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計量経済学II ハンドアウト 2 – 計量経済学 I の復習 1/ 3

2 ^{計量経済学} I ^の復習

2.1 ^{回帰分析とは}

A. 回帰分析とは説明したい現象を次のようにいくつかの要因で説明するもの y_i = α + β¹x1_{,i+ β}2x2_,i+ · · · + βK^xK,i+ ϵi^{, i}= 1, 2, · · · , N (2.1)

1. 分析したい対象を y_i ^{として、 (1) と呼ぶ} 2. それを説明する要因を xi,k ^と置いて

(2)

と呼ぶ

3. ⁽³⁾ (または、パラメータ、母数) の α, β で結び付いている 4. 常に ⁽⁴⁾ ϵ_i^{が入っていると考える}

B. 回帰分析では ⁽⁵⁾ ϵ_iをどのように処理するかが重要な役割を演じる C. 古典的仮定にあるように説明変数が ^{(6) ではないとしておく} D. α, x_i, ϵ_iが和でつながれる必要があることを

(7)

2.1.1 推定のための誤差項に関する仮定_{(古典的仮定)}

A. 最も理想的な環境を提供する、 ^{(8) を与える}

1. 各観測点での誤差項の期待値は 0(E(ϵi) = 0)

2. 各観測点での誤差項の分散は観測点を問わず未知だが一定(Var(ϵi) = σ²) 3. 異なる誤差項同士は共分散は 0 ⇒(Cov(ϵi^{, ϵ}j) = 0, i ̸= j)

4. 誤差項の母集団の分布は正規分布である(ϵi ∼ N(0, σ²)) 5. 説明変数は確率変数ではない(Cov(xi^{, ϵ}j) = 0, ∀i, j)

B. 本学科は古典的仮定が崩れた場合の理論的な問題点や対処を詳しく学ぶ C. 最初に設定された式 (理論式) と推定する式 (推定式) をハット (ˆ) をつけて区別

y_i = α + βxi+ ϵi ^{理論式 (2.2)}

y_i = ˆα+ ˆβx_i+ ˆϵi ^{推定式 (2.3)}

2.2 ^推定方法 — ^{最小二乗法}

A. 推定量

1. 二乗誤差が最小という原理の推定を ⁽⁹⁾ (Least Square) と呼ぶ ˆϵi = yi−(ˆα+ ˆβx_i) (2.4)

Ver. 1.2 Masumi Kawade, 2009

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2. 二乗誤差は誤差項を二乗したもので、 ^{(10) と考えて良い}

N

∑

i=1

( ˆϵ_i− ¯ˆϵ⁾² =

N

∑

i=1

ˆ ϵ_i² =

N

∑

i=1

{

y_i−(ˆα+ ˆβx_i)^}

2

(2.5)

3. この最小値は微分などにより、 ^{(11) となる}

N

∑

i=1

{

y_i− ˆβx_i^}= N ˆα (2.6)

N

∑

i=1

x_i^{y_i−(ˆα+ ˆβx_i)^}= 0 (

⇔

N

∑

i=1

x_iϵ_i = 0 )

(2.7) 4. その解として推定量が得られる

βˆ=

N

∑

i=1

x_i(yi−y)¯

N

∑

i=1

x_i(xi−x)¯

=

N

∑

i=1

y_i(xi−x)¯

N

∑

i=1

x_i(xi−x)¯

=

N

∑

i=1

(xi−x) (y¯ i−y)¯

N

∑

i=1

(xi−x)¯ ²

(2.8)

5. 単回帰の推定量は次のような統計的関係を持つ βˆ⇒ ρxy · ^σy

σx

(2.9) 6. 重回帰の推定量は次のような統計的関係を持つ

βˆ1 ⇒

σy

σ1^{ρ1y− ρ12}

σy

σ1^ρ2y

1 − ρ²12

= ⁽¹²⁾ (2.10)

B. 誤差項の分散

1. 誤差項の値（ ⁽¹³⁾ とよぶこともある）は次のように求める

ˆϵi = yi−(ˆα+ ˆβx_i) (2.11) 2. 誤差項の分散は次のように推定する

ˆ

σ² = ¹ N −2

N

∑

i=1

ˆϵ²_i (2.12)

3. N −2 は ^{(14) といい、}2 は ^{(15) と (16) を合わせ} た数

4. 一般的には定数項と説明変数の合わせた数 T とすると自由度は ⁽¹⁷⁾

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2.3 最小二乗法の統計的特性

A. 統計的性質を確認するため、真の値を知っていた状況を仮想的に考え、真の 値を_α^∗_{, β}^∗_{, ϵ}^∗_i として、現実には不可能な真の関係式は次のように示される

y_i = α^∗ + β^∗x_i+ ϵ^∗_i (2.13) B. 推定量α, ˆˆ β から、次のように示される

βˆ= β^∗+

N

∑

i=1

(xi−x)ϵ¯ ^∗_i

N

∑

i=1

(xi−x)¯ ²

(2.14)

ˆ

α= α^∗+ ¯ϵ^∗−

¯ x

N

∑

i=1

ϵ^∗_i(xi−^x¯)

N

∑

i=1

(xi −^x¯)²

(2.15)

C. ^{(18) 、 (19) 、 (20) を持つことが望ましい} D. σ² が推定地点で変化したり、誤差項間に何らかの関係があれば

(21)

が落ち、説明変数と誤差項に関係があると

(22)

と

(23)

がなく なる

2.4 ^{最小二乗法の検定}

A. 回帰係数の仮説検定で基本的なものは次の回帰係数の ⁽²⁴⁾ H0 _{: β = b}

H1 : β = b ではない

B. これは ⁽²⁵⁾ と呼ばれ、両側検定で次の検定統計量となる βˆ− b

√σˆ²_β

∼ t(N − T ) (2.16)

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