宿題8 数理統計 2016 S1・S2 Kengo Kato

2016.6.23. 訂正：2016.7.7. 出題：加藤賢悟 宿題 8

• 提出期限：6/30の講義終了時．

問題

α ∈ (0, 1)はgivenとする．

1. 検定問題

H₀: θ = θ₀ vs. H₁ : θ ̸= θ₀

に対して，独立な検定統計量T₁, . . . , T_kが与えられたとして，各T_jに対してそのp値 をPj とおく．各Tjがθ0のもとで連続なd.f.をもつとき，

−2

∑k

j=1

log Pj > χ²_α(2k) ⇒ reject

という検定はサイズαをもつことを示せ．ここで，χ²_α(2k)はχ²(2k)の(1 − α)分位点 である．

ヒント：U ∼ U (0, 1)に対して，−2 log U ∼ χ²(2)である．

2. ネイマン・ピアソンの補題において，pn(x; θ), θ ∈ {θ₀, θ₁}を確率関数とする．いま， S = {x : p_n(x; θ₁) ̸= cp_n(x; θ₀)}とおくと，δが水準αのMP検定なら，すべてのx ∈ S に対してδ(x) = δc,γ(x)となることを示せ．

3. X₁, . . . , X_n∼ N (0, σ²) i.i.d.とする．検定問題

H₀ : σ² ≤ 1 vs. H₁ : σ² > 1

に対する水準αのUMP検定を求めよ． 4. X1, . . . , Xn∼ P o(λ) i.i.d.として，

H₀ : λ ≤ 1 vs. H₁ : λ > 1 に対する水準αのUMP検定を求めよ．

1

5. α > 0, β > 0に対して，

f (t) = α^ββt^−(1+β)I(t > α)

という密度関数をもつ分布を パレート分布(Pareto distribution)と呼び，P a(α, β)と 表す．パレート分布は所得の分布のモデリングに用いられ，βはパレート指数と呼ばれ る．いま，c > 0は既知，θ > 1は未知として，

X₁, . . . , X_n∼ P a(c, θ) i.i.d.

とする．

(a) P a(c, θ)の平均µをθを用いて表せ．

(b) H₀ : µ = µ₀ vs. H₀: µ > µ₀という検定問題に対して，

∑n

i=1

log Xi> κ ⇒ reject

という形の検定がUMP検定になることを示せ．

ヒント：µ₁ > µ₀として，H₀ : µ = µ₀ vs. H₁ : µ = µ₁という検定問題に対して MP検定を構成せよ．

(c) 2θ log(X_i/c) ∼ χ²(2)を示し，これを利用して(b)の検定がサイズαになるよう なκの値を求めよ．

(d) 中心極限定理を使って(b)の検定が近似的にサイズαをもつようなκの値を求 めよ．

6. 与えられた定数µ ̸= 0, c₁< c₂に対して，

e^µt > a + bt ⇔ t < c₁ or t > c₂, e^µt< a + bt ⇔ c₁< t < c₂

をみたすa, bが

a = ^c2e

µc_{1 − c} 1^eµc2

c₂− c₁ ^{, b =}

e^µc2 − e^µc1 c₂− c₁ で与えられることを示せ．

2