R^を考える^.

f (λx + (1 − λ)x^′) ≥ min{f(x), f(x^′)}

が成り立つとき, f は準凹関数であるという.

• ^{相異なる任意の任意の}^{x, x}^′ ∈ X ^と任意のλ ∈ (0, 1)^に対して^, f (λx + (1 − λ)x^′) > min{f(x), f(x^′)}

が成り立つとき, f は厳密な (狭義の) 準凹関数であるという.

50

(52)

f (λx + (1 − λ)x^′) ≤ max{f(x), f(x^′)}

が成り立つとき, f は準凸関数であるという.

• ^{相異なる任意の任意の}^{x, x}^′ ∈ X ^と任意のλ ∈ (0, 1)^に対して^, f (λx + (1 − λ)x^′) < max{f(x), f(x^′)}

が成り立つとき, f は厳密な (狭義の) 準凸関数であるという.

51

(53)

• X ⊂ Rⁿ ^{を定義域とする関数}f : X → R^と実数y ∈ R^¯ ^に対して^, ^集合 S_(¯_{y) ⊂ X} _と集合S_(¯_{y) ⊂ X} をそれぞれ次のように定義する.

S_(¯y) ≡ {x ∈ X | f(x) ≥ ¯y} S_(¯y) ≡ {x ∈ X | f(x) ≤ ¯y}

52

(54)

• ^例えば, f (x) = x1x2で定められる2変数関数f : R₊² _{→ R}では, – _x₁_x₂ _{≥ 1 ⇔ x}₂ _≥ ¹

x₁

– _x₁_x₂ _{≤ 1 ⇔ x}₂ _≤ ¹

x₁

となるから,

– S₍₁₎_は_x₂ ₌ _x¹

1 のグラフの右上の領域で表される. – S₍₁₎_は_x₂ ₌ _x¹

2 のグラフの左下の領域で表される.

0 ^x¹

x2

S(1)

S₍₁₎

x2 = _x¹

1

図8 ^S(¯y)と^S(¯y)の例

53

(55)

✓ ✏

命題 ^{4. X} _{⊂ R}ⁿ を凸集合として, 関数_{f : X → R}を考える.

• f が準凹関数であるための必要十分条件は, 任意の_{y ∈ R}に対して

S(y)が凸集合であることである.

• f が準凸関数であるための必要十分条件は, 任意の_{y ∈ R}に対して

S(y)が凸集合であることである.

✒ ✑

54

(56)

Proof.

– _必要性

∗ f は準凹関数であるとする.

∗ ^任意にy ∈ R^をとり^, ^{また任意に}^{x, x}^′ ∈ S(y)^をとると^, f (x) ≥ y, ^{f (x}^′) ≥ y

であり, f の準凹性より, 任意の_{λ ∈ [0, 1]}に対して,

f (λx + (1 − λ)x^′) ≥ min{f(x), f(x^′)} ≥ y

すなわち,

λx + (1 − λ)x^′ ∈ S(y)

したがって, S(y)は凸集合である. 55

(57)

– _十分性

∗ ^任意のy ∈ R^に対して^S^(y)^{が凸集合であるとする}^.

∗ ^任意に^{x, x}^′ ∈ X ^をとり^,

y = min{f(x), f(x^′)}

のようにyを定めると, f (x) ≥ y, f(x^′) ≥ y^だから^{, x, x}^′ ∈ S(y)

である.

∗ S(y)^{の凸性より}^, ^任意のλ ∈ [0, 1]^に対して^, λx + (1 − λ)x^′ ∈ S(y)

すなわち,

f (λx + (1 − λ)x^′) ≥ y = min{f(x), f(x^′)}

したがって, f は準凹関数である. 56

(58)

– _必要性

∗ f は準凸関数であるとする.

∗ ^任意にy ∈ R^をとり^, ^{また任意に}^{x, x}^′ ∈ S(y)^をとると^, f (x) ≤ y, ^{f (x}^′) ≤ y

であり, f の準凸性より, 任意の_{λ ∈ [0, 1]}に対して,

f (λx + (1 − λ)x^′) ≤ max{f(x), f(x^′)} ≤ y

すなわち,

λx + (1 − λ)x^′ ∈ S(y)

したがって, S(y)は凸集合である.

57

(59)

– _十分性

∗ ^任意のy ∈ R^に対して^S^(y)^{が凸集合であるとする}^.

∗ ^任意に^{x, x}^′ ∈ X ^をとり^,

y = max{f(x), f(x^′)}

のようにyを定めると, f (x) ≤ y, f(x^′) ≤ y^だから^{, x, x}^′ ∈ S(y)

である.

