最近の更新履歴 九州高等学校理科教育研究会 （ 九高理 ）

導　入　問　題

12．（加速度）次の文の（　）に適当な語句，式を入れよ．

　物体の運動のようすを表すには，速度だけでなく，速度が時間の経過とともにどのように変化し て い く か と い う こ と も 必 要 で あ る． こ こ で， 単 位 時 間（ １ 秒 間 ） あ た り の 速 度 の 変 化 を

（^ア　　　　　　）という．

　一直線上を運動する物体の速度が一様に変化しており，時刻 t¹〔s〕での速度を v¹〔m/s〕，時 刻 t²〔s〕での速度を v²〔m/s〕とする．この間の加速度 a は，速度の変化 vD を時間 tD で割っ たものとなるので

　　a ^v_t D

=D =

と表される．これより，加速度の単位は（^エ　　　　）となる． また，加速度の向きは（^オ　　　　　　）の向きに等しい．

§ ２．等加速度直線運動

【ま　　と　　め】 １．加速度

　　・　　　　加速度＝―――――――　　　　　　　経過時間^{（①　　　　　 ）}…単位時間あたりの速度の変化 　　　平均の加速度 a

t t

v v

2 1

2 1

= -

- 〔m/s²〕 　　　瞬間の加速度a^{= D}_D^v_t 〔m/s²〕

２．等加速度直線運動

　　　一直線上を一定の加速度で進む運動 　　　初速度v⁰，一定の加速度 a のとき，

　　　時刻 t における速度　v =（^②　　　　　　） 　　　時刻 t における変位　x =（^③　　　　　　　） 　　　　　　　^{v v}

2 0

2

- =（^④　　　　） 　　　　　　　v⁰：初速度〔m/s〕

　　　　　　 　a：加速度〔m/s²〕

　　　　　　 　v：時刻 t における速度〔m/s〕 　　　　　　 　x：時刻 t における変位〔m〕 　　　　　　 　 t：時刻〔s〕

■解答　　①速度の変化　　②v^{0+a t}　　③v t^{0 +}₂^{1a t2}　　④ x^2a

t=t1 t=t2

v1 v2

O t=0

O a t

v0 v

x

0 ^t 　時刻 v0

v

速度 _{きは加速度を表す}

｝

面積は変位を表す

（^イ　　　　　）

（^ウ　　　　　）

13．（等加速度直線運動）次の文の（　）に適当な 語句，式を入れよ．

　図１はなめらかな斜面を初速度０〔m/s〕ですべ り下りる小球の一定時間毎の位置を示したものであ

る．各区間で平均の速度を求めると，単位時間あたりの（^ア　　　　　　）すなわち加速度が一定 であることがわかる．このように，一直線上を一定の加速度で進む運動を（^イ　　　　　　　　　） という．

　いま，時刻０〔s〕に初速度０〔m/s〕ですべり出し，一定の加速度 a〔m/s²〕（＞０）の直線運 動をする物体がある．

　この物体の時刻 t〔s〕における速度 v〔m/s〕とすると， 　　　　v ＝（^ウ　　　　　）

となり，この式から v − t グラフを描くと，図２のような直線になる． 時刻０〔s〕の位置から時刻 t〔s〕における変位 x〔m〕は，v − t グ ラフと t 軸で囲まれる部分の面積に等しく，

　　　　x ＝（^エ　　　　　） となる．

x 図１

図２ 0

0 ^〔s〕

〔m/s〕 図１

図２ 0

x

0 ^{t t 〔s〕} v

v_〔m/s〕

　ガリレオ・ガリレイは，ゆるやかな斜面を転がり下りる球 の運動を詳しく調べた結果，転がり始めてからの単位時間毎 に進む距離が，1：3：5：7……と増えていることを見いだ した．このことをもとにした考察により，この運動は，球の 速さ（平均の速さ）が，転がり始めてからの時間に比例する 運動であることを明らかにした．

