數學建模馬可夫鍊模型之基因遺傳ppt 最新協作平台活動 衛道中學程式設計 數學建模馬氏鏈模型之基因遺傳

第十二章 馬氏鏈模型

12.1 _{健康与疾病}

12.2 _{钢琴销售的存贮策略}

12.3 _基因遗传

12.4 _等级结构

12.5 _资金流通

馬氏鏈模型

•系統在每個時期所處的狀態是隨機的 .

•從一時期到下時期的狀態按一定概率轉移 .

•下時期狀態只取決於本時期狀態和轉移概 率 . 已知現在，將來與過去無關（無後效

性）

描述一類重要的_隨機動態系統 ( 過程 ) 的模 型 .

馬氏鏈 (Markov Chain)

—— 時間、狀態均為離散的隨機轉移過程

通過有實際背景的例子介紹馬氏鏈的基本概念和性 質 .

例 1. 人的健康狀況分為健康和疾病兩種狀態，設對 特定年齡段的人，今年健康、明年保持健康狀態的 概率為 0.8, 而今年患病、明年轉為健康狀態的概率 為 0.7.

12.1 健康與疾病

人的健康狀態隨著時間的推移會隨機地發生轉變 . 保險公司要對投保人未來的健康狀態作出估計 , 以 制訂保險金和理賠金的數額 .

若某人投保時健康 , 問 10 年後他仍處於健康狀態的 概率 .

, 1 , 0 ,

2 , 1 ,

),

( ₁    

P X _ j X i i j n

p_{ij n n}

转移概率

X_{n+1 只取決於 Xn 和 pij}, _{與 Xn-1}, … 無關

8 .

11 ^0

p

_p

_{ 1  p}

_{ 0 . 2}

7

.

21

^ 0

p

_{ 1 }

_{ 0 . 3}





年年年 年

年年年 年年 年

n X_n n

, 2

, 1

, 1 , 0 ,

2 , 1

), (

) (







 n i

i X

P n

a_{i n}

状态概率

狀態與狀態轉移

狀態轉移具

有無後效性 ^{1 1 11 2 21}

)

(

)

(

)

1

( n a n p a n p

a   

0.8 0.2 0.3

0.7

22 2

12 1

2

^{( n 1 ) a ( n ) p a ( n ) p}

a   

1 2

n0

a₂(n) 0 a₁(n) 1

設投保 時健康

給定 a(0), 預 測 a(n),n=1,2,

…

設投保

時疾病 _a

2(n) 1 a₁(n) 0

n 時狀態概率趨於穩定值 , 穩定值與初始狀態無 關 .

 















22 2

12 1

2

21 2

11 1

1

)

(

)

(

)

1

(

)

(

)

(

)

1

(

p n

a p

n a

n a

p n

a p

n a

n a

3…

0.778… 0.222…

∞ 7/9 2/9

0.7 0.77 0.777… 0.3 0.23 0.223…

7/9 2/9

狀態與狀態轉移

1 0.8 0.2

2 0.78 0.22

0.8 0.2 0.3

1 0.7 2

1 ² 3 ^0.1

0.02 1

0.8 0.18 0.25

0.65

例 2. 健康和疾病狀態同上， X_n=1~ _{健康 ,Xn}=2~ _疾 病

33 3

23 2

13 1

3

32 3

22 2

12 1

2

31 3

21 2

11 1

1

)

(

)

(

)

(

)

1

(

)

(

)

(

)

(

)

1

(

)

(

)

(

)

(

)

1

(

p

n

a

p

n

a

p

n

a

n

a

p

n

a

p

n

a

p

n

a

n

a

p

n

a

p

n

a

p

n

a

n

a

























p₁₁=0.8,p₁₂=0.18,p₁₃=0.02 死亡為第 3 種狀態，記 X_n=3

健康與疾

病

p₂₁=0.65,p₂₂=0.25,p₂₃=0.1 p₃₁=0,p₃₂=0,p₃₃=1

n0 1 2 3

a₂(n) 0 0.18 0.189 0.1835 

a₃(n) 0 0.02 0.054 0.0880 

a₁(n) 1 0.8 0.757 0.7285

設投保時處於健康狀態，預測 a(n),n=1,2,

…

•不論初始狀態如何，最終都要轉到狀態 3 ；

•_{一旦 a1}(k)=a₂(k)=0,a₃(k)=1, 則對於 n>k,a₁⁽ⁿ⁾⁼⁰ ， a₂(n)=0,a₃(n)=1, 即從狀態 3 不會轉移到其他狀 態 .

