問： 1
z ( z +3)2
をローラン展開せよ。
[解答] 1 z ( z +3)
2=
1 9 z⋅
1 (1+ z/3)2=
1 z
3⋅
1
(1+3/ z)2 と変形できることを利用する。
(i) |z|<3 の場合 1
z ( z +3)2
= 1 9 z⋅
1 (1+ z/3)2=
1 9 z⋅
[
1− z 3+
(
z 3
)
2
−⋯+
(
− z 3)
n
+⋯
]
2
ここで[ ]の中の２乗を直接計算すると、次数が n になる項は全部で (n+1) 項ある。
1 − z/3 ( z/3)2 −( z /3)3 ⋯
1 1 − z/3 ( z /3)2 −( z /3)3 ⋯
− z /3 − z/3 ( z /3)2 −( z/3)3 ( z /3)4 ⋯
( z /3)2 ( z /3)2 −( z /3)3 ( z /3)4 −( z /3)5 ⋯
−( z/3)3 −( z /3)3 ( z /3)4 −( z/3)5 ( z /3)6 ⋯
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱
これを踏まえると、上記の式は以下のように変形できる。
= 1 9 z⋅
∑
n =0∞
[
( n+1)(
− z3)
n]
= 1 9 z⋅
∑
n =0∞
[
(−3)n+1nzn]
=
∑
n=0
∞
[
(−3 )n+1n+2zn −1]
これが求めるローラン展開である。
(ii) |z|>3 の場合 1
z ( z +3)
2= 1 z
3⋅ 1
(1+3/ z )2= 1 z
3⋅
[
1−3z+
(
3z)
2−⋯+(
−3z)
n+⋯]
2
上記と同様にして
=1 z
3⋅
∑
n =0
∞
[
( n+1)(
−3z)
n]
= 1 z
3⋅
∑
n =0∞
[
(n+1)(−3)n⋅ z−n]
=
∑
n=0
∞
[
( n+1)(−3)n⋅z−(n+3)]
これが求めるローラン展開である。