∗ S(y)^{の凸性より}^, ^任意のλ ∈ [0, 1]^に対して^, λx + (1 − λ)x^′ ∈ S(y)

すなわち,

f (λx + (1 − λ)x^′) ≤ y = max{f(x), f(x^′)}

したがって, f は準凸関数である. 58

(60)

例 ^7.

• f(x) = x¹^x²^{で定められる}²^変数関数^{f : R}⁺² → R^を考える^.

• y > 0^に対して^,

x1x2 _{≥ y} _⇔ x2 _≥

y x1

となるから, S(y)はx2 = _x^y

1 のグラフの右上の領域で表される.

• ^任意の^x ∈ R²⁺^に対して^x¹^x² ≥ 0^だから, y ≤ 0^に対して^{S(y) = R}²⁺

である.

• ^任意のy ∈ R^に対して^S^(y)^{は凸集合だから}, f (x) = x1x2は準凹関数である.

59

(61)

例 ^8.

• f(x) = x²¹ ^{+ x}²² ^{で定められる}²^変数関数^{f : R}²⁺ → R^を考える^.

• y > 0^とすると^,

S(y) = ^{x _{∈ R}²₊ _{| x}₁² + x²₂ _{≤ y = (}^√y)²^}

すなわち, S(y)は, 原点を中心とし, 半径が^√yの円の内部領域で表される.

• ^任意の^x ∈ R²⁺^に対して^x²¹ ^{+ x}²² ≥ 0^だから^, – S_{(0) = {0}}_である_.

– _{y < 0}_に対して_{, S(y) = ∅}_である_.

• ^任意のy ∈ R^に対して^S^(y)^{は凸集合だから}, f (x) = x²₁ + x²₂は準凸関数である.

60

(62)

✓ ✏

命題 ^{5. X} _{⊂ R}ⁿ は凸であるとして, 関数_{f : X → R}を考える.

• f ^{が凹関数であるならば}^{, f} ^{は準凹関数である}^.

• f ^{が凸関数であるならば}^{, f} ^{は準凸関数である}^.

✒ ✑

61

(63)

Proof.

f が凹関数とすると, 任意のx, x^′ _{∈ X} と任意の_{λ ∈ [0, 1]}に対して, f (λx + (1 − λ)x^′) ≥ λf(x) + (1 − λ)f(x^′⁾

≥ λ min{f(x), f(x^′)} + (1 − λ) min{f(x), f(x^′)}

= min{f(x), f(x^′)}

が成り立つから, f は準凹関数である.

62

(64)

• 2^{つ目の性質を示す}^.

f が凸関数とすると, 任意の^x, x^′ _{∈ X} と任意の_{λ ∈ [0, 1]}に対して, f (λx + (1 − λ)x^′) ≤ λf(x) + (1 − λ)f(x^′⁾

≤ λ max{f(x), f(x^′)} + (1 − λ) max{f(x), f(x^′)}

= max{f(x), f(x^′)}

が成り立つから, f は準凸関数である.

63

(65)

4 _{最適化問題}

4.1 制約条件なしの最適化問題

• ^定義域を^X ⊂ R²^{とする関数}f : X → R^を考える^.

• X ^の内部^intX ^{を次のように定める}^.^*7

intX ≡ {x ∈ X | U(x, ϵ) ⊂ X ^なる正数^{ϵ > 0}^{が存在する}}

• ^例えば^{, intR}²⁺ ^{= R}²⁺⁺^である^.

• intX ^{は開集合である}^.

• x ∈ intX ^{であるとき}^{, x}^は^X ^{の内点であるという}^.

*7 _{大まかにいうと}_{, intX}_は_Xに含まれる最大の開集合である^.

64

経済学C 数学準備pdf 最近の更新履歴 Katsuyuki Naito

経済学 C

数学準備

1 準備

1.1 基礎概念

1.2 開集合

1.3 凸集合

1.4 関数の連続性

2 偏微分と全微分

2.1 偏微分

2.2 全微分

2.3 勾配ベクトルの意味

2.4 合成関数の偏微分

3 重要な関数

3.1 同次関数

3.2 凹関数と凸関数

3.3 準凹関数と準凸関数

4 最適化問題

4.1 制約条件なしの最適化問題

経済学 ^C

1 _準備

1.1 _基礎概念

1.2 _開集合

1.3 _凸集合

1.4 _{関数の連続性}

2 _{偏微分と全微分}

2.1 _偏微分

2.2 _全微分

2.3 _{勾配ベクトルの意味}

2.4 _{合成関数の偏微分}

3 _{重要な関数}

3.1 _同次関数

3.2 _{凹関数と凸関数}

3.3 _{準凹関数と準凸関数}

4 _{最適化問題}