第11回演習問題 lecture Shinya Sugawara（菅原慎矢）

統計学 ^I 演習 ^, 第 ¹¹ 週 ^: 標本分布 ^: 演習

菅原慎矢

June 30

連絡事項

• 7/7小テスト。範囲は標本分布 (この演習問題の範囲)

• 来週の補講 7/5,6 は演習時間なし

• 小テスト練習のため、問題多めにしています。今日解説できない分は自習して下 さい

• 小テストの得点への質問などはメールでお願いします。

– ただし、TA が一人入院中で、小テスト 1 については帰ってきていない答案が あり、返事が遅れる可能性があります

– 期末テスト採点後になると、事務を通じて成績再評価願を出すことになり、手 続きが面倒になります

1 _演習問題

1 _標本平均 1

母集団 N(1, 16) から n = 100 の無作為標本を採ったとき、標本平均 ¯Xについて、巻末 の標準正規分布表を用いて以下に答えよ

1. ¯X ≥ 2となる確率を求めよ。 2. P ( ¯X ≤ x) = 0.90となる x を求めよ

2 _標本平均 2

{X₁, ..., Xn }を母平均 µX, 母分散 σ_X² からの大きさ nX の無作為標本、{Y₁, ..., Yn }を

2. E( ¯X + ¯Y )を求めよ 3. Cov( ¯X, ¯Y )を求めよ 4. V ( ¯X + ¯Y )を求めよ

3 _標本分散 1

χ²分布表, t 分布表は後半に添付している

X₁, ..., Xnを、N(µ, σ²)からの無作為標本とする。i = 1, ..., n について Zi = (Xi−µ)/σ とする

1. Z₂²の従う分布を求めよ

2. (1/σ²)^∑n_i=1(Xi− µ)²の従う分布を求めよ

4 _標本分散 2

母集団分布を N(0, 4) とする大きさ n = 11 の無作為標本 {X₁, ..., X₁₁}を取り、標本分散 S²を求めた。以下の問いに巻末の χ²分布表を用いて以下を求めよ

1. P (S² ≥ 9)の取り得る範囲を答えよ。回答は a ≤ P (S² ≥ 9) ≤ bという形で表記 せよ

2. P (2 ≤ S² ≤ 6)の取り得る範囲を答えよ。

5 _標本分散 3

t分布に関して、巻末の分布表を用いて以下を求めよ。 1. t ∼ t(30)の時、P (t ≥ q) = 0.1 となる q を求めよ 2. t ∼ t(30)の時、P (|t| ≥ q) = 0.01 となる q を求めよ

6 _標本分散 4

母集団分布を N(0, 4) とする大きさ n = 9 の無作為標本 {X₁, ..., X₁₁} を取り、標本分散 S²を求めたところ、S² = 4であった。以下の問いに答えよ。なお、T 統計量は、σ²が 未知の時にこれを S²で置き換えた時の、 ¯Xの標準化であると解釈できる

• T 統計量を書け。この統計量の従う分布は何か

• P (|T | ≥ q) = 0.05となる q を求めよ

• P ( ¯X ≥ q) = 0.025となる q を求めよ

2 _解答

1 _標本平均 1

1.

今 ¯X ∼ N (1, 4/25)。従って Z = [ ¯X − E( ¯X)]/√V ( ¯X) = ( ¯X − 1)/(2/5) とすると Z ∼ N (0, 1)。これを用いて

P ( ¯X ≥ 2) = P^{(X − 1¯} 2/5 ^≥

2 − 1 2/5

) (1)

= P (Z ≥ 2.5) (2)

= 1 − P (Z ≤ 2.5) (3)

≃ 1 − 0.9938 (4)

= 0.0062 (5)

2.

今 Z = ( ¯X − 1)/(2/5)とすると Z ∼ N(0, 1). また P (Z ≤ t) = 0.90 となる t は 1.285 (1.28と 1.29 の間)。従って

0.90 = P (Z ≤ 1.285) (6)

= P^{(X − 1¯}

2/5 ^{≤ 1.285} )

(7)

= P ( ¯X ≤ (2/5) × 1.285 + 1) (8)

= P ( ¯X ≤ (2/5) × 1.285 + 1) (9)

= P ( ¯X ≤ 1.5140) (10)

2 _標本平均 2

1. E( ¯X) = µX, E( ¯Y ) = µY

2.