狀態與狀態轉移

0 0

1 50  ∞

0.1293 0.0326  0.8381 



, , , , ,

), (

) (

1 0 2

1 







n k i

i X

P n

a_{i n}

状态概率

), (X ₁ j X i P

p_ij  _n  _n  转移概率

) ,

, (

, ,

,2  0 1 

1 

 k n X_n

状态

馬氏鏈的基本方程

1 )

(

1





n

k a

i ⁱ

k i

p

p ^k

j ^ij

ij ^{0, 1, 1,2, ,}

1









_



）

（非负，行和为

转移概率矩阵

1

~

}

{ p

P 

P

n

a

n

a (  1 )  ( )

k

i

p

n

a

n

a

j ^{j ji}

i

^{( 1 ) ( ) , 1 , 2 , ,}

1







 _



基本方程

状态概率向量

~

))

(

,

),

(

),

(

(

)

( n a

n a

n a n

a  

P

a

n

a ( )  ( 0 )

w wP

w

_满足 

馬氏鏈的兩個重要類型

1. _正則鏈 ~ 從任一狀態出發經有限次轉移 能以正概率到達另外任一狀態 ( 如例 1) .

0

, 



 N P

正则链

P

n

a

n

a (  1 )  ( )

)

(

)

(

,   



 w a n w n

正则链



 





3 . 0 7 . 0

2 . 0 8 . . 0

年 1 P

) 9 / 2 , 9 / 7 ( w 

2 2

1

1 2

1

3

.

0

2

.

0

7

.

0

8

.

0

w w

w

w w

w









1

1



 k i

wi

w_满足

^w

^{ w}

^{ 1}

2 1

^{0 . 7}

2

.

0

 

 



 

Q

R

P I

⁰

馬氏鏈的兩個重要類型

2. _吸收鏈 ~ 存在吸收狀態（一旦到達就不會離 開

的狀態 i, p_ii⁼¹ ） , 且從任一非吸收狀態出發經 有

限次轉移能以正概率到達吸收狀態 ( 如例 2). 有 r 個吸收狀態的吸收

鏈的轉移概率陣_標準形 式

R _有非 零元素













0

)

(

s

Q

Q

I

M

e (1,1,,1)

Me y

y y

y ( ₁, ₂,, _{k r}) 

y_i~ 從第 i 個非吸收狀態出發，被某個吸收狀 態吸收前的平均轉移次數 .

12.2 鋼琴銷售的存貯策略

鋼琴銷售量很小，商店的庫存量不大以免積壓資 金 . 一家商店根據經驗估計，平均每週的鋼琴需求為 1 架 .存貯策略：每週末檢查庫存量，僅當庫存量為零時

，才訂購 3 架供下周銷售；否則，不訂購 .

•估計在這種策略下失去銷售機會的可能性有多 大 ?

以及每週的平均銷售量是多少 ?

背景與問

題

問題分析

顧客的到來相互獨立，需求量近似服從泊松分佈， 其參數由需求均值為每週 1 架確定，由此計算需求 概率 .存貯策略是週末庫存量為零時訂購 3 _{架週末的庫} 存量可能是 0, 1, 2, 3 ，周初的庫存量可能是 1, 2, 3. 用馬氏鏈描述不同需求導致的周初庫存狀態的變 化 .動態過程中每週銷售量不同，失去銷售機會（需求 超過庫存）的概率不同 .

可按穩態情況（時間充分長以後）計算失去銷售機 會的概率和每週的平均銷售量 .

模型假設

鋼琴每週需求量服從泊松分佈，平均每週 1 _{架 .} 存貯策略：當週末庫存量為零時，訂購 3 架， 周初到貨；否則，不訂購 .

以每週初的庫存量作為狀態變量，狀態轉移具 有無後效性 .

在穩態情況下計算失去銷售機會的概率和每週 的平均銷售量 , 作為該存貯策略的評價指標 .

模型建立

_{P D (}

_{  k ) e / ! (}

_{k k  0,1, 2, ) L}

S_n~ 第 n 周初庫存量 ( 狀態變 量 )_狀態轉

移規律 _^







 



n n

n n

n n

n D S

S D

D S S

, 3

,

1

368 .

