宿題4 数理統計 2016 S1・S2 Kengo Kato

2016.5.12. 出題：加藤賢悟 数理統計 宿題 4

• 提出期限：5/19の講義終了時．

問題

記号は講義で用いたものに従うとする．以下，(Ω, F, P )を確率空間とする．

1. (X, Y )を2次元の連続型確率ベクトルとする．また，g : R² → RをE[g(X, Y )²] < ∞ をみたす関数とし，_{h : R → R}をE[h(X)²] < ∞をみたす関数とする．このとき，

E[h(X){g(X, Y ) − E[g(X, Y ) | X]}] = 0 を示せ．

2. (a) X ∼ t(m)とする．このとき，0 < r < mに対して，E[|X|^r] < ∞であり，r ≥ m に対して，E[|X|^r] = ∞となることを示せ．(b) f_nを自由度nのt分布の密度関数と

し，φをN (0, 1)の密度関数とする．スターリングの公式は認めて，n → ∞のとき，各

x ∈ Rに対して，f_n(x) → φ(x)を示せ．

3. fをR上の密度関数とし，X₁, . . . , X_n ∼ f i.i.d.とする．また，X₍₁₎ ≤ · · · ≤ X_(n)を 順序統計量とする．このとき，(X₍₁₎, . . . , X_(n))は同時密度

g(x₁, . . . , x_n) = n!f (x₁) · · · f (x_n), x₁ < · · · < x_n をもつことを示せ．

4. Xn, Ynをr.v.’sとし，cを定数とする．

(a) X_n→ c^d ならX_n→ c^P となることを示せ．

(b) Xn→ X, Y^d n→ c^P とする．このとき，YnXn→ cX^d を示せ． 5. u ∈ (0, 1)に対して，

ρ_u(x) = {u − I(x ≤ 0)}x

をチェック関数と呼ぶ．例えば，u = 1/2なら，ρ_1/2(x) = |x|/2である．このとき， x, y ∈ R^{に対して，}

ρ_u(x − y) − ρ_u(x) = −y{u − I(x ≤ 0)} + y

∫ 1 0

{I(x ≤ ys) − I(x ≤ 0)}ds を示せ．

1

6. X1, . . . , Xnをr.v.’sとし，Fn(x) = n^−1∑n_i=1I(Xi ≤ x)とおく．Fnは 経験分布関数 と呼ばれる．F_nの分位点関数をF_n^←(u)とする：

F_n^←(u) = inf{x ∈ R : Fn(x) ≥ u}, u ∈ (0, 1). F_n^←(u)を 標本u分位点 と呼ぶ．

(a) X₁, . . . , X_nにタイはないとし，X₍₁₎ < · · · < X_(n)を順序統計量とする．このと き，F_n^←(u)を順序統計量を用いて表現せよ．

(b) u ∈ (0, 1)に対して，F_n^←(u)は最小化問題

minx∈R

∑n i=1

ρ_u(X_i− x)

の最適解であることを示せ．

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