2016.6.27. 加藤賢悟 6/27の講義中に補足した証明ですが，いろいろタイポがあったので，訂正版を載せてお きます．
ΘはRの開区間とし，X = (X1′, . . . , Xn′)′の同時確率(密度)関数は pn(x; θ) = H(x) exp{θT (x) − C(θ)}
の形に表せるとしよう．
Theorem 1. 次の形の検定はH0 : θ = θ0 vs. H1: θ ̸= θ0に対する水準αのUMPU検定に なる：
δ∗(x) =
1 if T (x) < c1 or T (x) > c2
γi if T (x) = ci, i= 1, 2 0 otherwise
.
ただし，ci, γi, i= 1, 2は
Eθ0[δ∗(X)] = α, Eθ0[T (X)δ∗(X)] = Eθ0[T (X)]α (*) をみたすように選ぶ．
Proof. 略証のみ与える．この証明では，pn(x; θ)は密度関数とし，微分と積分の順序交換を
自由に行う(ちゃんと正当化できる)．さらに，(*)をみたすci, γi, i = 1, 2の存在は認めて， δ∗がUMPU検定であることを示す．δを水準αの任意の不偏検定とすると，
βδ(θ0) ≤ α, βδ(θ) ≥ α, ∀θ ̸= θ0
となる．ここで，βδ(θ) = Eθ[δ(X)]はθについて微分可能であることが示せる．βδ(θ)の連 続性より，βδ(θ0) = αであり，βδ(θ)はθ= θ0で最小になる．よって，
βδ(θ0) = α, 0 = βδ′(θ0) =
∫
δ(x)∂
∂θpn(x; θ0)dx = Eθ0[T (X)δ(X)] − C′(θ0)α
となる．ここで，eC(θ) =∫ eθT(x)H(x)dxの両辺をθについて微分して，C′(θ) = Eθ[T (X)] を得る．従って，
∫
δ(x) ∂
∂θpn(x; θ0)dx = 0 ⇔ Eθ0[T (X)δ(X)] = Eθ0[T (X)]α である．
次に，θ1 ̸= θ0を任意に固定して，a1, a2∈ Rに対して，
ra1,a2(x) = pn(x; θ1) − a1pn(x; θ0) − a2 ∂
∂θpn(x; θ0)
= pn(x; θ0)eC(θ0)−C(θ1){e(θ1−θ0)T (x)− ea1− ea2T(x)}
1
とおく．ここで，ea1 = eC(θ1)−C(θ0){a1 − C′(θ0)}, ea2 = eC(θ1)−C(θ0)a2である．c1, c2に対し て，a1, a2をc1, c2, θ0, θ1に依存させて適当に選べば，H(x) > 0なるxに対して，
δ∗(x) = 1 ⇔ ra1,a2(x) > 0, δ∗(x) = 0 ⇔ ra1,a2(x) < 0 が成り立つ．よって，
{δ∗(x) − δ(x)}ra1,a2(x) ≥ 0 となるから，両辺を積分して，
βδ∗(θ1) − βδ(θ1) =
∫
{δ∗(x) − δ(x)}pn(x; θ1)dx
≥ a1
∫
{δ∗(x) − δ(x)}pn(x; θ0)dx + a2
∫
{δ∗(x) − δ(x)} ∂
∂θpn(x; θ0)dx = 0
を得る．さらに，δ(x) ≡ αなる検定と比較して，βδ∗(θ1) ≥ αを得る．θ1 ̸= θ0は任意だった から，δ∗がUMPU検定であることが示された．
2