0 )

0 (

) 1 1

( ₁

11 ^{P S}n ^{ S}n ^{ P D}n ^{ }

p

0 )

1 2

( ₁

12 ^{P S}n ^{ S}n ^{ }

p

632 .

0 )

1 (

) 1 3

( ₁

13 ^{P S}n ^{ S}n ^{ P D}n ^{ }

p

} 3 , 2 , 1 {

n  S

D_n0 1 2 3 >3 P0.368 0.368 0.184 0.061 0.019



















448 . 0 368 . 0 184 . 0

264 . 0 368 . 0 368 . 0

632 . 0 0

368 . 0



















33 32

31

23 22

21

13 12

11

p p

p

p p

p

p p

p P

狀態轉移 陣

448 .

0 )

3 (

) 0 (

) 3 3

( ₁

33 ^{P S}n ^{ S}n ^{ P D}n ^{  P D}n ^{ }

p

… …

模型建立

P

n

a

n

a (  1 )  ( )

3 , 2 , 1 ),

( )

(n P S i i 

a_{i n}

狀態概率

) 452 .

0 , 263 .

0 , 285 .

0 ( )

, ,

( _{1 2 3} 

 w w w w

馬氏鏈的基本方程



















448 . 0 368 . 0 184 . 0

264 . 0 368 . 0 368 . 0

632 . 0 0

368 . 0 P

正則鏈 穩態概率分佈 w _{滿足 wP=w}

已知初始狀態，可預測第 n 周初庫存量 S_n=i _的概率

0

, 



 N P

正则链 ^P

^{ 0}

n, _狀態概率 ^{a(n) (0.285,0.263,0.452)}

第 n 周失去銷售機會的概

率

P ( D

 S

)

時 S_n i w_i P(  ) 

模型求解













 0 . 264 0 . 285 0 . 080 0 . 263 0 . 019 0 . 452

從 長 期 看 ， 失 去 銷 售 機 會 的 可 能 性 大 約 10%.

1. 估計失去銷售機會的可能性

)

(

)

3

(

1

i S

P i S

i D

P _n

i

n

n

^{  }

 _



D 0 1 2 3 >3

P0.368 0.368 0.184 0.061 0.019

3 2

1

^{( 2 ) ( 3 )}

)

1

( D w P D w P D w

P     



)

452

.

0

,

263

.

0

,

285

.

0

 (

存貯策略的評價指標

0.105

模型求解

第 n 周 平均售 量

]

)

,

(

[

3

1 1

 







i

n n

i j

n

^{j P D j S i}

R















452 .

0 977 .

0

263 .

0 896 .

0 285

. 0 632 .

0

) (

] ) (

) (

[

3

1 1

i S

P i

S i D

iP i

S j D

P

j _n

i

n n

n n

i j















_{ }

 

從長期看，每週的平均銷售量為 0.857( _{架 )}

n _充分大 時 S_n i w_i P(  ) 

需求不超過存量 , 需求被 售

需求超過存量 , 存量被 售

思考：為什麼每週的平均銷售量略小於平均需求 量 ?

2. 估計每週的平均銷售

量 iP(D_n  i, S_n i) 存貯策略的評價指標

每週平均需求量 1 架

0.857

敏感性分 析

當平均需求在每週 1 ( _{架 ) 附} 近波動時，最終結果有多大變 設 D_n 服從均 化。

值^{的泊松分} 佈

( _n ) ^ke / !, ( 0,1, 2, ) P D _ k _

_

2 2

e 0 1 e

e e 1 (1 )e

e / 2 e 1 ( / 2)e P

 

  

  

 

   

 

  

  

� _ �

� �

 _�   _�

� _{ } �

� �

狀態轉移 陣

 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2

P 0.073 0.089 0.105 0.122 0.139

第 n 周 (n 充分大 ) 失去銷售機會的 概率

) (D_n S_n P

P  

當平均需求 (=1.0) 增長 ( 或減少 )10% _時，

失去銷售機會的概率 P 將增長 ( 或減少 ) _{約 15%}.

鋼琴銷售的存貯策略

存貯策略 ( 週末庫存為 0 則訂購 3 架 , 否則不訂購 ) 已定 , 計算_兩個指標 ( 失去銷售的概率和每週平均 銷售量 ).