　このことを図に表すと，右のようになる．

　図中の長方形 1 個の面積が 0 〜 t の平均の速さで進んだ距 離に相当すると考えると，以後同じ時間の間に進む距離が，

0 〜 t の 3 倍，5 倍，7 倍……と増えていくことから，速さが転がり始めてからの時間に比例 して増えていくことがわかる．

　また，長方形の累積数を調べると，1 ＝ 1²，1 ＋ 3 ＝ 4 ＝ 2²，1 ＋ 3 ＋ 5 ＝ 9 ＝ 3²，1 ＋ 3 ＋ 5 ＋ 7 ＝ 16 ＝ 4²と増えていくことから，転がり始めてからの進んだ距離は，転がり始 めてからの時間の 2 乗に比例して増えていることもわかる．

【コラム】

P O

A 1 3 5 7

経過時間 B

C C'

B' A'

D t

2t

3t

4t D'

線分AA'の長さは， 時刻 t における速さ に相当する 線分APの長さは， 0〜 t の平均の速 さに相当する

練 習 問 題 A

14．（平均の速さ・平均の加速度とグラフ）直線運動をしている物体の時刻と位置の関係が下の表 のようになっている．

　⑴　下の表の空欄をうめよ．

　⑵　位置−時刻，速さ−時刻，加速度−時刻のグラフをかけ．

　⑶　⑵のグラフをもとに，位置 x〔m〕と時刻 t〔s〕，速さ v〔m/s〕と時刻 t〔s〕の関係式をそれ ぞれ書け．

時刻〔s〕 位置〔m〕 ^{平均の加速度}_〔m/s2_〕

0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0

0 0.10 0.40 0.90 1.60 2.50

位置の変化

〔m〕 ^{平均の速さ}〔m/s〕

ア イ ウ エ オ

キ

1.0 3.0 5.0 7.0 9.0

2.0 4.0 6.0 8.0 中央時刻〔s〕 ^{平均の速さの}変化〔m/s〕

ス

タ

中央時刻〔s〕

0

位置〔m〕

時刻〔s〕 ⁰

速さ〔m/s〕

時刻〔s〕 ⁰

加速度〔m/s²〕

時刻〔s〕

15．（v − t グラフ）次の文中の（　）に適当な語句，式を入れよ． 　ある物体の初速度をv⁰，加速度を a，時刻 t の速度を v とし て，これを速度−時刻のグラフに表すと右図のようになった． ここで加速度は右図のグラフの（^ア　　　　　　）で表される． 時刻 t の速度 v は加速度 a を用いて v ＝（^イ　　　　　　）

………①と表される．

　また，図の斜線の部分の面積を x とすると， x は時刻０か

ら t の間の（^ウ　　　　　　　）を表し， x ＝（^エ　　　　　　）……②と表される．

　①，②の式から t を消去すると（^オ　　　　　　）……③が得られる．これら①，②，③の３式 は等加速度直線運動での重要な式である．

16．（加速度）次の各場合の物体の加速度は何 m/s²か．ただし，初速度（または運動）の向きを 正の向きとし，すべて等加速度直線運動とする．

　⑴　静止していた物体が動き出してから，2.0 秒後に 6.0m/s の速さになった． 　⑵　最初 2.0m/s で走っていた物体が 3.0 秒後には同じ向きに 5.0m/s となった． 　⑶　自動車が動き出してから，3.0 秒間に 18m 進んだ．

　⑷　10m/s の速さで進んでいた電車がブレーキをかけてから，20m 進んで止まった． 　⑸　8.0m/s の速さで進んでいた物体が，9.0m 進んで同じ向きに 10m/s の速さになった． 　⑹　10m/s の速さで進んでいた物体が，この後 2.0 秒間に同じ向きに 26m 進んだ．

17．（等加速度直線運動）車がスタートしてから 250m 進むのに，50 秒かかった．このときの加速 度が一定であったとして次の問いに答えよ．

⑴　この車の加速度の大きさは何 m/s^２か．

⑵　250m 進んだときの速さは何 m/s か．

⑶　車の速さが 20m/s になるのは，スタートしてから何秒後か．また，この間に動いた距離は 何 m か．

v

0 ^t 時刻

v₀

速度

18．（v − t グラフ）直線上を右向きに運動しはじめた物体の速度 v と，時刻 t との関係を示すグ ラフが図１のようになった．右向きを正として，下の問いに答えよ．

