2000 大阪大学（理系）前期日程 問題
−−
１ 解答解説のページへ
D＞E＞ とする。円[ \ D上の点
E D E における接線と [ 軸との交点を3とする。また円の外部の点 E F からこの円に本の接線を引き接点を
2000 大阪大学（理系）前期日程 問題
−−
２ 解答解説のページへ
[\平面上の個の点からなる集合
^
[ \ [ \`
を考える。この集合から異なる 点を無作為に選ぶ試行において次の事象の起こる
確率を求めよ。
「選んだ点が三角形の頂点となりその三角形の面積は
2000 大阪大学（理系）前期日程 問題
−−
３ 解答解説のページへ
どのような負でないつの整数PとQを用いても [ PQとは表すことがで
2000 大阪大学（理系）前期日程 問題
−−
４ 解答解説のページへ
実数[に対して[を越えない最大の整数を> @[ で表す。Qを正の整数とし
>
@
D Q N
Q
Q N
Q
¦
とおく。このとき OLP
2000 大阪大学（理系）前期日程 問題
−−
５ 解答解説のページへ
立方体;と球<があって両者の体積は等しいとする。このとき次の問いに答え
よ。ただし円周率はS である。
立方体;と球<を動かして立方体;のなるべく多くの頂点が球<の内部に含
まれるようにしたい。最大何個の頂点が含まれるようにできるか。
立方体;と球<を動かして立方体;のなるべく多くの辺が球<の内部と共通
2000 大阪大学（理系）前期日程 解答解説
電送数学舎 2000 −−
１ 問題のページへ
4 [ \ 5 [ \とおくと45における接線は
[ [ \ \ D [ [ \ \ D
これらの接線はともに点 E F を通るので
E[ F\ D……① E[ F\ D……②
ここで方程式E[ F\ D ……③を考えるとこれは直線
を表し①より点4を通り②より点5を通ることがわかる。
すなわち③は直線45を表す。
さて点
E D E における接線はE[ D E \ D
[軸との交点は [ D
E \
より点3
DE
となる。
そこで [ \
DE
を③に代入すると③が成立することがわかるので
直線45は点3を通る。
［解 説］
毎年のように出題されてきた有名問題です。そして上記の解はその有名な解法で
す。
4
5 3
\
[
Ｏ
2000 大阪大学（理系）前期日程 解答解説
電送数学舎 2000 −−
２ 問題のページへ
辺の長さ の正方形の内部または辺上に頂点のある三角形を
考え右図のように長さDKを決めると三角形の面積6は
6 DK
≦
これより6
となるのは[ \ すなわち三角形の少な
くともつの辺が正方形と辺を共有するときである。
さてここで条件を満たす 個の格子点から 個の格子点を選ぶ場合の数は
& 通りである。
また 個の格子点を結んでできる三角形の面積 6 が
6
となるのは次のつの場合がある。
L 三角形の辺だけが正方形と辺を共有するとき
つの共有辺に対して三角形が 通りずつ決まるので
u 通りある。
LL 三角形の辺が正方形と辺を共有するとき
直角二等辺三角形となる場合なので通りある。
LLLより合わせて 通りとなる。
以上より6
となる確率は となる。
［解 説］
たくさんの場合分けが必要なのではないかと思いましたが 6
が正方形の面積
の半分であることがわかりホッとしました。しかし前半の論理は直観的には明ら
かなのですが記述するのは手間がかかります。
D K
\
[
Ｏ
2000 大阪大学（理系）前期日程 解答解説
電送数学舎 2000 −−
３ 問題のページへ
まず 以上の整数[は 以上の整数PQを用いて [ PQの形に表せるこ
とを示す。
Q のとき[ PとなりP≧より[は以上のの倍数をすべて表すことが
できる。
Q のとき[ P P となり P ≧ より [ は で割った余り
がとなる以上の整数をすべて表すことができる。
Q のとき[ P P となり P ≧ より[はで割った余り
がとなる以上の整数をすべて表すことができる。
以上より以上の整数[は [ PQの形に表せる。
さて P Q で[ となるのでより小さい自然数[が[ PQの
形 に 表 せ る の は P Q の 場 合 だ け で あ り 順 に
[ となる。
すると以上の整数PQを用いて [ PQとは表すことができない自然数[
はだけである。
［解 説］