給出其他存貯策略 ( 如週末庫存為 0 _{或 1 則訂購使} 下周初庫存為 3 架 , 否則不訂購 ), 討論這兩個指標 ( 習題 1).

動態隨機存貯策略是馬氏鏈的典型應用 _.

關鍵是在無後效性的前提下恰當地定義系統的_狀 態變量 ( 本例是每週初的庫存量 ).

12.3 基因遺

背景

傳

定 .•_{基因分優勢基因 d 和劣勢基因 r 兩種 .}

•每種外部表徵由兩個基因決定 , 每個基 因

可以是 d, r 中的任一個 . 形成 3 種基因類 型：

dd~ 優種 D,dr~ 混種 H,rr~ 劣種 R.

•基因類型為優種和混種 , 外部表徵呈_優勢

；

基因類型為劣種 , 外部表徵呈_劣勢 .

•生物繁殖時後代隨機地（等概率地）繼承 父、母的各一個基因，形成它的兩個基因 . 父母的基因類型決定後代基因類型的概率 .

完全

優勢

基因

遺傳

父母基因類型決定後代各種基因類型的概率

父母基因類型組合 後代各種

基因類型 的概率

DD RR _DH DR HH _HR

D

R H

1 0 0

0 0 1

1 / 2 1 / 2

0

0 1 0

1 / 4 1 / 2 1 / 4

0 1 / 2 1 / 2

3 種基因類型： dd~ 優種 D,dr~ 混種 H,rr~ 劣 種 R

完全優勢基因遺傳

P(DDH)=P(dddd,dr)=P(ddd)P(ddr) P(RHH)=P(rrdr,dr)=P(rdr)P(rdr)

=11/2=1/2

=1/21/2=1/4

隨機繁殖

•設群體中雄性、雌性的比例相等， 基因類型的分佈相同 ( 記作 D:H:R).

•每一雄性個體以 D:H:R 的概率與一雌性個 體

交配，其後代隨機地繼承它們的各一個基 因 .

•設初始一代基因類型比例 D:H:R=a:2b:c

（ a+2b+c=1), 記 p=a+b, q=b+c, 則群體中優 勢

基因和劣勢基因比例 d:r=p:q(p+q=1). 假設

建模 狀態 X_n^{=1,2,3 ~} 第 n 代的一個體屬於 D, H, R狀態概率 a_i^{(n) ~} 第 n 代的一個體屬於狀 態 i(=1,2,3) 的概率 .

討論基因類型的演變情 況

)) (

) (

(X ₁ j _{后代基因类型} X i _{父基因类型} P

p_ij  _n  _n 

p dd

X dd

X P

p₁₁  ( _n1 1(_后代为 ) _n _（父为1 _）) 

基因比例 d:r=p:q

q dd

X dr

X P

p₁₂  ( _n1 2(_后代为 ) _n _（父为1 _）)  0 )

1 )

( 3 ( ₁

13 ^{P X}  ^{ 后代为rr X （父为dd）}

p _{n n}

2 / 2

/ 1 )

2 )

( 1 ( ₁

21 ^{P X dd X dr p p}

p  _n  _{后代为 n} _{（父为 ）}  

2 / 1 2

/ 1 2

/ 1

) 2

) (

2 ( ₁

22















 _

q p

dr X

dr X

P p

n n

）

（父为

后代为

 







 









q

p

q

p

q

p

P

0

2

/

2

/

1

2

/

0

轉移概率矩陣 狀態轉移概率

隨機繁殖





)

,

2

,

(

)

1

(

)

2

(

)

,

2

,

(

)

0

(

)

1

(

2 2

2 2

q pq p

P a

a

q pq p

P a

a









1 2

,















c b

a

c b

q b a

p

馬氏鏈模型

^{a ( n  1 )  a ( n ) P , n  0 , 1 , }

, 2 , ( )

0

( a b c

a 



















q p

q p

q p

P

0

2 / 2

/ 1 2

/

0

)

,

2

,

(

)

0

( w wP p

pq q

a _{任意，稳态分布}  

自然界中通常 p=q=1/2 穩態分佈

D:H:R=1/4:1/2:1/4

基因類型為 D 和 H, 優勢表徵——綠色

，

基因類型為 R, 劣勢表徵——黃色 . 解釋“豆科植物的莖，綠色 : 黃色

=3:1”

