内生性バイアスと操作変数法 計量経済学 鹿野研究室 note23

担当：鹿野（大阪府立大学）

2013 年度後期

はじめに

前回の復習

 説明変数の内生性：内生性バイアス_{⇒ OLS}が一致推定量でなくなる。

 内生性が起こる例：観測不可能な個体差、同時方程式モデル。

今回学ぶこと

 操作変数法（_IV）。

 二段階最小₂乗法（_2SLS）。

 テキスト該当箇所：_10.4、_10.5章。

1 ^{操作変数法}

1.1 ^{操作変数とは？}

 内生性バイアス（講義ノート_#20）：回帰モデル

Yi = α + βXi+ ui (1)

の_OLS推定量は、漸近的に

plim ˆβ = β +^Cov(Xi,ui)

Var(X_i) ^{. (2)}

⊲ Xi^{が外生的：}Cov(Xi^,ui) = 0 ⇒ plim ˆβ = β^{。左辺第2項が消える。}

⊲ Xi^{が内生的：}Cov(Xi^,ui)  0 ⇒ plim ˆβ  β^{。 Cov(X}_Var(X^i,ui)

i) ^が発生。

⊲ ∴ X_iが内生変数となる分析では、_OLS推定が通用しない。_⇒別の推定法が必要に。

 内生性バイアスのイメージ（再掲）

(^Xi

)

 ց

共振 ₍

^ Y_i^)?

 ր

(^u_i^)

(3)

1

⊲ ^{回帰モデル右辺の}ui^とXi^{が共振（正確には}Cov(Xi^,ui)  0^）⇒OLS^でXi→ Yi^への

振動が識別できない。

 _Remark：_Xiが内生的であっても、もし次のような変数_Ziが存在すれば、_{Xi→ Yi}への振 動を識別できるのでは？

(^X_i^)

ր  ց

(^Z_i^) ^共振 (^Y_i^)!!

 ր

(^ui

)

(4)

⊲ Z_i^{は に作用し、 には作用しない。∴}Z_iはシステム（回帰モデル）の

外からやってくる 。

⊲ Zi^が、ui^{とは独立な}Xi^{の変動を生む⇒その結果}Xi → Yi^{の変動が識別される！}

 操作変数：次の条件を満たす変数_Ziを、 （instrumental variables^{、 ）と} 呼ぶ。（数字の₄ではない。）

⊲ IV1^：Z_i^はu_i^{に関し （}→ ^）。

E(ui|Zi) = 0

外生性

⇒

⎧

⎪⎪

⎨

⎪⎪

⎩

E(u_{i) = 0} E(uiZi) = 0

直行

⇒ Cov(ui^,Zi) = 0

無相関

. (5)

⊲ IV1^：Xi^はZi^{と 。}

Cov(X_i,Z_i)  0. (6)

⊲ ^操作変数Z_i^がX_i,Y_iと共に観測されるとき、どうすれば推定に生かすことができるか？

1.2 ^{操作変数法（} IV)

 「推定量を構築する」という側面から内生性問題を考えると？

⊲ X_i^が内生的⇒ ^{が成立しない。}

E(ui) = E(Yi− α − βXi)  0 (7) E(u_iX_{i) = E}(Y_i− α − βX_i)X_i  0 (8)

∴モーメント推定₍講義ノート_#19）に使えない。

⊲ ^{一方、条件}IV1^より

E(ui) = E(Yi− α − βXi) = 0, ⁽⁹⁾ E(uiZi) = E^(Yi− α − βXi)Zi= 0. ⁽¹⁰⁾ 理論上、未知の係数_{α, β}は上式を満たす。∴ _Xiと_uiの直行条件に代わり、₍₉₎式・₍₁₀₎ 式に基づくモーメント推定を行えば良い。

 操作変数法；_Ziの直行条件に基づく標本モーメントは 1

n

(Y_i− ˆα − ˆβX_{i) = 0,} ¹ n

(Y_i− ˆα − ˆβX_i)Z_{i= 0.} (11)

上式を解くと（解き方は_OLSと同じ：講義ノート_#06参照）、

ˆβ_IV= ^{(Zi− ¯Z)(Yi− ¯Y)}

(Zi^{− ¯}Z)(Xi^{− ¯}X)^{, αˆIV= ¯Y − ˆβIV}

X.¯ (12)

これを と呼ぶ。

⊲ ^{後々のため、}ˆβIVを次のように変形（講義ノート_#19参照）。 ˆβ_{IV= β +}

1

n ^{(Zi− ¯Z)(ui− ¯u)} 1

n ^{(Zi− ¯Z)(Xi− ¯X)}

= β + ^sZu

s_ZX^{. (13)}

 _IVの一致性：_IV推定量_βˆ_IVは、_βの 。

plim ˆβ_{IV= β.} (14)