いきなり 以上の整数がすべてPQの形で表せることがわかったわけではあり
ません。PQに以上の整数を具体的にあてはめて推測をしました。ただ とが
互いに素なので整数PQを用いてPQの形で任意の整数が表せるということ
2000 大阪大学（理系）前期日程 解答解説
電送数学舎 2000 −−
４ 問題のページへ
一般的に> @[ ≦[＜> @[ より [＜> @[ ≦[なので
>
@
Q N Q Q N Q Q N Q ＜ ≦各辺でN からN Qまでの和をとると
Q N Q D Q N Q N Q Q N Q
¦
＜ ≦¦
ここでE Q N
Q Q QN
Q N Q N Q
¦
¦
とおくと区分求積法を用いて
OLP
Qo∞EQ QOLPo
¦
NQ
Q NQ
∞
³
[ G[ S S
また F Q N
Q Q N Q
¦
とすると
F
Q NQ QQ E Q
Q N Q Q
¦
OLP OLPQo∞FQ Qo∞ EQ Q
S
すると FQ＜ ≦DQ EQでQOLPo∞FQ QOLPo∞EQ S より OLPQo∞DQ S
［解 説］
はさみうちの原理と区分求積法を用いる融合問題です。それをすばやく見抜ける眼 力が必要です。
\
[
Ｏ
2000 大阪大学（理系）前期日程 解答解説
電送数学舎 2000 −−
５ 問題のページへ
立方体;の 辺の長さを 球<の直径を
5とすると条件より
S 5 5
S ………①
まず; の頂点間の距離は のい
ずれかである。
また①より ＜ ＜5 なので ＜ ＜5 ………②
これより<の内部に;の頂点をつ含むことはできる。しかし;には距離が
すべてのつの頂点は存在しないので<の内部に;の頂点をつ含むことはで
きない。
したがって<の内部に含まれる;の頂点の最大数はである。
より 頂点$と(はともに<の内部に含むことができるので つの辺$(
$%$'()(+は<の内部と共通の点をもつ。
さて次に;のつの辺と<の内部が共通の点をもつとすると つの場合が考
えられる。
L ;のつの頂点が<の内部に含まれるとき
頂点$と(が<に含まれるとし②よりつの辺$(
$% $' () (+ %)と<の内部が共通の点をもつとし
ても一般性は失われない。
ここで球 <の大円が 頂点$ ( を通る場合を考え
辺%)と共通の点をもつ場合を考えると右図より
5 5
≧ ………③
③⇔ 5 5≧⇔ 5 ≧ 5………④
②より④⇔ 5 ≧5 ⇔ 5≧
………⑤
①より⑤⇔ S≧ ⇔S≦
………⑥
⑥はS＞ より成立しない。すなわち③は不成立となり 頂点$ (が<の
内部に含まれる場合辺 %) とは共通の点をもたない。よってこの場合はありえ
ない。
LL ;のつの頂点だけが<の内部に含まれるとき
頂点$だけが<に含まれるとし②よりつの辺$($%$'()%&'+と
<の内部が共通の点をもつとしても一般性は失われない。
2000 大阪大学（理系）前期日程 解答解説
電送数学舎 2000 −−
このとき立方体;と球<を面$()%を含む平面に正
射影して考えると頂点$は<を正射影した円に含まれ
また辺 %& と < の内部が共通の点をもつことより点 %
も<を正射影した円に含まれる。
すると Lよりこの円は辺()と共通の点をもたないこ
とよりこの場合はありえない。
LLL ;の頂点が<の内部に含まれないとき
②よりつの辺$($%()%&)*'+と<の内部
が共通の点をもつとしても一般性は失われない。
このとき LLと同じく立方体;と球<を面$()%を 含む平面に正射影して考えると辺 %& )* と< の内部
が共通の点をもつことより点% )がともに<を正射影
した円に含まれる。
すると Lよりこの円は辺 $( と共通の点をもたないことよりこの場合はあり
えない。
LLLLLLより<の内部と;のつの辺が共通の点をもつことはない。
以上より<の内部と共通の点をもつ;の辺の最大数はである。
［解 説］
は基本的ですが については難でした。を使えば 辺の場合には条件を満
たすことはすぐにわかるのですがその後辺についての考察がたいへんでした。球
の内部に含まれる頂点の個数をもとに場合分けをしましたが内部に含まれる辺を決
めるプロセスはパズルに向かっていく気分で解いていきましたのでその詳細は省
略しました。時間無制限で解くには楽しい問題でしょうが……。
$ % & '
( ) * +
$ % & '