(D+H):R=3:1

隨機繁殖

近親 繁殖

在一對父母的大量後代中 , 雄雌隨機配對繁 殖，討論一系列後代的基因類型的演變過程

。 狀態定義為配對的基因類型組 X_n=1,2,3,4,5,6~ 配對基因組合為合

DD,RR,DH,DR,HH,HR_{狀態轉移概率}

1 )

' '

' '

( ₁

11







 _

DD X

DD X

P p

n n

4 / 1 2

/ 1 2 / 1

) ' '

' '

( ₁

31











 _

DH X

DD X

P p

n n



























2 / 1 4

/ 1 0

0 4

/ 1 0

4 / 1 4

/ 1 8

/ 1 4

/ 1 16 / 1 16 / 1

0 1

0 0

0 0

0 4

/ 1 0

2 / 1 0

4 / 1

0 0

0 0

1 0

0 0

0 0

0 1

P 馬氏鏈模型

T

Me

y _



 





 6

4 5 3 , 5 2 3 , 6 2 6 , 4 5





















 ^

3 / 8 3

/ 4 6

/ 1 3

/ 2

3 / 4 3

/ 8 3

/ 1 3

/ 4

3 / 4 3

/ 8 3

/ 4 3

/ 4

3 / 2 3

/ 4 6

/ 1 3

/ 8 )

(I Q ¹ M



























2 / 1 4 / 1 0

0 4

/ 1 0

4 / 1 4 / 1 8 / 1 4 / 1 16 / 1 16 / 1

0 1

0 0

0 0

0 4 / 1 0

2 / 1 0

4 / 1

0 0

0 0

1 0

0 0

0 0

0 1

P

I 0

R ^Q

狀態 1(DD), 2(RR) 是吸收 態，馬氏鏈是吸收鏈_—— 不論初始如何，經若干代 近親繁殖，將全變為優種 或劣種 ._{計算從任一非吸收}

態出發，平均經過 幾代被吸收態吸收 . 純種 ( 優種和劣種 ) 的某些品質不如混 種，近親繁殖下大 約 5~6 代就需重新 選種 ^.

近親繁殖

12.4 等級結

社會系統中需要適當且穩定的等級結

構

構 ._{• 描述等級結構的演變過程，預測未來的結} 構 .•確定為達到某個理想結構應採取的策略 _. 引起等級結構變化的因素：

•系統內部等級間的_{轉移：提升和降級 .}

•系統內外的_交流：調入和退出 ( 退休、調離 用馬氏鏈模型描述確定性的轉移問題 ( 將轉等 ). 移比例視為概率 ).

年总人数 t

t n t

N ^k

i







1

) ( )

(

) (

) ) (

( N t t t n

a_i  ⁱ

基本模 型

1 )

( ,

0 )

(

1





_



t a t

a ^k

i ⁱ

a(t)~ _等級結 i

構

等級 i=1,2,,k （如助教、講師、教 授）數量分佈 n(t)=(n₁^(t),n₂^{(t), ,n}_k^(t))

n_i(t) ~t 年屬於等級 i 的人數， t=0,1, 比例分佈 a(t)=(a₁^(t),a₂^{(t), ,a}_k^(t))

轉移矩陣 Q={p_ij^}_kk^,pij 是每年從 i 轉至 j 的比例

) ,

, ,

(r₁ r₂ r_k

r  

调入比例

T 1

( ) ^k _{i i}( ) ( ) ~

i

W t w n t n t w t





_�

退出的比例

每年从

，

退出比例

^{ (}

^,

^{,  ,}

⁾

^~

基本模 型

k

i

w

p

w

p

k j

i

ij

^{1 , , 0 , 1 ,  ,}

1







 



的人数

年调入

年调入总人数， ^{r R t t i}

t

t

R ( ) ~

( ) ~

r_i~ 每年調入 i 的比例 ( 在總調入人 數中 )

1 ,

0

1





_

 k i

i

i ^r

r

p_ij~ 每年從 i 轉至 j 的比例

)

(

)

(

)

(

)

1

( t N t R t W t

N    

总人数

)

(

)

(

)

1

(

1

t

R

r

t

n

p

t

n

j

i ^{ij i j}

j









人数 

等级

基本模 型

1

1

1 1













 k

j ^{ij i}

k

i ⁱ

w p

r

)

(t



r

t

R

Q

t

n

t

n (  1 )  ( )  ( )

