宿題7 数理統計 2016 S1・S2 Kengo Kato

2016.6.16. 出題：加藤賢悟 宿題 7

• ^{提出期限：6/23の講義終了時．}

問題

1. (ハーディ・ワインベルグ平衡モデル). ある座位(locus)に2つのアレル(allele) A, aが あって，それぞれ確率_{θ, 1 − θ}で出現するとすると，遺伝子型 (genotype) AA, Aa, aa が出現する確率はそれぞれθ², 2θ(1 − θ), (1 − θ)^{2である．いま，n個の個体のうち，遺} 伝子型AA, Aa, aaをもつ個体の個数をそれぞれY1, Y2, Y3_{とおくと，}(Y1, Y2, Y3)^′は多 項分布M n(n, θ, 2θ(1 − θ), (1 − θ)^{2)に従う．}

(a) θのMLE bθを導出せよ．

(b) n → ∞^{のときの√n(b}θ − θ)^{の極限分布を求めよ．}

(c) α, β > 0に対して，θ ∼ Be(α, β)という事前分布を考える．このとき，θの事後 平均θ^eα,βを求めよ．

(d) θの真値を1つ固定したとき，_{n → ∞}のとき，^√n(eθ^α,β_{− b}θ)_{→ 0}^P を示せ． 2. X1, . . . , Xn| λ ∼ P o(λ) i.i.d., λ ∼ Ga(α, β)^とする (α > 0, β > 0). このとき，λの事

後平均を求めよ．

3. X ∼ N(µ, Ik), µ ∈ R^{kとする．}

(a) k = 1, 2のとき，E0_[1/∥X∥²_{] = ∞}となることを示せ．ヒント：µ = 0のとき，

∥X∥²∼ χ^{2(k)である．}

(b) k ≥ 3^{のとき，E}µ[1/∥X∥²] < ∞ ∀µ ∈ R^{kであることを示せ．}

ヒント：_∥x−µ∥²_{= ∥x∥}²_−2x^′_µ+∥µ∥²と不等式_{2ab ≤ a}²/2+2b²より，_∥x−µ∥² _≥

∥x∥²/2 − ∥µ∥²．あとは極座標変換を使う．

4. X ∼ N(µ, 1), µ ∈ R^{とし，µの推定を考える．}a, b ∈ R^{に対して，δ}a,b(X) = aX + bと いう推定量を考える．このとき，2乗損失関数L(µ, d) = (d − µ)^{2の下で，次の場合に} δ_a,bが非許容的になることを示せ．

(1) a > 1,またはa = 1かつ_{b ̸= 0.} ヒント：δ_a,b(X)とXを比較せよ． (2) a < 0.

5. F を連続な分布関数とし，_{X ∼ F} とする．このとき，F (X) ∼ U(0, 1)^を示せ． ヒント：F^→(u) = sup{x ∈ R : F (x) ≤ u}, u ∈ (0, 1)^{とおくと，}F (x) ≤ u ⇔ x ≤ F^→(u), F (F^→(u)) = uである．

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