⑴　AB，BC，CD 間の運動をそれぞれ何というか．

⑵　AB，BC，CD 間の加速度をそれぞれ求めよ．

⑶　加速度 a を縦軸に，時刻 t を横軸にとったグラフを図 2 にかけ．

⑷　10 秒間に移動した距離は何ｍか．

⑸　AB，BC 間について，出発点からの移動距離 x を縦軸に，時刻 t を横軸にとったグラフを 図３にかけ．

19．（平均の速さと瞬間の速さ）直線運動している物体の時刻 t〔s〕 と位置 x〔m〕の関係が次のグラフのようになった．次の問いに答 えよ．ただし，グラフ中の直線 l ， m は曲線上の点 A，B における 接線である．

　⑴　次の各時間の平均の速さはそれぞれ何 m/s か． 　　①　1 〜 2 秒　　②　2 〜 3 秒

　　③　1 〜 3 秒　　④　2 〜 4 秒

　⑵　時刻 2 秒，3 秒における瞬間の速さはそれぞれ何 m/s か． 　⑶　時刻 2 〜 3 秒の間の平均の加速度の大きさは何 m/s²か．

6

0

0

3 8 10 t〔s〕

t_〔s〕 v_〔m/s〕 a_〔m/s²_〕

A ^D

C

（図１） （図２）

3 8 10

0 〔s〕

〔m〕

（図３）

3 8 10 6

0

0

3 8 10 〔s〕

〔s〕

〔m/s〕 〔m/s²〕

A ^D

C

（図１） （図２）

3 8 10

0 ^t〔s〕

x_〔m〕

（図３）

3 8 10

16

9

4

10 1 2 3 4 x_〔m〕

t_〔s〕 l m

練 習 問 題 B

20．（等加速度直線運動）等加速度直線運動をしている物体が，A 点を右向きに 8.0m/s の速さで 通過して，6.0 秒後に左向きに 4.0m/s の速さになった．下の問いに答えよ．

　⑴　物体の加速度は何 m/s²か．

　⑵　A 点を右向きに通過した時刻を０秒として，速度 v〔m/s〕 を縦軸に，時刻 t〔s〕を横軸にとったグラフをかけ． 　⑶　2.0 秒後の物体の速さは何 m/s か．また，そのときの A

点からの距離は何ｍか．

　⑷　物体が A 点から最も右に離れるのは A 点を通過してか ら何秒後か．またそれは A 点から何 m の地点か． 　⑸　10 秒後の物体の位置は，A 点からどちら向きに何 m の

地点か．

※ 21．（等加速度直線運動）直線軌道を一定の加速度 a で等加速度直線運動している電車がある． この電車の先端が，ある点 P を通過するときの速さがv¹，電車の後端が点 P を通過するときの速 さがv²（＞v¹）であった．下の問いに答えよ．

　⑴　電車が点 P を通過し始めてから通過し終わるまでの時間はいくらか． 　⑵　この電車の長さはいくらか．

　⑶　この電車の中央の点が点 P を通過するときの速さはいくらか．

　 ヒント 　21　電車の先端に注目して , 等加速度直線運動の公式を適応する． A

8.0m/s 4.0m/s

P a

v₁

v₂ 0 8.0

6.0 ^t〔s〕 v_〔m/s〕

― 2 ― 　　⑵　v= 3 0. ²+4 0. ²=5 0.   ∴ 5.0m/s 10．⑴　ア　

　　　　　　v= 4 0. ²+3 0. ²=5 0.   ∴ 5.0m/s 　　　　イ　流れに垂直な向きの船の速さは 4.0m/s だ から，^t=200_{4 0.} ⁼⁵⁰〔s〕かかって横断す る（船は船首を対岸に向けたまま，合成速 度の向きに進んで行く）．  ∴ 50s 　　　⑵

11．⑴　 v=^vB-^vA

　　　　　図より　v= 10²+10²=10 2=14 1.