( ) ( ) ( ) ( ) T ( ) R t _W t _ M t _ n t w _ M t

)

(

)

1

(

)

( t N t N t

M   

总人数增量

( 1) ( )( T ) ( ) n t _{ } n t Q w r_{ } M t r

) ( ,

) ( ,

} {

) ( ) (

t R r

t W w

p Q

t N t n

ij

调入 退出 转移 总人数

分布



~

)

(

),

0

(

),

(

,

,

, w r M t n n t

Q _可预测

已知



r

w

Q

P  

n ( t  1 )  n ( t ) P  M ( t ) r

基本模 型

( 1) ( )( T ) ( ) n t _{ } n t Q w r_{ } M t r

1

,

1

},

{

1 1







 _{ }





k

i ⁱ

k

j ^{ij i}

ij ^{p w r}

p

Q （随机矩阵）

的行和为1 P

0

)

(

)

1

(

)

( t  N t   N t 

若总人数不变 M

( 1) ( ) ( )(

)

a t _{ } a t P _ a t Q w r _

等级结构

一致

与马氏链基本方程 ^{a ( n  1 )  a ( n ) P}

等級結構 a(t) ~ 狀態概 率

P~ 轉移概率矩 陣

T

1

( )

( , , )_k . r a a Q w r

a a a

 

 ^L 若存在使，

称为稳定结构 ^

^

k

i ⁱ

i ^r

r r

1

1 ,

应满足 0

用調入比例進行穩定控制

P _{ }Q w rT

P

t

a

t

a (  1 )  ( )

1 },

{

1







_

 k

j ^{ij i}

ij ^{p w}

p Q

問題：給定 Q, 哪些等級結構 可以用合適的調入比例保持 不變

( T )

a a Q w r_{ }

_

 k 

i ⁱ

r

1

可验证 1

0





 aQ r

a

T

r a aQ aw

 

a 為穩定結 構

为稳定结构

aQ a

 



















8 . 0 0

0

3 . 0 6

. 0 0

0 4

. 0 5

. 0 Q

用調入比例進行穩定控

制





















3 2

3

2 1

2

1 1

8 . 0 3

. 0

6 . 0 4

. 0

5 . 0

a a

a

a a

a

a a

aQ a

求穩定結構 a=(a₁,a₂,a₃) (a₁+a₂+a₃=1)

(0.5,0.5,0)

a₂=a₁ a₃=1.5a₂

(0,0.4,0.6)

5 . 1 : 1 : 1 :

:

: 5

. 1

3 2

1

2 3

1 2







a a

a

a a

a

a _{与 交点}

a^*

B (0,0,1)

(0,1,0)

(1,0,0)

A 例大學教師 ( 助教、講師、教

授 ) 等級 i=1,2,3 ，已知每年轉 移比例

) 428 .

0 , 286 .

0 , 286 .

0

* ( a 

 







2 3

1 2

5

.

1 a

a

a

a

穩定域 B

) , ,

, ,

(0 1 0

1









_

 i

i k

i

i

e

e r 记 r







k j

ij i

ik i

i i

m i

M

m m

m m

i M

1 2

1^{, , , )}

( 行元素和 的第

记

行 的第

记 ^

i k

i

k

i ⁱ

i

i

^{e M r m}

r

rM _{ }

 





1 1

用調入比例進行穩定控制

研究穩定域 B 的結

構 _{a  (aw rM}T₎

为稳定结构

aQ a

 

尋求 aaQ 的另一種形

T 式

( )

a a Q w r_{ }

r ^{a aQ}

aw

 

) 1

(  ^

 I Q M

( T)

a _ aw rM 对行求和

T 1

1

( ^k _{i i} )

i

aw r _ ^





_{� }





 _k i

i i k

i

i i

r m r a

1 1



用調入比例進行穩定控制





i ^{i i}

s

b

a

1

0 0  

 _i

i ^b

r

.

1

,

0

1

是稳定结构

时

且

的线性组合，

为系数的

能表为以

当

a b

b

s b

a

k i

i i

i i







穩定域 B 是 k 維空間中以 s_i ^{為頂點的凸多} 面體

研究穩定域 B 的結 構



 _k

j

j j

i i i

r b r

1





i i i

s m

 





k i

bi 1

可验证 1









i

i i

k i

i i

r

m

r

a

1 1