⊲ ∴ Xiが内生変数でも、操作変数の条件_IV1、_IV2を満たす_Ziがデータとして観測さ れるならば、_Xiの係数_βの一致推定が可能。

⊲ ^証明：n → ∞のとき、大数の法則（講義ノート_#18）により

plim s_{Zu = Cov(ui},Z_i), plim s_{ZX = Cov(Xi},Z_i). (15)

よって₍₁₃₎式両辺の確率極限をとると、一般的に

plim ˆβ_{IV= β +} ^Cov(ui,Zi)

Cov(Xi^,Zi)^{. (16)}

操作変数の条件_IV1、_IV2が成立すれば

plim ˆβ_{IV= β +}

=0

Cov(u_i,Z_i) Cov(X_i,Z_i)

₀

= β. ⁽¹⁷⁾

 その他、_IVの漸近的性質

⊲ IVも（外生性が成立した場合の）_OLSと同様、漸近的に に従う。

ˆβ_IV∼ N^β,Avar( ˆβIV)^. (18)

⊲

Avar( ˆβ_{IV) =} ^C

nσ²_ZX^{, C = plim} 1 n

(Z_i− ¯Z)²u²_i (19)

は、ホワイトの分散推定（講義ノート_#20）で計算。

⊲ ∴OLSのときと同じやり方で、係数の有意性検定を行えばよい。

2 ^{二段階最小} 2 ^乗法（ 2SLS ^）

2.1 2SLS：操作変数のもう一つの使い方

 構造型：₍₄₎式の模式図を、モデルで表せば

Xi = γ0+ γ1Zi+ vi^, (20)

Yi = α + βXi+ ui^. (21)

これを （こうぞうけい）と言う。誤差_viは、_Ziで説明できない_Xiの変動。

⊲ (20)^式：Z_i^がX_iに作用するパート。条件_IV2より、_{Cov(Zi,Xi)  0 ⇒ γ1}₀。

⊲ (21) 式：回 帰 モ デ ル 本 体 。条 件 _IV1よ り、_{Cov(Zi,ui) = 0}。一 方 _Xi は 内 生 的 で 、 Cov(Xi^,ui)  0^{（コレが諸悪の根源）。}

 _Remark：₍₂₀₎式より、次のロジックが成り立つ。

Cov(Z_i,u_{i) = 0,} Cov(X_i,u_i)  0 ⇒

⎧

⎪⎪

⎨

⎪⎪

⎩

Cov(vi^,ui)  0,

Cov(v_i,Z_{i) = 0} ⁽²²⁾

∴ _Xiと_uiの相関（内生性）の原因は、 の相関。

⊲ ∴ X_iは次のように分解できる。

Xi = γ0+ γ1Zi 外生的

+ ^vi 内生的

= X^e_i + vi^. (23)

Xi^{の変動のうち、}X_i^{eの部分は外生的。}

⊲ Xi^の浄化：(23)^式をOLS^推定し、Zi^によるXi^の予測値X^ˆi^{を作れば、}Xi^の

な変動を抽出できる！

ˆγ_{1 =} ^SXZ

S_ZZ^{, ˆγ0= ¯X − ˆγ1Z¯}

OLS

⇒ X^ˆ_{i= ˆ}γ_{0+ ˆ}γ₁Z_i

外生的な変動

, i = 1.2, . . . , n. ⁽²⁴⁾

 二段階最小₂乗法：まず₍₂₃₎の_OLS推定で_Xiの外生部分_Xˆ_iを求め、次いで_Yiを_Xˆ_iに OLS^{回帰して得られる}

ˆβ2SLS= ^{( ˆXi− ¯X)(Yi− ¯Y)} ( ˆX_i− ¯X)^{2 =}

S_XYˆ

S_{X ˆ}ˆ_X

(25)

を、 （two-stage least squares^{、 ）と呼ぶ。}

⊲ (20)^を(21)^{に代入すれば}

Y_{i= α + β(γ0+ γ1}Z_{i) + ui+ βvi = α + βXi}^e_{+ u}^e_i. (26)

⊲ ^定義上Cov(X_i^e,u^e_{i) = 0}^{。また漸近的に}plim ˆXi = X_i^e。

⊲ ∴Yi^をX^ˆi^{に回帰すれば、}OLSに内生性バイアスが発生しない。

2.2 2SLS と IV の同値性

 _Remark：操作変数_Ziの二つの使い方

⊲ ^{操作変数法}IV^：Z_iを、直接操作変数として使う。_{⇒ ˆβIV}

⊲ ^{二段階最小}2^乗法2SLS^：Zi^を使ってXiの外生的な変動を抽出、その後_OLS推定。

⇒ ˆβ_2SLS

⊲ ^{どちらを使うべきか？}⇒^{答え： 。実は}ˆβ_{IV= ˆ}β_2SLS...^{両者は同値！}

 _{S ˆ}

X ˆX ^とSXY^{ˆ の別表現：2SLS}の分母・分子は次の別表現を持つ。

S_{X ˆ}ˆ_X = ^{, S}_XYˆ = ^{. (27)}

⊲ ^証明：S_{X ˆ}ˆ_X^{に関しては、}(24)式からスタートし、次のように変形。

Xˆi = ¯X − ˆγ1Z + ˆγ^¯ 1Zi = ¯X + ˆγ1(Zi^{− ¯}Z) ⇔ X^ˆi^{− ¯}X = ˆγ1(Zi^{− ¯}Z)