  ∴南東の方向へ 14m/s

　　⑵

　　　　　図より ^{5 0}_v^. 3

= 1

　　　　　^{v=5 0. 3=8 65.}   ∴ 8.7m/s

導入問題

12．ア．加速度　　イ．v2- ^v1_ウ．t2- t1

　　エ．m/s²　　オ．速度の変化

13．ア．速度の変化　　イ．等加速度直線運動 　　ウ．a^=v_t-^-₀⁰ より，v ＝ at〔m/s〕

　　エ．グラフの面積x⁼₂^1vt=1₂^at:t=₂^1at2〔m〕 練習問題 A

14．⑴ア．0.10　イ．0.30　ウ．0.50 　　　エ．0.70　オ．0.90

　　　カ．0.050　キ．0.15　ク．0.25 　　　ケ．0.35　コ．0.45

　　　サ．0.10　シ．0.10　ス．0.10　セ．0.10 　　　ソ．0.050　タ．0.050　チ．0.050 　　　ツ．0.050

　　⑵

　　⑶　 x v t^{= 0+}₂^{1 at2}に，v⁰⁼⁰，a ＝ 0.050 を代

入して，^x=₂¹・^{0.050t2=0 025. t2}

v=v0+at_に，v0=0，a ＝ 0.050 を代入して， v^{=0 050}. t

〔解説〕

・平均の速さの求め方

　時刻 t ＝ 0 〜 2.0〔s〕の平均の速さ .

. .

v^{1=0 10}_{2 0-}^- ₀^{0=0 050}〔m/s〕 　は，中央時刻 ^t1=0+₂^{2 0. =1 0.} 〔s〕の 　瞬間の速さとみなす．

　時刻 t ＝ 2.0 〜 4.0〔s〕の平均の速さ . .

. . v .

4 0 2 0 0 40 0 10

2= 0 15 -

- = _〔m/s〕 　は，中央時刻 t2=^{2 0. +}₂^4.0=^3.0_〔s〕の 　瞬間の速さとみなす．

・平均の加速度の求め方

　時刻 t ＝ 1.0 〜 3.0〔s〕の平均の加速度 水平方向の速さ

〔m/s〕 4

3 2 1

0 1 2 3 4 5

上昇速度

風に流される速度 鉛直方向の速さ〔m/s〕

船の動く向き 5.0m/s 3.0m/s 川の流れ 4.0m/s

船の動く向き 船首の向き

3.0m/s 川の流れ 4.0m/s

A

B vA

→

→v vB

→

−v^A  →

電車 5.0m/s 5.0m/s 車内で見た雨 ^vv30° 雨

位置〔m〕 2.52.0

1.51.0 0.5

0 2 4 6 8 10時刻

〔s〕 加速度〔m/s²〕 0.050.04

0.030.02 0.01

0 2 4 6 8 10時刻

〔s〕

速さ〔m/s〕 0.50.4

0.30.2 0.1

0 2 4 6 8 10時刻

〔s〕

― 3 ― . .

. . a .

