解答１ 宿題 microomaba

2009^年度

ミクロ経済学 宿題 ₁ （解答）

問題_{1 (}初級_).

(a) (i), (ii)ともに正しい。合理的な選好関係は完備性をみたします。ここで、完備性をみたすとは、どの

ような₂組_{(x, y), (x}^′_{, y}^′₎をみても(x, y)  (x^′, y^′)^と(x^′, y^′)  (x, y)のうち少なくとも一方が成り 立っていることをいい、これは選択肢_(ii)そのものです。さらに、_x^′_{= 0, y = 0}とすることでこの選好 関係は選択肢_(i)で考えている場合についても比較可能であることがわかります。

(b) (iii)が正しい。合理的な選好関係は推移性をみたします。ここで、推移性をみたすとは、どのような₃

組_{(x, y), (x}^′_{, y}^′_{), (x}^′′_{, y}^′′₎をみても(x, y)  (x^′, y^′)^かつ(x^′, y^′)  (x^′′, y^′′)^であれば(x, y)  (x^′′, y^′′) が成り立っていることをいいます。いま、(0, 3)  (1, 2)^かつ(0, 3)  (2, 1)となっていますがこの場 合は推移性の条件式を適用できません。

(c) ^たとえばu(x, y) = x + 10yが考えられます。このときu(0, 3) = 30, u(2, 1) = 12, u(1, 2) = 21^となる ので_(b)でみた人の選好関係を表現しています。他にもu(x, y) = y^{などが考えられます。}

問題_{2 (}初級_).

(i)の よ う な 好 み を 持 つ 人 は 、図 の よ う に た と え ば 額 面₃ 万 円 で あ れ ば₁万 円 札₃枚 で あ れ ₁万 円 札₂ 枚 と 千 円 札₁₀枚 で あ れ 同 じ と 考 え て い ま す 。こ の よ う な 人 の 好 み を あ ら わ す 効 用 関 数 と し て 、_{u(x, y) =} 10x + y, u(x, y) = 10000x + 1000yなどが考えられます。最適消費量の組は、予算制約線（図中の太線）と無 差別曲線の形から10x + y = 40^{をみたすような任意の}(x, y)^{であるとわかります。}

(ii)の よ う な 好 み を あ ら わ す 効 用 関 数 と し て 、u(x, y) = min {2x, y} が 考 え ら れ ま す（ た だ し _{x =} 0, 1, 2, ..., y = 0, 2, 4, ...^）。このとき、図のようにu(1, 2) = u(1, 4) = u(2, 2) < u(2, 4)^{となっていることに注} 意してください。最適消費量の組は、_{(1, 2)}であるとわかります。

† 質問や間違いがありましたら、micro09komaba(at)gmail.com までご連絡ください。

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問題_{3 (}初級_).

(a) 効用関数を全微分して、

∆u(x, y) = ^∂u

∂x^{∆x +}

∂u

∂y^∆y を得ます。さらに左辺を₀ とおいて整理すると、

∆x

∆y ^{= −}

∂u/∂y

∂u/∂x ^{= −} x² 2xy ^{= −}

x 2y

となります。この式は、_yの消費量を₁単位変化させた際に、効用を一定に保つ（変化量_∆uを₀にす る）ためには、どれくらい_xの消費量を変化させる必要があるかをあらわしています。したがって、温 泉ではかったお酒の限界代替率は、_{MRS21(¯x, ¯y) = | − ¯x/2¯y| = ¯x/2¯y}となります。

(b)

max

x,y u(x, y) = x²y s.t. 2x + y − 18 = 0

に関して、ラグランジュ法をもちいて最適解をもとめます。ラグランジュ乗数を_λとすると、ラグラン ジュ関数は

L(x, y, λ) = x²y + λ(2x + y − 18)

となります。１階条件を考えて、

0 = ∂L/∂x = 2xy + 2λ 0 = ∂L/∂y = x²+ λ 0 = ∂L/∂λ = 2x + y − 18

これらを_{x, y, λ}についてといて、_(x^∗_{, y}^∗_{) = (6, 6)}を得ます。 (c)

max

x,y

u(x, y) = x²y s.t. 2x + y − 18 = 0, x − 7 = 0

に関して、ラグランジュ法をもちいて最適解をもとめます。ラグランジュ乗数を_{λ, µ}とすると、ラグ ランジュ関数は

L(x, y, λ, µ) = x²y + λ(2x + y − 18) + µ(x − 7)

となります。１階条件を考えて、

0 = ∂L/∂x = 2xy + 2λ + µ 0 = ∂L/∂y = x²+ λ 0 = ∂L/∂λ = 2x + y − 18 0 = ∂L/∂µ = x − 7

これらを_{x, y, λµ}についてといて、_(x^∗_{, y}^∗_{) = (7, 4)}を得ます。

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