2016A・微分積分学演習（理一2831・木曜4限） todaimuesaka

2016 _年度 A ターム 微分積分学演習 レポート問題

理一 28-30 提出期限: 2017/1/16(月)17:00 まで

1

(1) 関数 f (x, y) = x²+ y²+ 2ax y + x⁴+ y⁴を考える．この関数が極大・極 小を取るような点 (x, y) を，a の値で場合分けして求めよ．

(2) 陰関数表示 x³y³+ y − x = 0 で与えられる関数 y = f (x) を考える． f が 極大・極小を取るような x と，その時の値 y = f (x) を求めよ．

2

x³_{− 3axy + y}³= 0の条件のもとで，関数 f (x, y) = x²+ y²の極値を求めよ．

3

次の積分を求めよ． (1)

∫ ₁

(x²+ 3)^{2dx (2)}

∫ _x

x⁴+ x²_{− 2}^{dx (3)}

∫ x

r1 + x² 1 − x^{2 dx (4)}

∫ ₁

a+ bcos x^dx

4

次の広義積分が収束することを示し，その値を求めよ． (1)

∫ _∞

0

log x

(1 + x)^{2dx (2)}

∫ _∞

1

1

x^√x²_{− 1}^{dx (3)}

∫ a 0

x²

√a²_{− x}²dx (a > 0)

5

関数 f , g : [0, ∞) → R は次の 4 つの条件を満たすとする．

• 広義積分

∫ _∞

0

f(x)dx は収束する．

• ある M > 0 で，任意の R > 0 に対して，    

∫ R 0

f(x)dx 

<Mとなるものが 存在する．

• lim_x→∞g(x) = 0

• ある R > 0 で，(R, ∞) 上 g は微分可能であり，さらに広義積分

∫ _∞

R ^|g

′_{(x)| dx}

は収束する． このとき，広義積分

∫ _∞

0

f(x)g(x)dx は収束することを示せ．1

6

次の重積分の値を求めよ．(3) と (4) は広義積分であると考えて計算すること．

1_Hint:部分積分を使う．そのために，F(x) =

∫ ^x a

f(t)dt などとおいてみる．a は適切に定める こと．また，f,gには連続性は不要である．

1

(1)

∬

D

xe^y2dxdy, D = {(x, y) ∈ R² | 0 ≤ x ≤ 1, x² ≤ y ≤ 1}． (2)

∬

D

x²

x²+ y²dxdy, D = {(x, y) ∈ R²| r² ≤ x^{2+ y2}≤ R²} (0 < r < R)． (3)

∬

D

1

px²_{− y}²dxdy，D = {(x, y) ∈ R² | x^{2> y2,} 0 < x < 1}． (4)

∬

D

(1 − x)²

p1 − x²− y²dxdy，D = {(x, y) ∈ R²| 0 ≤ x, 0 ≤ y, x^{2+ y2<}1}．

7

次の関数項級数は，[0, 1] で一様収束するかどうか，証明も込めて述べよ． (1)

Õ∞ n=0

x² (1 + x²)^{n (2)}

Õ∞ n=1

x n+ n²x^{2 (3)}

Õ∞ n=1

x

{(n − 1)x + 1}(nx + 1)

8

^fn: R → R を，

f_n(x) = ^x 1 + n²x^{2 −}

x 1 + (n + 1)²x²

とおく．このとき， Õ∞ n=1

f_n(x)は R で各点収束するが，その極限を f (x) とする と，

Õ∞ n=1

f_n^′(0) , f^′(0)であることを示せ．

9

(1) [a, b]上で定義された連続関数 f (x) について， T( f , [a, b]) := ^f(a) + f (b)

2 ^{(b − a)} とおく． f が [a, b] 上で C²級ならば，

   

T( f , [a, b]) −

∫ b a

f(x)dx ^≤

1 12^{(b − a)}

3 _max x_∈[a,b]^{| f}

′′_(x)|

であることを示せ．2

2_{Hint: T( f} ,_[a,b_{]) −}

∫ ^b a

f(x)dx を b の関数だとみなして，b で微分してみる．その上で微積分 の基本定理を用いることを考えよ．

2

(2) [0, 1]上で定義された連続関数 f を考える．[0, 1] の分割 {a0^{, . . . ,a}n_{} を，}

a_j := ^j

n で定義する．各区間 aj^,aj+1^ ( j = 0, 1, . . . , n − 1) において， T_n,j( f ) = T( f , [aj^,aj+1])とおいて，

T_n( f ) :=

n₋₁

Õ

j=0

T_n,j

と定義する． f が C²級ならば， 

  

T_{n( f ) −}

∫ 1 0

f(x)dx ^≤

1

12n² x^max_∈[0,1]^{| f}

′′_(x)|

であることを示せ．Tn( f )は

∫ 1 0

f(x)dx の近似値を与えており，台形公 式と呼ばれる．

レポート作成上の注意

• この問題には誤字やミスが有る可能性が残されています．その場合， – まず website(https://sites.google.com/site/todaimuesaka/) を

見て，訂正がないか確認してください．これをしないと，私が何十 通というメールに同一の返信をしなければいけません．

– その上で，私にメールを下さってもいいですし，自分で矛盾なく，さ らに自明な主張にならないように問題文を訂正し，そのことをレポー トに書いたうえで問題を解いてもらっても構いません．

• 紙でレポートを作成する場合は，A4の紙を使用し，複数枚に渡る場合は ホッチキスで止めてください．表紙は特に不要ですが，名前と学籍番号を 必ず記載してください．これがないと評価に反映できません．

• 手書きかどうかは問いません．Word なり TEX なりで作成してもらっても結 構です．その場合，私のメールアドレスに，PDF の形でレポートを送付して 頂いても構いません．私のメールアドレスは [email protected] です．ただし，メールを書く上で，以下の事項を守ってください．

– メールの件名は「数理科学基礎演習レポート」とする． – メールの本文に，クラスと学籍番号と名前を明記する．

– PDF以外は不可．Word で作成しても PDF で保存することはできる ので，知らない人は調べておきましょう．

3

– 締切は紙による提出と同じです．

• レポートは，問題の出来はもとより，読みやすさも評価の対象とします． 読みやすさの評価をする上では，例えば以下のようなポイントを見ます．

– 日本語の文章としての読みやすさ．

– 見た目の読みやすさ．いざ読もうとした時に，一瞥して読む気をな くさせるレポートの評価は下がります．メモ程度の下書きをレポー トとして出さず，出来る限り清書をして提出してください．一方，字 そのものの綺麗さは個人に依存するので，そこを評価対象にするこ とはありません．（そのため，この講義では PDF でのレポート提出 を認めています．）読みやすく書くための努力をしているか否かが評 価の対象です．

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