3 0 1 0 0 15 0 05

0 050

= -

- = _〔m/s²_〕

　は，中央時刻t3 =^{1 0. +}₂^{3 0.} =^{2 0.} _〔s〕の 　瞬間の加速度とみなす．

15．ア．（直線の）傾き

　　イ．a^=v-_t^v0より　v v^{= 0+at} 　　ウ．移動距離（変位の大きさ） 　　エ．x v v ^t v t at

2 2

1

0 0

=_] +_g = + 2

　　オ．①より　t^=v-_a^v0　これを②に代入して 　　　　x v

a v v

a a

v v 2 1

0

0 0 ²

#

= _d ^- _n+ _d ^- _n 　　　  　

a v v v

a v v 2

0 0 0²

= ^{] - g}+^{] - g} 　　　  　

a

v v

2

2 0²

= ^-

　　　　よってv²-v0²=2 xa 16．⑴　v v^{= 0+}atより， 　　　  .^{6 0}= +⁰ a#^{2 0.}

　　　　^{a=6 0.}_{2 0.}^{-0=3 0.}   ∴ 3.0m/s² 　　⑵　v v^{= 0+at}より，

　　　  .^{5 0}=^{2 0.} +a#^{3 0.}

　　　　a^{=5 0.}_{3 0}^-_.^{2 0. =1 0.}   ∴ 1.0m/s² 　　⑶　x v t at

2 1

0

= + 2_より，

　　 　¹⁸=⁰#^{3 0.} +₂¹a#^{3 0. 2 　　　　a 2}_{3 0.}¹⁸2 ^{4 0.}

= # = _{∴ 4.0m/s}²

　　⑷　v^2-v⁰²⁼2 xa より， 　　　　⁰²-¹⁰²=²a#²⁰ 　　　　a ⁰_{2 20}^{10 2 5.}

2 2

= #^- =- _{∴− 2.5m/s}² 　　⑸　v² v0 2 xa

- 2= _より， 　　　　¹⁰²-^{8 0. 2}=²a#^{9 0.} 　　　　a ¹⁰_{2 9 0}^{8 0}_.^{. 2 0.}

2 2

= #^- = _{∴ 2.0m/s}² 　　⑹　x v t0 ₂¹at

= + 2_より，

　　　　^{26=10#2 0. +}₂¹a^{#2 0. 2 　　　　a 2 26}_{2 0.}¹⁰2 ^{2 0. 3 0.}

# #

= ^{] - g}= _{∴ 3.0m/s}² 17．⑴　x v t^{= 0+}₂^1at2より，^{250= +0} ₂^{1# #a 502 　　　　a=250}₂₅₀₀^{#2=0 20.}   ∴ 0.20m/s² 　　⑵　v v^{= 0+at}より，v^{= +0 0 20. #50=10}

  ∴ 10m/s

　　⑶　v v= 0+at_より，20= +0 0 20. _t

　　　　^t=_{0 20}²⁰_. ⁼¹⁰⁰  ∴ 1.0 × 10²s 　　　　x v t at

2 1

0

= + 2_より，

　　　　^{x= +0} ₂^1#0.20#_^{1 0. #102 2}i ^=1.0#103

  ∴ 1.0 × 10³m

　　（別解）

　　　　v²-v0²=2 xa _より，20²-0²=2#0.20x 　　　　^x=_2#⁴⁰⁰_{0 20.} ^{=1 0. #103}

18．⑴　v − t グラフの傾きは加速度を示す．AB， CD 間では傾きが一定であるから等加速度直線 運動で，BC 間では傾きが 0 であるから等速度 運動である．

　　⑵　AB；A（0,0），B（3,6）を通るので₃⁶_-^-₀⁰⁼²   ∴ 2.0m/s²（2.0m/s²右向き） 　　　　BC；B（3,6），C（8,6）を通るので₈⁶ _-^-₃^{6 =0}

  ∴ 0m/s²

　　　　CD；C（8,6），D（10,0）を通るので₁₀^0-_-⁶₈^=-3   ∴− 3.0m/s²（3.0m/s²左向き） 　　　問題文に “ 右向きを正として ” と指定があるの