E( ¯X + ¯Y ) = E( ¯X) + E( ¯Y ) = µX + µY (11) (これは X, Y の独立性などに依存しない)

3.

Cov( ¯X, ¯Y ) = E( ¯X ¯Y ) − E( ¯X)E( ¯Y ) = α − µXµY (12) 4.

V ( ¯X + ¯Y ) = V ( ¯X) + V ( ¯Y ) + 2Cov( ¯X, ¯Y ) (13)

= ^σ

X2

nX

+ ^σ

Y2

nY

+ 2α − 2µXµY (14)

3 _標本分散 1

1. Z₂² ∼ χ²(1)

証明: Z₁, ..., Zkを独立に標準正規分布に従う確率変数とする。これら k 個の確率変数 の二乗の和について

W = Z₁²+ ... + Z_k² ∼ χ²(k) (15) となることが χ²分布の定義。

この定義に当てはめる。今 Z₂²は、標準正規分布に従う 1 個の確率変数の二乗なので、 Z₂² ∼ χ²(1)

注意: X ∼ F は、確率変数 X が分布 F に従う、という意味

2. 今 Zi = (Xi− µ)/σとすると、Zi ∼ N (0, 1)でありすべての i, j について Zi, Zjは 独立. 従って ∑ⁿ_i=1Z_i² ∼ χ²(n)。これを利用して

1 σ²

n

∑

i=1

(Xi− µ)² =

n

∑

i=1

(_{Xi− µ} σ

)2

(16)

=

n

∑

i=1

Z_i² (17)

∼ χ²(n) (18)

4 _標本分散 2

1. 今 U = ⁿ⁻¹_σ2 S² ∼ χ²(n − 1). σ² = 4, n − 1 = 10より P (S² ≥ 9) = P^{( σ}

2_U

n − 1 ^{≥ 9}

) (19)

= P⁽U ≥ ^{9(n − 1)} σ²

) (20)

= P⁽U ≥ ^{9 × 10} 4

) (21)

= P (U ≥ 22.5) (22)

χ²分布表より、df = 10 の列を利用する。P (U ≥ 23.21) ≤ P (U ≥ 22.5) ≤ P (U ≥ 20.48) なので

0.010 ≤ P (S² ≥ 9) ≤ 0.025 (23)

2.

P (2 ≤ S² ≤ 6) = P⁽2 ≤ ^σ

2_U

n − 1 ^{≤ 6}

) (24)

= P^{(2(n − 1)}

σ^{2 ≤ U ≤}

6(n − 1) σ²

) (25)

= P (20/4 ≤ U ≤ 60/4) (26)

= P (5 ≤ U ≤ 15) (27)

= P (U ≥ 5) − P (U ≥ 15) (28) 3.94 ≤ 5 ≤ 9.34, 12.55 ≤ 15 ≤ 15.99となるため、P (U ≥ 5), P (U ≥ 15) はそれぞれ 0.500と 0,950, 0.100 と 0.250 の間にある。これを利用し

0.5 − 0.25 ≤ P (5 ≤ U ≤ 15) ≤ 0.95 − 0.1 (29) 0.25 ≤ P (5 ≤ U ≤ 15) ≤ 0.85 (30)

5 _標本分散 3

1. t分布表の df = 30 の行より、q = 1.31 3.2.

0.01 = P (|t| ≥ q) = 2P (t ≥ q) (31) よって

P (t ≥ q) = 0.005 (32)

となる q が求めるもの。t ∼ t(30) より q = 2.75

6 _標本分散 4

1.

T = ^{X − µ¯}

√S²/n ^{∼ t(n − 1) (33)} 今 µ = 0, n = 9, S² = 4なので

T = ^X¯

2/3 ^{= 3 ¯X/2 ∼ t(8) (34)} 2.

P (T ≥ q) = 0.025 (35)

となる q が求めるもの。T ∼ t(8) より q = 2.31

3 上の問題より

0.025 = P (T ≥ 2.31) (36)

= P (3 ¯X/2 ≥ 2.31) (37)

= P ( ¯X ≥ 2 × 2.31/3) (38)

= P ( ¯X ≥ 1.54) (39)

よって q = 1.54