両辺を_{2 乗}

−−−−−−−−−→ ( ˆXi^{− ¯}X)²_{= ˆ}γ₁²(Zi^{− ¯}Z)²

−−−−−−−両辺の和→ ( ˆX_i− ¯X)²

=S_{X ˆ}ˆ_X

= ˆ^γ2₁

(Z_i− ¯Z)²

=SZZ

.

(28)

S_XYˆ ^{の証明⇒宿題}#06^で。

 _2SLSと_IVの同値性：_2SLSと_IVは、計算上同値である。

. (29)

∴どちらを採用しても、結果は同じ。

⊲ ^{統計ソフトでは、}IV^{推定のコマンドが「}2SLS」と表記されることが多い。（_gretl：

「モデル」_→「操作変数法（_IV）」_→「二段階最小₂乗法（_2SLS）」）

⊲ ^証明：(27)^式を2SLS^の(25)式分子・分母に代入し、整理すれば

ˆβ_2SLS= ^ˆγ1SYZ ˆγ²₁SZZ

= Sˆ_YZ ˆγ₁S_ZZ ⁼

S_ZZ S_XZ

S_YZ S_ZZ ⁼

S_YZ

S_XZ ^{= ˆβIV. (30)}

2.3 ^{複数の操作変数による} 2SLS

 もし条件_IV1、_IV2を満たす操作変数が複数（_L個）あったらどうする？

Z_1i,Z_2i, . . .Z_Li, Cov(Z_li,u_{i) = 0}

IV1

, Cov(Z_li,X_i)  0

IV2

. (31)

⊲ 少なくとも一つあれば、_{IV or 2SLS}は実行可能。_⇒どれを使うのが一番良いか？

⊲ 捨てるのはもったいない。

 _Remark：操作変数が複数ある場合、 ですべての操作変数を統合して使える。

⊲ ^第1^{段階：内生的な}X_i^を、Z_1i,Z_2i, . . .Z_Li^に重回帰⇒^{外生的なパート}X^ˆ_i^を作る。

⊲ ^第2^段階：Yi^{を、浄化された}X^ˆi^{に回帰。⇒ ˆβ}2SLS^。

⊲ ^{操作変数の数が ほど、}2SLSの分散は小さくなること（有効性）が知られて いる。（入門レベルを超えるので、証明は省略。）

⊲ 注意：単一操作変数による_IVと、複数の操作変数による_2SLSは、 。

 例：短期雇用に就いた高校新卒者の割合を、失業率（景気）と県民所得に回帰。すべて対 数値。₂₀₁₀年、₄₇都道府県データ。

OLS _IV=2SLS 2SLS

係数 _t値 係数 _t値 係数 _t値 定数項 _{-8.06 -2.99 -9.48 -2.93 -9.29 -2.91} 失業率（内生） _{1.58 3.38 2.07 3.98 2.01 3.84} 県民所得 _{1.98 2.67 2.29 2.63 2.25 2.61}

修正済み_R² _{0.16 0.16 0.16}

操作変数の数 なし _{1 2}

サンプル数_{n 47 47 47}

⊲ 失業率を内生変数と考え、操作変数を当てる。

⊲ IV^：2005^{年の失業率。}

⊲ 2SLS^：2005^年と、2000^{年の失業率。}...^{結果は単一操作変数の}IV^{とさほど変わらず。}

⊲ OLSは、景気の影響を過小評価している可能性。内生性バイアス。

⊲ ^注意： を操作変数に使うのは、少々問題アリ。（ラグ変数も、今 期の_uiと相関している可能性があるため。）

まとめと復習問題

今回のまとめ

 操作変数法（_IV）。内生性が疑われるとき、_OLSに代わる推定法。

 二段階最小₂乗法（_2SLS）。操作変数が一つだけなら、_IVと_2SLSは同値。

復習問題

出席確認用紙に解答し（用紙裏面を用いても良い）、退出時に提出せよ。

1. 2^段階最小2^乗法2SLS^{に関する問い。}

(a) 2SLSの手順を、簡潔に説明せよ。

(b) ^なぜ2SLS^でβの一致推定ができるのか、簡潔に説明せよ。