で，左向きは−の符号をつけて表す． 　　⑶　

　　⑷　v − t グラフと t 軸の囲む部分（台形 ABCD） の面積を求めればよい．

　　　　x⁼₂¹]⁵⁺¹⁰g^#6=45  ∴ 45m 　　⑸　AB 間では「x v t at

2 1

0

= + 2_」より，

　　　^x=0#t⁺₂¹# #² t²⁼t²_]⁰E Et ³_gの放物線 になる．

　　　　BC 間では，v ＝ 6m/s で一定なので，グラ フは傾き 6 の直線になる．

　　　　グラフの面積から，t ＝ 3s のとき x ＝ 9m な ので，

　　　　^{x= +9 6} ]^t-3 g^=6t-9 ]^{3 E Et 8} g

　　　　なお，AB 間の放物線と BC 間の直線は t ＝ 3s，x ＝ 9m の点でなめらかにつなぐ．

0

−3 2

t_〔s〕 a_〔m/s²_〕

3 8 10

― 4 ― 　　　　［参考］

　　　　CD 間ではx=³⁹+⁶_]t-⁸_g-₂¹#³_]t-⁸_g² 　　　　　　　  　x^=-₂³_]t^-10_g^{2+45 8}_] E Et ¹⁰_g 19．⑴　①　グラフは（1,1），（2,4）を通るので 　　　　　　v⁼₂⁴_-^-₁¹⁼³  ∴ 3.0m/s 　　　　②　グラフは（2,4），（3,9）を通るので 　　　　　　 v⁼₃⁹_-^-₂⁴⁼⁵  ∴ 5.0m/s 　　　　③　グラフは（1,1），（3,9）を通るので 　　　　　　 v⁼₃⁹_-^-₁¹⁼⁴  ∴ 4.0m/s 　　　　④　グラフは（2,4），（4,16）を通るので 　　　　　　 v⁼¹⁶_4-^-₂⁴⁼⁶  ∴ 6.0m/s 　　⑵　点Ａでの接線 l は（1,0），（2,4）を通るので，そ

の傾きより　v^A=₂⁴_-^-₁⁰⁼⁴

  ∴ 2.0 秒：4.0m/s

　　　　点 B での接線 m は（1.5,0），（3,9）を通るので， その傾きより　vB=₃⁹ _{1 5}⁰_. ⁶

-

- =

  ∴ 3.0 秒：6.0m/s

　　⑶　平均の加速度は，ある区間を等加速度運動し たと考えて求めた加速度である．⑵より，時刻 2 秒，3 秒の瞬間の速さはそれぞれ 4m/s，6m/s だから，

　　　　v v^{= 0+at}より 　　　　^{6= +4} a]^3-2g 　　　　a⁼₃⁶_-^-₂⁴⁼²

  ∴ 2.0m/s²

練習問題Ｂ

20．⑴　右向きを正とすると，v v^{= 0+at}より 　　　　^{-4 0. =8 0. +}a^{#6 0.}

　　　　a^{=-4 0.}_{6 0.}^{-8 0. =-2 0.}

  ∴左向きに 2.0m/s²

　　⑵　⑴より　v^{=8 0. -2 0.} t

　　⑶　v v^{= 0+at}より，

　　　　v=^{8 0.} + -_] ^{2 0.}_g#^{2 0.} =^{4 0.} _{∴ 4.0m/s} 　　　　A 点からの距離は　x v t at

2 1

0

= + 2_より

　　　　^{x=8.0#2 0. +}₂^1#]^{-2 0.} g^{#2 0. 2=12}

  ∴ 12m

　　⑷　最も離れる瞬間に v ＝ 0 となるから， 　　　　v v^{= 0+at}より，^{0=8 0. + -}] ^{2 0.} g^#t 　　　　∴ t ＝ 4.0  ∴ 4.0s 　　　　v² v0 2 xa

- 2= _より， 　　　　0²-^8.02=^2.0#_]-2 0^. _g#x

　　　　∴ x ＝ 16  ∴ 16m

　　〔別解〕

　　　　v − t グラフの囲む面積より， 　　　　x ^{. . m}

2 8 0 4 0

× 16

= = ] g

　　⑸　x v t at 2 1

0

= + 2_より

　　　　^x=8.0#10+₂^1#]^{-2 0.} g^#102=-20

  ∴左向き 20m

※ 21．⑴　求める時間を t とすると，v v^{= 0+at}より 　　　　v2=v1+at_∴t

a v2 v1

= ^-

　　⑵　求める長さを l とすると，v² v0 2 xa - 2= _より 　　　　v2 v 2al

2 2

- 1 = _∴l a

v v

2

2² 1²

= ^-

　　⑶　求める速さを v とすると，v²-v0²=2 xa _より 　　　　v v 2a ^l

2

2

1² :

- = 　　∴v ^{v v}

2

1 2

2 2

= ⁺

導入問題

22．⑴　ア．0　　イ．等加速度　　ウ．g t 　　　　エ．比例　　オ． gt₂^{1 2}　　カ．２乗 　　⑵　キ．y⁼₂^1gt2より　 .^{19 6=}₂^{1#9 8. #t2} 　　　　　　∴ t ＝ 2.0  ∴ 2.0s 　　　　ク．v ＝ g t より

0 59 15 20 25 30 35 45 39

t〔s〕 x〔m〕

3 8 10

（参考）CD間

0 - 4. 0 -12 8.0

6.0 4.0

10 t〔s〕 v〔m/s〕